Стоячие электромагнитные волны. Стоячие волны

Проектирование высокочастотных схем должно учитывать два важных, хотя и несколько таинственных явления: отражения и стоячие волны.

Из нашего опыта с другими областями науки мы знаем, что волны связаны с особыми типами поведения. Световые волны преломляются, когда перемещаются из одной среды (например, воздух) в другую (например, стекло). Водные волны дифрагируют, когда сталкиваются с лодками или большими скалами. Звуковые волны интерферируют, что приводит к периодическим изменениям громкости (так называемые «биения»).

Электрические волны также подвержены поведению, которое мы обычно не связываем с электрическими сигналами. Однако общее отсутствие знакомства с волновой природой электричества не удивительно, потому что во многих схемах эти эффекты незначительны или не существуют. Инженер из цифровой или низкочастотной аналоговой схемотехники может работать в течение многих лет и успешно разрабатывать много схем, не получая глубокого понимания волновых эффектов, которые становятся заметными в высокочастотных схемах.

Как обсуждалось в предыдущей статье, соединение, которое подвержено особому поведению высокочастотного сигнала называется линией передачи. Влияние линии передачи существенно только тогда, когда длина соединения составляет, по меньшей мере, одну четверть длины волны сигнала; таким образом, нам не нужно беспокоиться о свойствах волн, если мы не работаем с высокими частотами или очень длинными соединениями.

Отражение

Отражение, рефракция, дифракция, интерференция - все эти классические волновые поведения применимы к электромагнитному излучению. Но на данный момент мы по-прежнему имеем дело с электрическими сигналами, то есть сигналами, которые еще не были преобразованы антенной в электромагнитное излучение, и, следовательно, нам нужно заняться только двумя из них: отражением и интерференцией.

Аналогия с водной волной

Отражения возникают, когда волна сталкивается с неоднородностью. Представьте себе, что буря привела к тому, что большие волны воды распространяются через нормально спокойную гавань. Эти волны в конечном итоге сталкиваются с твердой каменной стеной. Мы интуитивно знаем, что эти волны отразятся от каменной стены и будут распространяться назад в гавань. Тем не менее, мы также интуитивно знаем, что водные волны, разбивающиеся о пляж, редко приводят к значительному отражению энергии, возвращающейся в океан. В чем разница?

Волны переносят энергию. Когда волны воды распространяются через открытую воду, эта энергия просто перемещается. Однако когда волна достигает неоднородности, плавное движение энергии прерывается; в случае пляжа или скальной стены распространение волн уже невозможно. Но что происходит с энергией, передаваемой волной? Она не может исчезнуть; она должна быть либо поглощена, либо отражена. Каменная стена не поглощает энергию волны, поэтому происходит отражение - энергия продолжает распространяться в волновой форме, но в противоположном направлении. Однако пляж позволяет рассеивать энергию волны более постепенным и естественным образом. Пляж поглощает энергию волны, и поэтому происходит минимальное отражение.

От воды к электронам

Электрические схемы также представляют собой неоднородности, которые влияют на распространение волн; в этом контексте критическим параметром является импеданс. Представьте себе электрическую волну, движущуюся по линии передачи; это эквивалентно водной волне в середине океана. Волна и связанная с ней энергия плавно распространяется от источника к нагрузке. В конце концов, электрическая волна достигает своего назначения: антенны, усилителя и т.д.

Из предыдущей статьи мы знаем, что максимальная передача мощности происходит, когда величина импеданса нагрузки равна величине импеданса источника. (В этом контексте «импеданс источника» также может относиться к характеристическому сопротивлению линии передачи.) При согласованных импедансах действительно нет неоднородности, так как нагрузка может поглощать всю энергию волны. Но если импедансы не совпадают, поглощается только часть энергии, а оставшаяся энергия отражается в виде электрической волны, движущейся в противоположном направлении.

На количество отраженной энергии влияет серьезность рассогласования между импедансами источника и нагрузки. Два наихудших сценария - это разомкнутая цепь и короткое замыкание, соответствующие бесконечному импедансу нагрузки и нулевому импедансу нагрузки соответственно. Эти два случая представляют полную неоднородность; никакая энергия не может быть поглощена, и, следовательно, отражается вся энергия.

Важность согласования

Если вы участвовали в радиочастотном проектировании или тестировании, вы знаете, что согласование импеданса является распространенной темой обсуждений. Теперь мы понимаем, что импедансы должны быть согласованы, чтобы предотвратить отражения. Но зачем так сильно беспокоиться об отражениях?

Первая проблема - просто эффективность. Если у нас есть усилитель мощности, подключенный к антенне, мы не хотим, чтобы половина выходной модности отражалась обратно в усилитель. Ведь цель состоит в том, чтобы генерировать электрическую энергию, которая может быть преобразована в электромагнитное излучение. В общем, мы хотим переместить мощность из источника в нагрузку, а это значит, что отражения должны быть минимальны.

Вторая проблема немного более тонкая. Непрерывный сигнал, передаваемый по линии передачи на несогласованный импеданс нагрузки, приведет к непрерывному отраженному сигналу. Эти падающие и отраженные волны проходят друг к другу, идя в противоположных направлениях. Интерференция приводит к появлению стоячей волны, то есть стационарной волновой форме, равной сумме падающей и отраженной волн. Эта стоячая волна на самом деле создает изменения пиковой амплитуды вдоль физической длины кабеля; определенные места имеют более высокую пиковую амплитуду, а в других местах пиковая амплитуда более низкая.

Стоячие волны приводят к напряжениям, которые выше, чем исходное напряжение передаваемого сигнала, и в некоторых случаях этот эффект является достаточно сильным, чтобы нанести физическое повреждение кабелям и компонентам.

Резюме

• Электрические волны подвержены отражению и интерференции.
• Волны воды отражаются, когда достигают физического препятствия, такого как каменная стена. Аналогичным образом, электрическое отражение возникает, когда сигнал переменного тока сталкивается с неоднородностью импеданса.
• Мы можем предотвратить отражение путем согласования импеданса нагрузки с характеристическим сопротивлением линии передачи. Это позволит нагрузке поглощать энергию волны.
• Отражения являются проблемой, поскольку они уменьшают количество энергии, которое может быть передано от источника к нагрузке.
• Отражения также приводят к появлению стоячих волн; высокоамплитудные участки стоячей волны могут повредить компоненты или кабели.

Стоячие волны возникают в результате интерференции двух монохроматических плоских волн с одинаковой частотой, распространяющихся в противоположных направлениях.

Пусть плоская монохроматическая волна отражается от поверхности, расположенной перпендикулярно направлению распространения волны. После отражения волновой вектор поменяет направление на противоположное и при этом вектор приобретет дополнительный сдвиг фазы (так как отражение происходит от оптически более плотной среды). Тогда для падающей и отраженной волн можно записать

Эти волны будут интерферировать, и по принципу суперпозиции для результирующей стоячей волны получим следующие уравнения:

Из формул (49.1) и (49.2) следует первое важное отличие стоячей волны от бегущей: в стоячей волне колебания векторов и сдвинуты по фазе на , т. е. в те моменты, когда напряженность электрического поля максимальна, напряженность магнитного поля равна нулю и наоборот (рис. 49.1). В бегущей волне колебания и происходят в фазе.

