«Начала» Евклида. Определения

О знаменитом древнегреческом математике Евклиде нам известно достоверно лишь то, что жил он в IV-III веках до н.э. и провел большую часть жизни в Александрии. Совсем немного сведений дают о нём авторы, такие как Архимед, Прокл и Папп Александрийский. Обширную и детализированную биографию Евклида написали также арабские авторы. Одна из арабских рукописей XII века утверждает, что Евклид, известный как «Геометр», был сыном некоего Наукрата, родился в Тире и проживал в Сирии. Но в исторической науке эта биография учёного считается полностью вымышленной. Напротив, упоминание о Евклиде Проклом считается достоверным. В своих «Комментариях к первой книге «Начал» Евклида» он указывает, что учёный жил во времена Птолемея I Сотера, аргументируя это тем, что «Архимед … упоминает об Евклиде и, в частности, рассказывает, что Птолемей спросил его, есть ли более короткий путь изучения геометрии, нежели «Начала»; а тот ответил, что нет царского пути к геометрии». Все выше названные, кроме арабских авторов, упоминают о Евклиде только как об авторе знаменитого сочинения «Начала» - его главного труда, написанного примерно в 300 году до н.э. Известно также, что Евклид был первым математиком Александрийской школы и работал при знаменитой Александрийской библиотеке.

Состоящие из 13 книг на древнегреческом, «Начала» представляют собой первый систематизированный теоретический трактат по математике и геометрии. Они стали своего рода итогом развития всей античной науки, дав огромный толчок последующим исследованиям. С самого появления работы к ней писали комментарии другие учёные, начиная от Прокла и заканчивая арабскими и европейскими авторами Средневековья и Нового времени, среди которых были Галилео Галилей , Рене Декарт , Исаак Ньютон . Некоторые исследователи утверждают, что «Начала» были самой популярной и значимой книгой в Средневековой Европе. Объясняется это тем, что вплоть до XX века изучение «Начал» Евклида было обязательным требованием для студентов всех университетов. Это была самая первая математическая работа, напечатанная после изобретения печатного станка. Первый выпуск в Европе вышел в 1482 году в Венеции.

Начало каждой из 13-ти книг состоит из определений, аксиом и постулатов. Затем идут задачи на построение и теоремы, а после – доказательства этих теорем и решение задач. В своей работе Евклид не ссылается на своих предшественников, а лишь опирается на их результаты. Исследователи установили, что он пользовался работами Гиппократа Хиосского, Евдокс Книдского , Теэтета Афинского и работами разных пифагорейцев.

Первая книга посвящена изучению свойств прямоугольных треугольников и параллелограммов. В ней же рассматривается знаменитая теорема Пифагора , доказательство которой Евклидом стало одним из самых распространенных среди всех доказательств в современной науке. Но самым интересным является 5-ый постулат Евклида, который гласит, что «если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых». Этот постулат впоследствии комментировался и исследовался многими учёными, что привело к появлению неевклидовой геометрии в Новом времени. В неевклидовой геометрии пространство представляется искривленным, в отличие от нулевой кривизны пространства классической евклидовой геометрии.

Вторая, третья и четвертая книги основаны на трудах пифагорейцев и раскрывают задачи и теоремы геометрии окружностей, их касательных и хорд, вписанных и описанных многоугольников, построения правильных многоугольников. В пятой книге рассматривается общая теория отношений или теория пропорций величин, которую разработал Евдокс Книдский, дошедшая до нас только в «Началах». В шестой книге на практике применяется теория отношений для доказательства подобия геометрических фигур. На этом заканчивается первая часть «Начал», в которой рассматривались одноплоскостные фигуры.

Седьмая, восьмая и девятая книги посвящены элементарной теории чисел. В них рассматриваются свойства простых чисел, их делимость, пропорции, геометрическая прогрессия и суммы прогрессий, бесконечность простых чисел и строительство совершенных чисел. Также в седьмой книге Евклид предлагает своей алгоритм нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного. Самая объемная десятая книга представляет собой попытку классификации несоизмеримых (в современном понимании, иррациональных) величин.

Книги с одиннадцатой по тринадцатую – это теория пространственной геометрии или стереометрии. Одиннадцатая воплощает теории первых шести книг в пространстве – перпендикулярность, параллелизм, объемы параллелепипедов. В двенадцатой рассказывается об исследованиях объемов конусов, пирамид и цилиндров. И, наконец, в тринадцатой книге описываются пять правильных многогранников или платоновых тел, вписанных в сферу, и доказывается, что их не может быть больше.

Считается, что свой математический труд Евклид написал, работая в Александрийской библиотеке. Александрийская библиотека представляла собой не просто огромное собрание разнообразных книг и источников, а была местом, где собирались виднейшие представители наук, вели дискуссии, работали над своими трудами и представляли их на всеобщее обозрение. В разное время в ней работали Эратосфен Киренский, Аристофан, Архимед, Птолемей и многие другие. Неудивительно, что Евклид, находясь в такой благоприятной для развития мысли обстановке смог создать действительно уникальное произведение, по величине и значимости соизмеримое с важнейшими открытиями современного мира.

Кроме «Начал» сохранилось всего 4 произведения Евклида: «Явления» (о применении сферической геометрии в астрономии), «Данные» (о построении фигур), «О делении» (применительно к геометрическим фигурам) и «Оптика» (о распространении света). Сохранились косвенные данные о других сочинениях учёного. К тому же традиционно Евклиду приписывают авторство ещё двух произведений – теория зеркал «Катоптрика» и трактат по теории музыки «Деление канона», но установить их авторство не представляется возможным.

Подводя итог, можно говорить о том, что Евклид и его «Начала» имеют действительно огромное значение для науки. Систематизировав и обобщив прошлые достижения математиков, сделав свои открытия, Евклид создал фундаментальный труд, который стал важной частью современной математики и геометрии. И хотя нам практически ничего не известно о том, каким человеком был Евклид, и как проходила его научная деятельность, но результат этой деятельности, несомненно, вызывает восхищение и уважение. Евклид стал своего рода границей в науке, собрав воедино научные достижения прошлого и дав сильный задел для развития исследований будущего. В честь него названы космический летательный аппарат для изучения геометрии темной материи, город в США, алгоритм для получения традиционного музыкального ритма и многие математические открытия более позднего времени.

Важнейший математический труд гениального Эвклида "Начала" имеет весьма почтенный возраст - свыше двух тысячелетий. Шли века, менялись народы, исчезали с лица земли одни государства и возникали другие, рушились города, горели в пламени пожаров книги и библиотеки. А "Начала", написанные впервые на хрупком папирусе, прошли сквозь время. Созданные в III в. до н. э., "Начала" не потеряли своего значения и сейчас. Они занимают особое место в истории математики. Эвклид, один из величайших геометров, решил найти законы, которым подчиняются все линии и тела в природе, и расположить эти законы в строгой системе...

