Интересные факты о теореме Пифагора: узнаем новое об известной теореме. Для чего нужны "Пифагоровы штаны"

ПИФАГОРОВЫ ШТАНЫ НА ВСЕ СТОРОНЫ РАВНЫ

Это язвительное замечание (которое в полном виде имеет продолжение: чтобы это доказать, нужно снять и показать), придуманное кем-то, по-видимому, потрясенным внутренним содержанием одной важной теоремы евклидовой геометрии, как нельзя точно раскрывает отправную точку, из которой цепь совсем несложных размышлений быстро приводит к доказательству теоремы, а также к еще более значимым результатам. Теорема эта, приписываемая древнегреческому математику Пифагору Самосскому (6 век до нашей эры), известна чуть ли не каждому школьнику и звучит так: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Пожалуй, многие согласятся, что геометрическая фигура, обозванная шифровкой "пифагоровы штаны на все стороны равны", называется квадратом. Ну и с улыбкой на лице добавим безобидной шутки ради, что имелось в виду в продолжении шифрованного сарказма. Итак, "чтобы это доказать, нужно снять и показать". Ясно, что "это" - под местоимением подразумевалась непосредственно теорема, "снять" - это получить в руки, взять названную фигуру, "показать" - имелось в виду слово "покасать", привести в соприкосновение какие-то части фигуры. Вообще "пифагоровыми штанами" окрестили напоминавшую по виду штаны графическую конструкцию, получавшуюся на чертеже Евклида при весьма сложном доказательстве им теоремы Пифагора. Когда нашлось доказательство проще, быть может, какой-то рифмоплет сочинил эту скороговорку- подсказку, чтобы не запамятовать начало подхода к доказательству, а народная молва уж разнесла ее по свету как пустую поговорку. Так вот если взять квадрат, и внутрь него поместить меньший квадрат так, чтобы центры их совпадали, и повернуть притом меньший квадрат до соприкосновения его углов со сторонами большего квадрата, то на большей фигуре окажутся выделены сторонами меньшего квадрата 4 одинаковых прямоугольных треугольник Отсюда уже лежит прямой путь к доказательству известной теоремы. Пусть сторону меньшего квадрата обозначим через c. Сторона большего квадрата равна a+b, и тогда его площадь равна (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2. Ту же площадь можно определить как сумму площади меньшего квадрата и площадей 4 одинаковых прямоугольных треугольников, то есть как 4·ab/2+c 2 =2ab+c 2. Поставим знак равенства между двумя вычислениями одной и той же площади: a 2 +2ab+b 2 =2ab+c 2. После сокращения членов 2ab получаем вывод: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов, то есть a 2 +b 2 =c 2. Сразу не каждый поймет, какой прок от этой теоремы. С практической точки зрения ее ценность состоит в служении базисом для многих геометрических вычислений, как например определения расстояния между точками координатной плоскости. Из теоремы выводятся некоторые ценные формулы, ее обобщения ведут к новым теоремам, перекидывающим мостик от вычислений на плоскости до вычислений в пространстве. Следствия теоремы проникают в теорию чисел, открывая отдельные подробности структуры ряда чисел. И многое другое, всего не перечислишь. Взгляд с точки зрения праздного любопытства демонстрирует преподношение теоремой занимательных задачек, формулируемых до крайности понятно, но являющихся подчас крепкими орешками. В пример достаточно привести наиболее простую из них, так называемый вопрос о пифагоровых числах, задаваемую в бытовом изложении следующим образом: можно ли построить комнату, длина, ширина и диагональ на полу которой одновременно измерялись бы только целыми величинами, скажем шагами? Всего лишь малейшее изменение этого вопроса способно сделать задачу чрезвычайно сложной. И соответственно, найдутся желающие чисто из научного задора испытать себя в раскалывании очередного математического ребуса. Другое изменение вопроса - и еще одна