Ответ : ряд расходится.

Пример №3

Найти сумму ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$. Составим n-ю частичную сумму ряда, т.е. просуммируем первые $n$ членов заданного числового ряда:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac{2}{3\cdot 5}+\frac{2}{5\cdot 7}+\frac{2}{7\cdot 9}+\frac{2}{9\cdot 11}+\ldots+\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}. $$

Почему я пишу именно $\frac{2}{3\cdot 5}$, а не $\frac{2}{15}$, будет ясно из дальнейшего повествования. Однако запись частичной суммы ни на йоту не приблизила нас к цели. Нам ведь нужно найти $\lim_{n\to\infty}S_n$, но если мы просто запишем:

$$ \lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2}{3\cdot 5}+\frac{2}{5\cdot 7}+\frac{2}{7\cdot 9}+\frac{2}{9\cdot 11}+\ldots+\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}\right), $$

то эта запись, совершенно верная по форме, ничего нам не даст по сути. Чтобы найти предел, выражение частичной суммы предварительно нужно упростить.

Для этого есть стандартное преобразование, состоящее в разложении дроби $\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$, которая представляет общий член ряда, на элементарные дроби. Вопросу разложения рациональных дробей на элементарные посвящена отдельная тема (см., например, пример №3 на этой странице). Раскладывая дробь $\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$ на элементарные дроби, будем иметь:

$$ \frac{2}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{A}{2n+1}+\frac{B}{2n+3}=\frac{A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1)}{(2n+1)(2n+3)}. $$

Приравниваем числители дробей в левой и правой частях полученного равенства:

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$

Чтобы найти значения $A$ и $B$ есть два пути. Можно раскрыть скобки и перегруппировать слагаемые, а можно просто подставить вместо $n$ некие подходящие значения. Сугубо для разнообразия в этом примере пойдём первым путём, а следующем - будем подставлять частные значения $n$. Раскрывая скобки и перегруппировывая слагаемые, получим:

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

В левой части равенства перед $n$ стоит ноль. Если угодно, левую часть равенства для наглядности можно представить как $0\cdot n+ 2$. Так как в левой части равенства перед $n$ стоит ноль, а в правой части равества перед $n$ стоит $2A+2B$, то имеем первое уравнение: $2A+2B=0$. Сразу разделим обе части этого уравнения на 2, получив после этого $A+B=0$.

Так как в левой части равенства свободный член равен 2, а в правой части равенства свободный член равен $3A+B$, то $3A+B=2$. Итак, имеем систему:

$$ \left\{\begin{aligned} & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end{aligned}\right. $$

Доказательство будем проводить методом математической индукции. На первом шаге нужно проверить, выполнено ли доказываемое равенство $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ при $n=1$. Мы знаем, что $S_1=u_1=\frac{2}{15}$, но даст ли выражение $\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ значение $\frac{2}{15}$, если подставить в него $n=1$? Проверим:

$$ \frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2\cdot 1+3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{5-3}{15}=\frac{2}{15}. $$

Итак, при $n=1$ равенство $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ выполнено. На этом первый шаг метода математической индукции закончен.

Предположим, что при $n=k$ равенство выполнено, т.е. $S_k=\frac{1}{3}-\frac{1}{2k+3}$. Докажем, что это же равенство будет выполнено при $n=k+1$. Для этого рассмотрим $S_{k+1}$:

$$ S_{k+1}=S_k+u_{k+1}. $$

Так как $u_n=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}$, то $u_{k+1}=\frac{1}{2(k+1)+1}-\frac{1}{2(k+1)+3}=\frac{1}{2k+3}-\frac{1}{2(k+1)+3}$. Согласно сделанному выше предположению $S_k=\frac{1}{3}-\frac{1}{2k+3}$, поэтому формула $S_{k+1}=S_k+u_{k+1}$ примет вид:

$$ S_{k+1}=S_k+u_{k+1}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2k+3}+\frac{1}{2k+3}-\frac{1}{2(k+1)+3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2(k+1)+3}. $$

Вывод: формула $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ верна при $n=k+1$. Следовательно, согласно методу математической индукции, формула $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ верна при любом $n\in N$. Равенство доказано.

В стандартном курсе высшей математики обычно довольствуются "вычёркиванием" сокращающихся слагаемых, не требуя никаких доказательств. Итак, мы получили выражение для n-й частичной суммы: $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$. Найдём значение $\lim_{n\to\infty}S_n$:

Вывод: заданный ряд сходится и сумма его $S=\frac{1}{3}$.