Большую часть жизни Эвклид провел в Александрии - городе, заложенном Александром Македонским на берегу Средиземного моря, у устья Нила. Царь Птолемей I сделал Александрию столицей Египта; чтобы возвеличить свое государство, он привлекал в страну ученых и поэтов, создав для них Мусейон - храм муз. Здесь были залы для занятий, ботанический и зоологический сады, анатомический кабинет, астрономическая башня, комнаты для уединенной работы, а главное - большая библиотека.

В Мусейон стекались математики, астрономы, историки, поэты - Александрия стала мировым центром науки и литературы. В разное время здесь читали лекции и работали многие выдающиеся ученые: Архимед, Аристарх Самосский, Гиппарх... В Мусейон - основной научный центр эллинистического мира - был приглашен и знаменитый греческий математик Эвклид, живший в III в. до н. э. В Александрии он основал математическую школу, для учеников которой и написал свой фундаментальный научный труд - "Начала". Эвклид обобщил достижения геометров, все знания, накопленные к тому времени. В этом ему помогли книжные собрания Александрийской библиотеки. В папирусных свитках запечатлелись и первые шаги египтян, и открытия "халдейских мудрецов" из Вавилона, и достижения греческих ученых. Эвклид всегда мог обратиться к математическим трудам своих предшественников.

Египетские землемеры (а геометрия и означает "землемерие") уже в глубокой древности обладали большими познаниями. Они научились измерять площадь прямоугольников, треугольников, трапеций; нашли способ приблизительно вычислять площадь круга по его диаметру; им было известно свойство так называемого египетского треугольника со сторонами 3, 4, 5; они знали формулы для вычисления объемов куба, цилиндра, конуса, пирамиды... Были сделаны и другие немаловажные открытия. Но все-таки, как наука, геометрия стала развиваться в Древней Греции.

Кто же был первым геометром? Греки любили число "семь". У них - семь чудес света, семь великих мудрецов. Один из них - Фалес Милетский (живший в VII-VI вв. до н. э.). Разносторонность интересов его поразительна. Вот некоторые свидетельства древних о Фалесе. Он и "мудрый советчик в государственных и военных делах" (Плутарх), и "первый физик" (Плиний), и "первый геометр" (Апулей), и "первый астроном" (Эвдем). Кроме того - он путешественник, метеоролог, поэт...

Предполагают, что геометрию и астрономию он изучал в Египте. Ему приписывают первое применение циркуля и угломера, измерение высоты пирамиды по длине ее тени и своей собственной, а также способ определения расстояния корабля от берега. Но главное - Фалес попытался логически осмыслить и систематизировать те открытия в математике, которые были сделаны в Вавилоне и Египте.

Следуя за Фалесом, Пифагор - глава первой математической школы - старался доказать теоремы при помощи чисто логического мышления. Очень много сделал для развития геометрии Аристотель. Можно назвать и других математиков, которые занимались геометрией в период от Фалеса Милетского до Аристотеля. Возникла потребность в стройной логической системе, обшей схеме построения науки. Эту схему и дал Эвклид.

Конечно, он опирался на труды своих предшественников, но нигде не упоминает о первоисточниках. Так, установлено, что разрозненные математические знания, отдельные теоремы и их доказательства были впервые собраны и систематизированы в "Началах" Гиппократа Хиосского (он преподавал в Афинах в середине V в. до н. э.). Сочинение утеряно. Основные положения "Начал" Гиппократа вошли в первые четыре книги "Начал" Эвклида.

Сведений о жизни Эвклида почти не сохранилось; остались лишь две-три легенды.

Первый комментатор "Начал" Прокл (V в. н. э.) уже не мог указать, когда и где родился Эвклид, когда умер. Это и не удивительно. Для нас, представителей XX в., и тот и другой жили в глубокой древности: один пятнадцать столетий назад, а другой - двадцать два, но для Прокла Эвклид - тоже древность, между ними лежит восемьсот лет! Все равно как для нас автор "Слова о полку Игореве".

Прокл установил, что "этот муж (т. е. Эвклид) жил в эпоху Птолемея I, ибо Архимед, который жил тотчас же вслед за царствованием Птолемея I, упоминает о нем". А затем следуют легенды. Так, рассказывают, что однажды Птолемей решил выучить геометрию. Вскоре обнаружилось, что овладеть математическими премудростями не так-то просто. Тогда он призвал Эвклида, попросил указать ему легкий путь к математике. Ученый ответил: "К геометрии нет царской дороги".


Часть страницы первого издания "Начал" Эвклида. Венеция, 1482 г.

Вторая легенда. К Эвклиду пришел молодой человек и стал под его руководством постигать геометрию. Изучив несколько первых теорем, юноша задал естественный вопрос - какова будет практическая польза от штудирования "Начал". Эвклид не удостоил ученика ответом. Он призвал раба и сказал: "Дай ему грош, он хочет извлечь выгоду из учения".

Некоторые биографические данные имеются на страницах арабской рукописи XII в.: "Эвклид, сын Наукрата, сына Зенарха, известный под именем "Геометра", ученый старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира". Известно также, что первоначальное образование он получил от учеников Платона, а ведь над входом в Академию, основанную Платоном, была надпись: "Да не войдет сюда тот, кто не знает геометрии".

Таким образом, о жизни великого человека почти ничего не известно, время поглотило его... Но остался основной его труд - знаменитые "Начала".

Тот же Прокл об Эвклиде говорит: "Он в самом деле был первым, о котором сообщается, что он действительно составил "Начала".

Весь труд состоит из тринадцати книг, в содержание которых входит прежде всего изучение геометрических фигур на плоскости. Но для этого требуются числа, поэтому Эвклид излагает учение о целых числах и дробях. Затем исследование распространяется с плоскости на пространство, на взаимоположение и величины поверхностей и объемы тел. Словом "Начала" включают основы планиметрии, стереометрии, арифметики...

Главная особенность "Начал" - они построены по единой логической схеме, а все теории в них логически обоснованы. Труд Эвклида справедливо считается образцом дедуктивной системы. Небольшое число основных положений принимается без доказательств. Исходными положениями, на которых Эвклид строит систему геометрии, служат определения, аксиомы и постулаты. Каждая из тринадцати книг начинается определением терминов, которые в ней появляются. Вначале Эвклид вводит определения основных понятий - точка, линия, прямая линия, плоскость, угол, фигура... Первой книге, кроме того, предшествуют аксиомы и постулаты (в некоторых списках "Начал" аксиомы и постулаты объединены в одну группу аксиом).

Свое величественное здание, свою грандиозную геометрию Эвклид построил с удивительной стройностью, ясностью и широтой. В "Началах" подведен итог трехсотлетнего развития математики начиная с Фалеса Милетского.

В древности "Начала" сразу же получили широкую известность и стали быстро распространяться по всему свету, удивляя и покоряя умы.

Советский ученый Э. Кольман говорит о "Началах": "Не может быть сомнения, что автор этого замечательного труда был великим геометром. Гигантская задача систематизации обширного разнообразного материала, которую он столь блестяще выполнил, сама по себе была под силу лишь крупнейшему ученому. Этот труд, являющийся одной из самых распространенных книг, выдержавших на протяжении более чем двух тысячелетий очень большое количество изданий в переводах на многочисленные языки, в сокращенных и переработанных вариантах, служит до сих пор, несмотря на громадное развитие, которое проделала за этот период геометрия, образцом для учебников элементарной геометрии, по которым ведется преподавание в средней школе".

