Длина действительной оси гиперболы. Гипербола и ее каноническое уравнение
Занятие 10 . Кривые второго порядка.
10.1. Эллипс. Каноническое уравнение. Полуоси, эксцентриситет, график.
10.2. Гипербола. Каноническое уравнение. Полуоси, эксцентриситет, асимптоты, график.
10.3. Парабола. Каноническое уравнение. Параметр параболы, график.
Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, неявное задание которых имеет вид:
где
- заданные вещественные числа,
- координаты точек кривой. Наиболее
важными линиями среди кривых второго
порядка являются эллипс, гипербола,
парабола.
10.1. Эллипс. Каноническое уравнение. Полуоси, эксцентриситет, график.
Определение эллипса.
Эллипсом
называется плоская кривая, у которой
сумма расстояний от двух фиксированных
точек
плоскости до любой точки
(т.е.).
Точки
называются фокусами эллипса.
Каноническое уравнение эллипса
:
.
(2)
(или
ось
)
проходит через фокусы
,
а начало координат – точка
-
находится в центре отрезка
(рис.1). Эллипс (2) симметричен относительно
осей координат и начала координат
(центра эллипса). Постоянные
,
называютсяполуосями эллипса
.
Если эллипс задан уравнением (2), то фокусы эллипса находятся так.
1) Сначала определяем, где лежат фокусы: фокусы лежат на той координатной оси, на которой расположены бóльшие полуоси.
2) Затем вычисляется фокусное расстояние
(расстояние от фокусов до начала
координат).
При
фокусы лежат на оси
;
;
.
При
фокусы лежат на оси
;
;
.
Эксцентриситетом
эллипса называется
величина:
(при
);
(при
).
У эллипса всегда
.
Эксцентриситет служит характеристикой
сжатия эллипса.
Если эллипс (2) переместить так, что центр
эллипса попадет в точку
,
,
то уравнение полученного эллипса имеет
вид
.
10.2. Гипербола. Каноническое уравнение. Полуоси, эксцентриситет, асимптоты, график.
Определение гиперболы.
Гиперболой
называется плоская кривая, у которой
абсолютная величина разности расстояний
от двух фиксированных точек
плоскости до любой точки
этой кривой есть постоянная величина,
независящая от точки
(т.е.). Точки
называются фокусами гиперболы.
Каноническое уравнение гиперболы
:
или
.
(3)
Такое уравнение получается, если
координатная ось
(или
ось
)
проходит через фокусы
,
а начало координат – точка
-
находится в центре отрезка
.
Гиперболы (3) симметричны относительно
осей координат и начала координат.
Постоянные
,
называютсяполуосями гиперболы
.
Фокусы гиперболы находятся так.
У гиперболы
фокусы лежат на оси
:
(рис. 2.а).
У гиперболы
фокусы лежат на оси
:
(рис. 2.б)
Здесь
-
фокусное расстояние (расстояние от
фокусов до начала координат). Оно
вычисляется по формуле:
.
Эксцентриситетом гиперболы называется величина:
(для
);
(для
).
У гиперболы всегда
.
Асимптотами гипербол
(3) являются
две прямые:
.
Обе ветви гиперболы неограниченно
приближаются к асимптотам с ростом
.
Построение графика гиперболы следует
проводить так: сначала по полуосям
строим вспомогательный прямоугольник
со сторонами, параллельными осям
координат; затем через противоположные
вершины этого прямоугольника проводим
прямые, это – асимптоты гиперболы;
наконец изображаем ветви гиперболы,
они касаются середин соответствующих
сторон вспомогательного прямоугольника
и приближаются с ростом
к асимптотам (рис. 2).
Если гиперболы (3) переместить так, что
их центр попадет в точку
,
а полуоси останутся параллельны осям
,
,
то уравнение полученных гипербол
запишутся в виде
,
.
10.3. Парабола. Каноническое уравнение. Параметр параболы, график.
Определение параболы.
Параболой
называется плоская кривая, у которой
для любой точки
этой кривой расстояние от
до фиксированной точки
плоскости (называемой фокусом параболы)
равно расстоянию от
до фиксированной прямой на плоскости
(называемой директрисой параболы).
Каноническое уравнение параболы
:
,
(4)
где
- постоянная, называемаяпараметром
параболы.
Точка
параболы (4) называется вершиной параболы.
Ось
является осью симметрии. Фокус параболы
(4) находится в точке
,
уравнение директрисы
.
Графики параболы (4) со значениями
и
приведены
на рис. 3.а и 3.б соответственно.
Уравнение
также определяет параболу на плоскости
,
у которой по сравнению с параболой (4),
оси
,
поменялись местами.
Если параболу (4) переместить так, что
ее вершина попадет в точку
,
а ось симметрии останется параллельна
оси
,
то уравнение полученной параболы имеют
вид
.
Перейдем к примерам.
Пример 1
. Кривая второго порядка
задана уравнением
.
Дать название этой кривой. Найти ее
фокусы и эксцентриситет. Изобразить
кривую и ее фокусы на плоскости
.