Как видно из выражений (49.1) и (49.2), амплитуда колебаний векторов и в стоячей волне в разных точках пространства оказывается различной. Точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю, называются узлами стоячей волны. Точки, в которых амплитуда имеет максимальное значение, называются пучностями . Для электрического поля амплитуда равна нулю, если . Отсюда следует, что узлы находятся в точках с координатами

(49.3)

Пучности электрического поля расположены в точках, где , т. е.

(49.4)

Из этих выражений видно, что расстояние между смежными узлами (или пучностями) равно половине длины бегущей волны. Таким же образом легко убедиться, что узлы магнитного поля находятся в точках с координатами, определяемыми выражением (49.4), а пучности – выражением (49.3), т. е. в стоячей волне узлы электрического поля совпадают с пучностями магнитного поля и наоборот. При этом на отражающей поверхности находятся узел электрического поля и пучность магнитного. Если отражение происходит от оптически менее плотной среды, то сдвиг фазы на получит вектор и на отражающей поверхности будут пучность электрического поля и узел магнитного.

Из выражений (49.1) и (49.2) следует, что колебания во всех точках, расположенных между двумя соседними узлами, происходят в одной фазе. При переходе через узел фаза колебаний изменяется на . При этом фазовая поверхность не перемещается в пространстве, чем и объясняется само название стоячей волны.

Объемные плотности энергии электрического и магнитного полей и соответственно. Изменения энергии электрического и магнитного полей в стоячей волне происходят с удвоенной частотой и в противофазе. Это означает, что в стоячей волне происходит периодическое преобразование энергии электрического и магнитного полей так, что в моменты, когда энергия электрического поля максимальна, энергия магнитного поля равна нулю и наоборот. В этом тоже заключается существенное отличие стоячих волн от бегущих. Используя формулу (39.10), легко убедиться, что максимальные значения объемной плотности энергий электрического и магнитного полей равны. Для стоячей волны модуль вектора Пойнтинга , а его среднее за период колебаний значение равно нулю. Это означает, что стоячая волна не переносит энергию в пространстве.

Стоячие волны в видимом диапазоне длин волн впервые зарегистрировал Винер в 1890 г. Он установил перед зеркалом под небольшим углом прозрачную пластинку с нанесенным на нее фоточувствительным слоем (рис. 49.2) и после проявления обнаружил на ней чередующиеся темные и светлые полосы, центры которых соответствовали положению узлов и пучностей электрического поля. Опыт Винера явился одним из прямых доказательств электромагнитной природы света.

Упругие волны также могут образовывать стоячую волну. Наглядным примером стоячей упругой волны являются колебания струны с закрепленными краями. Их можно наблюдать на любом струнном музыкальном инструменте (гитара, арфа и др.).

Мы уже говорили, что стоячую упругую волну можно представить как результат суперпозиции двух одинаковых волн, бегущих навстречу друг другу. Это относится и к элект­ромагнитным волнам. Однако надо учесть, что электромагнит­ная волна характеризуется не одним вектором, а двумя взаим­но ортогональными векторами и .

Пусть волна распространяется в положительном направле­нии оси х и описывается уравнениями

(3.3.28)

Для волны, распространяющейся в обратном направлении, как мы знаем, в скобках мину­сы заменяются на плюсы. Кроме того, будем помнить, что векторы , , должны составлять правую тройку.

Это поясняет рис.3.3.2, где в части (а ) показаны возможные ориентации векторов и в волне, распространяющейся в прямом, а в части (б ) – в обратном направлении. Рис.3.3.2.

Таким образом, при сложении волн

либо векторы , либо будут иметь противоположные направления, а, значит, при векторном сложении их модули будут вычитаться. Итак, уравнения встречной вол­ны будут иметь вид:

(3.3.29)

или , . (3.3.30)

В результате суперпозиции двух встречных волн, (3.3.28) и (3.3.29), получим:

Это и есть уравнения стоячей электромагнитной волны . Видно, что в этой волне колебания векторов и сдвинуты по фазе на π/2 как в пространстве, так и во времени. Если в некоторый момент E y во всех точках имело максимальное зна­чение и при этом H z = 0, то через четверть периода картина будет обратной: H z достигнет всюду максимальных значений со сдвигом в пространстве на λ/4, а E y обратится в нуль. Таким образом, в процессе колебаний электрическое поле посте­пенно переходит в магнитное, магнитное - в электрическое Рис.3.3.3.

и т. д. (см. рис.3.3.3). Поскольку колебания векторов и происхо­дят не в фазе, соотношение (3.3.13) оказывается справедливым только для амплитудных значений Ε m и Η m стоячей волны:

(3.3.32)

В стоячей электромагнитной волне энергия переходит из чис­то электрической, имеющей максимумы в пучностях , в маг­нитную с максимумами в пучностях вектора , т. е. смещенным в пространстве на λ/4. Таким образом, происходит преобразование энергии электрического поля в энергию мгнитного и наоборот на расстоянии четверти длины волны. Это аналогично поведению гармоническо­го осциллятора, например математического маятника, где энер­гия переходит из чисто потенциальной (в крайнем положении) в кинетическую (в положении равновесия), и наоборот. Макроскопического переноса энергии не происходит. Отсюда и название волны – стоячая.

Электромагнитная волна на границе раздела диэлектриков

Выясним, что происходит при падении плоской электромагнитной волны на границу раздела двух однородных изотропных прозрачных диэлектриков, магнитная проницаемость которых равна единице (µ = 1). Известно, что при этом возникают отраженная и преломленная волны. Ограничимся рассмотрением частного, но практически важного случая, когда волна падает нормально на границу раздела диэлектриков с показателями преломления n 1 и n 2 .

Обозначим электрическую составляющую в падающей, отраженной и преломленной волнах соответственно через и , а магнитную составляющую - через и . Из соображений симметрии ясно, что колебания векторов и происходят в одной плоскости. Это же относится и к векторам и . На рисунке показаны относительное расположение этих векторов в непосредственной близости от границы раздела и направления распространения всех трех волн, обозначенные векторами , и . Дальнейший расчет покажет, насколько эта картина соответствует действительности.

Воспользуемся граничными условиями для

тангенциальных составляющих векторов и : Рис.3.3.4.

Перепишем эти условия для нашего случая:

(3.3.35)

Согласно (3.3.14),

Тогда но поскольку проекции E’ y и Н’ z , в отраженной волне имеют противоположные знаки (см. рис.3.3.4). Поэтому равенство (3.3.35) можно переписать так: или

(3.3.36)

Решив совместно уравнения (3.3.34) и (3.3.36), получим выражения для Е’ y и Е” y через Е y , которые в векторной форме имеют вид:

(3.3.37)

Отсюда следует, что:

1. Вектор всегда сонаправлен с вектором , т. е. оба вектора колеблются синфазно - при прохождении волны через границу раздела фаза не претерпевает скачка.

2. Это же относится и к векторам и , но при условии, что n 1 > n 2 , т. е. если волна переходит в оптически менее плотную среду. В случае же, когда n 1 < n 2 , дробь в выражении (3.3.37) для оказывается отрицательной, а это означает, что направление вектора противоположно направлению вектора , т. е. колебания этих векторов происходят в противофазе (этому соответствует рис.3.3.4). Другими словами, при отражении волны от оптически более плотной среды фаза колебаний вектора изменяется скачком на π .

