Методы комплексных амплитуд и векторных диаграмм. Гармонические колебания методом вращающегося вектора амплитуды, или методом векторных диаграмм
Гармоническое колебание x = a Cos (wt + a) геометрически может быть представлено проекцией на произвольное направление x вектора , вращающегося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью w. Длина этого вектора равна амплитуде колебания, а его первоначальное направление образует с осью x угол, равный начальной фазе колебания - a. Используя это геометрическое толкование, решим задачу о сложении двух гармонических колебаний одинаковой частоты и направления.
x = x 1 + x 2 = a 1 Cos (wt + a 1) + a 2 Cos (wt + a 2).
Построим вектор (под углом a 1 к оси x ), изображающий первое колебание. Прибавим к нему векторно вектор , образующий угол a 2 с осью x (рис. 12.8). Сумма проекций этих векторов на ось x равна проекции на эту ось вектора , равного сумме и .
x = x 1 + x 2 .
Рис. 12.8
Приведем эту векторную диаграмму во вращение с угловой скоростью w вокруг оси, проходящей через начало координат - точку О. При этом равенство x = x 1 + x 2 сохранится неизменным во времени, хотя сами проекции x , x 1 и x 2 будут теперь пульсировать по гармоническому закону с одинаковой частотой w и с начальными фазами a, a 1 и a 2 - соответственно. В результате сложения двух колебаний:
x 1 = a 1 Cos (wt + a 1) и x 2 = a 2 Cos (wt + a 2) возникает новое колебание x = x 1 + x 2 =
= a Cos (wt + a), частота которого - w – совпадает с частотой складываемых колебаний. Его амплитуда равна модулю вектора , а начальная фаза a, как следует из рис. 12.8, равна:
.
Для подсчета амплитуды «а » суммарного колебания, воспользуемся теоремой косинусов:
Величина амплитуды результирующего колебания зависит не только от амплитуд складываемых колебаний а 1 и а 2 , но и от разности их начальных фаз. Колебание с максимальной амплитудой, а = a max = a 1 + a 2 возникает при сложении синфазных колебаний, то есть когда их начальные фазы совпадают: a 1 = a 2 .
Если разность фаз (a 2 – a 1) = p, то амплитуда суммарного колебания будет минимальной a = a min = |a 1 – a 2 |. Если амплитуды таких колебаний, происходящих в противофазе, равны (a 1 = a 2), то амплитуда суммарного колебания окажется равной нулю.
Этим методом векторных диаграмм нам предстоит в будущем часто пользоваться при сложении не только колебаний, но и волн.
Лекция 13 «Механические колебания»
План лекции
1. Энергия гармонического осциллятора.
2. Собственные затухающие колебания.
3. Вынужденные колебания. Резонанс. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний.
Может случиться так, что осциллятор принимает участие в двух одинаково направленных колебаниях с разными амплитудами, частотами и начальными фазами. Рассмотрим сложение таких колебаний.
Сложение колебаний с одинаковыми частотами
Для простоты рассмотрим сначала случай, когда частоты складываемых колебаний одинаковы. Общие решения складываемых гармонических колебаний имеют вид:
где x 1 , x 2 - переменные, описывающие колебания, A 1 , A 2 - их амплитуды, а , - начальные фазы. Результирующее колебание
удобно найти с помощью векторной диаграммы . Этот метод использует аналогию между вращением и колебательным процессом.
Возьмем общее решение (1.23) для гармонического колебания. Выберем ось 0x . Из точки 0 отложим вектор длиной A , образующий с осью 0x угол . Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью , то проекция конца этого вектора будет перемещаться по оси 0x от +A до –A , причем величина проекции будет изменяться по закону
|
|
Таким образом, проекция конца вектора на ось 0x будет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени (рис. 1.12).
Рис. 1.12. Векторная диаграмма для общего решения (1.23)
Применим теперь эту технику к сложению колебаний (1.34). Представим оба колебания с помощью векторов А 1 и А 2 Возьмем их векторную сумму (рис. 1.13)
Рис. 1.13. Векторная диаграмма для сложения одинаково направленных колебаний одинаковой частоты
Проекция вектора А 1 на ось 0x равна сумме проекций соответствующих векторов
Таким образом, вектор А представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью , так что результирующее движение будет гармоническим колебанием с частотой , амплитудой A и начальной фазой a. Согласно теореме косинусов:
|
|
В частности, если фазы складываемых колебаний равны или отличаются на величину, кратную (то есть 
), то амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд
Если же складываемые колебания находятся в противофазе (то есть 
), то
Биения
В этом разделе мы рассмотрим случай сложения одинаково направленных гармонических колебаний с разными частотами. На практике особый интерес представляет случай, когда складываемые колебания мало отличаются по частоте. Как мы увидим, в результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой, называемые биениями .
Для простоты рассмотрим случай, когда амплитуды складываемых колебаний равны A , а начальные фазы обоих колебаний равны нулю. Частоты складываемых колебаний равны, соответственно, и . Итак,
|
|
Складываем эти выражения и учитываем известную формулу тригонометрии:
|
|
Если то в аргументе второго косинуса мы можем пренебречь сдвигом частоты:
|
|
Кроме того, множитель в скобках меняется медленно по сравнению с . Поэтому результирующее колебание x можно рассматривать как модулированное гармоническое колебание с частотой w , эффективная амплитуда которого изменяется со временем по закону (1.40) (рис. 1.14):
|
|
Подчеркнем, что в строгом смысле такое колебание не является гармоническим, и еще раз напомним, что, согласно определению, колебание гармоническое, если оно происходит по закону 
, причем все три его параметра: строго постоянны во времени.