Решение. Данная кривая является эллипсом
с центром в точке
и полуосями
.
В этом легко убедиться, если провести
замену
.
Это преобразование означает переход
от заданной декартовой системы координат
к новой декартовой системе координат
,
у которой оси
параллельны
осям
,
.
Это преобразование координат называется
сдвигом системы
в точку
.
В новой системе координат
уравнение кривой преобразуется в
каноническое уравнение эллипса
,
его график приведен на рис. 4.
Найдем фокусы.
,
поэтому фокусы
эллипса расположены на оси
..
В системе координат
:
.
Т.к.
,
в старой системе координат
фокусы имеют координаты.
Пример 2 . Дать название кривой второго порядкаи привести ее график.
Решение. Выделим полные квадраты по
слагаемым, содержащим переменные
и
.
Теперь, уравнение кривой можно переписать так:
Следовательно, заданная кривая является
эллипсом с центром в точке
и полуосями
.
Полученные сведения позволяют нарисовать
его график.
Пример 3
. Дать название и привести
график линии
.
Решение.
.
Это – каноническое уравнение эллипса
с центром в точке
и полуосями
.
Поскольку,
,
делаем заключение: заданное уравнение
определяет на плоскости
нижнюю половину эллипса (рис. 5).
Пример 4
. Дать название кривой второго
порядка
.
Найти ее фокусы, эксцентриситет. Привести
график этой кривой.
-
каноническое уравнение гиперболы с
полуосями
.
Фокусное расстояние.
Знак "минус" стоит перед слагаемым
с
,
поэтому фокусы
гиперболы лежат на оси
:.
Ветви гиперболы располагаются над и
под осью
.
- эксцентриситет гиперболы.
Асимптоты гиперболы: .
Построение графика этой гиперболы осуществляется в соответствии с изложенным выше порядком действий: строим вспомогательный прямоугольник, проводим асимптоты гиперболы, рисуем ветви гиперболы (см. рис.2.б).
Пример 5
. Выяснить вид кривой,
заданной уравнением
и построить ее график.
- гипербола с центром в точке
и полуосями.
Т.к.
,
заключаем: заданное уравнение определяет
ту часть гиперболы, которая лежит Справа
от прямой
.
Гиперболу лучше нарисовать во
вспомогательной системе координат
,
полученной из системы координат
сдвигом
,
а затем жирной линией выделить нужную
часть гиперболы
Пример 6 . Выяснить вид кривойи нарисовать ее график.
Решение. Выделим полный квадрат по
слагаемым с переменной
:
Перепишем уравнение кривой.
Это – уравнение параболы с вершиной в
точке
.
Преобразованием сдвигауравнение параболы приводится к
каноническому виду
,
из которого видно, что- параметр параболы. Фокус
параболы в системе
имеет координаты
,,
а в системе
(согласно преобразованию сдвига).
График параболы приведен на рис. 7.
Домашнее задание .
1. Нарисовать эллипсы, заданные уравнениями:
Найти их полуоси, фокусное расстояние,
эксцентриситет и указать на графиках
эллипсов места расположения их фокусов.
2. Нарисовать гиперболы, заданные
уравнениями:
Найти их полуоси, фокусное расстояние,
эксцентриситет и указать на графиках
гипербол места расположения их фокусов.
Написать уравнения асимптот данных
гипербол.
3. Нарисовать параболы, заданные
уравнениями:
.
Найти их параметр, фокусное расстояние
и указать на графиках парабол место
расположения фокуса.
4. Уравнение
определяет часть кривой 2-го порядка.
Найти каноническое уравнение этой
кривой, записать ее название, построить
ее график и выделить на нем ту часть
кривой, которая отвечает исходному
уравнению.
Гипербола и парабола
Переходим ко второй части статьи о линиях второго порядка , посвященной двум другим распространённым кривым – гиперболе и параболе . Если вы зашли на данную страницу с поисковика либо ещё не успели сориентироваться в теме, то рекомендую сначала изучить первый раздел урока, на котором мы рассмотрели не только основные теоретические моменты, но и познакомились с эллипсом . Остальным же читателям предлагаю существенно пополнить свои школьные знания о параболе и гиперболе. Гипербола и парабола – это просто? …Не дождётесь =)
Гипербола и её каноническое уравнение
Общая структура изложения материала будет напоминать предыдущий параграф. Начнём с общего понятия гиперболы и задачи на её построение.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид , где – положительные действительные числа. Обратите внимание, что в отличие от эллипса , здесь не накладывается условие , то есть, значение «а» может быть и меньше значения «бэ».
Надо сказать, довольно неожиданно… уравнение «школьной» гиперболы и близко не напоминает каноническую запись. Но эта загадка нас ещё подождёт, а пока почешем затылок и вспомним, какими характерными особенностями обладает рассматриваемая кривая? Раскинем на экране своего воображения график функции ….
У гиперболы две симметричные ветви.
У гиперболы две асимптоты .