Надо напомнить, что книга эта первоначально была написана на папирусных свитках, с нее снимали копии и, вероятно, в большом количестве. Нетрудно представить, как трудолюбивые писцы в разных городах и странах старательно переписывали заостренными тростинками на папирусе самых высших сортов теоремы Эвклида, с помощью циркуля и линейки чертили геометрические фигуры. "Начала" пользовались большой популярностью: Архимед, Аполлоний Пергский и другие выдающиеся мыслители опирались на них в своих исследованиях в области математики и механики. Учеником Эвклида был и Аристарх Самосский, тот самый, кто выдвинул гипотезу о движении Земли вокруг Солнца. Ученики и последователи великого математика снова и снова изучали его труд, делали на полях заметки, пояснения, исправления... С папируса "Начала" перешли на пергамент, потом на бумагу... Копии следовали одна за другой - иначе вряд ли дошел бы до нас этот неповторимый труд.

К сожалению, не сохранилось ни одной рукописи "Начал" эпохи античности, за исключением небольших отрывков, которые были найдены при раскопках в Египте и Геркулануме.

Постепенно, вместе с упадком античного общества, число геометров уменьшается. К середине II в. до н. э. преподавание этой науки не поднимается выше школьного уровня, а за пределами Александрии становится поверхностным. Римляне, например, лишь заучивали определения и формулировки теорем. Возникла даже легенда, будто Эвклид составил всего-навсего формулировки теорем. Эта легенда существовала в средние века. Словом, наука не развивалась, наступило время комментаторов и компиляторов. Среди них заслуживает упоминания Папп Александрийский, живший в конце III в. н. э. Он занялся восстановлением позабытых к тому времени математических знаний. В его основном труде - "Математическое собрание" - одна из частей отведена комментариям "Начал" Эвклида. "Собрание" Паппа - нечто вроде учебника для изучающих геометрию, с историческими справками, с улучшением и видоизменением известных теорем и доказательств.

Другой математик, Теон Александрийский (отец знаменитой Гипатии - женщины-математика, астронома, философа, растерзанной толпой религиозных фанатиков) частично упростил труд великого геометра, внес в него некоторые дополнения и исправления. Этот текст "Начал" был весьма распространен в средние века. Более того, все рукописи, дошедшие до нас (за исключением одной) основываются на "издании" Теона.

Наконец, в V в. н. э., после гибели Александрийской научной школы, математик и философ Прокл прокомментировал "Начала" Эвклида (сохранилась только часть работы)...

Правда, в Константинополе сберегались многие старые своды рукописей, и здесь-то комментаторы продолжали хранить память о греческой науке. Среди других трудов были и "Начала" Эвклида, которые несколько веков не находили применения, были как бы похоронены. Они вновь стали известны только к концу средних веков, когда арифметика и геометрия входят в круг высшего образования.

Древнейшая рукопись "Начал" представляет собой копию, сделанную в 888 г. монахом Стефаном для архиепископа Цезарейского. В том же IX в. своими математическими познаниями славился митрополит Лев Солунский, который собрал большую библиотеку, включавшую сочинения Архимеда, Эвклида, Птолемея... Существует много рукописей "Начал", относящихся к X-XII вв., все они появились на территории Византийской империи и копируют "издание" Теона Александрийского. И неизвестно, сколько промежуточных копий лежит между этими рукописями и их первоисточником.

Из Византии "Начала" попали в страны арабского Халифата. Арабы тщательно собирали, изучали и переводили на свой язык книги древнегреческих ученых по математике, астрономии, медицине. Благодаря этим переводам многие выдающиеся произведения древнегреческой и эллинистической науки дошли до нашего времени. "Начала" Эвклида были переведены на арабский язык уже в конце IX в. (первый перевод сделан известным арабским переводчиком Исхаком). Труд греческого ученого служил в арабских странах учебным руководством и основой для дальнейших исследований. Можно назвать около пятидесяти математиков, живших в VIII - XV вв., которые занимались переводами, переделками и комментированием "Начал".

Много сделал, чтобы привлечь внимание к "Началам", крупнейший философ того времени ал-Фараби, уроженец местечка близ г. Фараба на Сырдарье. Работал он в Багдаде и Алеппо. Этот ученый составил комментарий к первой и пятой книгам Эвклида. Омар Хайям - поэт и математик - написал книгу, в которой заменил аксиому параллельных рядом других допущений, которые можно связать с идеями неэвклидовой геометрии.

После того как монголы разграбили Багдад (1256 г.), неподалеку от него - в Марагинской обсерватории - возник новый центр культуры, где трудился ученый ат-Туси. Ему принадлежат два издания "Начал" с собственными добавлениями и изменениями. Немало арабских ученых работало и в Кордовском Халифате (Пиренейский полуостров). Их заслуга - в установлении научных контактов со странами Европы; здесь трудились переводчики и комментаторы арабских и переведенных с греческого сочинений.

Итак, с мудростью Эвклида начинает знакомиться Европа. Первую попытку перевести "Начала" с арабского на латынь предпринял итальянец Герард из Кремоны в Ломбардии (1114-1187 гг.). Это был выдающийся переводчик своего времени, число трудов, переведенных им с арабского, приближается к девяноста.

Новый перевод "Начал" Эвклида дал столетие спустя математик-астроном Джованни Кампано из Новары (близ Милана). Он дополнил перевод собственными пояснениями и размышлениями. Следует подчеркнуть, что перевод Кампано послужил оригиналом для первого печатного издания этого наиболее капитального научного произведения классической древности. Книга вышла из печати в 1482 г. в Венеции у немца Э. Ратдольта и называлась: "Преславная книга начал Эвклида".

Сыграли свою роль в развитии математики в Европе университеты, которые стали возникать в первой половине XI в. Правда, на протяжении нескольких столетий она оставалась вспомогательной дисциплиной, и особых кафедр, да и особых преподавателей математики, не было. Студентов весьма поверхностно знакомили с несколькими книгами "Начал". Об Эвклиде знали так мало, что некоторые полагали, что его "Начала" были написаны по-арабски, а другие,- что он дал только теоремы, а доказательства к ним представил Теон. В XVI в. в Парижском университете кандидаты на степень магистра искусств вместо сдачи экзамена по геометрии должны были присягать в том, что прослушали лекции по шести первым книгам "Начал".

И все ж из недр университетов в то время вышли многие замечательные математики, которые не только усваивали "Начала" Эвклида, но и развивали математику. Но действительно славное шествие "Начал" по странам Европы началось только в эпоху Возрождения, когда, как сказал Франсуа Рабле, "всюду мы видим ученых людей, образованнейших наставников, обширнейшие книгохранилища, так что, на мой взгляд, даже во времена Платона, Цицерона и Папиниана было труднее учиться, нежели теперь, и скоро для тех, кто не понаторел в Минервиной школе мудрости, все дороги будут закрыты. Ныне разбойники, палачи, проходимцы и конюхи более образованны, нежели в мое время доктора наук и проповедники".