Второй способ упрощения формулы для частичной суммы.

Честно говоря, я сам предпочитаю именно этот способ:) Давайте запишем частичную сумму в сокращённом варианте:

$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{2}{(2k+1)(2k+3)}. $$

Мы получили ранее, что $u_k=\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}$, поэтому:

$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{2}{(2k+1)(2k+3)}=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right). $$

Сумма $S_n$ содержит конечное количество слагаемых, поэтому мы можем переставлять их так, как нам заблагорассудится. Я хочу сначала сложить все слагаемые вида $\frac{1}{2k+1}$, а уж затем переходить к слагаемым вида $\frac{1}{2k+3}$. Это означает, что частичную сумму мы представим в таком виде:

$$ S_n =\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\ldots+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}=\\ =\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{2n+1}-\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{2n+3}\right). $$

Конечно, развёрнутая запись крайне неудобна, поэтому представленное выше равенство можно оформить более компактно:

$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right)=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}. $$

Теперь преобразуем выражения $\frac{1}{2k+1}$ и $\frac{1}{2k+3}$ к одному виду. Я полагаю удобным приводить к виду большей дроби (хотя можно и к меньшей, это дело вкуса). Так как $\frac{1}{2k+1}>\frac{1}{2k+3}$ (чем больше знаменатель, тем меньше дробь), то будем приводить дробь $\frac{1}{2k+3}$ к виду $\frac{1}{2k+1}$.

Выражение в знаменателе дроби $\frac{1}{2k+3}$ я представлю в таком виде:

$$ \frac{1}{2k+3}=\frac{1}{2k+2+1}=\frac{1}{2(k+1)+1}. $$

И сумму $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}$ теперь можно записать так:

$$ \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}. $$

Если равенство $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}$ не вызывает вопросов, то пойдём далее. Если же вопросы есть, то прошу развернуть примечание.

Как мы получили преобразованную сумму? показать\скрыть

У нас был ряд $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}$. Давайте вместо $k+1$ введём новую переменную, - например, $t$. Итак, $t=k+1$.

Как изменялась старая переменная $k$? А изменялась она от 1 до $n$. Давайте выясним, как же будет изменяться новая переменная $t$. Если $k=1$, то $t=1+1=2$. Если же $k=n$, то $t=n+1$. Итак, выражение $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}$ теперь стало таким: $\sum\limits_{t=2}^{n+1}\frac{1}{2t+1}$.

$$ \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}=\sum\limits_{t=2}^{n+1}\frac{1}{2t+1}. $$

У нас есть сумма $\sum\limits_{t=2}^{n+1}\frac{1}{2t+1}$. Вопрос: а не всё ли равно, какую букву использовать в этой сумме? :) Банально записывая букву $k$ вместо $t$, получим следующее:

$$ \sum\limits_{t=2}^{n+1}\frac{1}{2t+1}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}. $$

Вот так и получается равенство $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}$.

Таким образом, частичную сумму можно представить в следующем виде:

$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}. $$

Заметьте, что суммы $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}$ и $\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}$ отличаются лишь пределами суммирования. Сделаем эти пределы одинаковыми. "Забирая" первый элемент из суммы $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}$ будем иметь:

$$ \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}=\frac{1}{2\cdot 1+1}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}=\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}. $$

"Забирая" последний элемент из суммы $\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}$, получим:

$$\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}=\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2(n+1)+1}=\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2n+3}.$$

Тогда выражение для частичной суммы примет вид:

$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}=\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}-\left(\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2n+3}\right)=\\ =\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2n+3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}. $$

Если пропустить все пояснения, то процесс нахождения сокращённой формулы для n-й частичной суммы примет такой вид:

$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k =\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{2}{(2k+1)(2k+3)} =\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right)=\\ =\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3} =\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}-\left(\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2n+3}\right)=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}. $$

Напомню, что мы приводили дробь $\frac{1}{2k+3}$ к виду $\frac{1}{2k+1}$. Разумеется, можно поступить и наоборот, т.е. представить дробь $\frac{1}{2k+1}$ в виде $\frac{1}{2k+3}$. Конечное выражение для частичной суммы не изменится. Процесс нахождения частичной суммы в этом случае я скрою под примечание.