Неплохой прогресс! Данными свойствами обладает любая гипербола, и сейчас мы с неподдельным восхищением заглянем в декольте этой линии:
Пример 4
Построить гиперболу, заданную уравнением
Решение
: на первом шаге приведём данное уравнение к каноническому виду . Пожалуйста, запомните типовой порядок действий. Справа необходимо получить «единицу», поэтому обе части исходного уравнения делим на 20:
Здесь можно сократить обе дроби, но оптимальнее сделать каждую из них трёхэтажной
:
И только после этого провести сокращение:
Выделяем квадраты в знаменателях:
Почему преобразования лучше проводить именно так? Ведь дроби левой части можно сразу сократить и получить . Дело в том, что в рассматриваемом примере немного повезло: число 20 делится и на 4 и на 5. В общем случае такой номер не проходит. Рассмотрим, например, уравнение . Здесь с делимостью всё печальнее и без трёхэтажных дробей
уже не обойтись:
Итак, воспользуемся плодом наших трудов – каноническим уравнением :
Как построить гиперболу?
Существует два подхода к построению гиперболы – геометрический и алгебраический.
С практической точки зрения вычерчивание с помощью циркуля... я бы даже сказал утопично, поэтому гораздо выгоднее вновь привлечь на помощь нехитрые расчёты.
Целесообразно придерживаться следующего алгоритма, сначала готовый чертёж, потом комментарии:
1) Прежде всего, находим асимптоты
. Если гипербола задана каноническим уравнением , то её асимптотами являются прямые
. В нашем случае: 
. Данный пункт обязателен!
Это принципиальная особенность чертежа, и будет грубой ошибкой, если ветви гиперболы «вылезут» за свои асимптоты.
2) Теперь находим две вершины гиперболы
, которые расположены на оси абсцисс в точках 
. Выводится элементарно: если , то каноническое уравнение превращается в , откуда и следует, что . Рассматриваемая гипербола имеет вершины 
3) Ищем дополнительные точки. Обычно хватает 2-3-х. В каноническом положении гипербола симметрична относительно начала координат и обеих координатных осей, поэтому вычисления достаточно провести для 1-ой координатной четверти. Методика точно такая же, как и при построении эллипса
. Из канонического уравнения на черновике выражаем:
Уравнение распадается на две функции:
– определяет верхние дуги гиперболы (то, что нам надо);
– определяет нижние дуги гиперболы.
Напрашивается нахождение точек с абсциссами :
4) Изобразим на чертеже асимптоты , вершины , дополнительные и симметричные им точки в других координатных четвертях. Аккуратно соединим соответствующие точки у каждой ветви гиперболы:
Техническая трудность может возникнуть с иррациональным угловым коэффициентом , но это вполне преодолимая проблема.
Отрезок
называют действительной осью
гиперболы,
его длину – расстоянием между вершинами;
число
называют действительной полуосью
гиперболы;
число
– мнимой полуосью
.
В нашем примере: 
, и, очевидно, если данную гиперболу повернуть вокруг центра симметрии и/или переместить, то эти значения не изменятся
.
Определение гиперболы. Фокусы и эксцентриситет
У гиперболы, точно так же, как и у эллипса , есть две особенные точки , которые называются фокусами . Не говорил, но на всякий случай, вдруг кто неверно понимает: центр симметрии и точки фокуса, разумеется, не принадлежат кривым .
Общая концепция определения тоже похожа:
Гиперболой называют множество всех точек плоскости, абсолютное значение разности расстояний до каждой из которых от двух данных точек – есть величина постоянная, численно равная расстоянию между вершинами этой гиперболы: . При этом расстояние между фокусами превосходит длину действительной оси: .
Если гипербола задана каноническим уравнением , то расстояние от центра симметрии до каждого из фокусов
рассчитывается по формуле: .
И, соответственно, фокусы имеют координаты 
.
Для исследуемой гиперболы :
Разбираемся в определении. Обозначим через расстояния от фокусов до произвольной точки гиперболы:
Сначала мысленно передвигайте синюю точку по правой ветви гиперболы – где бы мы ни находились, модуль
(абсолютное значение) разности между длинами отрезков будет одним и тем же:
Если точку «перекинуть» на левую ветвь, и перемещать её там, то данное значение останется неизменным.
Знак модуля нужен по той причине, что разность длин может быть как положительной, так и отрицательной. Кстати, для любой точки правой ветви 
(поскольку отрезок короче отрезка ). Для любой точки левой ветви ситуация ровно противоположная и 
.
Более того, ввиду очевидного свойства модуля безразлично, что из чего вычитать.
Удостоверимся, что в нашем примере модуль данной разности действительно равен расстоянию между вершинами. Мысленно поместите точку в правую вершину гиперболы . Тогда: , что и требовалось проверить.
Гипербола – это множество точек плоскости, разница расстояний которых от двух заданных точек, фокусов, есть постоянная величина и равна .
Аналогично эллипсу фокусы размещаем в точках , (см. рис. 1).