Латинский перевод с греческого (а не арабского) текста был сделан Цамберти и выпущен в Венеции в 1506 г., а первое печатное издание греческого текста появилось в Базеле в 1533 г. Первый сохранившийся итальянский перевод "Начал" сделал математик Николо Тарталья (1543 г.). Это классическое сочинение стало учебным пособием для не знающих латыни читателей. Прежде чем выпустить свой перевод в свет, неутомимый Тарталья "разъяснял" Эвклида на народном языке почти во всех городах Италии. Во второе издание книги (1565 г.) им внесены пояснения - "чтобы каждая заурядная голова в состоянии была легко понять их без всяких предварительных познаний в этой области и без помощи других наук". Так говорит титульный лист венецианского издания. Книга Тартальи приобрела огромную популярность: за короткое время она была издана семь раз, последний - в 1586 г.

За опубликованным Тартальей переводом последовало полное издание. Но в полном виде труд Эвклида выходил далеко за пределы университетского образования. И вскоре после первого полного издания в разных странах выпускаются сокращенные варианты "Начал". Для студентов печатались первые четыре книги, реже - шесть.

В книге Эвклида множество иллюстраций. В старинных печатных книгах (по примеру первого печатного издания 1482 г.) геометрические чертежи выносились на поля.

Шли века, а творение Эвклида не старело. На протяжении четырех столетий его основное произведение публиковалось около 2500 раз. В среднем выходило ежегодно 6-7 изданий! Лучшим считается издание датского ученого И. Гейберга в пяти томах (1883-1888 гг.), в котором приводится и греческий и латинский текст.

"Начала" Эвклида - книга в истории человечества уникальная. Достаточно сказать, что учебники, по которым сейчас ведется первоначальное обучение в школе, представляют собой переработку труда Эвклида.

Учащиеся гимназий, а затем наших средних школ знакомились с красотой идей Эвклида по учебнику "Геометрия" А. П. Киселева, который выходил десятки раз.

Без преувеличения можно сказать, что влияние "Начал" Эвклида испытали на себе многие выдающиеся ученые. С томом Эвклида не расставался с юности до последних дней Николай Коперник; тщательно изучал "Начала" Галилео Галилей; вслед за Эвклидом и Ньютон свой фундаментальный труд назвал "Началами"; план своего основного сочинения "Этика" Спиноза целиком взял из Эвклида.

Средневековый итальянский математик Кардано писал о "Началах" Эвклида: "Неоспоримая крепость их догматов и их совершенство настолько абсолютны, что никакое другое сочинение, по справедливости, нельзя с ним сравнивать. В них отражается такой свет истины, что, по-видимому, только тот способен отличить в сложных вопросах геометрии истинное от ложного, кто усвоил Эвклида".

Геометрией Эвклида был очарован и Альберт Эйнштейн. Он говорил: "Мы почитаем древнюю Грецию как колыбель западной науки. Там была впервые создана геометрия Эвклида - это чудо мысли, логическая система, выводы которой с такой точностью вытекают один из другого, что ни один из них не был подвергнут какому-либо сомнению. Это удивительнейшее произведение мысли дало человеческому разуму ту уверенность в себе, которая была необходима для его последующей деятельности. Тот не рожден для теоретических исследований, кто в молодости не восхищался этим творением".

А о том, что один из постулатов Эвклида на протяжении двадцати веков - вплоть до Лобачевского - тщетно пытались доказать многие математики, будет рассказано в другом очерке.

В России "Начала" были впервые опубликованы в 1739 г. Переводчик - И. Астаров, сокращения сделаны профессором" А. Фархварсоном. Книга называлась "Евклидовы елементы". После этого "Начала" неоднократно выходили в нашей стране (1769, 1784, 1819 гг.). Последнее издание осуществлено в 1948- 1950 гг.

Такова судьба замечательной книги Эвклида, книги, пронизавшей, по словам С. И. Вавилова, века.

Что читать

Начала Эвклида. Л., 1948-1950, т. 1-3.

Каган В. Ф. Очерки по геометрии. М., 1963.

Кольман. Э. История математики в древности. М., 1961.

Лурье С. Очерки по истории античной науки. М.-Л., 1947.

Смилга В. В погоне за красотой. М., 1966.

Стройк Д. Краткий очерк истории математики. Пер. с нем. М., 1969.

Цейтен Г. История математики в древности и в средние века. М.-Л., 1938.

Юшкевич А. П. История математики в средние века. М., 1961.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

хорошую работу на сайт">

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Институт математики и механики им. Н.И. Лобачевского

Кафедра теории и технологий преподавания математики и информатики

Направление: (математика и английский язык)

«Значение «Начала» Евклида в истории математики»

Студентка: Немкова А.И.

группа 05-106

Преподаватель: Шакирова Л. Р.

эвклид древнегреческий математика

Казань 2014

"Единица есть то, через что каждое из существующих считается единым.

Число же - множество, составленное из единиц"

БИОГРАФИЯ

ЭВКЛИД (Euclid c.356-300 ВС)

Эвклид - древнегреческий математик, автор первых дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения о жизни и деятельности Эвклида крайне ограничены. Известно, что он родом из Афин, был учеником Платона. Научная деятельность его протекала в Александрии, где он создал математическую школу.

ДОСТИЖЕНИЯ В МАТЕМАТИКЕ

Главные труды Эвклида "Начала" (латинизированное назв.- "Элементы") содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел, алгебры, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включающего элементы пределов (Метод исчерпывания). В "Началах" Эвклид подытожил все предшествующие достижения греческой математики и создал фундамент для ее дальнейшего развития. Историческое значение "Начал" Эвклида заключается в том, что в них впервые сделана попытка логического построения геометрии на основе аксиоматики. Основным недостатком аксиоматики Эвклида следует считать ее неполноту; нет аксиом непрерывности, движения и порядка, поэтому Эвклиду часто приходилось апеллировать к интуиции, доверять глазу. Книги XIV и XV являются более поздними добавлениями, но являются ли первые тринадцать книг созданием одного человека или школы, руководимой Эвклидом, не известно. С 1482г. "Начала" Эвклида выдержали более 500 изд. на всех языках мира.

Первые четыре книги "Начал" посвящены геометрии на плоскости, и в них изучаются основные свойства прямолинейных фигур и окружностей.

Книге I предпосланы определения понятий, используемых в дальнейшем. Они носят интуитивный характер, поскольку определены в терминах физической реальности: "Точка есть то, что не имеет частей". "Линия же - длина без ширины". "Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению точкам на ней". "Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину" и т.д.

За этими определениями следуют пять постулатов: "Допустим:

1) что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию;

2) и что ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой;

3) и что из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг;

4) и что все прямые углы равны между собой;

5) и если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньше двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых."