Эти результаты мы будем использовать в дальнейшем при изучении интерференции волн, отраженных от поверхностей тонких пластинок.

Коэффициенты отражения и пропускания.

Вопрос об этих коэффициентах мы рассмотрим для случая нормального падения световой волны на границу раздела двух прозрачных диэлектриков. Ранее мы выяснили, что интенсивность I гармонической волны, пропорциональна . Коэффициент отражения, по определению, есть . После подстановки отношения Е’ m /Е m из первой формулы (3.3.37), найдем:

(3.3.38)

Обратим внимание на то, что r не зависит от направления падающей волны на границу раздела: из среды 1 в среду 2, или наоборот. При небольшой разнице показателей преломления граничащих сред этот коэффициент оказывается очень небольшим (на границе стекло – воздух он составляет 0,04)

Аналогично находим и коэффициент пропускания t как отношение I’’ /I . Согласно (3.3.27), I” /I = . Остается учесть вторую формулу из (3.3.37), и мы получим, что коэффициент пропускания

(3.3.39)

Нетрудно убедиться в том, что сумма обоих коэффициентов r + t = 1, как и должно быть.

Лекция 3.4

Поляризация волн. Поляризация света. Способы поляризации.

Как уже указывалось, электромагнитная волна является поперечной. Это значит, что векторы и всегда лежат в плоскости перпендикулярной направлению распространения волны (лучу). Однако, как именно в этой плоскости расположены эти векторы, зависит от источника волны. (В дальнейшем будем вести речь о световом векторе )

В зависимости от длины волны (или частоты) различают несколько видов электромагнитных волн: радиоволны, оптический диапазон, рентгеновское и гамма-излучения. В дальнейшем нас будет интересовать главным образом оптический диапазон длин волн. Его подразделяют на

инфракрасное излучение ………..l ~ 1 мм ÷ 0,76 мкм,

видимое излучение (свет) ……….l ~ 0,76 ÷ 0,40 мкм,

ультрафиолетовое излучение...... .l ~ 0,40 ÷ 0,01 мкм.

Соответствующие длины волн указаны в вакууме.

По классическим представлениям излучение светящегося тела (газа) слагается из волн, испускаемых его атомами. Излучение отдельного атома продолжается порядка 10 -8 c и представляет собой, как говорят, цуг волн . Излучив, атом через некоторое время, придя в возбужденное состояние, излучает опять и т. д. Одновременно излучает множество атомов. Порожденные ими цуги волн, налагаясь друг на друга, образуют испускаемую телом световую волну. Направления колебаний для каждого цуга ориентированы случайным образом. Поэтому в результирующей световой волне колебания светового вектора происходят в разных направлениях с равной вероятностью, оставаясь в плоскости перпендикулярной лучу. Это надо понимать так, что при прохождении световой волны через некоторую точку колебания светового вектора быстро и беспорядочно сменяют друг друга. Такой свет называют неполяризованным или естественным.

Существуют способы упорядочивания колебаний световой волны. Свет, в котором направление колебаний светового вектора упорядочено каким-либо образом, называют поляризованным . Если колебания светового вектора происходят только в одной плоскости, содержащей луч и вектор свет называют плоско- (или линейно -) поляризованным (конец вектора описывает прямую линию в плоскости перпендикулярной лучу. В этом случае вектор меняется только по величине, не меняя направления. Плоскость, в которой происходят колебания светового вектора, называют плоскостью поляризации волны.

Если конец светового вектора описывает в этой плоскости эллипс, то такой свет называют эллиптически-поляризованным . Частным случаем такой поляризации является круговая или циркулярная , когда световой вектор меняется только по направлению, не меняясь по модулю. В зависимости от направления вращения вектора различают правую и левую эллиптические (или круговые) поляризации. Если смотреть навстречу распространения волны, и вектор при этом поворачивается по часовой стрелке, то поляризацию называют правой , в противном случае (если против часовой стрелки) - левой .

Создание принципиально нового источника света - лазера позволило получить плоско-поляризованный свет с высокой степенью монохроматичности. Использование такого источника света сильно упростило экспериментальное решение многих вопросов, связанных с интерференцией, дифракцией и др.

Способы поляризации света.

1. Поляризация при отражении света на границе раздела диэлектриков.

Естественный свет можно представить как наложение (сумму) двух некогерентных (несогласованных) плоскополяризованных волн с взаимно ортогональными плоскостями поляризации.

Рассматривая отражение и преломление волны, падающей под произвольным углом на границу раздела диэлектриков, можно найти соотношения между амплитудами и фазами падающей, отраженной и преломленной волн – так называемые формулы Френеля . При необходимости с ними можно познакомиться во многих учебниках и справочниках.

Мы не будем выписывать эти формулы, поскольку для решения наших вопросов они нам не понадобятся. Важно отметить только, что с помощью этих формул можно показать, что при произвольном угле падения (и соответствующем ему угле преломления ) коэффициенты отражения линейно-поляризованного света, плоскость поляризации которого перпендикулярна плоскости падения () и параллельна ей (), определяются следующими выражениями:

Поскольку эти коэффициенты различны то отраженный и преломленный пучки оказываются частично-поляризованными. В отраженном свете преобладают колебания вектора , перпендикулярные к плоскости падения, а в преломленном свете, параллельные плоскости падения. Степень поляризации обеих волн (отраженной и преломленной) зависит от угла падения. Рис.3.4.1.

При некотором значении угла падения отраженный

свет становится полностью поляризованным, и его плоскость поляризации (плоскость колебаний вектора ) оказывается перпендикулярной к плоскости падения. Такое явление наблюдается, когда = p/2, т.е. отраженный и преломленный лучи ортогональны, и значит, tg(p/2)=∞ .Тогда коэффициент отражения = 0, т. е. отраженный свет будет полностью линейно-поляризованным в плоскости, перпендикулярной плоскости падения. Угол падения, при котором наблюдается такой эффект называется углом Брюстера или углом полной поляризации. Этот угол удовлетворяет следующему условию:

(3.4.2)

На рис.3.4.1. представлена именно такая ситуация. Точками и черточками на отраженном и преломленном лучах этого рисунка показаны направления колебаний вектора .

2. Поляризация при двойном лучепреломлении.

Почти все прозрачные кристаллические диэлектрики оптически анизотропны, т. е. оптические свойства света при прохождении через них зависят от направления. Вследствие этого возникает явление, называемое двойным лучепреломлением . Оно заключается в том, что падающий на кристалл пучок света разделяется внутри кристалла на два пучка, распространяющиеся, вообще говоря, с разными скоростями.

Существуют кристаллы одноосные и двуосные . У одноосных кристаллов один из преломленных пучков подчиняется обычному закону преломления (). Его называют обыкновенным и обозначают буквой или индексом о . Другой пучок необыкновенный (e ), он не подчиняется обычному закону преломления, и даже при нормальном падении светового Рис3.4.2.

пучка на поверхность кристалла необыкновенный пучок может

отклоняться от нормали (рис.3.4.2). И, как правило, необыкновенный луч не лежит в плоскости падения.

