Темы кодификатора ЕГЭ : свободные электромагнитные колебания, колебательный контур, вынужденные электромагнитные колебания, резонанс, гармонические электромагнитные колебания.

Электромагнитные колебания - это периодические изменения заряда, силы тока и напряжения, происходящие в электрической цепи. Простейшей системой для наблюдения электромагнитных колебаний служит колебательный контур.

Колебательный контур

Колебательный контур - это замкнутый контур, образованный последовательно соединёнными конденсатором и катушкой.

Зарядим конденсатор, подключим к нему катушку и замкнём цепь. Начнут происходить свободные электромагнитные колебания - периодические изменения заряда на конденсаторе и тока в катушке. Свободными, напомним, эти колебания называются потому, что они совершаются без какого-либо внешнего воздействия - только за счёт энергии, запасённой в контуре.

Период колебаний в контуре обозначим, как всегда, через . Сопротивление катушки будем считать равным нулю.

Рассмотрим подробно все важные стадии процесса колебаний. Для большей наглядности будем проводить аналогию с колебаниями горизонтального пружинного маятника.

Начальный момент : . Заряд конденсатора равен , ток через катушку отсутствует (рис. 1 ). Конденсатор сейчас начнёт разряжаться.

Рис. 1.

Несмотря на то, что сопротивление катушки равно нулю, ток не возрастёт мгновенно. Как только ток начнёт увеличиваться, в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая возрастанию тока.

Аналогия . Маятник оттянут вправо на величину и в начальный момент отпущен. Начальная скорость маятника равна нулю.

Первая четверть периода : . Конденсатор разряжается, его заряд в данный момент равен . Ток через катушку нарастает (рис. 2 ).

Рис. 2.

Увеличение тока происходит постепенно: вихревое электрическое поле катушки препятствует нарастанию тока и направлено против тока.

Аналогия . Маятник движется влево к положению равновесия; скорость маятника постепенно увеличивается. Деформация пружины (она же - координата маятника) уменьшается.

Конец первой четверти : . Конденсатор полностью разрядился. Сила тока достигла максимального значения (рис. 3 ). Сейчас начнётся перезарядка конденсатора.

Рис. 3.

Напряжение на катушке равно нулю, но ток не исчезнет мгновенно. Как только ток начнёт уменьшаться, в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая убыванию тока.

Аналогия . Маятник проходит положение равновесия. Его скорость достигает максимального значения . Деформация пружины равна нулю.

Вторая четверть : . Конденсатор перезаряжается - на его обкладках появляется заряд противоположного знака по сравнению с тем, что был вначале (рис. 4 ).

Рис. 4.

Сила тока убывает постепенно: вихревое электрическое поле катушки, поддерживая убывающий ток, сонаправлено с током.

Аналогия . Маятник продолжает двигаться влево - от положения равновесия к правой крайней точке. Скорость его постепенно убывает, деформация пружины увеличивается.

Конец второй четверти . Конденсатор полностью перезарядился, его заряд опять равен (но полярность другая). Сила тока равна нулю (рис. 5 ). Сейчас начнётся обратная перезарядка конденсатора.

Рис. 5.

Аналогия . Маятник достиг крайней правой точки. Скорость маятника равна нулю. Деформация пружины максимальна и равна .

Третья четверть : . Началась вторая половина периода колебаний; процессы пошли в обратном направлении. Конденсатор разряжается (рис. 6 ).

Рис. 6.

Аналогия . Маятник двигается обратно: от правой крайней точки к положению равновесия.

Конец третьей четверти : . Конденсатор полностью разрядился. Ток максимален и снова равен , но на сей раз имеет другое направление (рис. 7 ).

Рис. 7.

Аналогия . Маятник снова проходит положение равновесия с максимальной скоростью , но на сей раз в обратном направлении.

Четвёртая четверть : . Ток убывает, конденсатор заряжается (рис. 8 ).

Рис. 8.

Аналогия . Маятник продолжает двигаться вправо - от положения равновесия к крайней левой точке.

Конец четвёртой четверти и всего периода : . Обратная перезарядка конденсатора завершена, ток равен нулю (рис. 9 ).

Рис. 9.

Данный момент идентичен моменту , а данный рисунок - рисунку 1 . Совершилось одно полное колебание. Сейчас начнётся следующее колебание, в течение которого процессы будут происходить точно так же, как описано выше.

Аналогия . Маятник вернулся в исходное положение.

Рассмотренные электромагнитные колебания являются незатухающими - они будут продолжаться бесконечно долго. Ведь мы предположили, что сопротивление катушки равно нулю!

Точно так же будут незатухающими колебания пружинного маятника при отсутствии трения.

В реальности катушка обладает некоторым сопротивлением. Поэтому колебания в реальном колебательном контуре будут затухающими. Так, спустя одно полное колебание заряд на конденсаторе окажется меньше исходного значения. Со временем колебания и вовсе исчезнут: вся энергия, запасённая изначально в контуре, выделится в виде тепла на сопротивлении катушки и соединительных проводов.

Точно так же будут затухающими колебания реального пружинного маятника: вся энергия маятника постепенно превратится в тепло из-за неизбежного наличия трения.

Энергетические превращения в колебательном контуре

Продолжаем рассматривать незатухающие колебания в контуре, считая сопротивление катушки нулевым. Конденсатор имеет ёмкость , индуктивность катушки равна .

Поскольку тепловых потерь нет, энергия из контура не уходит: она постоянно перераспределяется между конденсатором и катушкой.