Рис. 1
Видно из рисунка, что могут быть случаи и title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="65" style="vertical-align: -4px;"> title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="65" style="vertical-align: -4px;"> , тогда согласно определению
Известно, что в треугольнике разница двух сторон меньше третьей стороны, поэтому, например, с у нас получается:
Поднесём к квадрату обе части и после дальнейших преобразований найдём:
где . Уравнение гиперболы (1) – это каноническое уравнение гиперболы.
Гипербола симметрична относительно координатных осей, поэтому, как и для эллипса, достаточно построить её график в первой четверти, где:
Область значения для первой четверти .
При у нас есть одна из вершин гиперболы . Вторая вершина . Если , тогда из (1) – действительных корней нет. Говорят, что и – мнимые вершины гиперболы. Из соотношением получается, что при достаточно больших значениях есть место ближайшего равенства title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="27" width="296" style="vertical-align: -7px;"> title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="27" width="296" style="vertical-align: -7px;"> . Поэтому прямая есть линией, расстояние между которой и соответствующей точкой гиперболы направляется к нулю при .
Форма и характеристики гиперболы
Исследуем уравнение (1) форму и расположение гиперболы.
- Переменные и входят в уравнение (1) в парных степенях. Поэтому, если точка принадлежит гиперболе, тогда и точки также принадлежат гиперболе. Значит, фигура симметрична относительно осей и , и точки , которая называется центром гиперболы.
- Найдём точки пересечения с осями координат. Подставив в уравнение (1) получим, что гипербола пересекает ось в точках . Положив получим уравнение , у которого нет решений. Значит, гипербола не пересекает ось . Точки называются вершинами гиперболы. Отрезок = и называется действительной осью гиперболы, а отрезок – мнимой осью гиперболы. Числа и называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Прямоугольник, созданный осями и называется главным прямоугольником гиперболы.
- С уравнения (1) получается, что , то есть . Это означает, что все точки гиперболы расположены справа от прямой (правая ветвь гиперболы) и левая от прямой (левая ветвь гиперболы).
- Возьмём на гиперболе точку в первой четверти, то есть , а поэтому . Так как 0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="31" width="156" style="vertical-align: -12px;"> 0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="31" width="156" style="vertical-align: -12px;"> , при title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> , тогда функция монотонно возрастает при title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> . Аналогично, так как при title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> , тогда функция выпуклая вверх при title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> .
Асимптоты гиперболы
Есть две асимптоты гиперболы. Найдём асимптоту к ветви гиперболы в первой четверти, а потом воспользуемся симметрией. Рассмотрим точку в первой четверти, то есть . В этом случае , , тогда асимптота имеет вид: , где
Значит, прямая – это асимптота функции . Поэтому в силу симметрии асимптотами гиперболы есть прямые .
За установленными характеристиками построим ветвь гиперболы, которая находится в первой четверти и воспользуемся симметрией:
Рис. 2
В случае, когда , то есть гипербола описывается уравнением . В этой гиперболе асимптоты, которые и есть биссектрисами координатных углов .
Примеры задач на построение гиперболы
Пример 1
Задача
Найти оси, вершины, фокусы, ексцентриситет и уравнения асимптот гиперболы. Построить гиперболу и её асимптоты.
Решение
Сведём уравнение гиперболы к каноническому виду:
Сравнивая данное уравнение с каноническим (1) находим , , . Вершины , фокусы и . Ексцентриситет ; асмптоты ; Строим параболу. (см. рис. 3)
Написать уравнение гиперболы:
Решение
Записав уравнение асимптоты в виде находим отношение полуосей гиперболы . По условию задачи следует, что . Поэтому Задачу свели к решению системы уравнений:
Подставляя во второе уравнение системы, у нас получится:
откуда . Теперь находим .
Следовательно, у гиперболы получается такое уравнение:
Ответ
.Гипербола и её каноническое уравнение обновлено: Июнь 17, 2017 автором: Научные Статьи.Ру
Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости у абсолютная величина разности расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами у есть постоянная величина, при условии, что эта величина не равна нулю и меньше расстояния между фокусами.
Обозначим расстояние между фокусами через а постоянную величину, равную модулю разности расстояний от каждой точки гиперболы до фокусов, через (по условию ). Как и в случае эллипса, ось абсцисс проведем через фокусы, а за начало координат примем середину отрезка (см. рис. 44). Фокусы в такой системе будут иметь координаты Выведем уравнение гиперболы в выбранной системе координат. По определению гиперболы для любой ее точки имеем или
Но . Поэтому получим
После упрощений, подобных тем, которые были сделаны при выводе уравнения эллипса, получим следующее уравнение:
которое является следствием уравнения (33).
Нетрудно заметить, что это уравнение совпадает с уравнением (27), полученным для эллипса. Однако в уравнении (34) разность , так как для гиперболы . Поэтому положим
Тогда уравнение (34) приводится к следующему виду:
Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы. Уравнению (36), как следствию уравнения (33), удовлетворяют координаты любой точки гиперболы. Можно показать, что координаты точек, не лежащих на гиперболе, уравнению (36) не удовлетворяют.