Рис. 1.14. Биения при сложении колебаний с близкими частотами
Частота пульсаций амплитуды (ее называют частотой биений ) равна разности частот складываемых колебаний. Период биений равен
|
Приведем поучительный пример системы, в которой возникают биения. Рассмотрим два груза массой m
, которые могут колебаться под действием двух одинаковых пружин с коэффициентами жесткости k
. Пусть грузы соединены также мягкой пружиной с коэффициентом жесткости K<
Рис. 1.15. Пример связанных осцилляторов. Тогда в положении равновесия координаты грузов равны При колебаниях координаты равны, соответственно, x 1 (t) , x 2 (t) . Удлинения пружин записываются как
Мы имеем дело с системой с двумя степенями свободы. Составим уравнения движения. На первый груз действуют сила со стороны пружины k, равная
и сила со стороны пружины K , равная
На второй груз действуют аналогичные силы
Соответственно, уравнения движения имеют вид
Эти уравнения не слишком похожи на первый взгляд на уравнения гармонических колебаний, потому что на колебания x 1 оказывают влияния колебания x 2 и наоборот. Поэтому преобразуем уравнения к новым переменным, уравнения для которых были бы независимыми (такие переменные называют нормальными координатами, а соответствующие им колебания - нормальными колебаниями (модами)) . Именно, введем новые переменные x 1 иx 2 :
Как легко убедиться, положениям равновесия соответствуют нулевые значения этих координат
В этих переменных уравнения (1.42) принимают вид:
Складывая и вычитая эти уравнения, приходим к паре независимых уравнений для введенных нормальных координат:
Первое уравнение описывает гармонические колебания с частотой совпадающей с частотой колебаний пружинных маятников в отсутствие соединительной пружины К. Второе уравнение описывает колебания со сдвинутой частотой
Так как K<
Соответственно, мы получаем общее решение системы уравнений:
Общее решение для координат х 1 и х 2 колеблющихся точек следуют из (1.47) и (1.43):
Для примера рассмотрим случай, когда первая масса смещается на расстояние от положения равновесия и отпускается с нулевой начальной скоростью, а вторая масса остается в положении равновесия:
Этому соответствуют следующие начальные значения нормальных координат:Графики функций x 1 (t) , x 2 (t) показаны на рис. 1.16. Видна характерная картина биений.
Рис. 1.16. Биения в системе двух связанных осцилляторов В начальный момент времени колеблется лишь первый груз. Затем начинает колебаться второй, а амплитуда колебаний первого уменьшается. Через время первый груз останавливается, а второй колеблется с максимально возможной амплитудой. Произошла «перекачка» энергии от первого маятника ко второму. Затем процесс «перекачки» энергии идет в обратном направлении и к моменту первый маятник колеблется с максимальной амплитудой, а второй покоится. На рис. 1.17 демонстрируются биения в системе двух связанных математических маятников.
Рис. 1.17. Биения в системе связанных маятников Выясним теперь физический смысл нормальных мод, соответствующих чисто гармоническим колебаниям системы. Если возбуждены колебания только первой из них (x 1 ), то A 2 = 0 и, как следует из общего решения (1.48),
Из (1.53) видно, что первая нормальная мода соответствует такому колебанию, когда оба груза смещаются на одинаковые расстояния от их положений равновесия, но в противоположные стороны, другими словами - они колеблются в противофазе. Скорости движения грузов также равны по величине и противоположны по направлению, так что центр масс грузов остается неподвижным. Колебания происходят под действием пружин с жесткостью k, к которым добавляется соединительная пружина с жесткостью К. Как следствие, частота таких колебаний больше частоты колебаний несвязанных осцилляторов Возбуждение только второй (x 2 ) нормальной моды означает, что A 1 = 0 :
В этом случае грузы смещаются из положения равновесия в одну сторону на одинаковые расстояния, другими словами – они колеблются синфазно. Скорости их также одинаковы по величине и направлению. Соединительная пружина колеблется вместе с грузами, но остается не растянутой и потому не оказывает влияния, так что частота колебаний совпадает с частотой колебаний несвязанных маятников. В разобранном случае мы познакомились с нормальными модами и выяснили, что их частоты сдвигаются по сравнению с частотами колебаний несвязанных маятников. Любое другое колебательное движение системы можно представить как суперпозицию нормальных мод. Аналогичным образом можно рассмотреть цепочку из множества связанных друг с другом осцилляторов и изучить их нормальные колебания. Такая система представляет собой модель кристаллической решетки. Дополнительная информация http://allphysics.ru/feynman/bieniya - Фейнмановские лекции по физике. Биения. |
Сложение нескольких колебаний одинакового направления (или, что то же самое, сложение нескольких гармонических функций) значительно облегчается и становится наглядным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости.
Возьмем ось, которую обозначим “x”. Из точки О, взятой на оси, под углом a, равным начальной фазе колебаний, отложим вектор длины A (рис. 8.3). Спроектируем вектор A на ось x, получим x 0 =Acos a – начальное смещение колеблющейся точки от положения равновесия. Приведем этот вектор во вращение против часовой стрелки с угловой скоростью w 0 . Положение этого вектора в любые моменты времени будет характеризоваться углами, равными:
w 0 t 1 +a; w 0 t 2 +a; w 0 t 3 +a; и т.д.
А проекция этого вектора будет перемещаться по оси «x» в пределах от –А до +А. Причем координата этой проекции будет изменяться со временем по закону:
.
Следовательно, проекция конца вектора на некоторую произвольную ось будет совершать гармоническое колебание с амплитудой равной длине вектора, круговой частотой равной угловой скорости вращения вектора и начальной фазой равной углу, образованному вектором с осью в начальный момент времени.
Итак, гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление вектора образует с осью “x” угол равный начальной фазе колебания.