Возьмём момент времени, когда заряд конденсатора максимален и равен , а ток отсутствует. Энергия магнитного поля катушки в этот момент равна нулю. Вся энергия контура сосредоточена в конденсаторе:

Теперь, наоборот, рассмотрим момент, когда ток максимален и равен , а конденсатор разряжен. Энергия конденсатора равна нулю. Вся энергия контура запасена в катушке:

В произвольный момент времени, когда заряд конденсатора равен и через катушку течёт ток , энергия контура равна:

Таким образом,

(1)

Соотношение (1) применяется при решении многих задач.

Электромеханические аналогии

В предыдущем листке про самоиндукцию мы отметили аналогию между индуктивностью и массой. Теперь мы можем установить ещё несколько соответствий между электродинамическими и механическими величинами.

Для пружинного маятника мы имеем соотношение, аналогичное (1) :

(2)

Здесь, как вы уже поняли, - жёсткость пружины, - масса маятника, и - текущие значения координаты и скорости маятника, и - их наибольшие значения.

Сопоставляя друг с другом равенства (1) и (2) , мы видим следующие соответствия:

(3)

(4)

(5)

(6)

Опираясь на эти электромеханические аналогии, мы можем предвидеть формулу для периода электромагнитных колебаний в колебательном контуре.

В самом деле, период колебаний пружинного маятника, как мы знаем, равен:

B соответствии с аналогиями (5) и (6) заменяем здесь массу на индуктивность , а жёсткость на обратную ёмкость . Получим:

(7)

Электромеханические аналогии не подводят: формула (7) даёт верное выражение для периода колебаний в колебательном контуре. Она называется формулой Томсона . Мы вскоре приведём её более строгий вывод.

Гармонический закон колебаний в контуре

Напомним, что колебания называются гармоническими , если колеблющаяся величина меняется со временем по закону синуса или косинуса. Если вы успели забыть эти вещи, обязательно повторите листок «Механические колебания».

Колебания заряда на конденсаторе и силы тока в контуре оказываются гармоническими. Мы сейчас это докажем. Но прежде нам надо установить правила выбора знака для заряда конденсатора и для силы тока - ведь при колебаниях эти величины будут принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Сначала мы выбираем положительное направление обхода контура. Выбор роли не играет; пусть это будет направление против часовой стрелки (рис. 10 ).

Рис. 10. Положительное направление обхода

Сила тока считается положительной class="tex" alt="(I > 0)"> , если ток течёт в положительном направлении. В противном случае сила тока будет отрицательной .

Заряд конденсатора - это заряд той его пластины, на которую течёт положительный ток (т. е. той пластины, на которую указывает стрелка направления обхода). В данном случае - заряд левой пластины конденсатора.

При таком выборе знаков тока и заряда справедливо соотношение: (при ином выборе знаков могло случиться ). Действительно, знаки обеих частей совпадают: если class="tex" alt="I > 0"> , то заряд левой пластины возрастает, и потому class="tex" alt="\dot{q} > 0"> .

Величины и меняются со временем, но энергия контура остаётся неизменной:

(8)

Стало быть, производная энергии по времени обращается в нуль: . Берём производную по времени от обеих частей соотношения (8) ; не забываем, что слева дифференцируются сложные функции (Если - функция от , то по правилу дифференцирования сложной функции производная от квадрата нашей функции будет равна: ):

Подставляя сюда и , получим:

Но сила тока не является функцией, тождественно равной нулю; поэтому

Перепишем это в виде:

(9)

Мы получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний вида , где . Это доказывает, что заряд конденсатора колеблется по гармоническому закону (т.е. по закону синуса или косинуса). Циклическая частота этих колебаний равна:

(10)

Эта величина называется ещё собственной частотой контура; именно с этой частотой в контуре совершаются свободные (или, как ещё говорят, собственные колебания). Период колебаний равен:

Мы снова пришли к формуле Томсона.

Гармоническая зависимость заряда от времени в общем случае имеет вид:

(11)

Циклическая частота находится по формуле (10) ; амплитуда и начальная фаза определяются из начальных условий.

Мы рассмотрим ситуацию, подробно изученную в начале этого листка. Пусть при заряд конденсатора максимален и равен (как на рис. 1 ); ток в контуре отсутствует. Тогда начальная фаза , так что заряд меняется по закону косинуса с амплитудой :

(12)

Найдём закон изменения силы тока. Для этого дифференцируем по времени соотношение (12) , опять-таки не забывая о правиле нахождения производной сложной функции:

Мы видим, что и сила тока меняется по гармоническому закону, на сей раз - по закону синуса:

(13)

Амплитуда силы тока равна:

Наличие «минуса» в законе изменения тока (13) понять не сложно. Возьмём, к примеру, интервал времени (рис. 2 ).

Ток течёт в отрицательном направлении: . Поскольку , фаза колебаний находится в первой четверти: . Синус в первой четверти положителен; стало быть, синус в (13) будет положительным на рассматриваемом интервале времени. Поэтому для обеспечения отрицательности тока действительно необходим знак «минус» в формуле (13) .

А теперь посмотрите на рис. 8 . Ток течёт в положительном направлении. Как же работает наш «минус» в этом случае? Разберитесь-ка, в чём тут дело!

Изобразим графики колебаний заряда и тока, т.е. графики функций (12) и (13) . Для наглядности представим эти графики в одних координатных осях (рис. 11 ).

Рис. 11. Графики колебаний заряда и тока

Обратите внимание: нули заряда приходятся на максимумы или минимумы тока; и наоборот, нули тока соответствуют максимумам или минимумам заряда.

Используя формулу приведения

запишем закон изменения тока (13) в виде:

Сопоставляя это выражение с законом изменения заряда , мы видим, что фаза тока, равная , больше фазы заряда на величину . В таком случае говорят, что ток опережает по фазе заряд на ; или сдвиг фаз между током и зарядом равен ; или разность фаз между током и зарядом равна .