головоломка. Часто в ходе поиска ответов на подобные проблемы математика эволюционирует, приобретает свежие взгляды на старые понятия, обзаводится новыми системными подходами и так далее, а значит теорема Пифагора, впрочем как и любое другое стоящее учение, с этой точки зрения имеет не меньшую пользу. Математика времен Пифагора не признавала иных чисел, кроме рациональных (натуральных чисел или дробей с натуральным числителем и знаменателем). Все измерялось целыми величинами или частями целых. Потому так понятно стремление делать геометрические вычисления, решать уравнения все больше в натуральных числах. Пристрастие к ним открывает путь в невероятный мир таинства чисел, ряд которых в геометрической интерпретации первоначально вырисовывается как прямая линия с бесконечным множеством отметин. Иногда зависимость между какими-то числами ряда, "линейным расстоянием" между ними, пропорцией тотчас бросается в глаза, а иной раз самые сложные мыслительные конструкции не позволяют установить, каким закономерностям подчинено распределение тех или иных чисел. Выясняется, что и в новом мире, в этой "одномерной геометрии", старые задачи сохраняют силу, меняется лишь их постановка. Как например, вариант задания о пифагоровых числах: "От дома отец делает x шагов по x сантиметров каждый, а затем идет еще у шагов по y сантиметров. За ним шагает сын z шагов по z сантиметров каждый. Какими должны быть размеры их шагов, чтобы на z-том шаге ребенок вступил в след отца?" Справедливости ради полагается отметить некоторую сложность для начинающего математика пифагорейской методики развития мысли. Это особого рода стиль математического мышления, к нему нужно привыкать. Интересен один момент. Математики вавилонского государства (оно возникло задолго до рождения Пифагора, почти полторы тысячи лет до него) тоже, видимо, знали какие-то методы поиска чисел, которые впоследствии стали называться пифагоровыми. Были найдены клинописные таблички, где вавилонские мудрецы записали выявленные ими тройки таких чисел. Некоторые тройки состояли из чересчур больших чисел, в связи с чем наши современники стали предполагать наличие у вавилонян недурственных, и вероятно даже немудреных, способов их вычисления. К сожалению, ни о самих способах, ни об их существовании ничего не известно.

Некоторые дискуссии меня развлекают безмерно...

Привет, что делаешь?
-Да вот, задачки решаю из журнала.
-Ну ты даёшь! Не ожидал от тебя.
-Чего не ожидал?
-Что ты опустишься до задачек. Вроде умный ведь, а веришь во всякую ерунду.
-Извини, не понимаю. Что ты называешь ерундой?
-Да всю эту вашу математику. Ведь очевидно же, что фигня полная.
-Как ты можешь так говорить? Математика - царица наук...
-Вот только давай без этого пафоса, да? Математика - вообще не наука, а одно сплошное нагромождение дурацких законов и правил.
-Что?!
-Ой, ну не делай такие большие глаза, ты же сам знаешь, что я прав. Нет, я не спорю, таблица умножения - великая вещь, она сыграла немалую роль в становлении культуры и истории человечества. Но теперь-то это всё уже неактуально! И потом, зачем было всё усложнять? В природе не существует никаких интегралов или логарифмов, это всё выдумки математиков.
-Погоди. Математики ничего не выдумывали, они открывали новые законы взаимодействия чисел, пользуясь проверенным инструментарием...
-Ну да, конечно! И ты этому веришь? Ты что, сам не видишь, какую чушь они постоянно несут? Тебе привести пример?
-Да уж, будь добр.
-Да пожалуйста! Теорема Пифагора.
-Ну и что в ней не так?
-Да всё не так! "Пифагоровы штаны на все стороны равны", понимаете ли. А ты в курсе, что греки во времена Пифагора не носили штанов? Как Пифагор мог вообще рассуждать о том, о чём не имел никакого понятия?
-Погоди. При чём тут штаны?
-Ну они же вроде бы Пифагоровы? Или нет? Ты признаёшь, что у Пифагора не было штанов?
-Ну, вообще-то, конечно, не было...