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты. Смещение колеблющегося тела “x” будет суммой смещений x 1 и x 2 , которые запишутся следующим образом:
Представим оба колебания с помощью векторов и (рис. 8.4) По правилам сложения векторов строим результирующий вектор . Проекция этого вектора на ось X будет равна сумме проекций слагаемых векторов: x=x 1 +x 2 . Следовательно, вектор представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той угловой скоростью w 0 , что и векторы и , так что результирующее движение будет гармоническим колебанием с с частотой w 0 , амплитудой «а» и начальной фазой a. Из построения следует, что
Итак, представление гармонических колебаний посредством векторов дает возможность свести сложение нескольких колебаний к операции сложения векторов. Этот способ отличается большей простотой и наглядностью, чем использование тригонометрических преобразований.
Проанализируем выражение для амплитуды. Если разность фаз обоих колебаний a 2 - a 1 = 0, то амплитуда результирующего колебания равна сумме (а 2 + а 1). Если разность фаз a 2 - a 1 = +p или -p, т.е. колебания находятся в противофазе, то амплитуда результирующего колебания равна .
Если частоты колебаний x 1 и x 2 неодинаковы, векторы и будут вращаться с различной скоростью. В этом случае результирующий вектор пульсирует по величине и вращается с непостоянной скоростью, Следовательно, результирующим движением будет в этом случае не просто гармоническое колебании, а некоторый сложный колебательный процесс.
Выберем ось . Из точки О, взятой на этой оси, отложим вектор длины , образующий с осью угол . Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью , то проекция конца вектора на ось будет меняться со временем по закону 
. Следовательно, проекция конца вектора на ось будет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной длине вектора; с круговой частотой, равной угловой скорости вращения, и с начальной фазой, равной углу, образованному вектором с осью X
в начальный момент времени.
Векторная диаграмма дает возможность свести сложение колебаний к геометрическому суммированию векторов. Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты, которые имеют следующий вид:
 |
Представим оба колебания с помощью векторов и (рис. 7.5). Построим по правилу сложения векторов результирующий вектор . Легко увидеть, что проекция этого вектора на ось равна сумме проекций слагаемых векторов . Следовательно, вектор представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью , что и векторы , , так что результирующее движение будет гармоническим колебанием с частотой , амплитудой и начальной фазой . По теореме косинусов квадрат амплитуды результирующего колебания будет равен
Итак, представление гармонических колебаний посредством векторов дает возможность свести сложение нескольких колебаний к операции сложения векторов. Формулы (7.3) и (7.4) можно, конечно, получить, сложив выражения для и аналитически, но метод векторной диаграммы отличается большей простотой и наглядностью.
ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, колебания будут затухать. В простейшем, и вместе с тем наиболее часто встречающемся, случае сила сопротивления пропорциональна величине скорости:
,
где r – постоянная величина, называемая коэффициентом сопротивления. Знак минус обусловлен тем, что сила и скорость имеют противоположные направления; следовательно, их проекции на ось X имеют разные знаки. Уравнение второго закона Ньютона при наличии сил сопротивления имеет вид:
.
Применив обозначения , , перепишем уравнение движения следующим образом:
.
Это уравнение описывает затухающие колебания системы. Коэффициент называется коэффициентом затухания.
 |
Экспериментальный график затухающих колебаний при малом коэффициенте затухания представлен на рис. 7.6. Из рис. 7.6 видно, что график зависимости выглядит как косинус, умноженный на некоторую функцию, которая убывает со временем. Эта функция представлена на рисунке штриховыми линиями. Простой функцией, которая ведет себя подобным образом, является экспоненциальная функция . Поэтому решение можно записать в виде:
,
где – частота затухающих колебаний.
Величина x периодически проходит через нуль и бесконечное число раз достигает максимума и минимума. Промежуток времени между двумя последовательными прохождениями через нуль равен . Удвоенное его значение называется периодом колебаний .
Множитель , стоящий перед периодической функцией , называется амплитудой затухающих колебаний . Она экспоненциально убывает со временем. Скорость затухания определяется величиной . Время, по истечении которого амплитуда колебаний уменьшается в раз, называется временем затухания . За это время система совершает колебаний. Затухание колебаний принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания. Логарифмическим декрементом затухания называется логарифм отношения амплитуд в моменты последовательных прохождений колеблющейся величины через максимум или минимум:
.
Он связан с числом колебаний соотношением:
Величина называется добротностью колебательной системы . Добротность тем выше, чем большее число колебаний успевает совершить система прежде, чем амплитуда уменьшится в раз.
Постоянные величины и , как и в случае гармонических колебаний, можно определить из начальных условий.
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодической силы, называются вынужденными. Внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил сопротивления.
Периодическая внешняя сила может изменяться во времени по различным законам. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой ω, воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте ω 0 . Например, если дергать груз, подвешенный на пружине с частотой , то он будет совершать гармонические колебания с частотой внешней силы , даже если эта частота не совпадает с частотой собственных колебаний пружины.
Пусть на систему действует периодическая внешняя сила . В этом случае можно получить следующее уравнение, описывающее движение такой системы:
 ,
| (7.5) |
где . При вынужденных колебаниях амплитуда колебаний, а, следовательно, и энергия, передаваемая колебательной системе, зависят от соотношения между частотами и , а также от коэффициента затухания .
После начала воздействия внешней силы на колебательную систему необходимо некоторое время ωt для установления вынужденных колебаний. В начальный момент в колебательной системе возбуждаются оба процесса – вынужденные колебания на частоте ω и свободные колебания на собственной частоте ω 0 . Но свободные колебания затухают из-за неизбежного наличия сил трения. Поэтому через некоторое время в колебательной системе остаются только стационарные колебания на частоте ω внешней вынуждающей силы. Время установления по порядку величины равно времени затухания ω свободных колебаний в колебательной системе. Установившиеся вынужденные колебания груза на пружине происходят по гармоническому закону с частотой, равной частоте внешнего воздействия. Можно показать, что в установившемся режиме решение уравнения (7.6) записывается в виде:
,
,
.