Опережение током заряда по фазе на графически проявляется в том, что график тока сдвинут влево на относительно графика заряда. Сила тока достигает, например, своего максимума на четверть периода раньше, чем достигает максимума заряд (а четверть периода как раз и соответствует разности фаз ).

Вынужденные электромагнитные колебания

Как вы помните, вынужденные колебания возникают в системе под действием периодической вынуждающей силы. Частота вынужденных колебаний совпадает с частотой вынуждающей силы.

Вынужденные электромагнитные колебания будут совершаться в контуре, поключённом к источнику синусоидального напряжения (рис. 12 ).

Рис. 12. Вынужденные колебания

Если напряжение источника меняется по закону:

то в контуре происходят колебания заряда и тока с циклической частотой (и с периодом, соответственно, ). Источник переменного напряжения как бы «навязывает» контуру свою частоту колебаний, заставляя забыть о собственной частоте .

Амплитуда вынужденных колебаний заряда и тока зависит от частоты : амплитуда тем больше,чем ближе к собственной частоте контура .При наступает резонанс - резкое возрастание амплитуды колебаний. Мы поговорим о резонансе более подробно в следующем листке, посвящённом переменному току.

Существуют разные виды колебаний в физике, характеризующиеся определенными параметрами. Рассмотрим их основные отличия, классификацию по разным факторам.

Основные определения

Под колебанием подразумевают процесс, в котором через равные промежутки времени основные характеристики движения имеют одинаковые значения.

Периодическими называют такие колебания, при которых значения основных величин повторяются через одинаковые промежутки времени (период колебаний).

Разновидности колебательных процессов

Рассмотрим основные виды колебаний, существующие в фундаментальной физике.

Свободными называют колебания, которые возникают в системе, не подвергающейся внешним переменным воздействиям после начального толчка.

В качестве примера свободных колебаний является математический маятник.

Те виды механических колебаний, которые возникают в системе под действием внешней переменной силы.

Особенности классификации

По физической природе выделяют следующие виды колебательных движений:

• механические;
• тепловые;
• электромагнитные;
• смешанные.

По варианту взаимодействия с окружающей средой

Виды колебаний по взаимодействию с окружающей средой выделяют несколько групп.

Вынужденные колебания появляются в системе при действии внешнего периодического действия. В качестве примеров такого вида колебаний можно рассмотреть движение рук, листья на деревьях.

Для вынужденных гармонических колебаний возможно появление резонанса, при котором при равных значениях частоты внешнего воздействия и осциллятора при резком возрастании амплитуды.

Собственные это колебания в системе под воздействием внутренних сил после того, когда она будет выведена из равновесного состояния. Простейшим вариантом свободных колебаний является движение груза, который подвешен на нити, либо прикреплен к пружине.

Автоколебаниями называют виды, при которых у системы есть определенный запас потенциальной энергии, идущей на совершение колебаний. Отличительной чертой их является тот факт, что амплитуда характеризуется свойствами самой системы, а не первоначальными условиями.

Для случайных колебаний внешняя нагрузка имеет случайное значение.

Основные параметры колебательных движений

Все виды колебаний имеют определенные характеристики, о которых следует упомянуть отдельно.

Амплитудой называют максимальное отклонение от положения равновесия отклонение колеблющейся величины, измеряется она в метрах.

Период является время одного полного колебания, через который повторяются характеристики системы, вычисляется в секундах.

Частота определяется количеством колебаний за единицу времени, она обратно пропорциональна периоду колебаний.

Фаза колебаний характеризует состояние системы.

Характеристика гармонических колебаний

Такие виды колебаний происходят по закону косинуса или синуса. Фурье удалось установить, что всякое периодическое колебание можно представить в виде суммы гармонических изменений путем разложения определенной функции в

В качестве примера можно рассмотреть маятник, имеющий определенный период и циклическую частоту.

Чем характеризуются такие виды колебаний? Физика считает идеализированной системой, которая состоит из материальной точки, которая подвешена на невесомой нерастяжимой нити, колеблется под воздействием силы тяжести.

Такие виды колебаний обладают определенной величиной энергии, они распространены в природе и технике.

При продолжительном колебательном движении происходит изменение координаты его центра масс, а при переменном токе меняется значение тока и напряжения в цепи.

Выделяют разные виды гармонических колебаний по физической природе: электромагнитные, механические и др.

В качестве вынужденных колебаний выступает тряска транспортного средства, которое передвигается по неровной дороге.

Основные отличия между вынужденными и свободными колебаниями

Эти виды электромагнитных колебаний отличаются по физическим характеристикам. Наличие сопротивления среды и силы трения приводят к затуханию свободных колебаний. В случае вынужденных колебаний потери энергии компенсируются ее дополнительным поступлением от внешнего источника.

Период пружинного маятника связывает массу тела и жесткость пружины. В случае математического маятника он зависит от длины нити.

При известном периоде можно вычислить собственную частоту колебательной системы.

В технике и природе существуют колебания с разными значениями частот. К примеру, маятник, который колеблется в Исаакиевском соборе в Петербурге, имеет частоту 0,05 Гц, а у атомов она составляет несколько миллионов мегагерц.

Через некоторый промежуток времени наблюдается затухание свободных колебаний. Именно поэтому в реальной практике применяют вынужденные колебания. Они востребованы в разнообразных вибрационных машинах. Вибромолот является ударно-вибрационной машиной, которая предназначается для забивки в грунт труб, свай, иных металлических конструкций.