Как найти $S_n$, если приводить к виду иной дроби? показать\скрыть

$$ S_n =\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3} =\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2k+3}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\\ =\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2k+3}-\left(\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2k+3}+\frac{1}{2n+3}\right) =\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}. $$

Итак, $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$. Находим предел $\lim_{n\to\infty}S_n$:

$$ \lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}\right)=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}. $$

Заданный ряд сходится и сумма его $S=\frac{1}{3}$.

Ответ : $S=\frac{1}{3}$.

Продолжение темы нахождения суммы ряда будет рассмотрено во второй и третьей частях.

Ряд, в математике

1. Определения. Р. есть последовательность элементов, составленных по какому-нибудь закону. Если дан Р., то это значит, что указан закон, при помощи которого можно составить сколько угодно элементов Р. По свойству элементов различают Р. чисел, Р. функций и Р. действий. Приведем несколько примеров.

1, 2, 3, 4,..., n,...

есть Р. натуральных чисел;

1, 4, 9, 16,..., п 2 ...

Р. квадратов;

а 0 , а 1 х, а 2 а 2 ,..., а n x n ,...

Р. степенных функций или степенной Р.

1, x, x 2 /(1.2), x 3 /(1.2.3),... x n /(1.2...n),...

0, x, x 2 /2, x 3 /3, x 4 /4... (-1) n-1 x n /n..

Для того, чтобы вычислить числовое значение некоторого выражения надо выполнить Р. действий. Напр.

√[(35 - 3)/2] = √ = √16 = 4.

При помощи Р. действий отыскивается наибольший делитель двух данных чисел.

Р. u 0 , u 1 , u 2 ,... u n ...

назыв. бесконечным, если после всякого элемента u k найдется элемент u k+1 ; в противном же случае Р. назыв. конечным. Напр.

1. 2, 3,... 9, 10

есть конечный Р., потому что не существует элементов после элемента 10.

2. Число, определяемое рядом.

Особенное значение имеют бесконечные Р. вида

(1)... а 1 /10, а 2 /10 2 , ... а n /10 n ,...,

где а 1 , а 2 , а 3 , ... а n ,... целые положительные числа, a 0 как угодно велико; каждое же из остальных чисел а 1 , а 2 , а 3 , ... меньше 10. Такой ряд можно назвать числом, так как возможно сравнивать этот ряд с рациональными числами (см.), можно установить понятия о равенстве, сумме, произведении, разности и частном таких рядов.

Р. (1) обозначим для краткости одною буквою а .

Говорят, что а больше рационального числа p /q , если при достаточно большом n имеет место неравенство

а 0 + а 1 /10 + а 2 /10 2 +... + а n /10 n > p /q

Если же при всяком n

а 0 + а 1 /10 + а 2 /10 2 +... + а n /10 n не > p /q

но при достаточно большом n

а 0 + а 1 /10 + а 2 /10 2 +... + а n /10 n > r /s

где r/s произвольно взятое число, меньшее p /q , то считают а равным p /q .

На этом основании Р.

9/10, 9/10 2 , 9/10 3 ,...

равен единице. Это равенство обозначают так: 0, 999... = 1.

Если а не равно 9, а все последующие числа

a k +1 , a k +2 , a k +3 ,... равны 9, то число а , определяемое Р. (1), равно

а 0 + а 1 /10 + а 2 /10 2 +... + (а k + 1)/10 k .

Если же не все числа а k+1 , а k+2 , а k+3 ...равны 9, то

а = а 0 + а 1 /10 + а 2 /10 2 +... + а k /10 k

Может случиться, что все элементы ряда (1), начиная с а k+1 , равны нулю. В таком случае согласно с высказанным определением

а а 0 + а 1 /10 + а 2 /10 2 +... + (а k +1)/10 k

Такого рода число наз. конечною десятичною дробью.

Из арифметики известно, что при обращении обыкновенной дроби в десятичную получается конечная дробь или бесконечная периодическая. Всякая периодическая десятичная дробь может быть обращена в обыкновенную дробь. Отсюда следует, что бесконечная непериодическая десятичная дробь не может равняться рациональному числу и потому представляет число особого рода, называемое иррациональным (см.).

3. Сходимость и расходимость рядов. Р. чисел

(2)... u 0 , u 1 , u 2 ,... u n ,...

наз. сходящимся, если существует такое число а (рациональное или иррациональное), что при возрастании n численное значение разности

а - (u 0 + u 1 + u 2 +... u n- 1)

становится и остается сколь угодно малым. Такое число a наз. суммою Р. В этом случае пишут

(3)... а = u 0 + u 1 + u 2 +...