Наиболее сильно двойное лучепреломление выражено у таких одноосных кристаллов как кварц (кристаллический), исландский шпат и турмалин.

Далее мы ограничимся рассмотрением только одноосных кристаллов. У одноосных кристаллов имеется направление – оптическая ось 00’ - , вдоль которого обыкновенная и необыкновенная волны распространяются, не разделяясь пространственно и с одинаковой скоростью (у двуосных кристаллов, например слюды, имеются два таких направления).

Оптическая ось 00’ кристалла не является какой-то особой прямой линией. Она характеризует лишь избранное направление в кристалле и может быть проведена через произвольную точку кристалла.

Любую плоскость, проходящую через оптическую ось, называют главным сечением или главной плоскостью кристалла. Обычно пользуются главным сечением (плоскостью), проходящим через световой луч в кристалле.

Обыкновенная и необыкновенная волны (и лучи) линейно поляризованы. Колебания вектора в обыкновенной волне совершаются в направлении, перпендикулярном главному сечению кристалла для обыкновенного луча. Колебания же вектора в необыкновенной волне – в главном сечении кристалла обыкновенного луча. Направления колебаний вектора (т.е. их плоскости поляризации) в обоих пучках показаны на рис.3.4.2, где предполагается, что оба пучка и пересекающая их оптическая ось 00’ лежат в плоскости рисунка. Видно, что в данном случае плоскости поляризации обеих волн (о и е ) взаимно ортогональны . Заметим, что это наблюдается практически при любой ориентации оптической оси, поскольку угол между обыкновенным и необыкновенным лучами достаточно мал.

Оба луча, вышедшие из кристалла, отличаются друг от друга только направлением поляризации, так что названия «обыкновенный» (о ) и «необыкновенный» (е ) имеют смысл только внутри кристалла.

Раздвоение световых лучей обусловлено зависимостью показателя преломления среды от направления светового вектора волны. Световую волну, падающую на кристалл, можно представить как совокупность двух линейно поляризованных волн, у одной из которых плоскость поляризации перпендикулярна главному сечению кристалла (обыкновенный луч ), а у другой – параллельна ему (необыкновенный луч ). Скорость распространения обыкновенной волны и, следовательно, показатель преломления для нее не зависят от направления распространения (т.е. эта волна ведет себя в кристалле как в изотропной среде). Скорость же распространения и показатель преломления необыкновенной волны зависят от направления распространения. Таким образом, законы преломления для необыкновенного луча изменяются, в частности, он может не лежать в плоскости падения. При распространении вдоль оптической оси оба показателя преломления совпадают, поэтому раздвоения луча не происходит. Наибольшее отличие от наблюдается при распространении в направлении перпендикулярном оптической оси.

Поляризаторы. Закон Малюса.

Устройства, с помощью которых можно получить из естественного поляризованный свет (обычно линейно-поляризованный) называются поляризаторами . Действие таких приборов может быть основано на двух вышеназванных явлениях. В любом случае вышедший из поляризатора свет линейно поляризован, а плоскость, проведенная через вектор и вышедший луч, называется плоскостью поляризатора . Поляризатор пропускает лишь волну, колебания вектора в которой параллельны этой плоскости.

Пусть на поляризатор падает плоско-поляризованная волна. Плоскость, проведенная через вектор и луч, называется плоскостью поляризации . Пусть плоскость поляризации падающей волны составляет с плоскостью поляризатора угол . Такую волну можно представить как суперпозицию двух других, у одной из которых плоскость поляризации параллельна плоскости поляризатора, а у другой – перпендикулярна (рис.3.4.3). Поляризатор пропустит лишь первую из них. Из рисунка видно, что . А поскольку интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды, то интенсивность вышедшей из поляризатора волны I связана с интенсивностью падающей I

Соотношение (3.4.3) называется законом Малюса . Если падающий свет естественный, то угол хаотически меняется в пределах от 0 до и при усреднении соотношения (3.4.3)получим интенсивность вышедшего луча

Лекция 3.5

Фазовая и групповая скорости волны. Дисперсия.

В вакууме все электромагнитные волны распространяются с одинаковой скоростью, называемой скоростью света - с. Скорость же распространения волн разных частот в веществе будет различной. Дело в том, что электрические диполи диэлектрика под влиянием электромагнитного поля волны совершают вынужденные колебания. Электромагнитное излучение, вызванное колебаниями этих диполей, создает вторичную волну, которая, накладывается на исходную (первичную) и дает результирующую волну в веществе. Это наложение оказывается достаточно сложным и в результате скорость волны оказывается зависящей от ее частоты.

Строго монохроматическая волна представляет собой бесконечную во времени и пространстве последовательность «горбов» и «впадин», перемещающихся вдоль оси х с фазовой скоростью

С помощью такой волны нельзя передать никакого сигнала, так как каждый последующий «горб» или «впадина» ничем не отличаются от предыдущего.

Однако, как уже отмечалось, монохроматическая волна это идеализация. Реально любая волна представляет собой некую совокупность (суперпозицию) волн с частотами, заключенными в некотором интервале . Если этот интервал невелик, то такая совокупность называется волновым пакетом или группой волн . С помощью такой системы можно передавать сигнал (рис.3.5.1)

Рассмотрим простейший случай. Пусть волновой пакет состоит из двух волн с одинаковыми амплитудами и небольшим отличием по частотам (а следовательно и по волновым числам)

, (3.5.2)

где « и «k . Тогда, сложив эти две волны, получим

Выражение, стоящее в квадратных скобках, можно считать амплитудой волнового пакета (огибающая на рис.3.5.1). Эта амплитуда меняется в пространстве и во времени, но фиксировав некоторое ее значение, например максимум (точка В на рисунке) можно передавать информацию.

Найдем скорость этой точки. Для этого фиксируем некоторое значение амплитуды. За время dt это значение переместится на dx . Тогда можно записать

Откуда получим

Эта величина есть не что иное, как скорость перемещения амплитуды волнового пакета, называемая групповой скоростью . Это также скорость перемещения энергии. Мы получили это выражение для группы, состоящей из двух волн. В общем случае для групповой скорости, которую обозначим u , имеет место выражение

Напомним, что фазовая скорость волны . (3.5.6)

Найдем связь между групповой и фазовой скоростью. Учтем связь между длиной волны и волновым числом . Тогда получим

. (3.5.7)

Из полученного соотношения следует, что, если фазовая скорость не зависит от частоты (или длины волны), то групповая и фазовая скорости одинаковы и форма волнового пакета не меняется. Если же фазовые скорости для разных составляющих пакета различны, то V ≠ u и форма волнового пакета меняется (пакет расплывается).

Явление зависимости фазовой скорости (а, следовательно, и показателя преломления вещества) от длины волны (или частоты) называется дисперсией.

Дисперсия света.