Таким образом, вынужденные колебания представляют собой гармонические колебания с частотой, равной частоте вынуждающей силы. Амплитуда вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы. Для данной колебательной системы (то есть системы с определенными значениями и ) амплитуда зависит от частоты вынуждающей силы. Вынужденные колебания отличаются по фазе от вынуждающей силы. Сдвиг по фазе зависит от частоты вынуждающей силы.
РЕЗОНАНС
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие вынуждающей силы при этой частоте. Это явление называется резонансом , а соответствующая частота – резонансной частотой. Графически зависимость амплитуды x m вынужденных колебаний от частоты ω вынуждающей силы описывается резонансной кривой (рис. 7.9).
 |
Исследуем поведение амплитуды вынужденных колебаний в зависимости от частоты . Оставляя амплитуду вынуждающей силы неизменной, будем менять ее частоту. При получаем статическое отклонение под действием постоянной силы :
При возрастании частоты амплитуда смещения сначала также возрастает, затем проходит через максимум и, наконец, асимптотически стремится к нулю. Из рис. 7.9 видно также, что чем меньше , тем выше и правее лежит максимум данной кривой. Кроме того, чем меньше , тем сильнее изменяется с частотой амплитуда вблизи резонанса, тем острее получается максимум.
Явление резонанса может явиться причиной разрушения мостов, зданий и других сооружений, если собственные частоты их колебаний совпадут с частотой периодически действующей внешней силы. С явлением резонанса приходится считаться при конструировании машин и различного рода сооружений. Собственная частота этих устройств ни в коем случае не должна быть близка к частоте возможных внешних воздействий.
Примеры
 | В январе 1905г. в Петербурге обрушился Египетский мост. Повинны в этом были 9 прохожих, 2 извозчика и 3-й эскадрон Петергофского конногвардейского полка. Произошло следующее. Все солдаты ритмично шагали по мосту. Мост от этого стал раскачиваться – колебаться. По случайному стечению обстоятельств собственная частота колебаний моста совпала с частотой шага солдат. Ритмичный шаг строя сообщал мосту все новые и новые порции энергии. В результате резонанса мост настолько раскачался, что обрушился. Если бы резонанса собственной частоты колебаний моста с частотой шага солдат не было, с мостом ничего бы не случилось. Поэтому при прохождении солдат по слабым мостам принято подавать команду «сбить ногу». |
 |
Говорят, что великий тенор Энрико Карузо мог заставить стеклянный бокал разлететься вдребезги, спев в полный голос ноту надлежащей высоты. В этом случае звук вызывает вынужденные колебания стенок бокала. При резонансе колебания стенок могут достичь такой амплитуды, что стекло разбивается.
Проделайте опыты
Подойдите к какому-нибудь струнному музыкальному инструменту и громко крикните «а»: какая-то из струн отзовется – зазвучит. Та из них, которая окажется в резонансе с частотой этого звука, будет колебаться сильнее остальных струн – она-то и отзовется на звук.
Натяните горизонтально нетолстую веревку. Закрепите на ней маятник из нити и пластилина. Перекиньте через веревку еще один такой же маятник, но с более длинной ниткой. Длину подвески этого маятника можно изменять, подтягивая рукой свободный конец нитки. Приведите этот маятник в колебательное движение. При этом первый маятник тоже станет колебаться, но с меньшей амплитудой. Не останавливая колебаний второго маятника, постепенно уменьшайте длину его подвески – амплитуда колебаний первого маятника будет увеличиваться. В этом опыте, иллюстрирующем резонанс механических колебаний, первый маятник является приемником колебаний, возбуждаемых вторым маятником. Причиной, вынуждающей первый маятник колебаться, являются периодические колебания веревки с частотой, равной частоте колебаний второго маятника. Вынужденные колебания первого маятника будут иметь максимальную амплитуду лишь тогда, когда его собственная частота совпадает с частотой колебаний второго маятника.
АВТОКОЛЕБАНИЯ
Многочисленны и многообразны создания рук человеческих, в которых возникают и используются автоколебания. Прежде всего, это различные музыкальные инструменты. Уже в глубокой древности – рога и рожки, дудки, свистульки, примитивные флейты. Позже – скрипки, в которых для возбуждения звука используется сила трения между смычком и струной; различные духовые инструменты; гармонии, в которых звук производят металлические язычки, колеблющиеся под действием постоянного потока воздуха; органы, из труб которых вырываются через узкие щели резонирующие столбы воздуха.
Рис. 7.12
|
Хорошо известно, что сила трения скольжения практически не зависит от скорости. Однако именно благодаря очень слабой зависимости силы трения от скорости звучит скрипичная струна. Качественный вид зависимости силы трения смычка о струну показан на рис. 7.12. Благодаря силе трения покоя струна захватывается смычком и смещается из положения равновесия. Когда сила упругости превысит силу трения, струна оторвется от смычка и устремится к положению равновесия со все возрастающей скоростью. Скорость струны относительно движущегося смычка будет возрастать, сила трения увеличится и в определенный момент станет достаточной для захвата струны. Затем процесс повторится вновь. Таким образом, движущийся с постоянной скоростью смычок вызовет незатухающие колебания струны.
|
В струнных смычковых инструментах автоколебания поддерживаются силой трения, действующей между смычком и струной, а в духовых инструментах продувание струи воздуха поддерживает автоколебания столба воздуха в трубе инструмента.