и это равенство наз. разложением числа a в бесконечный Р. Если такого числа а не существует, то Р. (2) наз. расходящимся.

Важнейший пример сходящегося Р. представляет геометрическая прогрессия (см.).

1, q, q 2 ,...,

знаменатель которой q по численному значению меньше единицы. В этом случае имеет место разложение

1/(1 - q ) = 1 + q + q 2 +...

Примером расходящегося Р. может служить

1/1, 1/2, 1/3,...

1 + 1/2 + 1/3 +...

не имеет никакого смысла.

Если же члены гармонического Р. взять попеременно со знаками + и -, то получим сходящийся Р. Выражение

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +...

равно логарифму 2, взятому при основании е (см.).

Не имея возможности излагать подробно признаки сходимости, отметим только следующие теоремы.

Данный Р. - сходящийся, если Р. модулей (см.) его членов сходящийся.

Р. v 0 , -v 1 , v 2 , -v 3 ...,

в котором числа v 0 , v 1 , v 2 , v 3 ... положительные, сходящийся, если при возрастании n

lim v n = 0.

Р. с положительными членами

u 0 , u 1 , u 2 ,..., u n ,...

сходящийся, если

lim (u n + 1)/u n

lim (u n + 1)/u n > 1

Если для Р. с положительными членами

но, и 0 , и 1 , u 2 , .., и n ...

отношение

lim (u n + 1)/u n = 1 - r /n + θ ( n ) /n α ,

где r не зависят от n , α > 1 и θ (n ) по численному значению остается постоянно меньше некоторого положительного числа, то Р. сходящийся при r > 1 и расходящийся при r меньше или = 1 (Tannery, "Introduction à la theorie des fonctions d"une variable", p. 84).

4. Условная и абсолютная сходимость. Если Р. (4) v 0 , v 1 , v 2 ,... v n ,...

сходящийся, но Р. модулей его членов расходящийся, то говорят, что Р. (4) условно сходящийся. Напр.

1, -1/2, 1/3, -1/4,...

Р. наз. абсолютно сходящимся, если Р. модулей его членов сходящийся.

Сумма условно-сходящегося Р. изменяется с изменением порядка его членов. Напр.

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +... = log2,

но 1 - 1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/6 - 1/8 +...

1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 +.... = 1/2 log 2.

Сумма абсолютно-сходящегося Р. не зависит от порядка его членов.

Если числа а и b разлагаются в абсолютно-сходящиеся Р.

а = a 0 + a 1 + a 2 +.....,

b = b 0 + b 1 + b 2 +..... .,

a 0 b 0 , a 0 b 1 + a 1 b 0 , a 0 b 2 + a 1 b 2 + a 2 b 0 ,...

абсолютно-сходящийся и, кроме того,

a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0) + (a 0 b 2 + a 1 b 2 + a 2 b 0) +... = ab .

5. Равномерная сходимость. Предположим, что дан Р.

(5)... f 0 (x ), f 1 (x ), f 2 (x ), ..., f n (x ), ...

члены которого суть функции от одной переменной x , которая может принимать как вещественные, так и мнимые (см.) значения. Совокупность значений х, при которых этот Р. сходящийся, образует так называемую область сходимости.

Р. 1, х, 1.2x 2 , 1.2.3x 3 ,...... .,

сходящийся только при x = 0.

Р. 1, х, (1/2 + 1.2x 2), (1/3 + 1.2.3x 3),...

расходящийся при всяком х.

Р. 1, х/ 1, (x 2 /1.2), (x 3 /1.2.3),...

сход. при всяком значении х. Если степенной Р. α 0 , α 1 x, α 2 x 2 ,...

сход. при каком-нибудь значении х, не равном нулю, то этот Р. сход. и при всяком x , модуль которого меньше некоторого числа R . Если воспользоваться геометрическим представлением мнимых величин (см.), то можно сказать, что область сходимости этого Р. есть круг радиуса R .

Примером может служить геометрическая прогрессия

1, x , x 2 , x 3 ,...., у которой радиус круга сходимости равен единице.

Если х принадлежит к области сход. Р. (5), то при всяком n , большем некоторого числа т

mod [f n (x ) + f n+ 1 (x ) + f n+ 2 (x ) +...]

Вообще т зависит от х и от ε, но возможно, в особых случаях, что т зависит только от ε, если значения х принадлежат к некоторой области (S). В таком случае Р. (5) наз. равномерно-сходящимся в области (S ).