Дисперсия света объясняется зависимостью диэлектрической проницаемости , а, следовательно, и показателя преломления от частоты (или длины волны ). Эта зависимость связана с взаимодействием электромагнитного поля световой волны с атомами и молекулами, показатель преломления при этом становится комплексной величиной, содержащей действительную часть – истинный показатель преломления п и мнимую часть – коэффициент поглощения אּ. В видимой и ультрафиолетовой областях спектра основное значение имеют колебания электронов, а в инфракрасной - колебания ионов.
Согласно классическим представлениям, под действием электрического поля световой волны электроны атомов или молекул совершают вынужденные колебания с частотой, равной частоте приходящей волны . При приближении частоты световой волны к частоте собственных колебаний электронов возникает явление резонанса, обусловливающее поглощение света. Эта теория хорошо объясняет связь дисперсии света с полосами поглощения

На рис 3.5.2. показана зависимость показателя преломления и коэффициента поглощения от отношения частоты волны к собственной частоте электронов. Видно, что в области, где , характер зависимости показателя преломления от частоты волны резко меняется и резко увеличивается коэффициент затухания. Область, где п растет с увеличением частоты, называется нормальной дисперсией, а, если п убывает с ростом частоты – аномальной дисперсией. Из графика видно, что аномальная дисперсия наблюдается при частотах, которые соответствуют сильному поглощению.

Один из самых наглядных примеров дисперсии - разложение белого света при прохождении его через призму (опыт Ньютона). Рассмотрим дисперсию света в призме. Пусть монохроматический пучок света падает на призму с преломляющим углом А и показателем преломления n (рис.3.5.3) под углом .

Рис.3.5.4.	Рис.3.5.3

После двукратного преломления (на левой и правой гранях призмы) луч оказывается преломлен от первоначального направления на угол φ. Очевидно, что угол отклонения лучей призмой зависит от показателя преломления n , а n – функция длины волны, поэтому лучи разных длин волн после прохождения призмы отклоняются на разные углы (рис.3.5.4). Пучок белого света за призмой разлагается в спектр, что и наблюдал Ньютон. Таким образом, с помощью призмы, разлагая свет на монохроматические составляющие, можно определить его спектральный состав.

Лекция 3.6

Интерференция. Условия максимума и минимума интерференции.

Интерференция - это явление наложения двух или нескольких волн, при котором результирующая интенсивность не равна сумме интенсивностей складываемых волн. Интерферировать могут волны любой физической природы. Мы рассмотрим это явление на примере электромагнитных волн.

Пусть в некоторую точку пространства приходят две плоские электромагнитные волны

Cos(t─ + ),

Cos (t─ + ). (3.6.1) Они возбуждают в этой точке колебания напряженности электрического поля

Cos(t + ),

Cos(t + ), (3.6.2) где и - соответствующие начальные фазы. Результирующая напряженность, в соответствии с принципом суперпозиции,

Интенсивность волны пропорциональна среднему по времени квадрату напряженности электрического поля:

I ~ < > = < ( + ) > = < > + < > + 2 < ( · )> (3.6.3)

Здесь усреднение проводится за время наблюдения. Фактически всякий прибор, с помощью которого наблюдают интерференционную картину, обладает некоторой инерционностью, т.е. регистрирует не мгновенную картину, а усредненную за промежуток времени t , необходимый для «срабатывания» прибора. Это и есть время усреднения в (3.6.3).

Первые два слагаемых в правой части (3.6.3) определяют (с учетом коэффициента пропорциональности) интенсивности волн I и I . Интерференция будет наблюдаться, если третье слагаемое будет отличаться от нуля. Для этого вектора и не должны быть взаимно перпендикулярны . В дальнейшем будем полагать, что и параллельны. Рассмотрим идеализированный случай монохроматических плоских волн, т.е. амплитуды, частоты и волновые векторы () будем полагать константами, причем

= = , | | = | | = k .

Однако параллельность векторов и еще не гарантирует отличие от нуля последнего слагаемого в (3.6.3). Для выполнения этого условия необходимо, чтобы модуль амплитуды результирующего колебания в данной точке не ме нялся за время наблюдения. Это возможно лишь в случае, если разность фаз складываемых в этой точке колебаний ( = - ) не зависит от времени. Рис.3.6.1.

Условия максимума и минимума интерференции.

Модуль амплитуды результирующего колебания Е в случае параллельности складываемых колебаний можно определить с помощью векторной диаграммы (рис. 3.6.1)

Е = Е + Е + 2 Е Е cos ( - ) . (3.6.4)

Тогда результирующая интенсивность

I = I + I + 2 . (3.6.5)

В реальных источниках излучателями являются отдельные атомы, не связанные друг с другом ( и меняются независимо). Поэтому разность фаз ( - ) непрерывно изменяется, принимая с равной вероятностью любые значения, так что среднее по времени значение равно нулю.

Тогда суммарная интенсивность равна сумме интенсивностей складываемых волн – интерференция отсутствует .

Если же добиться, чтобы разность фаз в каждой точке пространства оставалась неизменной с течением времени, то значение интенсивности в разных точках пространства будет отличным от суммы интенсивностей складываемых волн и различным в разных точках в зависимости от величины cos ( - ). В частности, при cos ( - ) = 1 интенсивность будет принимать максимальное значение:

I =I +I +2 = . (3.6.6) Как нетрудно видеть, такая интенсивность будет осуществляться при

2m , (3.6.7) где целое число m = 0, 1, 2, …называется порядком максимума интерференции . Если cos ( - ) = -1, интенсивность будет минимальна .

Если две одинаковые бегущие волны распространяются вдоль оси “у” навстречу друг другу, то при наложении этих волн возникают колебания среды, называемые стоячей волной. Для получения уравнения стоячей волны сложим уравнения (1.27):

Произведя тригонометрические преобразования, найдем:

это и есть уравнение стоячей волны.

Величина

есть амплитуда волны. Она зависит от координаты “у” колеблющейся точки и не зависит от времени t, т.е. не наблюдается волнового движения и переноса энергии (отсюда и название -стоячая волна).

В точках, в которых выполняется условие

(m=0, 1, 2, 3,…)

амплитуда стоячей волны максимальна и равна 2А (пучности волны ).

В точках, где , амплитуда стоячей волны обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны . Из Рис. 1.11 видно, что

наименьшее расстояние между соседними пучностями или узлами равно λ/2. Стоячие волны образуются при колебаниях в телах ограниченных размеров вследствие отражения их от границ тел, (например, при колебаниях струны).

Упругие волны, имеющие частоту примерно от 16 до 20000 Гц, воспринимаются ухом человека и называются звуковыми . При частоте ν<16 Гц упругие волны называются инфразвуками , а при ν>20000 Гц – ультразвуковыми . В жидкостях и газах звуковые волны могут быть только продольными. Распространение звука сопровождается попеременным сжатием и растяжением участков среды и соответствующим изменением давления в сравнении с давлением в невозмущенной среде. Переменная составляющая давления ±Dр(акустическое давление ) обусловливает восприятие звука, взывая вынужденные колебания барабанной перепонки уха или мембраны микрофона.

Звуки различают по высоте, тембру и громкости. Звуки, соответствующие синусоидальным волнам (например, от камертонов), называются тонами . Высота тона определяется частотой колебаний. Музыкальные звуки являются наложением ряда гармонических колебаний, образующих акустический спектр звука . Наименьшая частота ν этого спектра (основной тон ) определяет высоту звука, а высшие частоты (обертоны ) – его тембр .