Более чем в ста греческих и латинских документах разных времен упоминается пение знаменитого «мемнонского колосса» – величественного звучащего изваяния одного из фараонов, правившего в XIV веке до нашей эры, установленного вблизи египетского города Луксора. Высота статуи около 20 метров, масса достигает тысячи тонн. В нижней части колосса обнаружен ряд щелей и отверстий с расположенными за ними камерами сложной формы. «Мемнонский колосс» представляет собой гигантский орган, звучащий под воздействием естественных потоков воздуха. Статуя имитирует голос человека.
Природные автоколебания несколько экзотического свойства представляют собой поющие пески. Еще в XIV веке великий путешественник Марко Поло упоминал о «звучащих берегах» таинственного озера Лоб-Нор в Азии. За шесть веков поющие пески были обнаружены в различных местах всех континентов. У местного населения они в большинстве случаев вызывают страх, являются предметом легенд и преданий. Джек Лондон так описывает встречу с поющими песками персонажей романа «Сердца трех», отправившихся с проводником на поиски сокровищ древних майя.
«"Когда боги смеются, берегись!" – предостерегающе крикнул старик. Он начертил пальцем круг на песке и, пока он чертил, песок выл и визжал; затем старик опустился на колени, песок взревел и затрубил».
Есть поющие пески и даже целая поющая песчаная гора неподалеку от реки Или в Казахстане. Почти на 300 метров поднялась гора Калкан – гигантский природный орган. По-разному называют ее люди: «поющий бархан», «поющая гора». Сложена она из песка светлых тонов и на фоне темных отрогов Джунгарского Алатау Большого и Малого Калканов представляет необычайное зрелище благодаря цветовому контрасту. При ветре и даже при спуске с нее человека гора издает мелодичные звуки. После дождя и во время штиля гора безмолвствует. Туристы любят посещать Поющий бархан и, поднявшись на одну из трех его вершин, любоваться открывшейся панорамой Или и хребта Заилийского Алатау. Если гора молчит, нетерпеливые посетители «заставляют ее петь». Для этого надо быстро сбежать по наклону горы, песчаные струйки побегут из-под ног, и из недр бархана возникнет гудение.
Много веков прошло со времени обнаружения поющих песков, а удовлетворительного объяснения этому поразительному феномену не было предложено. В последние годы за дело принялись английские акустики, а также советский ученый В.И. Арабаджи. Арабаджи предположил, что излучающий звук верхний слой песка движется при каком-либо постоянном возмущении по нижнему, более твердому слою, имеющему волнистый профиль поверхности. Вследствие сил трения при взаимном перемещении слоев и возбуждается звук.
 |
Вынужденные колебания – это незатухающие колебания. Неизбежные потери энергии на трение при вынужденных колебаниях компенсируются подводом энергии от внешнего источника периодически действующей силы. Существуют системы, в которых незатухающие колебания возникают не за счет периодического внешнего воздействия, а в результате имеющейся у таких систем способности самой регулировать поступление энергии от постоянного источника. Такие системы называются автоколебательными, а процесс незатухающих колебаний в таких системах – автоколебаниями. Схематично автоколебательную систему можно представить в виде источника энергии, осциллятора с затуханием и устройства обратной связи между колебательной системой и источником (рис. 7.10).
В качестве колебательной системы может быть использована любая механическая система, способная совершать собственные затухающие колебания (например, маятник настенных часов). Источником энергии может служить деформированная пружина или груз в поле тяготения. Устройство обратной связи представляет собой некоторый механизм, с помощью которого автоколебательная система регулирует поступление энергии от источника.
 |
Примером механической автоколебательной системы может служить часовой механизм с анкерным ходом (рис. 7.11). В часах с анкерным ходом ходовое колесо с косыми зубьями жестко скреплено с зубчатым барабаном, через который перекинута цепочка с гирей. На верхнем конце маятника закреплен анкер с двумя пластинками из твердого материала, изогнутыми по дуге окружности с центром на оси маятника. В ручных часах гиря заменяется пружиной, а маятник – балансиром, скрепленным со спиральной пружиной. Балансир совершает крутильные колебания вокруг своей оси. Колебательной системой в часах является маятник или балансир, источником энергии – поднятая вверх гиря или заведенная пружина. Устройством, с помощью которого осуществляется обратная связь, является анкер, позволяющий ходовому колесу повернуться на один зубец за один полупериод. Обратная связь осуществляется взаимодействием анкера с ходовым колесом. При каждом колебании маятника зубец ходового колеса толкает анкерную вилку в направлении движения маятника, передавая ему некоторую порцию энергии, которая компенсирует потери энергии на трение. Таким образом, потенциальная энергия гири (или закрученной пружины) постепенно, отдельными порциями передается маятнику.
В обыденной жизни мы, возможно, сами того не замечая, встречаемся с автоколебаниями чаще, чем с колебаниями, вызванными периодическими силами. Автоколебания окружают нас повсюду в природе и технике: паровые машины, двигатели внутреннего сгорания, электрические звонки, часы, звучащая скрипичная струна или органная труба, бьющееся сердце, голосовые связки при разговоре или пении – все эти системы совершают автоколебания.
Проделайте опыт!
| Рис. 7.13 |
Колебательное движение обычно изучают, рассматривая поведение какого-нибудь маятника: пружинного, математического или физического. Все они представляют собой твердые тела. Можно создать устройство, демонстрирующее колебания жидких или газообразных тел. Для этого воспользуйтесь идеей, заложенной в конструкцию водяных часов. Две полуторалитровые пластиковые бутылки соединяют так же, как и в водяных часах, скрепив крышки. Полости бутылок соединяют стеклянной трубкой длиной 15 сантиметров, внутренним диаметром 4-5 миллиметров. Боковые стенки бутылок должны быть ровными и нежесткими, легко сминаться при сдавливании (см. рис. 7.13).