Для примера рассмотрим Р.

(6)... (1 - х ), х (1 - х ), х 2 (1 - х )....

ограничиваясь вещественными и положительными значениями х.

Для того, чтобы имело место неравенство

(7)... х n (1 - x ) + x n+ 1 (1 - x ) +... x n

надо взять n > Log ε /Logx

След., в рассматриваемом случае

т = Log ε /Logx.

Как видим, т зависит от х. Как бы велико ни было m , найдутся такие значения х в промежутке (0, 1), что неравенство (7) не будет удовлетворено при всяком n, большем т. Если х = 1, то неравенство (7) удовлетворяется при n больше или = 1

Предположим, что

т = Log ε /Log (1 - α) и n больше или = m

След. Р. (6) равномерно сход. в промежутке (0, 1 - α).

Если в области равномерной сходимости члены ряда

f 0 (x ), f 1 (x ), f 2 (x )...

суть непрерывные функции от x , то и сумма этого Р. - непрерывная функция (см. Разрывность).

Равномерно сход. Р. можно почленно интегрировать или дифференцировать.

Степенные Р.

a 0 , а 1 х, а 2 х 2 ...

обладают равномерною сходимостью внутри круга сходимости.

6. Разложение функций в ряды. В дальнейшем будем предполагать, что независимая переменная вещественная. При помощи формулы Маклорена (см.) получаются следующие разложения:

(эти формулы справедливы при всяком x ).

Для того, чтобы при помощи формулы (9) вычислить, напр., cos 2°, надо вместо x подставить отношение к радиусу длины дуги, содержащей 2 градуса.

В форм. (11) логарифм взят при основании е . Эта форм. неудобна для вычисления логарифмов, так как надо брать очень много членов Р. для получения даже незначительной точности. Более удобна для вычисления формула 13-я, которая выводится из формулы (11), полагая

(1 + х )/(1 - х ) = (a + z)/z

в разложении функции log(1 + x ) - log(l - x ).

Полагая а = 1, z = 1, найдем log2;

" а = 1, z = 1, " log5;

а + z = 3 4 , а = 80, " log3;

а + z = 7 4 , а = 2400, " log7;

Умножив найденные натуральные логарифмы этих чисел на

М= 1/log10 = 0,43429 44819 03251 82765...,

получим обыкновенные логарифмы (при основании 10) тех же чисел (см.).

Форм. (12) справедлива при х = 1, если m > -1, и при x = -1, если m > 0 (Abel, "Oeuvres complètes", 1881, p. 245).

При помощи непосредственного деления разлагаются в степенные Р. рациональные функции. Можно воспользоваться для этой цели и способом неопределенных коэффициентов. Полагая, напр.

1/(1 + 2t + 5t 3 + 3t 3) = y 0 + y 1 t + y 2 t 2 + y 3 t 3 +...,

y 0 = 1, y 1 + 2y 0 = 0, y 2 + 2y 1 + 5y 0 = 0,

y 3 + 2y 2 + 5 у 1 + 3 у 0 = 0,

y 4 + 2y 3 + 5 у 2 + 3 у 1 = 0 и т. д.

Р. коэффициентов y 0 , у 1 , y 2 ... обладает тем свойством, что четыре последовательных коэфф. связаны соотношением y n +3 + 2y n +2 + 5 у n +1 + 3 у n = 0.

Такого рода Р. наз. возвратными. Из написанных уравнений последовательно определяется y 0 , у 1 , y 2 ...

Разложение данной функции в Р. найдется при помощи интегрального исчисления, если известно разложение в Р. производной. Таким путем получаются разложение

(14)... arc tgx = x - (x 3 /3) + (x 5 /5) -...

(15)... arc sin х = x /1 + 1/2(x 3 /3) + (1.2/2.4)(x 5 /5) +...

справедливые для значений х, удовлетворяющих условиям

Р. (14) при помощи формулы Мэчена (Machin)

π /4 = 4arc tg(1/5) - arc tg(1/239)

дает возможность очень быстро вычислить π с большим числом десятичных знаков. Таким образом Шенкс (Shanks) вычислил π с 707 десятичными знаками. Разложение функций в тригонометрические Р. и разложение эллиптических функций будет изложено впоследствии.

Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. - С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон . 1890-1907 .