Громкость звука связана с его интенсивностью I, которая характеризует среднее значение плотности потока энергии, переносимой звуковой волной. Ухо человека способно воспринимать звук в широком диапазоне интенсивности. При частоте 1000 Гц границами этого диапазона являются I 0 »10 -12 Вт/м 2 (порог слышимости ) и I max »10 Вт/м 2 (болевой порог ). Значения I 0 и I max зависят от частоты. Громкость звука L как характеристика субъективного восприятия звуковой волны приблизительно пропорциональна логарифму ее интенсивности:

где I 0 – некая стандартная для всех частот начальная интенсивность, принимаемая равной 10 -12 Вт/м 2 (она соответствует порогу слышимости при частоте 1000 Гц). Громкость звука измеряется в белах (Б) . Чаще используют дольную единицу – децибел (дБ) . В этом лучае:

Изменению интенсивности звуковой волны от I 0 до I max соответствует изменение громкости звука от 0 до 130 дБ. Примерные значения L и I для некоторых звуков:

При нормальных атмосферных условиях (t=0 0 С и р=0,1013 МПа) скорость звука в воздухе составляет 344 м/с, а при изменении температуры определяется по формуле:

,

где t с – температура воздуха, 0 С.

1.9. Электромагнитные волны, свет , поляризация света и закон Малюса

Электромагнитные волны возникают при любом ускоренном движении электрических зарядов и в том числе при их колебательном движении.

Электромагнитные волны – это распространение в пространстве взаимосвязанных изменяющихся электрического и магнитного полей. Совокупность этих полей, называется электромагнитным полем . Несмотря на то, что длины электромагнитных волн и их свойства различны, все они, начиная от радиоволн и заканчивая гамма-излучением, – одной физической природы. Исследованный в настоящее время диапазон электромагнитных волн состоит из волн с длинами, соответствующими частотам от 10 3 до 10 24 Гц. По мере убывания длины волны в диапазон включаются радиоволны, инфракрасное излучение, видимый свет, ультрафиолетовое, рентгеновское и гамма-излучения.

Электромагнитное излучение распространяется практически во всех средах. В вакууме электромагнитное излучение распространяется без затуханий на сколь угодно большие расстояния, но в ряде случаев достаточно хорошо распространяется и в пространстве, заполненном веществом (несколько изменяя свое поведение).

Свободное электромагнитное поле не может оставаться постоянным во времени. Чтобы существовало электрическое поле, необходимо изменение магнитного, а для существования магнитного - изменение электрического. Можно показать, что поле не может занимать неизменную область пространства и будет распространяться со скоростью света. Из уравнений Максвелла вытекает, что векторы и в этом поле взаимноперпендикулярны.

Если повернуть буравчик с правой нарезкой от вектора к вектору , то его поступательное движение укажет направление распространения свободного электромагнитного поля.

Значения векторов и вдоль линии распространения свободного электромагнитного поля образуют две синусоиды, расположенные в перпендикулярных плоскостях (Рис. 1.12) и процесс распространения электромагнитного поля имеет характер волны (электрическое и магнитное поля распространяются в пространстве, не изменяя взаимного расположения).

Электромагнитная волна, распространяющаяся вдоль направления , описывается уравнениями типа (1.26):

,

где Е 0 и Н 0 – амплитуды векторов электрической и магнитной напряженно -

Рис. 1.12

стей волны; с – скорость света в вакууме.

При этом в каждой точке пространства, через которую проходит свободное электромагнитное поле (электромагнитная волна), происходят синусоидальные колебания векторов Е и В . В любом проводнике, расположенном вдоль силовых линий или образующем контур, сцепленный с магнитным полем, свободное электромагнитное поле вызовет колебания тока и напряжения (принцип радиоприема).

Важнейшими характеристиками электромагнитного излучения являются:

1. Объемная плотность энергии (энергия содержащаяся в единице объема) электромагнитного поля при отсутствии среды:

ω = ω э + ω м = , (1.31)

Здесь ω э – плотность энергии электрической составляющей поля, ω м – магнитной. Можно показать, что ω э = ω м.

2. Плотность потока энергии (интенсивность) - энергия, переносимая волной за 1 с через единицу перпендикулярной потоку площадки.

, (1.32)

Как следует из (3), интенсивность волны пропорциональна квадрату напряженностей Е и Н, которые, в свою очередь, пропорциональны частоте n волны, т.е. S ~ n 2 . Поэтому источниками наиболее интенсивного электромагнитного излучения являются разнообразные СВЧ излучатели: радары, микроволновые печи, сотовые телефоны и т.п.

Электромагнитное излучение принято делить по частотным диапазонам (см.таблицу 1.1). Между диапазонами нет резких переходов, они иногда перекрываются, а границы между ними условны. Поскольку скорость распространения излучения в вакууме постоянна, то его частота жестко связана с длиной волны.

Таблица 1.1

название диапазона	длины волн, λ	частоты, ν	источники
Радиоволны	сверхдлинные	более 10 км	менее 30 кГц	Атмосферные и магнитосферные явления. Радиосвязь.
длинные	10 км - 1 км	30 кГц - 300 кГц
средние	1 км - 100 м	300 кГц - 3 МГц
короткие	100 м - 10 м	3 МГц - 30 МГц
ультракороткие	10 м - 1 мм	30 МГц - 300 ГГц 4
Инфракрасное излучение	1 мм - 780 нм	300 ГГц - 429 ТГц	Излучение молекул и атомов при тепловых и электрических воздействиях.
Видимое (оптическое излучение)	780 - 380 нм	429 ТГц - 750 ТГц
Ультрафиолетовое	380 - 10 нм	7,5∙10 14 Гц - 3∙10 16 Гц	Излучение атомов под воздействием ускоренных электронов.
Рентгеновские	10 нм - 5 пм	3∙10 16 Гц - 6∙10 19 Гц	Атомные процессы при воздействии ускоренных заряженных частиц.
Гамма	менее 5 пм	более 6∙10 19 Гц	Ядерные и космические процессы, радиоактивный распад.

Свет – это электромагнитное излучение, воспринимаемое человеческим глазом. Световые волны по своей физической природе ничем не отличаются от других электромагнитных волн, например, радиоволн, рентгеновских или гамма – лучей.

Как показывает опыт, зрительные ощущения, фотоэлектрическое и фотохимическое действие света вызываются колебаниями электрического вектора . Поэтому, далее свет мы будем характеризовать световым вектором .

Свет, излучаемый любым нагретым телом, представляет собой наложение огромного количества волн (цугов волн), испущенных его отдельными атомами. Атомы излучают свет независимо друг от друга, т.е. частоты, начальные фазы и пространственная ориентация векторов цугов, создаваемых разными атомами, никак не связаны друг с другом. Время излучения отдельного атома с. За это время излученная им волна успевает распространиться на расстояние . Это и есть длина одного цуга.

Схематически луч естественного света, где присутствуют цуги с любой пространственной ориентацией светового вектора показан, на Рис. 1.13.а, 1.13.в.

поляризованном (б) и частично поляризованном (в) свете.

Свет, в котором колебания вектора происходят только в одном направлении (имеют полярность), называется поляризованным (рис. Рис. 1.13. б).

Свет, в котором вектор имеет преимущественную ориентацию колебаний в каком - либо направлении, называется частично поляризованным (Рис. 1.13. в).