Три первых постулата обеспечивают существование прямой и окружности. Пятый, так называемый постулат о параллельных - самый знаменитый. Он всегда интриговал математиков, которые пытались вывести его из четырех предыдущих или вообще отбросить, до тех пор, когда в XIX в. обнаружилось, что можно построить другие, неевклидовы геометрии и что пятый постулат имеет право на существование. Затем Эвклид сформулировал аксиомы, которые в противоположность постулатам, справедливым только для геометрии, применимы вообще ко всем наукам. Далее Эвклид доказывает в книге I элементарные свойства треугольников, среди которых - условия равенства. Затем описываются некоторые геометрические построения, такие, как построение биссектрисы угла, середины отрезка и перпендикуляра к прямой. В книгу I включены также теория параллельных и вычисление площадей некоторых плоских фигур (треугольников, параллелограммов и квадратов). В книге II заложены основы так называемой геометрической алгебры, восходящей к школе Пифагора. Все величины в ней представлены геометрически, и операции над числами выполняются геометрически. Числа заменены отрезками прямой. Книга III целиком посвящена геометрии окружности, а в книге IV изучаются правильные многоугольники, вписанные в окружность, а также описанные вокруг нее.

Теория пропорций, разработанная в книге V,одинаково хорошо прилагалась и к соизмеримым величинам и к несоизмеримым величинам. Эвклид включал в понятие "величины" длины, площади, объемы, веса, углы, временные интервалы и т. д. Отказавшись использовать геометрическую очевидность, но избегая также обращения к арифметике, он не приписывал величинам численных значений. Первые определения книги V "Начал" Эвклида: 1. Часть есть величина (от) величины, меньшая (от) большей, если она измеряет большую. 2. Кратное же - большая (от) меньшей, если она измеряется меньшей. 3. Отношение есть некоторая зависимость двух однородных величин по количеству. 4. Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга. 5. Говорят, что величины находятся в том же отношении: первая ко второй и третья к четвертой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, или одновременно равны, или одновременно меньше равнократных второй и четвертой каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответственном порядке. 6. Величины же, имеющие то же отношение, пусть называются пропорциональными. Из восемнадцати определений, помещенных в начале всей книги, и общих понятий, сформулированных в книге I, с восхитительным изяществом и почти без логических недочетов Эвклид вывел (не прибегая к постулатам, содержание которых было геометрическим) двадцать теорем, в которых устанавливались свойства величин и их отношений.

В книге VI теория пропорций книги V применяется к прямолинейным фигурам, к геометрии на плоскости и, в частности, к подобным фигурам, причем "подобные прямолинейные фигуры суть те, которые имеют углы, равные по порядку, и стороны при равных углах пропорциональные". Книги VII ,VIII и IX составляют трактат по теории чисел; теория пропорций в них прилагается к числам. В книге VII определяется равенство отношений целых чисел, или, с современной точки зрения, строится теория рациональных чисел. Из многих свойств чисел, исследованных Эвклидом (четность, делимость и т.д.), приведем, например, предложение 20 книги IX, устанавливающее существование бесконечного множества "первых", т.е. простых чисел: "Первых чисел существует больше всякого предложенного количества первых чисел". Его доказательство от противного до сих пор можно найти в учебниках по алгебре.

Книга X читается с трудом; она содержит классификацию квадратичных иррациональных величин, которые там представлены геометрически прямыми и прямоугольниками. Вот как сформулировано предложение 1 в книге X "Начал" Эвклида: "Если заданы две неравные величины и из большей вычитается часть, большая половины, а из остатка - снова часть, большая половины, и это повторяется постоянно, то когда-нибудь остается величина, которая меньше, чем меньшая из данных величин". На современном языке: Если a и b - положительные вещественные числа и a >b, то всегда существует такое натуральное число m, что mb > a. Эвклид доказал справедливость геометрических преобразований.

Книга XI посвящена стереометрии. В книге XII, которая также восходит, вероятно, к Евдоксу, с помощью Метода исчерпывания площади криволинейных фигур сравниваются с площадями многоугольников. Предметом книги XIII является построение правильных многогранников. Построение Платоновых тел, которым, по-видимому завершаются "Начала", дало основание причислить Эвклида к последователям философии Платона.

ОБЛАСТИ ИНТЕРЕСОВ

Кроме "Начал" до нас дошли такие произведения Эвклида: книга под латинским названием "Data" ("Данные") (с описанием условий, при которых какой-нибудь математический образ можно считать "данным"); книга по оптике (содержащая учение о перспективе), по катоптрике (излагающую теорию искажений в зеркалах), книга "Деление фигур". Не сохранилась педагогическая работа Эвклида "О ложных заключениях" (в математике). Эвклид написал также сочинения по астрономии ("Явления") и музыке.

ЗАСЛУГИ ЕВКЛИДА

ЕВКЛИДА ТЕОРЕМА о простых числах: множество простых чисел является бесконечным ("Начала" Евклида, книга IX, теорема 20). Более точную количественную информацию о множестве простых чисел в натуральном ряде содержит Чебышева теорема о простых числах и асимптотич. закон распределения простых чисел.

ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ - геометрия пространства, описываемого системой аксиом, первое систематическое (но не достаточно строгое) изложение к-рой было дано в "Началах" Евклида. Обычно пространство Е. г. описывается как совокупрость объектов трех родов, называемых "точками", "прямыми", "плоскостями"; отношениями между ними: принадлежности, порядка ("лежать между"), конгруэнтности (или понятием движения); непрерывностью. Особое место в аксиоматике Е. г. занимает, аксиома о параллельных (пятый постулат). Первая достаточно строгая аксиоматика Ё. г. была предложена Д. Гильбертом (D. Hilbert, см. Гильберта система аксиом). Существуют модификации системы аксиом Гильберта и другие варианты аксиоматики Е. г. Напр., в векторно-точечной аксиоматике за одно из основных понятий принято понятие вектора; в основу аксиоматики Е. г. может быть положено отношение симметрии.

5) ИСТОРИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ «НАЧАЛ»

Историческое значение "Начал" Евклида заключается в том, что в них впервые сделана попытка логического построения геометрии на основе аксиоматики. Аксиоматический метод, господствующий в современной математике, своим происхождением в большой степени обязан "Началам" Евклида.

Основным недостатком аксиоматики Евклида следует считать ее неполноту; здесь нет аксиом непрерывности, движения и порядка, поэтому Евклиду часто приходится апеллировать к интуиции, доверяться глазу. Что касается определений точки, линии, прямой, поверхности и плоскости, то их значение заключается в том, что они отражают естественный процесс образования этих понятий.

Ни одна научная книга не пользовалась таким большим и длительным успехом, как "Начала" Евклида. С 1482 она выдержала более 500 изданий на всех языках мира. Кроме упомянутых "Начал", до нас дошли такие произведения Евклида: книга под латинским названием "Data" ("Данные"), содержанием которой является определение условий, когда какой-нибудь математический образ можно считать "данным"; книга по оптике (содержащая учение о перспективе) и книга по катоптрике (излагающая теорию искажений в зеркалах), а также "Деление фигур".

Математики более позднего времени - Папп и Д. Прокол - упоминают и ссылаются на недошедшие до нас работы Евклида: четыре книги о комических сечениях, материал которых вошел в произведения Аполлония Пергского; две книги о местах на поверхности; три книги "Поризмы", содержание которых до сих пор до конца не выяснено.