Электромагнитные колебания

Характеристика видов колебаний предполагает анализ основных физических параметров: заряда, напряжения, силы тока. В качестве элементарной системы, которая используется для наблюдения электромагнитных колебаний, является колебательный контур. Он образуется при последовательном соединении катушки и конденсатора.

При замыкании цепи, в ней возникают свободные электромагнитные колебания, связанные с периодическими изменениями электрического заряда на конденсаторе и тока в катушке.

Свободными они являются благодаря тому, что при их совершении нет внешнего воздействия, а используется только энергия, которая запасена в самом контуре.

При отсутствии внешнего воздействия, через определенный промежуток времени, наблюдается затухание электромагнитного колебания. Причиной подобного явления будет постепенная разрядка конденсатора, а также сопротивление, которым в реальности обладает катушка.

Именно поэтому в реальном контуре происходят затухающие колебания. Уменьшение заряда на конденсаторе приводит к снижению значения энергии в сравнении с ее первоначальным показателем. Постепенно она выделится в виде тепла на соединительных проводах и катушке, конденсатор полностью разрядится, а электромагнитное колебание завершится.

Значение колебаний в науке и технике

Любые движения, которые обладают определенной степенью повторяемости, являются колебаниями. Например, математический маятник характеризуется систематическим отклонением в обе стороны от первоначального вертикального положения.

Для пружинного маятника одно полное колебание соответствует его движению вверх-вниз от начального положения.

В электрическом контуре, который обладает емкостью и индуктивностью, наблюдается повторение заряда на пластинах конденсатора. В чем причина колебательных движений? Маятник функционирует благодаря тому, что сила тяжести заставляет его возвращаться в первоначальное положение. В случае пружиной модели подобную функцию осуществляет сила упругости пружины. Проходя положение равновесия, груз имеет определенную скорость, поэтому по инерции движется мимо среднего состояния.

Электрические колебания можно объяснить разностью потенциалов, существующей между обкладками заряженного конденсатора. Даже при его полной разрядке ток не исчезает, осуществляется перезарядка.

В современной технике применяются колебания, которые существенно различаются по своей природе, степени повторяемости, характеру, а также «механизму» появления.

Механические колебания совершают струны музыкальных инструментов, морские волны, маятник. Химические колебания, связанные с изменением концентрации реагирующих веществ, учитывают при проведении различных взаимодействий.

Электромагнитные колебания позволяют создавать различные технические приспособления, например, телефон, ультразвуковые медицинские приборы.

Колебания яркости цефеид представляют особый интерес в астрофизике, их изучением занимаются ученые из разных стран.

Заключение

Все виды колебаний тесно связаны с огромным количеством технических процессов и физических явлений. Велико их практическое значение в самолетостроении, строительстве судов, возведении жилых комплексов, электротехнике, радиоэлектронике, медицине, фундаментальной науке. Примером типичного колебательного процесса в физиологии выступает движение сердечной мышцы. Механические колебания встречаются в органической и неорганической химии, метеорологии, а также во многих иных естественнонаучных областях.

Первые исследования математического маятника были проведены в семнадцатом веке, а к концу девятнадцатого столетия ученым удалось установить природу электромагнитных колебаний. Русский ученый Александр Попов, которого считают «отцом» радиосвязи, проводил свои эксперименты именно на основе теории электромагнитных колебаний, результатах исследований Томсона, Гюйгенса, Рэлея. Ему удалось найти практическое применение электромагнитным колебаниям, использовать их для передачи радиосигнала на большое расстояние.

Академик П. Н. Лебедев на протяжении многих лет проводил эксперименты, связанные с получение электромагнитных колебаний высокой частоты с помощью переменны электрических полей. Благодаря многочисленным экспериментам, связанные с различными видами колебаний, ученым удалось найти области их оптимального использования в современной науке и технике.

Свободные электромагнитные колебания это происходящие под действием внутренних сил периодическое изменение заряда на конденсаторе, силы тока в катушке, а также электрических и магнитных полей в колебательном контуре.

Незатухающие электромагнитные колебания

Для возбуждения электромагнитных колебаний служит колебательный контур , состоящий из соединённых последовательно катушки индуктивности L и конденсатора ёмкостью С (рис.17.1).

Рассмотрим идеальный контур, т. е. контур, омическое сопротивление которого равно нулю (R=0). Чтобы возбудить колебания в этом контуре, необходимо либо сообщить обкладкам конденсатора некоторый заряд, либо возбудить в катушке индуктивности ток. Пусть в начальный момент времени кон­денсатор заряжен до разности потенциалов U (рис. (рис.17.2, а); следователь­но, он обладает потенциальной энергией
.В этот момент времени ток в катушке I = 0. Такое состояние колеба­тельного контура аналогично состоянию математического маятника, отклоненного на угол α (рис. 17.3, а). В это время ток в катушке I=0. После соединения заряженного конденсатора с катушкой, под действием электрического поля, создаваемого зарядами на конденсаторе, свободные электроны в контуре начнут перемещаться от отрицательно заряженной обкладки конденсатора к положительно заряженной. Конденсатор начнёт разряжаться, и в контуре появится нарастающий ток. Переменное магнитное поле этого тока породит вихревое электрическое. Это электрическое поле будет направлено противоположно току и потому не даст ему сразу достигнуть максимального значения. Сила тока будет увеличиваться постепенно. Когда сила в контуре достигнет максимума, заряд на конденсаторе и напряжение между обкладками равно нулю. Это произойдёт через четверть периода t = π/4. При этом энергия электрического поля переходит в энергию магнитного поляW э =1/2C U 2 0 . В этот момент на положительно заряженной обкладке конденсатора окажется столько перешедших на неё электронов, что их отрицательный заряд полностью нейтрализует имевшийся там положительный заряд ионов. Ток в контуре начнёт уменьшаться и станет уменьшаться индукция создаваемого им магнитного поля. Изменяющееся магнитное поле снова породит вихревое электрическое, которое на этот раз будет направлено в ту же сторону, что и ток. Поддерживаемый этим полем ток будет идти в прежнем направлении и постепенно перезаряжать конденсатор. Однако по мере накопления заряда на конденсаторе его собственное электрическое поле будет всё сильнее тормозить движение электронов, и сила тока в контуре будет становиться всё меньше и меньше. Когда сила тока уменьшится до нуля, конденсатор окажется полностью перезаряженным.