Плоскость, в которой совершает колебания вектор , называется плоскостью колебаний . По историческим причинам плоскость, в которой колеблется вектор , назвали плоскостью поляризации .

Представим каждый вектор в луче естественного света, как сумму двух взаимно перпендикулярных составляющих: = х + y . Тогда формально, луч естественного света можно представить как результат наложения двух поляризованных лучей, в одном из которых, все векторы колеблются вдоль оси х, а в другом – вдоль оси y. Схематически это изображено на Рис. 1.14.

Рис. 1.14. Схематическое изображение луча естественного света.

Естественный свет можно превратить в поляризованный с помощью приборов, которые называются поляризаторами .

Любой поляризатор удобно представить как совокупность параллельных плоскостей, называемых плоскостями пропускания . Если вектор волны, падающей на поляризатор параллелен плоскостям пропускания, то волна проходит через поляризатор. Если перпендикулярен – то не проходит. В промежуточном случае, когда составляет угол с плоскостями пропускания через поляризатор, как видно из Рис.1.15 проходит составляющая .

Рис. 1.15. Прохождение естественного света через поляризатор

Так как интенсивность излучения I пропорциональна Е 2 (см.1.32), то интенсивность света прошедшего через поляризатор:

Соотношение (1.33) носит название закона Малюса (1810): интенсивность света I, прошедшего через поляризатор, прямо пропорциональна интенсивности I 0 падающего света и квадрату косинуса угла между плоскостью пропускания поляризатора и плоскостью колебания светового вектора в падающем луче. Если на поляризатор падает естественный свет, то, т.к. в естественном луче равновероятны все направления колебаний вектора (рис.1.13 а), то и , т.е. поляризатор всегда пропускает половину интенсивности естественного света.

Рис.1.16. Скрещенные поляризатор а) и анализатор б)

Элементом большинства поляризационных приборов является схема (Рис.1.16) состоящая из двух последовательно расположенных на одной оси поляризаторов (второй из них называют анализатором ).

Если их плоскости пропускания взаимно перпендикулярны (скрещенные поляризаторы ), то схема не пропускает естественный свет. Изменение угла между плоскостями пропускания приводит к изменению интенсивности прошедшего через систему света по закону Малюса.

Рассмотрим некоторые способы поляризации.

Пусть луч света падает на плоскопараллельную стеклянную пластинку (Рис.1.17).

Колебания вектора в волне могут быть разложены на колебания в плоскости чертежа, обозначенные стрелками, и на колебания, перпендикулярные плоскости чертежа, обозначенные точками. Если угол падения i 1 луча на пластинку удовлетворяет условию:

Или tgi 1 = n 21 (1.34)

то луч, отраженный от пластинки, оказывается линейно поляризованным . Здесь n 21 – показатель преломления второй среды относительно первой вблизи границы их раздела. Уравнение (1.34) носит название закона Брюстера . Преломленный луч при выполнении условия (1.34) будет частично поляризованным. Можно также показать, что лучи преломленный и отраженный в этом случае будут взаимно перпендикулярными. При других углах падения оба луча будут частично поляризованными.

Все прозрачные кристаллы (кроме кристаллов кубической симметрии) обладают способностью двойного лучепреломления . Явление двойного лучепреломления наблюдается, например, в кристаллах кварца, исландского шпата (СаСО 3), турмалина и др. Этот эффект заключается в том, что направленный на такой кристалл луч даже при нормальном падении делится на два луча, один из которого является продолжением первичного и называется обыкновенным , а другой, в нарушение закона преломления, отклоняется и потому называется необыкновенным (Рис.1.18).

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 30

ИССЛЕДОВАНИЕ СТОЯЧИХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ДВУХПРОВОДНОЙ ЛИНИИ

1. Введение

Двухпроводная линия, или система Лехера, состоит из двух длинных параллельных проводов, натянутых на некотором расстоянии друг от друга. В дальнейшем будем пренебрегать сопротивлением проводов, а также будем считать, что расстояние между проводами значительно меньше, а длина проводов значительно больше длины электромагнитной волны. При этих условиях электромагнитное поле сосредоточено, в основном, между проводами, поэтому система Лехера практически не излучает электромагнитные волны в окружающее пространство, выполняя роль канала для передачи высокочастотной энергии от генератора к приемнику.

Рассмотрим механизм переноса энергии вдоль полубесконечиой двухпроводной линии, индуктивно связанной с генератором высокочастотных, колебаний (рис. 1),

В витке b будут наводиться вынужденные электромагнитные колебания,частота которых совпадает с частотой генератора. Эти колебания, сопровождаемые переменным током проводимости в витке, дают начало электромагнитной волне, распространяющейся вдоль системы. Пусть в некоторый момент времени электрическое поле направлено вверх и увеличивается по абсолютной величине. При этом
– поверхностные заряды, создающие это электрическое поле. Согласно теории Максвелла, изменяющееся электрическое поле, т. е. ток смещения, вызывает появление магнитного поля. Применяя правило буравчика, находим направление магнитного поля , также увеличивающегося по абсолютной величине. Но изменяющееся магнитное поле вызывает появление вихревого электрического поля , направление которого определяется правилом Ленца. Если бы проводов не было, то силовые линии поля содержали бы участки, отмеченные на рис. 1 пунктиром. Наличие проводов деформирует поле так, что силовые линии становятся перпендикулярны проводам, вызывая появление поверхностных зарядов
. При этом в проводах возникают токи проводимости i 1 , которые в любом сечении линии равны по величине и противоположны по направлению. Разумеется также, что возрастающему полю сопутствует появление магнитного поля . Поле в точке 1 направлено противоположно полю и, следовательно, будет уничтожать последнее равно как поле уничтожит . Таким образом, поля и исчезнут, но появятся поля и в соседней точке пространства. В последующие моменты времени явление будет протекать аналогично. Электрические и магнитные поля, взаимно превращаясь друг в друга, распространяются вдоль линии. Если линия находится в вакууме, то скорость переноса энергии практически совпадает со скоростью электромагнитных волн в вакууме.

Распространение электромагнитного поля вдоль линии, как мы видели, сопровождается распространением волн тока проводимости i , поверхностных зарядов , а также волны разности потенциалов U между проводами (в плоскости, перпендикулярной линии). Векторы и перпендикулярны друг другу и скорости распространения волны . В бегущих вдоль неограниченной линии волнах все величины E , В , i , U и колеблются синфазно, одновременно достигая максимального значения и одновременно уменьшаясь до нуля. Если генератор индуцирует в линии гармонические колебания с частотой , то любая из вышеназванных волн может быть описана следующим уравнением:

, (1)

где х – расстояние от начала линии.

Моментальная фотография бегущих вдоль системы Лехера волн, длина которых равна , изображена на рис. 2.

Рассмотрим теперь процессы, происходящие в системе Лехера, если она накоротко замкнута в точке
. В этом случае переменный ток проводимости в правом короткозамкнутом мостике даст начало отраженной электромагнитной волне (а также отраженным волнам i , U , ) распространяющейся в отрицательном направлении оси x . Механизм возникновения и распространения отраженной волны полностью аналогичен ранее рассмотренному механизму распространения прямой волны, возникающей в левом короткозамкнутом витке. Электромагнитная волна, отраженная в точке , распространяется вдоль линии, вновь отражаясь в точке х = 0, и т. д. Многократно отраженные от концов линии волны складывается между собой и с падающей волной, в результате чего в системе возникают сложные электромагнитные колебания.