Не сохранилась и педагогическая работа "О ложных заключениях" (в математике). Евклид написал также сочинения по астрономии ("Явления") и музыке. Дошедшие до нас произведения Евклида собраны в критическом издании Гейберга и Менге (Лейпциг, 1883-1916), в котором помещены греческие подлинники, латинские переводы и комментарии позднейших авторов.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

    Очерк жизни и творчества великого древнегреческого ученого Эвклида, оценка его достижений в области математики. Анализ главных произведений Эвклида, его основополагающие идеи и источники их формирования. Геометрия на поверхности отрицательной кривизны.

    реферат , добавлен 13.12.2010

    Особенности периода математики постоянных величин. Создание арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии. Общая характеристика математической культуры Древней Греции. Пифагорейская школа. Открытие несоизмеримости, таблицы Пифагора. "Начала" Евклида.

    презентация , добавлен 20.09.2015

    Роль математики в современном мире. Основные этапы развития математики. Аксиоматический метод построения научной теории. Начала Евклида как образец аксиоматического построения научной теории. История создания неевклидовой геометрии. Стили мышления.

    реферат , добавлен 08.02.2009

    Основные этапы развития математики в Древней Греции. Изучение чисел и геометрии в Пифагорейской школе. Вклад Зенона, Демокрита, Платона и Евдокса в становление античной науки. Великий геометр древности Евклид и содержание его главного труда "Начала".

    презентация , добавлен 10.03.2013

    Происхождение термина "математика". Одно из первых определений предмета математики Декартом. Сущность математики с точки зрения Колмогорова. Пессимистическая оценка возможностей математики Г Вейля. Формулировка Бурбаки о некоторых свойствах математики.

    презентация , добавлен 17.05.2012

    Греческая математика и её философия. Взаимосвязь и совместный путь философии и математики от начала эпохи возрождения до конца XVII века. Философия и математика в эпохе Просвещения. Анализ природы математического познания немецкой классической философии.

    дипломная работа , добавлен 07.09.2009

    Анализ роли математики в оценке количественных и пространственных взаимоотношений объектов реального мира. Трактовка и обоснование математических теорем Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши и Лопиталя. Обзор биографии, деятельности и трудов великих математиков.

    курсовая работа , добавлен 08.04.2013

    Некоторые биографические данные и легенды из жизни Евклида. Основание математической школы и изложение геометрии в труде "Начала", описание метрических свойств пространства и его бесконечности. Сочинения "Оптика" и "Катоптрика" и изобретение монохорда.

    презентация , добавлен 21.12.2010

    Предпосылки зарождения математики в Древнем Египте. Задачи на вычисление "аха". Наука древних египтян. Задача из папируса Райнда. Геометрия в Древнем Египте. Высказывания великих ученых о важности математики. Значение египетской математики в наше время.

    реферат , добавлен 24.05.2012

    Значение понятия математика. Ее роль в науке. Математика как наука основанная на разнообразие математических моделей, задачей которых является отображение реальных событий и явлений. Особенности математического языка. Известные высказывания о математике.

Древнегреческий мыслитель Евклид стал первым математиком Александрийской школы и автором одного из наиболее древних теоретических математических трактатов. О биографии этого ученого известно намного меньше, чем о его работах. Так, в известном труде «Начала» Евклид изложил стереометрию, планиметрию, аспекты теории чисел, создал базу для последующего развития математики.

Биография Евклида предположительно началась в 325 году до нашей эры (это примерная дата, точный год рождения неизвестен) в Александрии. Некоторые исследователи предполагают, что будущий математик появился на свет в Тире, а большую часть взрослой жизни провел в Дамаске. Вероятно, Евклид происходил из богатой семьи, так как он учился в афинской школе (на то время такое образование было доступно только состоятельным гражданам).

Ученым удалось установить, что автор «Начал» был моложе известных последователей Платона, живших и творивших в период с 427 по 347 века до нашей эры, однако старше , родившегося в 287 году и скончавшегося в 212 году до нашей эры. Евклид разбирался в философской концепции Платона и разделял ее основные положения.

Приведенная выше информация о личности и жизненном пути Евклида почерпнута исследователями из комментариев Прокла, написанных им к первой книге «Начала». Также известны высказывания Стобея и Паппа о личности древнегреческого мыслителя. Стобей якобы рассказывал, что в ответ на вопрос ученика о выгоде от науки Евклид приказал рабу выдать ему несколько монет. Папп же отмечал, что ученый умел быть любезным и мягким с любым человеком, который мог хоть в какой-то степени быть полезным для развития математических наук.


Сохранившиеся данные о Евклиде настолько малочисленны и сомнительны, что бытовала версия о присвоении псевдонима «Евклид» целым коллективам ученых из древней Александрии. Евклида Александрийского путают с греческим философом Евклидом из Мегар, учеником , жившим в 400 столетии до нашей эры. В средние века Евклида из Мегар даже считали автором «Начал».

Математика

Немалую часть свободного времени Евклид проводил в Александрийской библиотеке – храме знаний, основанном Птолемеем. В стенах этого учреждения древнегреческий ученый занялся объединением арифметических законов, геометрических принципов и теории иррациональных чисел в геометрию. Результаты своих трудов Евклид описал в книге «Начала» - сочинении, принесшем большой вклад в развитие математики.


Книга Евклида "Начала"

Книга состоит из пятнадцати томов:

  • В книге I автор рассказывает о свойствах параллелограммов и треугольников, завершая изложение применением теоремы Пифагора при расчете параметров прямоугольных треугольников.
  • Книга под номером II описывает принципы и закономерности геометрической алгебры и восходит к багажу знаний, накопленных пифагорейцами.
  • В книгах III и IV Евклид рассматривает геометрию окружностей, описанных и вписанных многоугольников. В ходе создания этих томов автор мог обратиться к использованию работ Гиппократа Хиосского.
  • В V книге древнегреческий математик рассмотрел общую теорию пропорций, разработанную Евдоксом Книдским.
  • В материалах VI книги автор прилагает общую теорию пропорций Евдокса Книдского к теории подобных фигур.
  • Книги под номерами VII-IX описывают теорию чисел. При написании этих томов математик вновь обратился к материалам, созданным и собранным пифагорейцами – представителями учения, в котором центральную роль занимает число. В этих произведениях автор говорит о геометрических прогрессиях и пропорциях, доказывает бесконечность множества простых чисел, изучает четные совершенные числа, вводит понятие НОД (наибольшего общего делителя). Алгоритм нахождения такого делителя в настоящее время называется алгоритмом Евклида. Есть предположение, что VIII книгу написал не сам Евклид, а Архит Тарентский.

Знаменитый труд Евклида "Начала"
  • Том под номером X – это наиболее сложный и объемный труд в составе «Начал», который содержит в себе классификацию иррациональностей. Авторство этой книги также доподлинно неизвестно: ее мог написать как сам Евклид, так и Теэтет Афинский.
  • На страницах XI книги математик рассказывает об основах стереометрии.
  • Книга XII содержит доказательства теорем об объемах конусов и пирамид, отношениях площадей кругов. Для построения этих доказательств используется метод исчерпывания. Большинство исследователей сходятся в том, что эту книгу также написал не Евклид. Вероятным автором является Евдокс Книдский.