Установим форму гиперболы, пользуясь ее каноническим уравнением. Это уравнение содержит лишь четные степени текущих координат. Следовательно, гипербола имеет две оси симметрии, в данном случае совпадающих с координатными осями. В дальнейшем оси симметрии гиперболы мы будем называть осями гиперболы, а точку их пересечения - центром гиперболы. Ось гиперболы, на которой расположены фокусы, называется фокальной осью. Исследуем форму гиперболы в I четверти, где
Здесь так как иначе у принимал бы мнимые значения. При возрастании х от а до возрастает от 0 до Частью гиперболы, лежащей в I четверти, будет дуга , изображенная на рис. 47.
Так как гипербола расположена симметрично относительно координатных осей, то эта кривая имеет вид, изображенный на рис. 47.
Точки пересечения гиперболы с фокальной осью называются ее вершинами. Полагая в уравнении гиперболы, найдем абсциссы ее вершин: . Таким образом, гипербола имеет две вершины: . С осью ординат гипербола не пересекается. В самом деле, положив в уравнении гиперболы получим для у мнимые значения: . Поэтому фокальная ось гиперболы называется действительной осью, а ось симметрии, перпендикулярная фокальной оси, - мнимой осью гиперболы.
Действительной осью также называется отрезок, соединяющий вершины гиперболы, и его длина 2а. Отрезок, соединяющий точки (см. рис. 47), а также его длина называется мнимой осью гиперболы. Числа а и b соответственно называются действительной и мнимой полуосями гиперболы.
Рассмотрим теперь гиперболу, расположенную в I четверти и являющуюся графиком функции
Покажем, что точки этого графика, расположенные на достаточно большом расстоянии от начала координат, сколь угодно близки к прямой
проходящей через начало координат и имеющей угловой коэффициент
С этой целью рассмотрим две точки имеющие одну и ту же абсциссу и лежащие соответственно на кривой (37) и прямой (38) (рис. 48), и составим разность между ординатами этих точек
Числитель этой дроби - величина постоянная, а знаменатель неограниченно возрастает при неограниченном возрастании . Поэтому разность стремится к нулю, т. е. точки М и N неограниченно сближаются при неограниченном возрастании абсциссы.
Из симметрии гиперболы относительно координатных осей следует, что имеется еще одна прямая , к которой сколь угодно близки точки гиперболы при неограниченном удалении от начала координат. Прямые
называются асимптотами гиперболы.
На рис. 49 указано взаимное расположение гиперболы и ее асимптот. На этом рисунке указано также, как построить асимптоты гиперболы.
Для этого следует построить прямоугольник с центром в начале координат и со сторонами, параллельными осям и соответственно равными . Этот прямоугольник называется основным. Каждая из его диагоналей, неограниченно продолженная в обе стороны, является асимптотой гиперболы. Перед построением гиперболы рекомендуется строить ее асимптоты.
Отношение половины расстояния между фокусами к действительной полуоси гиперболы называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается обычно буквой :
Так как для гиперболы , то эксцентриситет гиперболы больше единицы: Эксцентриситет характеризует форму гиперболы
Действительно, из формулы (35) следует, что . Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет гиперболы,
тем меньше отношение - ее полуосей. Но отношение - определяет форму основного прямоугольника гиперболы, а следовательно, и форму самой гиперболы. Чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем более вытянут ее основной прямоугольник (в направлении фокальной оси).
Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина; указанная разность берется по абсолютному значению и обозначается обычно через 2а, Фокусы гиперболы обозначают буквами F 1 и F 2 , расстояние между ними - через 2с. По определению гиперболы 2а
Пусть дана гипербола. Если оси декартовой прямоугольной системы координат выбраны так, что фокусы данной гиперболы располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, то в этой системе координат уравнение гиперболы имеет вид
х 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, (1)
где b = √(с 2 - а 2). Уравнение вида (I) называется каноническим уравнением гиперболы При указанном выборе системы координат оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат -ее центром симметрии (рис. 18). Оси симметрии гиперболы называются просто ее осями, центр симметрии-центром гиперболы. Гипербола пересекает одну из своих осей; точки пересечения называются вершинами гиперболы. На рис. 18 вершины гиперболы суть точки А" и А.
Прямоугольник со сторонами 2а и 2b, расположенный симметрично относительно осей гиперболы и касающийся ее в вершинах, называется основным прямоугольником гиперболы.
Отрезки длиной 2а и 2b, соединяющие середины сторон основного прямоугольника гиперболы, также называют ее осями. Диагонали основного прямоугольника (неограниченно продолженные) являются асимптотами гиперболы; их уравнения суть:
y = b/a x, y = - b/a x
Уравнение
X 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 (2)
определяет гиперболу, симметричную относительно координатных осей с фокусами на оси ординат; уравнение (2),как и уравнение (1), называется каноническим уравнением гиперболы; в этом случае постоянная разность расстояний от произвольной точки гиперболы до фокусов равна 2b.