При произвольной длине ℓ отраженные волны в любой точке линии имеют случайную фазу и, складываясь, в среднем гасят друг друга. В этих условиях амплитуда результирующих колебаний мала, а также мал ток проводимости в линии. Иная картина имеет место, если на длине линии укладывается целое число длин полуволн
(n = 1, 2, … – целое число;
). Волна, пройдя расстояние 2ℓ , не изменяет в этом случае фазу, поэтому многократно отраженные волны в каждую точку линии приходят с неизменной разностью фаз. В зависимости от величины разности фаз или от координаты точки эти волны усиливают или ослабляют друг друга. В линии устанавливаются стоячие волны с наибольшей амплитудой колебаний. В частности, наибольшей величины достигает ток проводимости, и включенная в линию лампочка накаливания загорается наиболее ярко. Говорят, что в этом случае система Лехера настроена в резонанс с частотой генератора.

Опишем математически стоячие волны, рассматривая однократное отражение и считая, что волна в точке отражается, полностью. Тогда уравнение отраженной волны имеет вид

. (2)

Знак «+» у слагаемого связан с тем, что отраженная волна распространяется в отрицательном направлении оси х . Угол  характеризует изменение фазы волны при отражении, причем значение этого скачка различно для различных величин.

Складывая (1) и (2), найдем уравнение стоячей волны

. (3)

Амплитуда колебаний стоячей волны определяется сомножителем

.

В точках, где

,

амплитуда колебаний равна нулю. Эти точки называются узлами стоячей волны. В точках, удовлетворяющих условию

,

амплитуда достигает максимума. Это так называемые пучности стоячей волны. Расстояние между соседними узлами такое же, как и между соседними пучностями, и равно .

Используя граничные условия, найдемизменение фазы при отражении для различных волн.

Касательная составляющая электрического поля на границе идеального проводника (короткозамыкающего мостика) должна быть равна нулю, ибо в противном случае в проводнике возник бы бесконечно большой ток. Для обеспечения нуля на границе напряженность отраженного электрического поля в каждый момент времени имеет направление, противоположное напряженности падающей волны. Иными словами, напряженность бегущей волны и отраженной находятся в противофазе,
, и на границах линии (
) имеет место узел электрического поля.

Разность потенциалов и поверхностная плотность зарядов однозначно определяется напряженностью электрического поля, поэтому на границах линии U и  также имеют узел. Впрочем, последний.результат следует и из иных соображений: разность потенциалов на концах короткозамыкающего проводника всегда равна нулю. Ток в короткозамыкающем проводнике максимален, поэтому величина тока и создаваемое им магнитное поле на краях линии имеют пучность, т. е. в этом случае  = 0. Используя (3), можно теперь конкретизировать уравнение стоячей волны:

,
. (4)

Из (4) следует, что в стоячей электромагнитной волне колебания электрического и магнитного полей происходят не в фазе. Пучности электрического поля совпадают при этом с узлами магнитного поля и наоборот (рис. 3). Причина сдвига фаз заключается в различных условиях отражения на границе для электрического и магнитного полей.

Целью настоящей работы является: 1) изучение распределения напряженности электрического поля и индукции магнитного поля вдоль линии; 2) определение длины электромагнитной волны и частоты колебаний генератора.

2. Описание установки

Установка (рис. 4) состоит из двухпроводной линии N M , генератора электромагнитных колебаний Г и двух сменных зондов: МЗ – для измерения магнитного поли и ЭЗ – для измерения электрического поля. Тот или другой зонд вставляется в соответствующее гнездо на ползуне, который может перемещаться вдоль линии. Положение зонда отсчитывается по шкале. В начале линии помещена лампочка накаливания Л , являющаяся измерителем тока. В конце линии имеется передвижной закорачивающий мостик М , служащий для настройки линии Лехера в резонанс. Генератор питаемся от регулируемого выпрямителя ВУП-2.

Магнитный зонд представляет собой петлю (виток), плоскость которой параллельна плоскости проводов линии. Переменное магнитное поле линии возбуждает в петле ЭДС индукции. Возникающий переменный ток выпрямляется детектором Д и регистрируется микроамперметром постоянного тока.

Электрический зонд представляет собой небольшой диполь, расположенный перпендикулярно проводам линии. Переменное электрическое поле возбуждает в диполе переменный ток, который выпрямляется детектором Д и регистрируется микроамперметром постоянного тока. Зависимость между напряженностью электрического поля Е , индукцией магнитного поля В и токами через измерительный прибор I дет вследствие наличия в цепи детектора не является линейной. Эта зависимость определяется типом детектора, и в наших условиях ее можно считать квадратичной:
и
. Коэффициенты пропорциональности k 1 и k 2 зависят от размеров зондов (диполя и петли), расположения зондов относительно проводов линии и для данной установки являются константами. Отсюда следует:

Е ~
; B ~ . (5)

3. Порядок выполнения работы

Включают выпрямитель питания генератора. После прогрева катода лампы генератора устанавливает ручку анодного напряжения в среднее положение, следя за накалом лампочки в начале линии (лампочку не перекаливать).

Перемещением мостика М настраивают систему в резонанс с генератором по максимуму накала лампочки, уменьшая при этом, если, нужно, анодное напряжение (не перекаливать лампочку).

Поместив в гнездо на ползуне один из зондов, перемещает его вдоль всей линии и снимают зависимость показаний прибора от длины линии I дет (х ).

Заменяют зонд и повторяют измерения. Измерения проводят через 2 – 5 см, отмечая особо точки максимумов и минимумов. Для каждого зонда подбирают анодное напряжение на лампе генератора такими, чтобы в пучности отклонение стрелки микроамперметра было не менее 2/3 шкалы. Результаты измерений заносят в таблицы.

Э – зонд Таблица 1

I дет

М – зонд Таблица 2 среднее расстояние между соседними узлами стоячей волны, найденное из линией длиной L = 10 ... Установка для исследования индивидуальных средств безопасности... 102 МГц в системе устанавливаются стоячие электромагнитные волны . Перемещая вдоль проводов газоразрядную...

И контрольные задания по физике

Учебно-методическое пособие

Веществом. Дозиметрические величины. Основные методы исследования радиоактивных излучений. Тема 19. ... шестым узлами равно 1,5 м. По двухпроводной линии , в которой распространяется стоячая электромагнитная волна , перемещается лампочка, контакты которой...

Программа дисциплины «Электромагнитные поля и волны» для направления 210700. 62 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи»

Программа дисциплины

... электромагнитных волн в линиях передачи. Ортогональность волн в линиях передачи. Эквивалентные параметры линии связи. Коэффициенты отражения и стоячей волны . Входное сопротивление линии ...

Конспект лекций 2010 г. Содержание 1 Средства измерений технологических параметров 4 1Средства измерения давления 12

Конспект лекций

И научных исследованиях . Чувствительные элементы... передается по искробезопасной двухпроводной линии дистанционной передачи... 1.3.3.2 Электромагнитные расходомеры. В основе электромагнитных расходомеров... микрофонов вблизи узлов стоячей волны . При скорости...