  • Материалы XIII книги содержат информацию о построении пяти правильных многогранников («платоновых тел»). Некоторую часть приведенных в томе построений мог разработать Теэтет Афинский.
  • Книги XIV и XV, по общепризнанному мнению, также принадлежат другим авторам. Так, предпоследний том «Начал» написал Гипсикл (также живший в Александрии, но позже Евклида), а последний – Исидор Милетский (строивший храм святой Софии в Константинополе в начале шестого века до нашей эры).

До появления «Начал» Евклида труды с таким же названием, суть которых заключалась в последовательном изложении ключевых фактов теоретической арифметики и геометрии, были составлены Леонтом, Гиппократом Хиосским, Февдием. Все они практически исчезли из обихода после появления работы Евклида.

На протяжении двух тысяч лет пятнадцать томов «Начал» выступали в роли базового учебного пособия по геометрии. Работа переведена на арабский язык, затем – на английский. «Начала» перепечатывались сотни раз, и указанные в них базовых математических выкладок остаются актуальными по сей день.


Книга Евклида "Начала"

Значительная часть материалов, которые автор включил в труд – не собственные открытия, а известные ранее теории. Суть работы Евклида заключалась в переработке материала, его систематизации и сведении разрозненных данных воедино. Некоторые книги Евклид начинал списком определений, в первой книге имеется также перечень аксиом и постулатов.

Постулаты Евклида делятся на две группы: общие понятия, включающие в себя общепризнанные научные утверждения, и геометрические аксиомы. Так, в первой группе встречаются такие утверждения:

«Если две величины порознь равны одной и той же третьей, то они равны между собой».
«Целое больше суммы частей».

Во второй группе находятся, например, следующие утверждения:

«От всякой точки до всякой точки можно провести прямую».
«Все прямые углы равны между собой».

«Начала» - не единственная книга, написанная Евклидом. Также он написал ряд работ по катоптрике (новой отрасли оптики, в немалой степени утверждавшей математическую функцию зеркал). Несколько работ ученый посвятил изучению конических сечений. Математик также разрабатывал предположения и гипотезы, касающиеся траектории движения тел и законов механики. Он стал автором ключевых инструментов, которыми оперирует геометрия – так называемых «евклидовых построений». Многие работы этого древнегреческого мыслителя не дошли до наших дней.

Философия

В древние времена философия была тесно сплетена со многими другими отраслями научных знаний. Так, геометрия, астрономия, арифметика и музыка считались математическими науками, понимание которых необходимо для качественного изучения философии. Евклид развивал учение Платона о четырех элементах, которым приводятся в соответствие четыре правильных многогранника:

  • стихию огня олицетворяет тетраэдр;
  • воздушной стихии соответствует октаэдр;
  • стихия земли ассоциируется с кубом;
  • водная стихия связывается с икосаэдром.

В этом контексте «Начала» можно рассматривать как своеобразное учение о построении «платоновых тел», то есть пяти правильных многогранников. Учение содержит все необходимые предпосылки, доказательства и связки. Доказательство возможности построения таких тел завершается утверждением того факта, что никаких других правильных тел, за исключением данных пяти, не существует.

Практически каждая теорема Евклида в «Началах» соответствует также показателям учения о доказательстве . Так, автор последовательно выводит следствия из причин, формируя цепочку логических доказательств. При этом он доказывает даже утверждения общего характера, что также соответствует учению Аристотеля.

Личная жизнь

До нас дошла лишь некоторая информация о работе Евклида в науке, о его личной жизни же неизвестно практически ничего. Существует легенда, что царь Птолемей, решивший изучить геометрию, был раздосадован ее сложностью. Тогда он обратился к Евклиду и попросил его указать на более легкий путь к знаниям, на что мыслитель ответил: «К геометрии нет царской дороги». Выражение впоследствии стало крылатым.


Есть доказательства того, что при Александрийской библиотеке этот древнегреческий ученый основал частную математическую школу. В ней учились такие же энтузиасты науки, как и сам Евклид. Даже на закате своей жизни Евклид помогал ученикам в написании работ, создании собственных теорий и разработке соответствующих доказательств.

Точных данных о внешности ученого нет. Его портреты и скульптуры – это плод воображения их создателей, придуманный образ, передававшийся из поколения в поколение.

Смерть

Предположительно, Евклид скончался в 260-тых годах до нашей эры. Точные причины смерти не известны. Наследие ученого пережило его на две тысячи лет и вдохновляло многих великих людей спустя столетия после его кончины.

Существует мнение, что политический деятель любил цитировать высказывания Евклида в своих речах и имел при себе несколько томов «Начал».


Ученые последующих лет базировали труды на работах Евклида. Так, русский математик Николай Лобачевский использовал материалы древнегреческого мыслителя для разработки гиперболической геометрии, или геометрии Лобачевского. Формат математики, который создал Евклид, ныне известен как «евклидова геометрия». Ученый также создал прибор для определения высоты тона струны и изучал интервальные соотношения, поспособствовав созданию клавишных музыкальных инструментов.

Библиография

  • «Начала»
  • «Данные»
  • «О делении»
  • «Явления»
  • «Оптика»
  • «Поризмы»
  • «Конические сечения»
  • «Поверхностные места»
  • «Псевдария»
  • «Катоптрика»
  • «Деление канона»

В III веке до н.э. сочинение, содержащее основы античной математики.

В «Началах» Евклида рас-смат-ри-ва-лись во-про-сы эле-мен-тар-ной гео-мет-рии, тео-рии чи-сел, ал-геб-ры, об-щей тео-рии от-но-ше-ний и ме-тод оп-ре-де-ле-ния пло-ща-дей и объ-ё-мов, вклю-чаю-щий эле-мен-ты тео-рии пре-де-лов. Евк-лид под-вёл ито-ги 300-лет-не-го раз-ви-тия греческой ма-те-ма-ти-ки и за-ло-жил фун-да-мент для даль-ней-ших ма-те-ма-тических ис-сле-до-ва-ний. «Началах» Евклида не яв-ля-ют-ся, од-на-ко, эн-цик-ло-пе-ди-ей ма-те-ма-тических зна-ний сво-ей эпо-хи. Так, в «Началах» Евклида не из-ла-га-лась тео-рия ко-нических се-че-ний, ко-то-рая бы-ла то-гда уже дос-та-точ-но раз-ви-та, от-сут-ст-во-ва-ли вы-чис-лительный ме-то-ды.