Состояния системы, изображенные на рис. 17.2 и 17.3, соответствуют последовательным моментам времени Т = 0; ;;иТ.

ЭДС само­индукции, возникающая в контуре, равна напряжению на обкладках кон­денсатора: ε = U

и

Полагая
, получаем

(17.1)

Формула (17.1) аналогична дифференциальному уравнению гармонического колебания, рассмотренных в механике; его решением будет

q = q max sin(ω 0 t+φ 0) (17.2)

где q max - наибольший (начальный) заряд на обкладках конденсатора, ω 0 -круговая частота собственных колебаний контура, φ 0 -начальная фаза.

Согласно принятым обозначениям,
откуда

(17.3)

Выражение (17.3) называется формулой Томсона и показывает, что при R=0 период электромагнитных колебаний, возникающих в контуре, определяется только значениями индуктивности L и ёмкости С.

По гармоническому закону изменяется не только заряд на обкладках конденсатора, но и напряжение и сила тока в контуре:

где U m и I m – амплитуды напряжения и силы тока.

Из выражений (17.2), (17.4), (17.5) вытекает, что колебания заряда (напряжения) и тока в контуре сдвинуты по фазе на π/2. Следователь­но, ток достигает максимального значения в те моменты времени, ко­гда заряд (напряжение) на обкладках конденсатора равен нулю, и наоборот.

При зарядке конденсатора между его обкладками появляется электрическое поле, энергия которого

или

При разрядке конденсатора на катушку индуктивности в ней возникает магнитное поле, энергия которого

В идеальном контуре максимальная энергия электрического поля равна максимальной энергии магнитного поля:

Энергия заряженного конденсатора периодически изменяется со временем по закону

или

Учитывая, что
, получаем

Энергия магнитного поля соленоида изменяется со временем по закону

(17.6)

Учитывая, что I m =q m ω 0 , получаем

(17.7)

Полная энергия электромагнитного поля колебательного контура равна

W =W э +W м = (17.8)

В идеальном контуре суммарная энергия сохраняется, электромагнитные колебания незатухающие.

Затухающие электромагнитные колебания

Реальный колебательный контур обладает омическим сопротивлением, поэтому колебания в нём затухают. Применительно к этому контуру закон Ома для полной цепи запишем в виде

(17.9)

Преобразовав это равенство:

и сделав замену:

и
,где β- коэффициент затухания получим

(17.10) - это дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных колебаний .

Процесс свободных колебаний в таком контуре уже не подчиняется гармоническому закону. За каждый период колебаний часть электромагнитной энергии, запасенной в контуре, превращается в джоулево тепло, и колебания становятся затухающими (рис. 17.5). При малых затуханиях ω ≈ ω 0 , решением дифференциального уравнения будет уравнение вида

(17.11)

Затухающие колебания в электрическом контуре аналогичны затухающим механическим колебаниям груза на пружине при наличии вязкого трения.

Логарифмический декремент затухания равен

(17.12)

Интервал времени
в течение, которого амплитуда колебаний уменьшается в e ≈ 2,7 раза, называетсявременем затухания .

Добротность Q колебательной системы определяется по формуле:

(17.13)

Для RLC-контура добротность Q выражается формулой

(17.14)

Добротность электрических контуров, применяемых в радиотехнике, обычно порядка нескольких десятков и даже сотен.

Электромагнитными колебаниями называют периодические (или почти периодические) взаимосвязанные изменения зарядов, токов, напряженностей электрического и магнитного полей. Распространение электромагнитных колебаний в пространстве происходит в виде электромагнитных волн. Среди различных физических явлений электромагнитные колебания и волны занимают особое место. Почти вся электротехника, радиотехника и оптика базируется на этих понятиях.

18.1. СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Свободными (собственными) электромагнитными колебаниями называют такие, которые совершаются без внешнего воздействия за счет первоначально накопленной энергии.

Рассмотрим закрытый колебательный контур, состоящий из катушки индуктивности L и конденсатора С (рис. 18.1), который ключом К заряжается от источника ε , а затем разряжается на катушку индуктивности. При этом в контуре возникает э.д.с. самоиндукции, которая будет равна напряжению на обкладках конденсатора. Используя формулу (17.14), запишем:

Известно, что (18.2) является дифференциальным уравнением гармонического колебания, его решение [см. (7.6)] имеет вид:

18.2. ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК

В широком смысле слова переменный ток - любой ток, изменяющийся со временем. Однако чаще термин «переменный ток» применяют к токам, изменяющимся со временем по гармоническому закону. Переменный ток можно рассматривать как вынужденные электромагнитные колебания.

Представим три разных цепи (рис. 18.4, а-18.6, а), к каждой из которых приложено переменное напряжение:

18.3. ПОЛНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ В ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА. РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ

Представим цепь, в которой последовательно соединены резистор, катушка индуктивности и конденсатор (рис. 18.7). Напряжение на зажимах a, b цепи, создаваемое внешним источником, выражается по-прежнему зависимостью (18.22) с амплитудой U max .