Две гиперболы, которые определяются уравнениями
x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1, - x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1
в одной и той же системе координат, называются сопряженными.
Гипербола с равными полуоясми (а = b) называется равносторонней,; ее каноническое уравнение имеет вид
х 2 - у 2 = а 2 или - х 2 + у 2 = а 2 .
где а - расстояние от центра гиперболы до ее вершины, называется эксцентриситетом гиперболы. Очевидно, для любой гиперболы ε > 1. Если М(х; у) - произвольная точка гиперболы, то отрезки F 1 М и F 2 M (см. рис. 18) называются фокальными радиусами точки М. Фокальные радиусы точек правой ветви гиперболы вычисляются по формулам
r 1 = εх + а, r 2 = εх - а,
фокальные радиусы точек левой ветви - по формулам
r 1 = -εх - а, r 2 = -εх + а
Если гипербола задана уравнением (1), то прямые, определяемые уравнениями
x = -a/ε, x = a/ε
называются ее директрисами (см. рис. 18). Если гипербола задана уравнением (2), то директрисы определяются уравнениями
x = -b/ε, x = b/ε
Каждая директриса обладает следующим свойством: если r - расстояние от произвольной точки гиперболы до некоторого фокуса, d - расстояние от той же точки до односторонней с этим фокусом директрисы, то отношение r/d есть постоянная величина, равная эксцентриситету гиперболы:
515. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:
1) ее оси 2а = 10 и 2b = 8;
2) расстояние между фокусами 2с = 10 и ось 2b = 8;
3) расстояние между фокусами 2с = 6 и эксцентриситет ε = 3/2;
4) ось 2а = 16 и эксцентриситет ε = 5/4;
5) уравнения асимптот у = ±4/3х и расстояние между фокусами 2с = 20;
6) расстояние между директрисами равно 22 2/13 и расстояние между фокусами 2с = 26; 39
7) расстояние между директрисами равно 32/5 и ось 2b = 6;
8) расстояние между директрисами равно 8/3 и эксцентриситет ε = 3/2;
9) уравнения асимптот у = ± 3/4 х и расстояние между директрисами равно 12 4/5.
516. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:
1) ее полуоси а = 6, b = 18 (буквой а мы обозначаем полуось гиперболы, расположенную на оси абсцисс);
2) расстояние между фокусами 2с = 10 и эксцеитриситет ε = 5/3; оч и. 12
3) уравнения асимптот у = ±12/5х и расстояние между вершинами равно 48;
4) расстояние между директрисами равно 7 1/7 и эксцентриситет ε = 7/5;
5) уравнения асимптот у = ± 4/3x и расстояние между директрисами равно 6 2/5.
517. Определить полуоси а и b каждой из следующих гипербол:
1) x 2 /9 - y 2 /4 = 1; 2) x 2 /16 - y 2 = 1; 3) x 2 - 4y 2 = 16;
4) x 2 - y 2 = 1; 5) 4x 2 - 9y 2 = 25; 6) 25x 2 -16y 2 = 1;
7) 9x 2 - 64y 2 = 1.
518. Дана гипербола 16x 2 - 9y 2 = 144. Найти: 1) полуоси а и b; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения асимптот; 5) уравнения директрис.
519. Дана гипербола 16x 2 - 9у 2 = -144. Найти: 1) полуоси a и b; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения асимптот; 5) уравнения директрис.
520. Вычислить площадь треугольника, образованного асимптотами гиперболы x 2 /4 - y 2 /9 = 1 и прямой 9x + 2y - 24 = 0.
521. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:
1) y = +2/3√(x 2 - 9); 2) y = -3√(x 2 + 1)
3) x = -4/3√(y 2 + 9); 4) +2/5√(x 2 + 25)
522. Дана точка M 1 (l0; - √5) на гиперболе - x 2 /80 - y 2 /20 = 1. Составить уравнения прямых, на которых лежат фокальные радиусы точки M 1 .
523. Убедившись, что точка M 1 (-5; 9/4) лежит на гилерболе x 2 /16 - y 2 /9 = 1, определить фокальные радиусы точки M 1 .
524. Эксцентриситет гиперболы ε = 2, фокальный ра-диус ее точки М, проведенный из некоторого фокуса, равен 16. Вычислить расстояние от точки М до односторонней с этим фокусом директрисы.
525. Эксцентриситет гиперболы ε = 3, расстояние от точки, М гиперболы до директрисы равно 4. Вычислить расстояние от точки М до фокуса, одностороннего с этой директрисой.
526. Эксцентриситет гиперболы ε = 2, центр ее лежит в начале координат, один из фокусов F(12; 0). Вычислить расстояние от точки M 1 гиперболы с абсциссой, равной 13, до директрисы, соответствующей заданному фокусу.
527. Эксцентриситет гиперболы ε = 3/2, центр ее лежит в начале координат, одна из директрис дана уравнением х = -8. Вычислить расстояние от точки M 1 гиперболы с абсциссой, равной 10, до фокуса, соответствующего заданной директрисе.
528. Определить точки гиперболы - x 2 /64 - y 2 /36 = 1, расстояние которых до правого фокуса равно 4,5.
529. Определить точки гиперболы x 2 /9 - y 2 /16 = 1, расстояние которых до левого фокуса равно 7.
530. Через левый фокус гиперболы x 2 /144 - y 2 /25 = 1 про-веден перпендикуляр к ее оси, содержащей вершины. Определить расстояния от фокусов до точек пересечения этого перпендикуляра с гиперболой.
531. Пользуясь одним циркулем, построить фокусы гиперболы x 2 /16 - y 2 /25 = 1 (считая, что оси координат изображены и масштабная единица задана).
532. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны:
1) точки М 1 (6; -1) и М 2 (-8; 2√2) гиперболы;
2) точка M 1 (-5; 3) гиперболы и эксцентриситет ε = √2;
3) точка M 1 (9/2;-l) гиперболы и уравнения асимптот у = ± 2.3х;
4) точка M 1 (-3 ; 5.2) гиперболы и уравнения директрис х = ± 4/3;
5) уравнения асимптот у = ±-3/4х и уравнения директрис х = ± 16/5
533. Определить эксцентриситет равносторонней гиперболы.
534. Определить эксцентриситет гиперболы, если отрезок между ее вершинами виден из фокусов сопряженной гиперболы под углом в 60°.
535. Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса x 2 /25 + y 2 /9 = 1. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет ε = 2.
536. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат в вершинах эллипса x 2 /100 + y 2 /64 = 1, а директрисы проходят через фокусы этого эллипса.
537. Доказать, что расстояние от фокуса гиперболы x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 до ее асимптоты равно b.
538. Доказать что произведение расстояний от любой точки гиперболыx x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 до двух ее асимптот есть величина постоянная, равная a 2 b 2 /(a 2 + b 2)
539. Доказать, что площадь параллелограмма, ограниченного асимптотами гиперболы x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 и прямыми, проведенными через любую ее точку параллельно асимптотам, есть величина постоянная, равная ab/2.
540. Составить уравнение гиперболы, если известны ее полуоси а и b, центр С(х 0 ;у 0) и фокусы расположены на прямой: 1) параллельной оси Ох; 2) параллельной оси Оу.
541. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты ее центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис:
1) 16x 2 - 9у 2 - 64x - 54у - 161 =0;
2) 9x 2 - 16у 2 + 90x + 32y - 367 = 0;
3) 16x 2 - 9у 2 - 64x - 18у + 199 = 0.
542. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:
1) у = - 1 + 2/3√(x 2 - 4x - 5);
2) у = 7- 3/2√(х 2 - 6х + 13);
3) x = 9 - 2√(y 2 + 4y + 8);
4) Х = 5 + 3/4√(y 2 + 4y - 12).
Изобразить эти линии на чертеже.
543. Составить уравнение гиперболы, зная, что:
1) расстояние между ее вершинами равно 24 и фокусы суть F 1 (-10;2), F 2 (16; 2);
2) фокусы суть F 1 (3;4), F 2 (-3; -4) и расстояние между директрисами равно 3,6;
3) угол между асимптотами равен 90° и фокусы суть F 1 (4; -4), F 1 (- 2;2).
544. Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет ε = 5/4, фокус F (5; 0) и уравнение соответствующей директрисы 5х - 16 = 0.
545. Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет е - фокус F(0; 13) и уравнение соответствующей директрисы 13y - 144 = 0.
546. Точка А (-3; - 5) лежит на гиперболе, фокус которой F (-2;-3), а соответствующая директриса дана уравнением x + 1 = 0. Составить уравнение этой гиперболы.
547. Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет ε = √5, фокус F(2;-3) и уравнение соответствующей директрисы Зх - у + 3 = 0.
548. Точка M 1 (1; 2) лежит на гиперболе, фокус которой F(-2; 2), а соответствующая директриса дана уравнением 2х - у - 1 = 0. Составить уравнение этой гиперболы.
549. Дано уравнение равносторонней гиперболы х 2 - у 2 = а 2 . Найти ее уравнение в новой системе, приняв за оси координат ее асимптоты.
550. Установив, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, найти для каждой из них центр, полуоси, уравнения асимптот и построить их на чертеже: 1) ху = 18; 2) 2ху - 9 = 0; 3) 2ху + 25 = 0.
551. Найти точки пересечения прямой 2x - y - 10 = 0 и гиперболы х 2 /20 - y 2 /5 = 1.
552. Найти точки пересечения прямой 4х - 3y - 16 = 0 и гиперболы х 2 /25 - y 2 /16 = 1.
553. Найти точки пересечения прямой 2x - y + 1 = 0 и гиперболы х 2 /9 - y 2 /4 = 1.