Для запуска колебаний бутылку с водой располагают сверху. Вода из нее начинает сразу же вытекать через трубку в нижнюю бутылку. Примерно через секунду струя самопроизвольно перестает течь и уступает проход в трубке для встречного продвижения порции воздуха из нижней бутылки в верхнюю. Порядок прохождения встречных потоков воды и воздуха через соединительную трубку определяется разницей давлений в верхней и нижней бутылках и регулируется автоматически.
О колебаниях давления в системе свидетельствует поведение боковых стенок верхней бутылки, которые в такт с выпуском воды и впуском воздуха периодически сдавливаются и расширяются. Поскольку
ОБРАЗОВАНИЕ ВОЛН
Как происходит распространение колебаний? Необходима среда для передачи колебаний или они могут передаваться без нее? Как звук от звучащего камертона доходит до слушателя? Каким образом быстропеременный ток в антенне радиопередатчика вызывает появление тока в антенне приемника? Как свет от далеких звезд достигает нашего глаза? Для рассмотрения подобного рода явлений необходимо ввести новое физическое понятие – волна. Волновые процессы представляют общий класс явлений, несмотря на их разную природу.
Источниками волн, будь то морские волны, волны в струне, волны землетрясений или звуковые волны в воздухе, являются колебания. Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной. Например, в случае звука колебательное движение совершает не только источник звука (струна, камертон), но также и приемник звука – барабанная перепонка уха или мембрана микрофона. Колеблется и сама среда, через которую распространяется волна.
Волновой процесс обусловлен наличием связей между отдельными частями системы, в зависимости от которых мы имеем упругую волну той или иной природы. Процесс, протекающий в какой-либо части пространства, вызывает изменения в соседних точках системы, передавая им некоторое количество энергии. От этих точек возмущение переходит к смежным с ними и так далее, распространяясь от точки к точке, то есть создавая волну.
Упругие силы, действующие между элементами любого твердого, жидкого или газообразного тела, приводят к возникновению упругих волн. Примером упругих волн является волна, распространяющаяся по шнуру. Если движением руки вверх-вниз возбудить колебания конца шнура, то соседние участки шнура, за счет действия упругих сил связи, также придут в движение, и вдоль шнура будет распространяться волна. Общим свойством волн является то, что они могут распространяться на большие расстояния, а частицы среды совершают колебания лишь в ограниченной области пространства. Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовлекаются волной в поступательное движение, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебаний частиц среды по отношению к направлению распространения волны различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны; в поперечной – перпендикулярно к направлению распространения волны. Упругие поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивлением сдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно возникновение только продольных волн. В твердой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн.
На рис. 8.1 показано движение частиц при распространении в среде поперечной волны и расположение частиц в волне в четыре фиксированных момента времени. Номерами 1, 2 и т.д. обозначены частицы, отстоящие друг от друга на расстояние, проходимое волной за четверть периода колебаний, совершаемых частицами. В момент времени, принятый за нулевой, волна, распространяясь вдоль оси слева направо, достигла частицы 1 , вследствие чего частица начала смещаться из положения равновесия вверх, увлекая за собой следующие частицы. Спустя четверть периода частица 1 достигает крайнего верхнего положения; одновременно начинает смещаться из положения равновесия частица 2 . По прошествии еще четверти периода первая частица будет проходить положение равновесия, двигаясь в направлении сверху вниз, вторая частица достигнет крайнего верхнего положения, а третья частица начнет смещаться вверх из положения равновесия. В момент времени, равный , первая частица закончит полное колебание и будет находиться в таком же состоянии движения, как и в начальный момент. Волна к моменту времени достигнет частицы 5 .
На рис. 8.2 показано движение частиц при распространении в среде продольной волны. Все рассуждения, касающиеся поведения частиц в поперечной волне, могут быть отнесены и к данному случаю с заменой смещений вверх и вниз смещениями вправо и влево. Из рис. 8.2 видно, что при распространении продольной волны в среде создаются чередующиеся сгущения и разрежения частиц, перемещающиеся в направлении распространения волны со скоростью .
Тела, которые воздействуют на среду, вызывая колебания, называются источниками волн. Распространение упругих волн не связано с переносом вещества, но волны переносят энергию, которой обеспечивает волновой процесс источник колебаний.
Геометрическое место точек, до которых доходят возмущения к данному моменту времени, называется фронтом волны. То есть фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченного в волновой процесс, от области, которую возмущения еще не достигли.
Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковых фазах, называется волновой поверхностью. Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Волновые поверхности могут иметь любую форму. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей; в сферической волне – множество концентрических сфер.
Расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, называется длиной волны. Очевидно, что , где – скорость распространения волны.
На рис. 8.3, выполненным с помощью компьютерной графики, приведена модель распространения поперечной волны на воде от точечного источника. Каждая частица совершает гармонические колебания около положения равновесия.
Рис. 8.3. Распространение поперечной волны от точечного источника колебаний
©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-16
Векторная диаграмма - это способ графического задания колебательного движения в виде вектора.
Вдоль горизонтальной оси откладывается колеблющаяся величина ξ (любой физической природы). Вектор, отложенный из точки 0 равен по модулю амплитуде колебания A и направлен под углом α , равным начальной фазе колебания, к оси ξ. Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью ω , равной циклической частоте колебаний, то проекция этого вектора на ось ξ дает значение колеблющейся величины в произвольный момент времени.
Сложение колебаний одинаковой частоты и одинакового направления
Пусть
складывается два колебания:
строим
векторные диаграммы и складываем
векторы:
По теореме косинусов
Так
как
то
Очевидно
(см. диаграмму), что начальная фаза
результирующего колебания определяется
соотношением:
Сложение колебаний близких частот
П
усть
складывается два колебания с почти
одинаковыми частотами, т.е.