«Началах» Евклида по-строе-ны по де-дук-тив-ной сис-те-ме: сна-ча-ла при-во-дят-ся оп-ре-де-ле-ния, по-сту-ла-ты и ак-сио-мы, за-тем фор-му-ли-ров-ки тео-рем и их до-ка-за-тель-ст-ва (смотрите Де-дук-ция). Вслед за оп-ре-де-ле-ни-ем ос-нов-ных гео-мет-рических по-ня-тий и объ-ек-тов (например, точ-ки, пря-мой) Евк-лид до-ка-зы-ва-ет су-ще-ст-во-ва-ние ос-таль-ных объ-ек-тов гео-мет-рии (например, рав-но-сто-рон-не-го тре-уголь-ни-ка) пу-тём их по-строе-ния, ко-то-рое вы-пол-ня-ет-ся на ос-но-ва-нии пя-ти по-сту-ла-тов. В по-сту-ла-тах ут-вер-жда-ет-ся воз-мож-ность вы-пол-не-ния не-ко-то-рых эле-мен-тар-ных по-строе-ний, например что «от вся-кой точ-ки до вся-кой точ-ки (мож-но) про-вес-ти пря-мую ли-нию» (I по-сту-лат) и что «от вся-ко-го цен-тра и вся-ким рас-тво-ром (мо-жет быть) опи-сан круг» (III по-сту-лат). Осо-бое ме-сто за-ни-ма-ет V по-сту-лат, ина-че - ак-сио-ма о па-рал-лель-ных (смотрите Гео-мет-рия, Пя-тый по-сту-лат). По-сле по-сту-ла-тов в ««Началах» Евклида при-во-дят-ся ак-сио-мы - пред-ло-же-ния о свой-ст-вах от-но-ше-ний ра-вен-ст-ва и не-ра-вен-ст-ва ме-ж-ду ве-ли-чи-на-ми.

На про-тя-же-нии бо-лее 2 тыс. лет «Начала» Евклида яв-ля-лись об-раз-цом на-учной стро-го-сти. С современной точ-ки зре-ния сис-те-ма ак-си-ом и по-сту-ла-тов «Начала» Евклида не-дос-та-точ-на для де-дук-тив-но-го по-строе-ния гео-мет-рии. Ло-гические не-дос-тат-ки по-строе-ния «Начала» Евклида пол-но-стью вы-яс-ни-лись в конце XIX века по-сле ра-бот Д. Гиль-бер-та.

«Начала» Евклида со-сто-ят из 13 книг. В книге I рас-смат-ри-ва-ют-ся основные свой-ст-ва тре-уголь-ни-ков, пря-мо-уголь-ни-ков, па-рал-ле-ло-грам-мов и про-из-во-дит-ся срав-не-ние их пло-ща-дей. Кни-га за-кан-чи-ва-ет-ся Пи-фа-го-ра тео-ре-мой. В книге II из-ла-га-ет-ся т. н. гео-мет-рическая ал-геб-ра, т. е. стро-ит-ся гео-мет-рический ап-па-рат для ре-ше-ния за-дач, сво-дя-щих-ся к квад-рат-ным урав-не-ни-ям. В книге III рас-смат-ри-ва-ют-ся свой-ст-ва кру-га, его ка-са-тель-ных и хорд, в книге IV - пра-виль-ные мно-го-уголь-ни-ки. В книге V да-ёт-ся об-щая тео-рия про-пор-ций, соз-дан-ная Ев-док-сом Книд-ским; её мож-но рас-смат-ри-вать как про-об-раз тео-рии дей-ст-ви-тель-ных чи-сел, раз-ра-бо-тан-ной во второй половине XIX века. Об-щая тео-рия про-пор-ций яв-ля-ет-ся ос-но-вой уче-ния о по-до-бии (книга VI) и ме-то-да ис-чер-пы-ва-ния (книга VII). В кни-гах VII-IX из-ло-же-ны на-ча-ла тео-рии чи-сел, ос-но-ван-ные на ал-го-рит-ме на-хо-ж-де-ния наи-боль-ше-го об-ще-го де-ли-те-ля (Евк-ли-да ал-го-ритм). В эти кни-ги вхо-дит тео-рия де-ли-мо-сти, вклю-чая тео-ре-мы об од-но-знач-но-сти раз-ло-же-ния це-ло-го чис-ла на про-стые мно-жи-те-ли и о бес-ко-неч-но-сти чис-ла про-стых чи-сел; здесь так-же из-ла-га-ет-ся уче-ние об от-но-ше-ни-ях це-лых чи-сел, эк-ви-ва-лент-ное, по су-ще-ст-ву, тео-рии по-ло-жи-тель-ных ра-цио-наль-ных чи-сел. В книге Х да-ёт-ся клас-си-фи-ка-ция квад-ра-тич-ных и би-квад-ра-тич-ных ир-ра-цио-наль-но-стей и обос-но-вы-ва-ют-ся не-ко-то-рые пра-ви-ла их пре-об-ра-зо-ва-ния. Ре-зуль-та-ты книги Х при-ме-ня-ют-ся в книге XIII для на-хо-ж-де-ния длин рё-бер пра-виль-ных мно-го-гран-ни-ков. В книге XI из-ла-га-ют-ся ос-но-вы сте-рео-мет-рии. В книге XII с по-мо-щью ис-чер-пы-ва-ния ме-то-да оп-ре-де-ля-ют-ся от-но-ше-ния пло-ща-дей двух кру-гов и от-но-ше-ния объ-ё-мов пи-ра-ми-ды и приз-мы, ко-ну-са и ци-лин-д-ра. В книге XIII оп-ре-де-ля-ет-ся от-но-ше-ние объ-ё-мов двух ша-ров, стро-ят-ся 5 пра-виль-ных мно-го-гран-ни-ков и до-ка-зы-ва-ет-ся, что др. пра-виль-ных мно-го-гран-ни-ков не су-ще-ству-ет. Позд-нее греческими ма-те-ма-ти-ка-ми к ««Началам» Евклида бы-ли при-сое-ди-не-ны кни-ги XIV и XV, не при-над-ле-жав-шие Евк-ли-ду.

«Начала» Евклида по-лу-чи-ли ши-ро-кую из-вест-ность уже в древ-но-сти. Ар-хи-мед , Апол-ло-ний Перг-ский и др. учё-ные опи-ра-лись на них в сво-их ис-сле-до-ва-ни-ях по ма-те-ма-ти-ке и ме-ха-ни-ке. До на-ше-го вре-ме-ни ан-тич-ный текст «Начал» Евклида не до-шёл (древ-ней-шая из со-хра-нив-ших-ся ко-пий от-но-сит-ся ко второй половине IX века). В конце VIII - начале IX веков поя-ви-лись пе-ре-во-ды «Начал» Евклида на арабский язык. Пер-вый пе-ре-вод с араб-ско-го на латинский язык был сде-лан в первой четверти XII века. Пер-вое пе-чат-ное из-да-ние «Начал» Евклида поя-ви-лось в Ве-не-ции в 1482 году. Од-ним из луч-ших счи-та-ет-ся из-да-ние И. Гей-бер-га («Euclidis Elementa», vol. 1-5, 1883-1888), в ко-то-ром при-во-дит-ся как греческий текст, так и его латинский пе-ре-вод. На русском язы-ке ««Начала» Евклида из-да-ва-лись мно-го-крат-но на-чи-ная с XVIII века.

По ма-те-риа-лам ста-тьи из БСЭ-3.

Поделиться: