Линии второго порядка. Эллипс и его каноническое уравнение
Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек F_1 , и F_2 есть величина постоянная (2a) , бо́льшая расстояния (2c) между этими заданными точками (рис.3.36,а). Это геометрическое определение выражает фокальное свойство эллипса .
Фокальное свойство эллипса
Точки F_1 , и F_2 называются фокусами эллипса, расстояние между ними 2c=F_1F_2 - фокусным расстоянием, середина O отрезка F_1F_2 - центром эллипса, число 2a - длиной большой оси эллипса (соответственно, число a - большой полуосью эллипса). Отрезки F_1M и F_2M , соединяющие произвольную точку M эллипса с его фокусами, называются фокальными радиусами точки M . Отрезок, соединяющий две точки эллипса, называется хордой эллипса.
Отношение e=\frac{c}{a} называется эксцентриситетом эллипса. Из определения (2a>2c) следует, что 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
Геометрическое определение эллипса , выражающее его фокальное свойство, эквивалентно его аналитическому определению - линии, задаваемой каноническим уравнением эллипса:
Действительно, введем прямоугольную систему координат (рис.3.36,в). Центр O эллипса примем за начало системы координат; прямую, проходящую через фокусы (фокальную ось или первую ось эллипса), примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки F_1 к точке F_2 ); прямую, перпендикулярную фокальной оси и проходящую через центр эллипса (вторую ось эллипса), примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат Oxy оказалась правой).
Составим уравнение эллипса, пользуясь его геометрическим определением, выражающим фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов F_1(-c,0),~F_2(c,0) . Для произвольной точки M(x,y) , принадлежащей эллипсу, имеем:
\vline\,\overrightarrow{F_1M}\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow{F_2M}\,\vline\,=2a.
Записывая это равенство в координатной форме, получаем:
\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a.
Переносим второй радикал в правую часть, возводим обе части уравнения в квадрат и приводим подобные члены:
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}=4a^2-4cx.
Разделив на 4, возводим обе части уравнения в квадрат:
A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2).
Обозначив b=\sqrt{a^2-c^2}>0 , получаем b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2 . Разделив обе части на a^2b^2\ne0 , приходим к каноническому уравнению эллипса:
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.
Следовательно, выбранная система координат является канонической.
Если фокусы эллипса совпадают, то эллипс представляет собой окружность (рис.3.36,6), поскольку a=b . В этом случае канонической будет любая прямоугольная система координат с началом в точке O\equiv F_1\equiv F_2 , a уравнение x^2+y^2=a^2 является уравнением окружности с центром в точке O и радиусом, равным a .
Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.49), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому эллипсом. Другими словами, аналитическое определение эллипса эквивалентно его геометрическому определению, выражающему фокальное свойство эллипса.
Директориальное свойство эллипса
Директрисами эллипса называются две прямые, проходящие параллельно оси ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии \frac{a^2}{c} от нее. При c=0 , когда эллипс является окружностью, директрис нет (можно считать, что директрисы бесконечно удалены).
Эллипс с эксцентриситетом 0
В самом деле, например, для фокуса F_2 и директрисы d_2 (рис.3.37,6) условие \frac{r_2}{\rho_2}=e можно записать в координатной форме:
\sqrt{(x-c)^2+y^2}=e\cdot\!\left(\frac{a^2}{c}-x\right)
Избавляясь от иррациональности и заменяя e=\frac{c}{a},~a^2-c^2=b^2 , приходим к каноническому уравнению эллипса (3.49). Аналогичные рассуждения можно провести для фокуса F_1 и директрисы d_1\colon\frac{r_1}{\rho_1}=e .
Уравнение эллипса в полярной системе координат
Уравнение эллипса в полярной системе координат F_1r\varphi (рис.3.37,в и 3.37(2)) имеет вид
R=\frac{p}{1-e\cdot\cos\varphi}
где p=\frac{b^2}{a} фокальный параметр эллипса.
В самом деле, выберем в качестве полюса полярной системы координат левый фокус F_1 эллипса, а в качестве полярной оси - луч F_1F_2 (рис.3.37,в). Тогда для произвольной точки M(r,\varphi) , согласно геометрическому определению (фокальному свойству) эллипса, имеем r+MF_2=2a . Выражаем расстояние между точками M(r,\varphi) и F_2(2c,0) (см. пункт 2 замечаний 2.8):
\begin{aligned}F_2M&=\sqrt{(2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0)}=\\ &=\sqrt{r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2}.\end{aligned}
Следовательно, в координатной форме уравнение эллипса F_1M+F_2M=2a имеет вид
R+\sqrt{r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2}=2\cdot a.
Уединяем радикал, возводим обе части уравнения в квадрат, делим на 4 и приводим подобные члены:
R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac{c}{a}\cdot\cos\varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.
Выражаем полярный радиус r и делаем замену e=\frac{c}{a},~b^2=a^2-c^2,~p=\frac{b^2}{a} :
R=\frac{a^2-c^2}{a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)} \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac{b^2}{a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)} \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac{p}{1-e\cdot\cos\varphi},
что и требовалось доказать.
Геометрический смысл коэффициентов в уравнении эллипса
Найдем точки пересечения эллипса (см. рис.3.37,а) с координатными осями (вершины зллипса). Подставляя в уравнение y=0 , находим точки пересечения эллипса с осью абсцисс (с фокальной осью): x=\pm a . Следовательно, длина отрезка фокальной оси, заключенного внутри эллипса, равна 2a . Этот отрезок, как отмечено выше, называется большой осью эллипса, а число a - большой полуосью эллипса. Подставляя x=0 , получаем y=\pm b . Следовательно, длина отрезка второй оси эллипса, заключенного внутри эллипса, равна 2b . Этот отрезок называется малой осью эллипса, а число b - малой полуосью эллипса.
Действительно, b=\sqrt{a^2-c^2}\leqslant\sqrt{a^2}=a , причем равенство b=a получается только в случае c=0 , когда эллипс является окружностью. Отношение k=\frac{b}{a}\leqslant1 называется коэффициентом сжатия эллипса.
Замечания 3.9
1. Прямые x=\pm a,~y=\pm b ограничивают на координатной плоскости основной прямоугольник, внутри которого находится эллипс (см. рис.3.37,а).
2. Эллипс можно определить, как геометрическое место точек, получаемое в результате сжатия окружности к ее диаметру.
Действительно, пусть в прямоугольной системе координат Oxy
уравнение окружности имеет вид x^2+y^2=a^2
. При сжатии к оси абсцисс с коэффициентом 0 \begin{cases}x"=x,\\y"=k\cdot y.\end{cases}
Подставляя в уравнение окружности x=x"
и y=\frac{1}{k}y"
, получаем уравнение для координат образа M"(x",y")
точки M(x,y)
: (x")^2+{\left(\frac{1}{k}\cdot y"\right)\!}^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
поскольку b=k\cdot a
. Это каноническое уравнение эллипса. 3.
Координатные оси (канонической системы координат) являются осями симметрии эллипса (называются главными осями эллипса), а его центр - центром симметрии. Действительно, если точка M(x,y)
принадлежит эллипсу . то и точки M"(x,-y)
и M""(-x,y)
, симметричные точке M
относительно координатных осей, также принадлежат тому же эллипсу. 4.
Из уравнения эллипса в полярной системе координат r=\frac{p}{1-e\cos\varphi}
(см. рис.3.37,в), выясняется геометрический смысл фокального параметра - это половина длины хорды эллипса, проходящей через его фокус перпендикулярно фокальной оси ( r=p
при \varphi=\frac{\pi}{2}
). 5.
Эксцентриситет e
характеризует форму эллипса, а именно отличие эллипса от окружности. Чем больше e
, тем эллипс более вытянут, а чем ближе e
к нулю, тем ближе эллипс к окружности (рис.3.38,а). Действительно, учитывая, что e=\frac{c}{a}
и c^2=a^2-b^2
, получаем E^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2-b^2}{a^2}=1-{\left(\frac{a}{b}\right)\!}^2=1-k^2,
где k
- коэффициент сжатия эллипса, 0 6.
Уравнение \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
при a
7.
Уравнение \frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1,~a\geqslant b
определяет эллипс с центром в точке O"(x_0,y_0)
, оси которого параллельны координатным осям (рис.3.38,в). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36). При a=b=R
уравнение (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2
описывает окружность радиуса R
с центром в точке O"(x_0,y_0)
. Параметрическое уравнение эллипса
в канонической системе координат имеет вид \begin{cases}x=a\cdot\cos{t},\\ y=b\cdot\sin{t},\end{cases}0\leqslant t<2\pi.
Действительно, подставляя эти выражения в уравнение (3.49), приходим к основному тригонометрическому тождеству \cos^2t+\sin^2t=1
. Пример 3.20.
Изобразить эллипс \frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{1^2}=1
в канонической системе координат Oxy
. Найти полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет, коэффициент сжатия, фокальный параметр, уравнения директрис. Решение.
Сравнивая заданное уравнение с каноническим, определяем полуоси: a=2
- большая полуось, b=1
- малая полуось эллипса. Строим основной прямоугольник со сторонами 2a=4,~2b=2
с центром в начале координат (рис.3.39). Учитывая симметричность эллипса, вписываем его в основной прямоугольник. При необходимости определяем координаты некоторых точек эллипса. Например, подставляя x=1
в уравнение эллипса, получаем \frac{1^2}{2^2}+\frac{y^2}{1^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac{3}{4} \quad \Leftrightarrow \quad y=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}.
Следовательно, точки с координатами \left(1;\,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\!,~\left(1;\,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)
- принадлежат эллипсу. Вычисляем коэффициент сжатия k=\frac{b}{a}=\frac{1}{2}
; фокусное расстояние 2c=2\sqrt{a^2-b^2}=2\sqrt{2^2-1^2}=2\sqrt{3}
; эксцентриситет e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}
; фокальный параметр p=\frac{b^2}{a}=\frac{1^2}{2}=\frac{1}{2}
. Составляем уравнения директрис: x=\pm\frac{a^2}{c}~\Leftrightarrow~x=\pm\frac{4}{\sqrt{3}}
. Кривыми второго порядка
на плоскости называются линии,
определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x
и y
содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола. Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий: где A, B, C, D, E, F
- числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C
не равен нулю. При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются
канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений,
этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами. Определение эллипса.
Эллипсом называется множество
всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами,
есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами. Фокусы обозначены как и
на рисунке ниже. Каноническое уравнение эллипса имеет вид: где a
и b
(a
> b
) - длины
полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат. Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии.
Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка
перпендикулярно этому отрезку. Точка О
пересечения этих прямых служит центром
симметрии эллипса или просто центром эллипса. Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a
, О
) и
(- a
, О
), а ось ординат - в точках (b
, О
) и
(- b
, О
). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок
между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат -
малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями. Если a
= b
,
то уравнение эллипса принимает вид .
Это уравнение окружности радиуса a
, а
окружность - частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности
радиуса a
, если сжать её в a
/b
раз вдоль оси Oy
. Пример 1.
Проверить, является ли линия, заданная
общим уравнением Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос
свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и
сокращение дробей: Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является
каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия - эллипс. Пример 2.
Составить каноническое уравнение эллипса,
если его полуоси соответственно равны 5 и 4. Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем:
бОльшая полуось - это a
= 5
, меньшая полуось -
это b
= 4
. Получаем каноническое уравнение
эллипса: Точки и
, обозначенные зелёным на большей оси, где называются фокусами
. называется эксцентриситетом
эллипса. Отношение b
/a
характеризует "сплюснутость" эллипса.
Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень
вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена
выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда
меньше единицы. Пример 3.
Составить каноническое уравнение эллипса,
если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10. Решение. Делаем несложные умозаключения: Если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось
a
= 5
, Если расстояние между фокусами равно 8, то число c
из
координат фокусов равно 4. Подставляем и вычисляем: Результат - каноническое уравнение эллипса: Пример 4.
Составить каноническое уравнение эллипса,
если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет . Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения
эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a
= 13
.
Из уравнения эсцентриситета выражаем число c
, нужное для вычисления длины меньшей
полуоси: Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси: Составляем каноническое уравнение эллипса: Пример 5.
Определить фокусы эллипса, заданного
каноническим уравнением . Решение. Следует найти число c
, определяющее первые
координаты фокусов эллипса: Получаем фокусы эллипса: Пример 6.
Фокусы эллипса расположены на оси Ox
симметрично
относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если: 1) расстояние между фокусами 30, а большая ось 34 2) малая ось 24, а один из фокусов находится в точке (-5; 0) 3) эксцентриситет
, а один из
фокусов находится в точке (6; 0) Если -
произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и
-
расстояния до этой точки от фокусов , то
формулы для расстояний - следующие: Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов
есть величина постоянная, равная 2a
. Прямые, определяемые уравнениями называются директрисами
эллипса (на чертеже - красные линии
по краям). Из двух вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки эллипса где и -
расстояния этой точки до директрис и
. Пример 7.
Дан эллипс .
Составить уравнение его директрис. Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется
найти эксцентриситет эллипса, т. е. .
Все данные для этого есть. Вычисляем: Получаем уравнение директрис эллипса: Пример 8.
Составить каноническое уравнение
эллипса, если его фокусами являются точки ,
а директрисами являются прямые . Прежде, чем нарисовать эллипс, выясним некоторые его свойства. Свойство 33.1.
Эллипс обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых находятся его фокусы, и центром симметрии. Если эллипс задан каноническим уравнением (33.4), то его осями симметрии служат оси Ox и Oy, начало координат –– центр симметрии.
Доказательство
. Проведем доказательство на основе уравнения (33.4). Пусть эллипс задан уравнением (33.4) и M 1 (x 1 ;y 1)
–– какая-то точка эллипса. Тогда Точка M 2 (-x 1 ; y 1)
является точкой, симметричной точке M 1 относительно оси Oy (рис. 33.2). Рис. 33.2.Симметрия точек Вычисляем значение левой части уравнения (33.4) в точке M 2 В силу равенства (33.6) получаем следовательно, точка M 2
лежит на эллипсе. Точка M 3 (x 1 ; -y 1)
является точкой симметричной точке M 1
относительно оси Ox
(рис. 33.2). Для нее аналогичным путем убеждаемся, что то есть M 3
является точкой эллипса. Наконец точка M 4 (-x 1 ; -y 1)
является симметричной точке M 1
относительно начала координат (рис. 33.2). Повторяя предыдущие рассуждения, получим, что и эта точка тоже лежит на эллипсе. Итак, утверждение доказано, если эллипс имеет уравнение (33.4). А так как по теореме 1 любой эллипс в некоторой системе координат имеет такое уравнение, то лемма полностью доказана. Проведем построение эллипса, заданного уравнением (33.4). Заметим, что из-за симметрии достаточно нарисовать часть эллипса, лежащую в верхней полуплоскости. Уравнение этой линии мы получим, выразив y из уравнения (33.4) и взяв перед корнем знак "+", Построим график этой функции. Область определения – отрезок [-a; a], y(0)=b
, при увеличении переменного x
от 0
до a
функция монотонно убывает. В силу симметрии графика относительно оси Oy
функция y
монотонно растет при изменении от –a
до 0
. Производная Осталось не исследованным поведение кривой вблизи концов отрезка [-α; α ]. Выразим из уравнения (33.4) переменную x
через y
: Рис. 33.3.Эллипс Определение 33.4
.
Точки пересечения эллипса с его осями симметрии называются
вершинами
эллипса, центр симметрии
–– центром
эллипса, отрезок между двумя вершинами, содержащий фокусы, называется большой осью
эллипса, половина его длины
–– большой полуосью
эллипса. Отрезок между вершинами на оси симметрии, не содержащей фокусов, называется
малой осью
эллипса, половина его длины
–– малой полуосью
. Величина называется
эксцентриситетом эллипса
. Определение:
Эллипсом
называется множество точек на плоскости
сумма расстояний от каждой из которых
до двух заданных точек постоянна. М
– произвольная точка эллипса. О –
середина F 1 F 2 .
F 1 F 2 =2с.
Сумма расстояний – 2a.Систему
координат выберем таким образом чтобы
Ох проходило через F 1,
F 2
, а Оу
делило
пополам 2с. F 1 M+
F 2 M=2a.
-
ур-е эллипса. Преобразуем:
;
2a>2c, a>c,a 2 -c 2 =b 2 Очевидно
что каждая точка эллипса удовлетворяет
этому уравнению. Но т.к. в процессе
преобразований мы дважды возводили в
квадрат обе части то необходимо проверить
не получены ли лишние точки. Иначе говоря
нужно проверить что каждая точка
уравнения (4) принадлежит эллипсу.
Предварительно сделаем несколько
замечаний о форме линии, соответствующей
уравнению (4).
Проверим
теперь что каждая точка линии определяемая
полученным уравнением принадлежит
эллипсу. Для этого надо показать что
если координаты точки М(х 0 ,у 0)
удовлетворяют (4) то F 1 M+
F 2 M=2a. Таким
образом лишних точекне появилось. Числа
При
Параметрические
уравнения эллипса
:
Построим две окружности радиусом
Определение.
Эксцентриситет эллипса – отношение
половины расстояния между фокусами к
длине его большей оси:
Так
как
Замечание:
Эксцентриситет
эллипса можно рассматривать как меру
его вытянутости. Чем больше эксцентриситет
тем меньше отношение
(малой
оси эллипса к его большой полуоси). ксцентриситет
гиперболы.
Определение:
Гиперболой
называется геометрическое место точек
плоскости, для которых абсолютная
величина разности расстояний до двух
фиксированных точек F 1
и F 2
этой плоскости, называемых фокусами,
есть величина постоянная и не равная
0. Выберем
опять оси координат и начало координат
посередине отрезка F 1 F 2 .