Смотреть что такое "Ряд, в математике" в других словарях:

РЯД, бесконечный ряд, выражение члены которого a1, a2,..., an,... числа (числовой ряд) или функции (функциональный ряд). Если сумма первых n членов ряда (частная сумма): Sn= a1+ a2+ ... + an при неограниченном возрастании n стремится к… … Энциклопедический словарь

Содержание. 1) Определение. 2) Число, определяемое рядом. 3) Сходимость и расходимость рядов. 4) Условная и абсолютная сходимость. 5) Равномерная сходимость. 6) Разложение функций в ряды. 1. Определения. Р. есть последовательность элементов,… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Имеет несколько значений: Ряд совокупность однородных, похожих предметов, расположенных в одну линию. Ряд совокупность каких нибудь явлений, следующих одно за другим в определённом порядке. Ряд некоторое, немалое количество, например «ряд стран» … Википедия

Ряд, бесконечная сумма, например вида u1 + u2 + u3 +... + un +... или, короче, . (1) Одним из простейших примеров Р., встречающихся уже в элементарной математике, является сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии 1 + q + q 2 +... + q… … Большая советская энциклопедия

Ряд Тейлора разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Брука Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора его использовали ещё в XVII веке Грегори, а… … Википедия

Ряд Тейлора разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон. Ряды… … Википедия

Разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон. Ряды Тейлора… … Википедия

Ряд Мёбиуса функциональный ряд вида Этот ряд был исследован Мёбиусом, который нашел для этого ряда формулу обращения: где функция Мёбиуса … Википедия

I м. 1. Совокупность однородных предметов, расположенных в одну линию. отт. Строй в одну линию; шеренга. 2. Линейная последовательность мест для сидения в театре, кино и т.п. отт. Лица, занимающие такие места. 3. Расположенные в одну линию ларьки … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

Книги

• Математика наблюдателей и ее приложения к квантовой механике, теории относительности и классической математике , Б. С. Хоц, Д. Б. Хоц. В этой книге представлены результаты авторов, относящиеся к Математике наблюдателей (авторское назввание Observer s Mathematics). Эта математика была впервые введена авторами, были изучены ее…

Основные определения

Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом.

При этом числа будем называть членами ряда, а un - общим членом ряда.

Определение. Суммы, n = 1, 2, … называются частными (частичными) суммами ряда.

Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S1, S2, …,Sn, …

Определение. Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда - предел последовательности его частных сумм.

Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.

Свойства рядов

1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.

2) Рассмотрим два ряда и, где С - постоянное число.

Теорема. Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд тоже сходится, и его сумма равна СS. (C 0)

3) Рассмотрим два ряда и. Суммой или разностью этих рядов будет называться ряд, где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами.

Теорема. Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно S и, то ряд тоже сходится и его сумма равна S + .

Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.

Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.

О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.

При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.

Критерий Коши.

(необходимые и достаточные условия сходимости ряда)

Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал такой номер N, что при n > N и любом p > 0, где р - целое число, выполнялось бы неравенство:

Доказательство. (необходимость)

Пусть, тогда для любого числа найдется номер N такой, что неравенство

выполняется при n>N. При n>N и любом целом p>0 выполняется также неравенство. Учитывая оба неравенства, получаем:

Необходимость доказана. Доказательство достаточности рассматривать не будем.

Сформулируем критерий Коши для ряда.

Для того, чтобы ряд был сходящимся необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал номер N такой, что при n>N и любом p>0 выполнялось бы неравенство

Однако, на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно. Поэтому, как правило, используются более простые признаки сходимости:

1) Если ряд сходится, то необходимо, чтобы общий член un стремился к нулю. Однако, это условие не является достаточным. Можно говорить только о том, что если общий член не стремится к нулю, то ряд точно расходится. Например, так называемый гармонический ряд является расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю.

На практике часто не столь важно найти сумму ряда, как ответить на вопрос о сходимости ряда. Для этой цели используются признаки сходимости, основанные на свойствах общего члена ряда.

Необходимый признак сходимости ряда

ТЕОРЕМА 1

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при
, т.е.
.

Кратко : если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю.

Доказательство. Пусть ряд сходится и его сумма равна . Для любого частичная сумма

.

Тогда . 

Из доказанного необходимого признака сходимости вытекает достаточный признак расходимости ряда: если при
общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится.

Пример 4.

Для этого ряда общий член
и
.

Следовательно, данный ряд расходится.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд

Очевидно, что общий член этого ряда, вид которого не указан ввиду громоздкости выражения, стремится к нулю при
, т.е. необходимый признак сходимости ряда выполняется, однако этот ряд расходится, так как его сумма стремится к бесконечности.