-Ага, значит, уже в самом названии теоремы явное несоответствие! Как после этого можно относиться серьёзно к тому, что там говорится?
-Минутку. Пифагор ничего не говорил о штанах...
-Ты это признаёшь, да?
-Да... Так вот, можно я продолжу? Пифагор ничего не говорил о штанах, и не надо ему приписывать чужие глупости...
-Ага, ты сам согласен, что это всё глупости!
-Да не говорил я такого!
-Только что сказал. Ты сам себе противоречишь.
-Так. Стоп. Что говорится в теореме Пифагора?
-Что все штаны равны.
-Блин, да ты вообще читал эту теорему?!
-Я знаю.
-Откуда?
-Я читал.
-Что ты читал?!
-Лобачевского.
*пауза*
-Прости, а какое отношение имеет Лобачевский к Пифагору?
-Ну, Лобачевский же тоже математик, и он вроде бы даже более крутой авторитет, чем Пифагор, скажешь нет?
*вздох*
-Ну и что же сказал Лобачевский о теореме Пифагора?
-Что штаны равны. Но это же чушь! Как такие штаны вообще можно носить? И к тому же, Пифагор вообще не носил штанов!
-Лобачевский так сказал?!
*секундная пауза, с уверенностью*
-Да!
-Покажи мне, где это написано.
-Нет, ну там это не написано так прямо...
-Как называется книга?
-Да это не книга, это статья в газете. Про то, что Лобачевский на самом деле был агент германской разведки... ну, это к делу не относится. Всё-равно он наверняка так говорил. Он же тоже математик, значит они с Пифагором заодно.
-Пифагор ничего не говорил про штаны.
-Ну да! О том и речь. Фигня это всё.
-Давай по порядку. Откуда ты лично знаешь, о чём говорится в теореме Пифагора?
-Ой, ну брось! Это же все знают. Любого спроси, тебе сразу ответят.
-Пифагоровы штаны - это не штаны...
-А, ну конечно! Это аллегория! Знаешь, сколько раз я уже такое слышал?
-Теорема Пифагора гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. И ВСЁ!
-А где штаны?
-Да не было у Пифагора никаких штанов!!!
-Ну вот видишь, я тебе о том и толкую. Фигня вся ваша математика.
-А вот и не фигня! Смотри сам. Вот треугольник. Вот гипотенуза. Вот катеты...
-А почему вдруг именно это катеты, а это гипотенуза? Может, наоборот?
-Нет. Катетами называются две стороны, образующие прямой угол.
-Ну вот тебе ещё один прямой угол.
-Он не прямой.
-А какой же он, кривой?
-Нет, он острый.
-Так и этот тоже острый.
-Он не острый, он прямой.
-Знаешь, не морочь мне голову! Ты просто называешь вещи как тебе удобно, лишь бы подогнать результат под желаемый.
-Две короткие стороны прямоугольного треугольника - это катеты. Длинная сторона - гипотенуза.
-А, кто короче - тот катет? И гипотенуза, значит, уже не катит? Ты сам-то послушай себя со стороны, какой ты бред несёшь. На дворе 21 век, расцвет демократии, а у тебя средневековье какое-то. Стороны у него, видишь ли, неравны...
-Прямоугольного треугольника с равными сторонами не существует...
-А ты уверен? Давай я тебе нарисую. Вот, смотри. Прямоугольный? Прямоугольный. И все стороны равны!
-Ты нарисовал квадрат.
-Ну и что?
-Квадрат - не треугольник.
-А, ну конечно! Как только он нас не устраивает, сразу "не треугольник"! Не морочь мне голову. Считай сам: один угол, два угла, три угла.
-Четыре.
-Ну и что?
-Это квадрат.
-А квадрат что, не треугольник? Он хуже, да? Только потому, что я его нарисовал? Три угла есть? Есть, и даже вот один запасной. Ну и нефиг тут, понимаешь...
-Ладно, оставим эту тему.
-Ага, уже сдаёшься? Нечего возразить? Ты признаёшь, что математика - фигня?