Из тригонометрии:
Применяя к нашему случаю, получим:
График результирующего колебания - график биений, т.е. почти гармонических колебаний частоты ω, амплитуда которых медленно меняется с частотой Δω .
Амплитуда
из-за наличия знака модуля (амплитуда
всегда > 0) частота с которой изменяется
амплитуда, равна не Δω / 2 , а в два раза
выше - Δω.
Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний
Пусть маленькое тело колеблется на взаимно-перпендикулярных пружинках одинаковой жесткости. По какой траектории будет двигаться это тело?
Это уравнения траектории в параметрическом виде. Для получения явной зависимости между координатами x и y надо из уравнений исключить параметр t.
Из первого уравнения:
,
Из второго
После подстановки
Избавимся от корня:
- это уравнение
эллипса
Ч
астные
случаи:
27. Затухающие колебания. Вынужденные колебания. Резонанс.
Затухание свободных колебаний
Вследствие
сопpотивления свободные колебания
всегда pано или поздно затухают. Рассмотpим
пpоцесс затухания колебаний. Допустим,
что сила сопpотивления пpопоpциональна
скоpости тела.
(коэффициент
пpопоpциональности обозначен чеpез 2mg
из сообpажений удобства, котоpое выявится
позднее). Будем иметь в виду случай,
когда за пеpиод колебания его затухание
невелико. Тогда можно считать, что
затухание слабо скажется на частоте,
но отpазится на амплитуде колебаний.
Тогда уpавнение затухающих колебаний
можно пpедставить в виде
Здесь А(t) пpедставляет
некотоpую убывающую функцию, котоpую
тpебуется опpеделить. Будем исходить из
закона сохpанения и пpевpащения энеpгии.
Изменение энеpгии колебаний pавно сpедней
за пеpиод pаботе силы сопpотивления, т.е.
Разделим обе части
уpавнения на dt. Спpава будем иметь dx/dt,
т.е. скоpость v, а слева получится
пpоизводная от энеpгии по вpемени.
Следовательно, с учетом
Но
сpедняя кинетическая энеpгия 
pазделим обе его части на E и умножим на
dt. Получим, что
Пpоинтегpиpуем обе
части полученного уpавнения:
После потенциpования
получим
Постоянная
интегpиpования С находится из начальных
условий. Пусть пpи t = 0 Е = Е0, тогда Е0 = С.
Следовательно,
Но Е ~А^2. Поэтому
и амплитуда затухающих колебаний убывает
по показательному закону:
И
так,
вследствие сопpотивления амплитуда
колебаний убывает и они в целом выглядят
так, как пpедставлено на рис. 4.2. Коэффициент
называтся коэффициентом
затухания. Однако он не вполне хаpактеpизует
затухание. Обычно затухание колебаний
хаpактеpизуется декpементом затухания.
Последний пока зывает, во сколько pаз
уменьшается амплитуда колебаний за
вpемя, pавное пеpиоду колебаний. То есть
декpемент затухания определяется так:
Логаpифм декpемента
затухания называется логаpифмическим
декpементом, он, очевидно, pавен
Вынужденные колебания
Если колебательная
система подвеpгается воздействию внешней
пеpиодической силы, то возникают так
называемые вынужденные колебания,
имеющие незатухающий хаpактеp. Вынужденные
колебания следует отличать от автоколебаний. В случае автоколебаний в системе
пpедполагается специальный механизм,
котоpый в такт с собственными колебаниями
"поставляет" в систему небольшие
поpции энеpгии из некотоpого pезеpвуаpа
энеpгии. Тем самым поддеpживаются
собственные колебания котоpые не
затухают. В случае автоколебаний система
как бы сама себя подталкивает. Пpимеpом
автоколебательной системы могут служить
часы. Часы снабжены хpаповым механизмом,
с помощью котоpого маятник получает
небольшие толчки (от сжатой пpужины) в
такт собственным колебаниям. В случае
вынужденных колебаний система
подталкивается постоpонней силой. Ниже
мы остановимся на этом случае, пpедполагая,
что сопpотивление в системе невелико и
им можно пpенебpечь. В качестве модели
вынужденных колебаний будем иметь в
виду то же тело, подвешенное на пpужине,
на котоpое действует внешняя пеpиодическая
сила (напpимеp, сила, имеющая электpомагнитную
пpиpоду). Без учета сопpотивления уpавнение
движения такого тела в пpоекции на ось
х имеет вид:
где w* - циклическая
частота, В - амплитуда внешней силы.
Заведомо известно, что колебания
существуют. Поэтому будем искать частное
pешение уpавнения в виде синусоидальной
функции
Подставим функцию
в уравнение, для чего дважды продифференцируем
по времени
.
Подстановка приводит к соотношению
Уравнение обpащается
в тождество пpи соблюдении тpех условий:
.
Тогда
и уpавнение
вынужденных колебаний можно пpедставить
в виде
Они пpоисходят с
частотой, совпадающей с частотой внешней
силы, и их амплитуда задается не
пpоизвольно, как в случае свободных
колебаний, а сама собой устанавливается.
Это устанавливающееся значение зависит
от соотношения собственной частоты
колебаний системы и частоты внешней
силы согласно фоpмуле
Н
а
pис. 4.3 изобpажен гpафик зависимости
амплитуды вынужденных колебаний от
частоты внешней силы. Видно, что амплитуда
колебаний существенно возpастает по
меpе пpиближения частоты внешней силы
к частоте собственных колебаний. Явление
pезкого возpастания амплитуды вынужденных
колебаний пpи совпадении собственной
частоты и частоты внешней силы называетсяpезонансом
.