Знакоположительные числовые ряды

Числовой ряд, все члены которого положительны, называется знакоположительным.

ТЕОРЕМА 2 (Критерий сходимости знакоположительного ряда)

Для сходимости знакоположительного ряда необходимо и достаточно, чтобы все его частичные суммы были ограничены сверху одним и тем же числом.

Доказательство. Так как для любого
, то, т.е. последовательность
– монотонно возрастающая, поэтому для существования предела необходимо и достаточно ограничение последовательности сверху каким-либо числом.

Эта теорема в большей степени имеет теоретическое, чем практическое значение. Далее приведены другие признаки сходимости, имеющие большее применение.

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

ТЕОРЕМА 3 (Первый признак сравнения)

Пусть даны два знакоположительных ряда:

(1)

(2)

причем, начиная с некоторого номера
, для любого
выполняется неравенство
Тогда:

Схематическая запись первого признака сравнения:

сход.сход.

расх.расх.

Доказательство. 1) Так как отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость, докажем теорему для случая
. Пусть для любого
имеем

, (3)

где
и
- соответственно частичные суммы рядов (1) и (2).

Если ряд (2) сходится, то существует число
. Поскольку при этом последовательность
- возрастающая, ее предел больше любого из ее членов, т.е.
для любого . Отсюда из неравенства (3) следует
. Таким образом, все частичные суммы ряда (1) ограничены сверху числом . Согласно теореме 2 этот ряд сходится.

2) Действительно, если бы ряд (2) сходился, то по признаку сравнения сходился бы и ряд (1). 

Для применения этого признака часто используют такие ряды-эталоны, сходимость или расходимость которых известна заранее, например:

3) - ряд Дирихле (он сходится при
и расходится при
).

Кроме этого часто используют ряды, которые можно получить с помощью следующих очевидных неравенств:

,

,
,
.

Рассмотрим на конкретных примерах схему исследования знакоположительного ряда на сходимость с помощью первого признака сравнения.

Пример 6. Исследовать ряд
на сходимость.

Шаг 1. Проверим знакоположительность ряда:
для

Шаг 2. Проверим выполнение необходимого признака сходимости ряда:
. Так как
, то

(если вычисление предела вызывает трудности, то этот шаг можно пропустить).

Шаг 3. Используем первый признак сравнения. Для этого подберем для данного ряда ряд-эталон. Так как
, то в качестве эталона можно взять ряд
, т.е. ряд Дирихле. Этот ряд сходится, так как показатель степени
. Следовательно, согласно первому признаку сравнения сходится и исследуемый ряд.

Пример 7. Исследовать ряд
на сходимость.

1) Данный ряд знакоположительный, так как
для

2) Необходимый признак сходимости ряда выполняется, ибо

3) Подберем ряд-эталон. Так как
, то в качестве эталона можно взять геометрический ряд

. Этот ряд сходится, следовательно, сходится и исследуемый ряд.

ТЕОРЕМА 4 (Второй признак сравнения)

Если для знакоположительных рядов и существует отличный от нуля конечный предел
, то ряды сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Пусть ряд (2) сходится; докажем, что тогда сходится и ряд (1). Выберем какое-нибудь число , большее, чем . Из условия
вытекает существование такого номера , что для всех
справедливо неравенство
, или, что то же,

(4)

Отбросив в рядах (1) и (2) первые членов (что не влияет на сходимость), можно считать, что неравенство (4) справедливо для всех
Но ряд с общим членом
сходится в силу сходимости ряда (2). Согласно первому признаку сравнения, из неравенства (4) следует сходимость ряда (1).

Пусть теперь сходится ряд (1); докажем сходимость ряда (2). Для этого следует просто поменять ролями заданные ряды. Так как

то, по доказанному выше, из сходимости ряда (1) должна следовать сходимость ряда (2). 

Если
при
(необходимый признак сходимости), то из условия
, следует, чтои– бесконечно малые одного порядка малости (эквивалентные при
). Следовательно, если дан ряд , где
при
, то для этого ряда можно брать ряд-эталон , где общий член имеет тот же порядок малости, что и общий член данного ряда.

При выборе ряда-эталона можно пользоваться следующей таблицей эквивалентных бесконечно малых при
:

1)
; 4)
;

2)
; 5)
;

3)
; 6)
.

Пример 8. Исследовать на сходимость ряд

.

для любого
.