Расстояние F 1 F 2
равно 2с. А разность расстояний обозначим
через 2а. Из
определения имеем:
И возведем
в квадрат. еще
раз в квадрат. После простых преобразований
получим:
Поделив
обе части на
Как
и в случае эллипса необходимо проверить
что несмотря на двукратное возведение
в квадрат мы не получим лишних точек. И
следовательно уравнение (1) – уравнение
гиперболы. Предварительно
отметим некоторые свойства линии
определяемой уравнением (1). Из уравнения
(1) следует что
Линия
(1) симметрична относительно осей
координат и относительно начала
координат. Видно что
Пусть
М(х 0 ,у 0)
– произвольная точка линии, определяемая
уравнением (1).
далее
в эту формулу подставляем у 0,
раскрываем
скобки, приводим подобные и учитывая
что
При
Таким
образом
.
Получаем что Число
а называется вещественной полуосью
гиперболы, число b
– мнимой полуосью. Точки пересечения
гиперболы с ее осью симметрии называются
вершинами гиперболы. Точки F 1
и F 2
фокусы
гиперболы. О Прямые
Если
а=b
то уравнение гиперболы принимает вид
Эксцентриситет
гиперболы.
Пусть
с- половина расстояния между фокусами
гиперболы, а – действительная полуось
гиперболы. Определение:
Эксцентриситетом
гиперболы называется величина
Учитывая
связь между c,a,b
получим:
Замечание:
Эксцентриситет
гиперболы можно рассматривать как
величину раствора угла между его
асимптотами, т.к.
Параметрическое уравнение эллипса
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
Эллипс, заданный каноническим уравнением
,
эллипсом.
.
.
Продолжаем решать задачи на эллипс вместе
,
.
(33.6)
определена во всех точках интервала (0; a)
и, следовательно, график является гладким (не содержит изломов, касательная есть в любой точке). Вторая производная
отрицательна во всех точках интервала (a; b)
, следовательно, график –– выпуклый вверх.
. Очевидно, что в точке y = 0
эта функция имеет производную, то есть касательная к этому графику в точке (a, 0)
существует. Легко проверить, что она параллельна оси Oy
. Из симметрии эллипса делаем вывод, что это гладкая кривая и строим ее с учетом полученных данных (рис. 33.3).
.
Из уравнений видно что прямая симметрична
относительно начала координат. С
возрастанием
от 0 до а,
убывает
отb
до 0. Точки кривой лежат в прямоугольнике
и
- большая и малая полуоси эллипса.F 1,
F 2
– фокусы
эллипса.
получаем
- уравнение окружности.
и
с центром в начале координат. Из точки
О проведем луч наклоненный к Ох под
угломt.
Проведем горизонтальную прямую через
В и вертикальную через А. Изменяя t
от 0 до 2 π точка М опишет эллипс.
- парам-е уравнения эллипса. При а=b
получим
- параметрические уравнения окружности.
.
,
следовательно
< 1.
,
следовательно,
.
2а<2c,
а
меем:
получим:
.
.
.
Значит в полосе
точек кривой нет. Следовательно кривая
состоит из двух отдельных ветвей, одна
из которых расположена в полуплоскости
(правая
ветвь), а вторая – в полуплоскости -
(левая
ветвь).
.
Если мы докажем что
,
то тем самым мы докажем что уравнение
(1) является уравнением гиперболы.
выделим под каждым корнем полные
квадраты. В результате получим:
.
Пусть
(для
точек правой ветви), тогда.
(для
точек левой ветви) тогда.
.
Значит уравнение (1) – это уравнение
гиперболы. Лишних точек не получилось.
тметим
еще одну особенность формулы гиперболы.
Рассмотрим вместе с гиперболой пару
прямых
.
В первой четверти при одной и той же
абсциссе ординаты точек гиперболы
меньше соответствующих ординат
соответствующих точек прямой, т.к.
.
,
т.к.
.
Т.е. точки гиперболы при неограниченном
увеличении абсцисс как угодно близко
подходят к соответствующим точкам
прямой
.
В силу симметрии точки гиперболы в
других четвертях неограниченно
приближаются к точкам прямых, когда
.
-
асимптоты гиперболы. Асимптоты гиперболы
направлены по диагоналям прямоугольника
со сторонами 2а и 2b,
расположенного симметрично относительно
осей симметрии гиперболы.
.
Такая гипербола называется равнобочной.
.
.
Эксцентриситет гиперболы больше 1.
,
где φ – величина угла между асимптотами
гиперболы.