В последовательной цепи сила тока на всех участках одинакова, а напряжения различны. Как видно из 14.2, в общем случае сила тока в цепи и напряжение изменяются не в одной фазе, поэтому

При этом условии полное сопротивление Z цепи имеет наименьшее значение, равное R (при данных R, L и С), а сила тока достигает наибольшего значения. Векторная диаграмма для резонанса напряжений в цепи показана на рис. 18.9. Если Lω >1/(Ссо), то tgcp >0 и φ >0, сила тока отстает по фазе от приложенного напряжения (см. рис. 18.8). При Leo <1/(Ссо) имеем tgcp <0 и φ <0. Сила тока опережает по фазе напряжение.

Векторная диаграмма для этого случая дана на рис. 18.10.

18.4. ПОЛНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ (ИМПЕДАНС) ТКАНЕЙ ОРГАНИЗМА. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РЕОГРАФИИ

Ткани организма проводят не только постоянный, но и переменный ток. В организме нет таких систем, которые были бы подобны катушкам индуктивности, поэтому индуктивность его близка к нулю. Биологические мембраны и, следовательно, весь организм обладают емкостными свойствами, в связи с этим импеданс тканей организма определяется только омическим и емкостным сопротивлениями. Наличие в биологических системах емкостных элементов подтверждается тем, что сила тока опережает по фазе приложенное напряжение. Приведем некоторые значения угла сдвига фаз, полученные при частоте 1 кГц для разных биологических объектов (табл. 18.1).

Таблица 18.1

Омические и емкостные свойства биологических тканей можно моделировать, используя эквивалентные электрические схемы. Рассмотрим некоторые из них (рис. 18.11).

Для схемы, изображенной на рис. 18.11, а, частотная зависимость импеданса может быть получена из (18.36) при L = 0:

Частотная зависимость импеданса позволяет оценить жизнеспособность тканей организма, что важно знать для пересадки (трансплантации) тканей и органов. Проиллюстрируем это графически (рис. 18.12). Здесь 1 - кривая для здоровой, нормальной, ткани, 2 - для мертвой, убитой кипячением в воде. В мертвой ткани разрушены мембраны - «живые конденсаторы», и ткань обладает лишь омическим сопротивлением.

Различие в частотных зависимостях импенданса получается и в случаях здоровой и больной ткани.

Как видно из (18.38), угол сдвига фаз между током и напряжением также может давать информацию о емкостных свойствах ткани.

Импеданс тканей и органов зависит и от их физиологического состояния. Так, при кровенаполнении сосудов импеданс изменяется в зависимости от состояния сердечно-сосудистой деятельности.

Диагностический метод, основанный на регистрации изменения импеданса тканей в процессе сердечной деятельности, называют реографией (импеданс-плетизмография).

С помощью этого метода получают реограммы головного мозга (рео-энцефалограмма), сердца (реокардиограмма), магистральных сосудов, легких, печени и конечностей. Измерения обычно проводят на частоте 30 кГц.

18.5. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ИМПУЛЬС И ИМПУЛЬСНЫЙ ТОК

Электрическим импульсом назовем кратковременное изменение электрического напряжения или силы тока.

В технике импульсы подразделяются на две большие группы: видео-и радиоимпульсы.

Видеоимпульсы - это такие электрические импульсы тока или напряжения, которые имеют постоянную составляющую, отличную от нуля. Таким образом, видеоимпульс имеет преимущественно одну полярность. По форме видеоимпульсы бывают (рис. 18.13):

а) прямоугольные;

б) пилообразные;

в) трапецеидальные;

18.6. ПРОХОЖДЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНУЮ ЦЕПЬ. ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩИЕ И ИНТЕГРИРУЮЩИЕ ЦЕПИ

При прохождении переменного тока через электрическую цепь, составленную из резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов, сохраняется форма гармонического сигнала: данному внешнему гармоническому сигналу соответствует синусоидальный электрический ток. Таким образом, между силой тока и напряжением существует линейная зависимость и сама цепь называется линейной. Наличие таких элементов в цепи, как электронная лампа, полупроводниковый диод, транзистор, сделало бы цепь нелинейной.

Линейная цепь не искажает форму гармонического напряжения, но изменяет форму импульсного сигнала.

В практической медицине это важно иметь в виду по двум основным причинам.

Во-первых, снимая электрический сигнал для диагностических целей (см. 14.5) с биологического объекта, следует учитывать возможные искажения его формы в измерительной электрической цепи.

18.7. ПОНЯТИЕ О ТЕОРИИ МАКСВЕЛЛА. ТОК СМЕЩЕНИЯ

Обобщая результаты опытов Х.К. Эрстеда по воздействию электрического тока на магнитную стрелку, опытов Фарадея по электромагнитной индукции и других фактов, Максвелл создал в рамках классической физики теорию электромагнитного поля.

В основе теории Максвелла лежат два положения.

1. Всякое переменное электрическое поле порождает вихревое магнитное. Переменное электрическое поле было названо Максвеллом током смещения, так как оно, подобно обычному току, вызывает магнитное поле.

Чтобы найти выражение для силы тока смещения, рассмотрим прохождение переменного тока по цепи, в которую включен конденсатор с диэлектриком (рис. 18.22). Конденсатор не препятствует протеканию тока, что заметно по накалу лампочки. В проводниках это обычный ток проводимости 1 пр, обусловленный изменением заряда на обкладках конденсатора. Можно считать, что ток проводимости продолжается в конденсаторе током смещения 1 см, причем

1 А.А. Эйхенвальд был первым заведующим кафедрой физики Высших женских курсов в Москве, на основе которых был создан ряд московских вузов, в том числе и Российский медицинский университет.