554. В следующих случаях определить, как расположена прямая относительно гиперболы: пересекает ли, касается или проходит вне ее:
1) x - y - 3 = 0, х 2 /12 - y 2 /3 = l;
2) x - 2y + 1 = 0, х 2 /16 - y 2 /9 = l;
555. Определить, при каких значениях m прямая y = 5/2x + m
1) пересекает гиперболу x 2 /9 - y 2 /36 = 1; 2) касается ее;
3) проходит вне этой гиперболы.
556. Вывести условие, при котором прямая у = kx + m касается гиперболы х 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1.
557. Составить уравнение касательной к гиперболе х 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 в ее точке Af, (*,; #i).
558. Доказать, что касательные к гиперболе, про-веденные в концах одного и того же диаметра, параллельны.
559. Составить уравнения касательных к гиперболе х 2 /20 - y 2 /5 = 1, перпендикулярных к прямой 4x + Зy - 7 = 0.
560. Составить уравнения касательных к гиперболе x 2 /16 - y 2 /64 = 1, параллельных прямой 10x - 3y + 9 = 0.
561. Провести касательные к гиперболе x 2 /16 - y 2 /8 = - 1 параллельно прямой 2x + 4y - 5 = 0 и вычислить расстояние d между ними.
562. На гиперболе x 2 /24- y 2 /18 = 1 найти точку М 1 , ближайшую к прямой Зx + 2y + 1 = О, и вычислить расстояние d от точки M x до этой прямой.
563. Составить уравнение касательных к гиперболе х 2 - y 2 = 16, проведенных из точки A(- 1; -7).
564. Из точки С(1;-10) проведены касательные к гиперболе x 2 /8 - y 2 /32 = 1. Составить уравнение хорды, соединяющей точки касания.
565. Из точки Р(1; -5) проведены касательные к гиперболе x 2 /3 - y 2 /5 = 1. Вычислить расстояние d от точки Р до хорды гиперболы, соединяющей точки касания.
566. Гипербола проходит через точку А(√6; 3) и касается прямой 9x + 2у - 15 == 0. Составить уравнение этой гиперболы при условии, что ее оси совпадают с осями координат.
567. Составить уравнение гиперболы, касающейся двух прямых: 5x - 6y - 16 = 0, 13x - 10y - 48 = 0, при условии, что ее оси совпадают с осями координат.
568. Убедившись, что точки пересечения эллипса x 2 /3 - y 2 /5 = 1 и гиперболы x 2 /12 - y 2 /3 = 1 являются вершинами прямоугольника, составить уравнения его сторон.
569. Даны гиперболы x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 и какая-нибудь ее касательная: Р - точка пересечения касательной с осью Ox, Q - проекция точки касания на ту же ось. Доказать, что ОР OQ = а 2 .
570. Доказать, что фокусы гиперболы расположены по разные стороны от любой ее касательной.
571. Доказать, что произведение расстояний от фокусов до любой касательной к гиперболе x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 есть величина постоянная, равная b 2 .
572. Прямая 2x - y - 4 == 0 касается гиперболы, фокусы которой находятся в точках F 1 (-3; 0) и F 2 (3;0). Составить уравнение этой гиперболы.
573. Составить уравнение гиперболы, фокусы кото-рой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если известны уравнение касательной к гиперболе 15x + 16y - 36 = 0 и расстояние между ее вершинами 2а = 8.
574. Доказать, что прямая, касающаяся гиперболы в некоторой точке М, составляет равные углы с фокальными радиусами F 1 M, F 2 M и проходит внутри угла F 1 MF 2 . Х^
575. Из правого фокуса гиперболы x 2 /5 - y 2 /4 = 1 под углом α(π
576. Доказать, что эллипс и гипербола, имеющие общие фокусы, пересекаются под прямым углом.
577. Коэффициент равномерного сжатия плоскости к оси Ох равен 4/3 . Определить уравнение линии, в которую при этом сжатии преобразуется гипербола x 2 /16 - y 2 /9 = 1. Указание. См. задачу 509.
578. Коэффициент равномерного сжатия плоскости к оси Оу равен 4/5. Определить уравнение линии, в которую при этом сжатии преобразуется гипербола x 2 /25 - y 2 /9 = 1.
579. Найти уравнение линии, в которую преобразуется гипербола х 2 - у 2 = 9 при двух последовательных равномерных сжатиях плоскости к координатным осям, если коэффициенты равномерного сжатия плос- кости к осям Ох и Оу соответственно равны 2/3 и 5/3.
580. Определить коэффициент q равномерного сжатия плоскости к оси Ох, при котором гипербола - x 2 /25 - y 2 /36 = 1 преобразуется в гиперболу x 2 /25 - y 2 /16 = 1.
581. Определить коэффициент q равномерного сжатия плоскости к оси Оу, при котором гипербола x 2 /4 - y 2 /9 = 1 преобразуется в гиперболу x 2 /16 - y 2 /9 = 1.
582. Определить коэффициенты q 1 и q 2 двух последовательных равномерных сжатий плоскости к осям Ох и Оу, при которых гипербола x 2 /49 - y 2 /16 = 1 преобразуется в гиперболу x 2 /25 - y 2 /64 = 1.