Пpи pезонансе амплитуда колебаний должна быть бесконечно большой. В действительности же пpи pезонансе амплитуда вынужденных колебаний всегда конечна. Это объясняется тем, что в pезонансе и вблизи него наше допущение о пpенебpежимо малом сопpотивлении становится невеpным. Если даже сопpотивление в системе и мало, то в pезонансе оно существенно. Его наличие делает амплитуду колебаний в pезонансе конечной величиной. Таким обpазом, pеальный гpафик зависимости амплитуды колебаний от частоты имеет вид, пpедставленный на pис. 4.4. Чем больше сопpотивление в системе, тем ниже максимум амплитуды в точке pезонанса.
Как пpавило, pезонанс
в механических системах - явление
нежелательное, и его 
стаpаются избежать: механические
сооpужения, подвеpженные колебаниям и
вибрациям, стаpаются сконстpуиpовать
таким обpазом, чтобы собственная частота
колебаний была далека от возможных
значений частот внешних воздействий.
Но в pяде устpойств pезонанс используется
как явление позитивное. Например,
pезонанс электpомагнитных колебаний
шиpоко используется в радиосвязи,
pезонанс g-лучей - в пpецезионных пpибоpах.
Состояние термодинамической системы. Процессы
Термодинамические состояния и термодинамические процессы
Когда кроме законов механики требуется применение законов термодинамики, систему называют термодинамической системой. Необходимость использования этого понятия возникает, если число элементов системы (например, число молекул газа) весьма велико, и движение отдельных её элементов является микроскопическим по сравнению с движением самой системы или ее макроскопических составных частей. При этом термодинамика описывает макроскопические движения (изменения макроскопических состояний) термодинамической системы.
Параметры, описывающие такое движение (изменения) термодинамической системы, принято разделять на внешние и внутренние. Это разделение весьма условно и зависит от конкретной задачи. Так, например, газ в воздушном шаре с эластичной оболочкой в качестве внешнего параметра имеет давление окружающего воздуха, а для газа в сосуде с жёсткой оболочкой внешним параметром является объём, ограниченный этой оболочкой. В термодинамической системе объём и давление могут изменяться независимо друг от друга. Для теоретического описания их изменения необходимо введение как минимум еще одного параметра - температуры.
В большинстве термодинамических задач трёх параметров достаточно для описания состояния термодинамической системы. В этом случае изменения в системе описываются с помощью трёх термодинамических координат, связанных с соответствующими термодинамическими параметрами.
Равновесным состоянием - состоянием термодинамического равновесия - называется такое состояния термодинамической системы, в котором отсутствуют всякие потоки (энергии, вещества, импульса и т.д.), а макроскопические параметры системы являются установившимися и не изменяются во времени.
Классическая термодинамика утверждает, что изолированная термодинамическая система (предоставленная себе самой) стремится к состоянию термодинамического равновесия и после его достижения не может самопроизвольно из него выйти. Данное утверждение часто называю нулевым началом термодинамики .
Системы, находящиеся в состоянии термодинамического равновесия, обладают следующими свойства ми:
Если две термодинамические системы, имеющие тепловой контакт, находятся в состоянии термодинамического равновесия, то и совокупная термодинамическая система находится в состоянии термодинамического равновесия.
Если какая-либо термодинамическая система находится в термодинамическом равновесии с двумя другими системами, то и эти две системы находятся в термодинамическом равновесии друг с другом.
Рассмотрим термодинамические системы, находящиеся в состоянии термодинамического равновесия. Описание систем, находящихся в неравновесном состоянии, то есть в состоянии, когда имеют место макроскопические потоки, занимается неравновесная термодинамика. Переход из одного термодинамического состояния в другое называется термодинамическим процессом . Ниже будут рассматриваться только квазистатические процессы или, что то же самое, квазиравновесные процессы. Предельным случаем квазиравновесного процесса является происходящий бесконечно медленно равновесный процесс, состоящий из непрерывно следующих друг за другом состояний термодинамического равновесия. Реально такой процесс протекать не может, однако если макроскопические изменения в системе происходят достаточно медленно (за промежутки времени, значительно превышающие время установления термодинамического равновесия), появляется возможность аппроксимировать реальный процесс квазистатическим (квазиравновесным). Такая аппроксимация позволяет проводить вычисления с достаточно высокой точностью для большого класса практических задач. Равновесный процесс является обратимым, то есть таким, при котором возвращение к значениям параметров состояния, имевшим место в предыдущий момент времени, должно приводить термодинамическую систему в предыдущее состояние без каких-либо изменений в окружающих систему телах.
Практическое применение квазиравновесных процессов в каких-либо технических устройствах малоэффективно. Так, использование в тепловой машине квазиравновесного процесса, например, происходящего при практически постоянной температуре (см. описание цикла Карно в третьей главе), неминуемо приводит к тому, что такая машина будет работать очень медленно (в пределе - бесконечно медленно) и иметь очень малую мощность. Поэтому на практике квазиравновесные процессы в технических устройствах не используются. Тем не менее, так как предсказания равновесной термодинамики для реальных систем с достаточно высокой точностью совпадают с экспериментально полученными для таких систем данными, то она широко применяется для расчета термодинамических процессов в различных технических устройствах.
Если в ходе термодинамического процесса система возвращается в исходное состояние, то такой процесс называется круговым или циклическим. Круговые процессы, также как и любые другие термодинамические процессы, могут быть как равновесными (а следовательно - обратимыми), так и неравновесными (необратимыми). При обратимом круговом процессе после возвращения термодинамической системы в исходное состояние в окружающих ее телах не возникает никаких термодинамических возмущений, и их состояния остаются равновесными. В этом случае внешние параметры системы после осуществления циклического процесса возвращаются к своим исходным значениям. При необратимом круговом процессе после его завершения окружающие тела переходят в неравновесные состояния и внешние параметры термодинамической системы изменяются.