В опыте Эйхенвальда диск из диэлектрика 1 (рис. 18.23) располагается между пластинами двух плоских конденсаторов 2 и 3. Напряженности электрического поля в них направлены противоположно. При вращении диска вокруг оси 4 происходит изменение поляризации диэлектрика в пространстве между конденсаторами. Это порождает магнитное поле, определяемое с помощью специальной индикаторной магнитной стрелки.

Подставляя выражение для силы тока смещения (18.51) в закон полного тока (16.46), получаем первое уравнение Максвелла:

которое связывает скорость изменения магнитного потока сквозь любую поверхность и циркуляцию вектора напряженности электрического поля, возникающего при этом. Циркуляция берется по контуру, на который опирается поверхность.

Из основных приведенных выше положений теории Максвелла следует, что возникновение какого-либо поля, электрического или магнитного, в некоторой точке пространства влечет за собой целую цепь взаимных превращений: переменное электрическое поле порождает магнитное (на рис. 18.24, а показаны Ε и линия напряженности возникшего магнитного поля при условии dE/dt > 0), изменение магнитного поля порождает электрическое (на рис, 18.24, б изображены Η и силовая линия возникшего электрического поля при условии dH/dt > 0) и т.д. Различие в знаке уравнений Максвелла (18.53) и (18.54) обусловливает различное направление стрелок на линиях Η и Ε этих рисунков.

18.8. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

Взаимное образование электрических и магнитных полей приводит к понятию электромагнитной волны - распространение единого электромагнитного поля в пространстве.

Поясним это. Пусть в точке х 1 диэлектрика (рис. 18.25) возрастает напряженность Е 1 электрического поля. При этом возникает вихревое магнитное поле, напряженность которого Н 2 в точке х 2 направлена от читателя (ср. с рис. 18.24, а). Возрастание Н 2 вызывает вихревое электрическое поле, в точке х 2 вектор напряженности этого поля перпендикулярен оси ОХ (ср. с рис. 18.24, б) и т.д. Если изменения Ε или Н будут поддерживаться в заданной точке за счет энергии некоторого источника, то в пространстве будет непрерывно распространяться электромагнитная волна.

Покажем, что волновой характер распространения электромагнитного поля следует из уравнений Максвелла (18.53) и (18.54). Будем считать среду диэлектриком; следовательно, сила тока проводимости равна нулю. Магнитный поток через некоторую площадь S, расположенную перпендикулярно линиям В , равен:

1 Уравнения Максвелла записаны в частных производных, так как в дальнейшем возникнет необходимость дифференцирования по координате.

Аналогичное уравнение можно получить и для напряженности магнитного поля:

18.9. ШКАЛА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН. КЛАССИФИКАЦИЯ ЧАСТОТНЫХ ИНТЕРВАЛОВ, ПРИНЯТАЯ В МЕДИЦИНЕ

Из теории Максвелла вытекает, что различные электромагнитные волны, в том числе и световые, имеют общую природу. В связи с этим целесообразно представить всевозможные электромагнитные волны в виде единой шкалы (рис. 18.27).

Вся шкала условно подразделена на шесть диапазонов: радиоволны (длинные, средние и короткие), инфракрасные, видимые, ультрафиоле-

товые, рентгеновские и гамма-излучение. Эта классификация определяется либо механизмом образования волн, либо возможностью зрительного восприятия их человеком.

Радиоволны обусловлены переменными токами в проводниках и электронными потоками (макроизлучатели). Инфракрасное, видимое и ультрафиолетовое излучения исходят из атомов, молекул и быстрых заряженных частиц (микроизлучатели). Рентгеновское излучение возникает при внутриатомных процессах, γ -излучение имеет ядерное происхождение.

Некоторые диапазоны перекрываются, так как волны одной и той же длины могут образоваться в разных процессах. Так, наиболее коротковолновое ультрафиолетовое излучение перекрывается длинноволновым рентгеновским.

В этом отношении очень характерна пограничная область инфракрасных волн и радиоволн. До 1922 г. между этими диапазонами был пробел. Наиболее коротковолновое излучение этого незаполненного промежутка имело молекулярное атомное происхождение (излучение нагретого тела), а наиболее длинноволновое излучалось макроскопическими вибраторами Герца. Российским физиком А.А. Глаголевой-Аркадьевой 1 было предложено пропускать искру через смесь большого числа мелких металлических опилок в масле. При этом можно было получить различные электромагнитные волны с длиной волны 82 мкм и более. Диапазоны инфракрасных и радиоволн были сомкнуты.

Сейчас никого не удивляет, что даже миллиметровые волны могут генерироваться не только радиотехническими средствами, но и молекулярными переходами. Появился раздел - радиоспектроскопия, который изучает поглощение и излучение радиоволн различными веществами. В медицине принято следующее условное разделение электромагнитных колебаний на частотные диапазоны (табл. 18.2).

Таблица 18.2

1 Александра Андреевна Глаголева-Аркадьева была первым заведующим кафедры физики 2-го Московского медицинского института (ныне Российский медицинский университет).

Окончание табл. 18.2

Часто физиотерапевтическую электронную аппаратуру низкой и звуковой частоты называют низкочастотной. Электронную аппаратуру всех других частот называют обобщающим понятием высокочастотная.

Электромагнитные колебания

При электромагнитных колебаниях в колебательной системе происходят периодические изменения физических величин, связанных с изменениями электрического и магнитного полей. Простейшей колебательной системой такого типа является колебательный контур , то есть цепь, содержащая индуктивность и емкость.