Так как
, то возьмем в качестве ряда-эталона гармонический расходящийся ряд
. Поскольку предел отношения общих членовиконечен и отличен от нуля (он равен 1), то на основании второго признака сравнения данный ряд расходится.

Пример 9.
по двум признакам сравнения.

Данный ряд знакоположительный, так как
, и
. Поскольку
, то в качестве ряда-эталона можно брать гармонический ряд. Этот ряд расходится и следовательно, по первому признаку сравнения, исследуемый ряд также расходится.

Так как для данного ряда и ряда-эталона выполняется условие
(здесь использован 1-й замечательный предел), то на основании второго признака сравнения ряд
– расходится.

ТЕОРЕМА 5 (Признак Даламбера)

существует конечный предел
, то ряд сходится при
и расходится при
.

Доказательство. Пусть
. Возьмем какое-либо число, заключенное между и 1:
. Из условия
следует, что начиная с некоторого номера выполняется неравенство

;
;
(5)

Рассмотрим ряд

Согласно (5) все члены ряда (6) не превосходят соответствующих членов бесконечной геометрической прогрессии
Поскольку
, эта прогрессия является сходящейся. Отсюда в силу первого признака сравнения вытекает сходимость ряда

Случай
рассмотрите самостоятельно.

Замечания :

следует, что остаток ряда

.

Признак Даламбера удобен на практике тогда, когда общий член ряда содержит показательную функцию или факториал.

Пример 10. Исследовать на сходимость ряд по признаку Даламбера.

Данный ряд знакоположительный и

.

(Здесь при вычислении дважды применено правило Лопиталя).

то по признаку Даламбера данный ряд сходится.

Пример 11. .

Данный ряд знакоположительный и
. Поскольку

то данный ряд сходится.

ТЕОРЕМА 6 (Признак Коши)

Если для знакоположительного ряда существует конечный предел
, то при
ряд сходится, а при
ряд расходится.

Доказательство аналогично теореме 5.

Замечания :

Пример 12. Исследовать на сходимость ряд
.

Данный ряд знакоположительный, так как
для любого
. Поскольку вычисление предела
вызывает определенные трудности, то проверку выполнимости необходимого признака сходимости ряда опускаем.

то по признаку Коши данный ряд расходится.

ТЕОРЕМА 7 (Интегральный признак сходимости Маклорена - Коши)

Пусть дан ряд

члены которого положительны и не возрастают:

Пусть, далее
- функция, которая определена для всех вещественных
, непрерывна, не возрастает и

Для того, чтобы вычислить сумму ряда , нужно просто сложить элементы ряда, заданное количество раз. Например:

В приведённом выше примере это удалось сделать очень просто, поскольку суммировать пришлось конечное число раз. Но что делать, если верхний предел суммирования бесконечность? Например, если нам нужно найти сумму вот такого ряда:

По аналогии с предыдущим примером, мы можем расписать эту сумму вот так:

Но что делать дальше?! На этом этапе необходимо ввести понятие частичной суммы ряда . Итак, частичной суммой ряда (обозначается S n ) называется сумма первых n слагаемых ряда. Т.е. в нашем случае:

Тогда сумму исходного ряда можно вычислить как предел частичной суммы:

Таким образом, для вычисления суммы ряда , необходимо каким-либо способом найти выражение для частичной суммы ряда (S n ). В нашем конкретном случае ряд представляет собой убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем 1/3. Как известно сумма первых n элементов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

здесь b 1 - первый элемент геометрической прогрессии (в нашем случае это 1) и q - это знаменатель прогрессии (в нашем случае 1/3). Следовательно частичная сумма S n для нашего ряда равна:

Тогда сумма нашего ряда (S ) согласно определению, данному выше, равна:

Рассмотренные выше примеры являются достаточно простыми. Обычно вычислить сумму ряда гораздо сложнее и наибольшая трудность заключается именно в нахождении частичной суммы ряда. Представленный ниже онлайн калькулятор, созданный на основе системы Wolfram Alpha, позволяет вычислять сумму довольно сложных рядов. Более того, если калькулятор не смог найти сумму ряда, вероятно, что данный ряд является расходящимся (в этом случае калькулятор выводит сообщение типа "sum diverges"), т.е. данный калькулятор также косвенно помогает получить представление о сходимости рядов.

Для нахождения суммы Вашего ряда, необходимо указать переменную ряда, нижний и верхний пределы суммирования, а также выражение для n -ого слагаемого ряда (т.е. собственно выражение для самого ряда).