Благодаря явлению самоиндукции в такой цепи возникают колебания заряда на обкладках конденсатора, силы тока, напряженностей электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки, энергии этих полей и т.д. При этом математическое описание колебаний оказывается полностью аналогичным рассмотренному выше описанию механических колебаний. Приведем таблицу физических величин, являющихся взаимными аналогами при сравнении двух типов колебаний.

Механические колебания пружинного маятника	Электромагнитные колебания в колебательном контуре
m – масса маятника	L – индуктивность катушки
k – жесткость пружины	– величина, обратная емкости конденсатора.
r – коэффициент сопротивления среды	R – активное сопротивление контура
x – координата маятника	q – заряд конденсатора
u – скорость маятника	i – cила тока в контуре
Е р – потенциальная энергия маятника	W E – энергия электр. поля контура
Е к – кинетическая энергия маятника	W H – энергия магнит. поля контура
F m – амплитуда внешней силы при вынужденных колебаниях	E m – амплитуда вынуждающей ЭДС при вынужденных колебаниях

Таким образом, все математические соотношения, приведенные выше, можно перенести на электромагнитные колебания в контуре, заменив все величины на их аналоги. Например, сравним формулы для периодов собственных колебаний:

– маятник,

– контур. (28)

Налицо их полная идентичность.

Волна – это процесс распространения колебаний в пространстве. В зависимости от физической природы процесса волны делятся на механические (упругие, звуковые, ударные, волны на поверхности жидкости и т. д.) и электромагнитные.

В зависимости от направления колебаний волны бывают продольные и поперечные. В продольной волне колебания происходят вдоль направления распространения волны, а в поперечной – перпендикулярно этому направлению.

Механические волны распространяются в некоторой среде (твердой, жидкой или газообразной). Электромагнитные волны могут распространяться и в пустоте.

Несмотря на разную природу волн, их математическое описание практически одинаково, подобно тому, как механические и электромагнитные колебания описываются уравнениями одинакового вида.

Механические волны

Приведем основные понятия и характеристики волн.

x – обобщенная координата – любая величина, совершающая колебания при распространении волны (например, смещение точки от положения равновесия).

l – длина волны – наименьшее расстояние между точками, колеблющимися с разностью фаз 2p (расстояние, на которое волна распространяется за один период колебаний):

где u – фазовая скорость волны, T – период колебаний.

Волновая поверхность – геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.

Фронт волны – геометрическое место точек, до которых дошли колебания к данному моменту времени (передняя волновая поверхность).

В зависимости от формы волновых поверхностей волны бывают плоские, сферические и т. п.

Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси x, имеет вид

x (х, t) = x m cos(wt – kx) , (30)

где – волновое число.

Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении:

где – волновой вектор, направленный по нормали к волновой поверхности.

Уравнением сферической волны будет

, (32)

из чего видно, что амплитуда сферической волны убывает по закону 1/r.

Фазовая скорость волны, т.е. скорость, с которой движутся волновые поверхности, зависит от свойств среды, в которой распространяется волна.

фазовая скорость упругой волны в газе, где g – коэффициент Пуассона, m – молярная масса газа, T – температура, R – универсальная газовая постоянная.

фазовая скорость продольной упругой волны в твердом теле, где E – модуль Юнга,

r – плотность вещества.

фазовая скорость поперечной упругой волны в твердом теле, где G – модуль сдвига.

Волна, распространяясь в пространстве, переносит энергию. Количество энергии, переносимой волной через некоторую поверхность в единицу времени, называется потоком энергии Ф. Для характеристики переноса энергии в разных точках пространства вводится векторная величина, называемая плотностью потока энергии . Она равна потоку энергии через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространению волны, а по направлению совпадает с направлением фазовой скорости волны.

, (36)

где w – объемная плотность энергии волны в данной точке.

Вектор иначе называется вектором Умова.

Среднее по времени значение модуля вектора Умова называется интенсивностью волны I.

I = < j > . (37)

Электромагнитные волны

Электромагнитная волна – процесс распространения в пространстве электромагнитного поля. Как говорилось ранее, математическое описание электромагнитных волн аналогично описанию механических волн, таким образом, необходимые уравнения можно получить, заменив в формулах (30) – (33) x на или , где –напряженности электрического и магнитного полей. Например, уравнения плоской электромагнитной волны выглядят следующим образом:

. (38)

Волна, описываемая уравнениями (38), показана на рис. 5.

Как видно, векторы и образуют с вектором правовинтовую систему. Колебания этих векторов происходят в одинаковой фазе. В вакууме электромагнитная волна распространяется со скоростью света С = 3×10 8 м/с. В веществе фазовая скорость

где r – коэффициент отражения.

Волновая оптика

Волновая оптика рассматривает круг явлений, связанных с распространением света, которые можно объяснить, представляя свет как электромагнитную волну.

Основное понятие волновой оптики – световая волна . Под световой волной понимают электрическую составляющую электромагнитной волны, длина волны которой в вакууме l 0 лежит в пределах 400 – 700 нм. Такие волны воспринимает человеческий глаз. Уравнение плоской световой волны можно представить в виде

E = Acos(wt – kx + a 0) , (43)

где А – принятое обозначение амплитуды светового вектора Е, a 0 – начальная фаза (фаза при t = 0, x = 0).

В среде с показателем преломления n фазовая скорость световой волны равна u = c/n, а длина волны l = l 0 /n . (44)

Интенсивность световой волны, как следует из (41), определяется средним значением вектора Пойнтинга I = < S >, и можно показать, что

т.е. пропорциональна квадрату амплитуды световой волны.