-Нет, не признаю.
-Ну вот, опять снова-здорово! Я же тебе только что всё подробно доказал! Если в основе всей вашей геометрии лежит учение Пифагора, а оно, извиняюсь, полная чушь... то о чём вообще можно дальше рассуждать?
-Учение Пифагора - не чушь...
-Ну как же! А то я не слышал про школу пифагорейцев! Они, если хочешь знать, предавались оргиям!
-При чём тут...
-А Пифагор вообще был педик! Он сам сказал, что Платон ему друг.
-Пифагор?!
-А ты не знал? Да они вообще все педики были. И на голову трёхнутые. Один в бочке спал, другой голышом по городу бегал...
-В бочке спал Диоген, но он был философ, а не математик...
-А, ну конечно! Если кто-то в бочку полез, то уже и не математик! Зачем нам лишний позор? Знаем, знаем, проходили. А вот ты объясни мне, почему всякие педики, которые жили три тыщи лет назад и бегали без штанов, должны быть для меня авторитетом? С какой стати я должен принимать их точку зрения?
-Ладно, оставь...
-Да нет, ты послушай! Я тебя, в конце концов, тоже слушал. Вот эти ваши вычисления, подсчёты... Считать вы все умеете! А спроси у вас что-нибудь по существу, тут же сразу: "это частное, это переменная, а это два неизвестных". А ты мне в о-о-о-общем скажи, без частностей! И без всяких там неизвестных, непознанных, экзистенциальных... Меня от этого тошнит, понимаешь?
-Понимаю.
-Ну вот объясни мне, почему дважды два всегда четыре? Кто это придумал? И почему я обязан принимать это как данность и не имею права сомневаться?
-Да сомневайся сколько хочешь...
-Нет, ты мне объясни! Только без этих ваших штучек, а нормально, по-человечески, чтобы понятно было.
-Дважды два равно четырём, потому что два раза по два будет четыре.
-Масло масляное. Что ты мне нового сказал?
-Дважды два - это два, умноженное на два. Возьми два и два и сложи их...
-Так сложить или умножить?
-Это одно и то же...
-Оба-на! Выходит, если я сложу и умножу семь и восемь, тоже получится одно и то же?
-Нет.
-А почему?
-Потому что семь плюс восемь не равняется...
-А если я девять умножу на два, получится четыре?
-Нет.
-А почему? Два умножал - получилось, а с девяткой вдруг облом?
-Да. Дважды девять - восемнадцать.
-А дважды семь?
-Четырнадцать.
-А дважды пять?
-Десять.
-То есть, четыре получается только в одном частном случае?
-Именно так.
-А теперь подумай сам. Ты говоришь, что существуют некие жёсткие законы и правила умножения. О каких законах тут вообще может идти речь, если в каждом конкретном случае получается другой результат?!
-Это не совсем так. Иногда результат может совпадать. Например, дважды шесть равняется двенадцати. И четырежды три - тоже...
-Ещё хуже! Два, шесть, три четыре - вообще ничего общего! Ты сам видишь, что результат никак не зависит от исходных данных. Принимается одно и то же решение в двух кардинально различных ситуациях! И это при том, что одна и та же двойка, которую мы берём постоянно и ни на что не меняем, со всеми числами всегда даёт разный ответ. Где, спрашивается, логика?
-Но это же, как-раз, логично!
-Для тебя - может быть. Вы, математики, всегда верите во всякую запредельную хрень. А меня эти ваши выкладки не убеждают. И знаешь почему?
-Почему?
-Потому что я знаю , зачем нужна на самом деле ваша математика. Она ведь вся к чему сводится? "У Кати в кармане одно яблоко, а у Миши пять. Сколько яблок должен отдать Миша Кате, чтобы яблок у них стало поровну?" И знаешь, что я тебе скажу? Миша никому ничего не должен отдавать! У Кати одно яблоко есть - и хватит. Мало ей? Пусть идёт вкалывать, и сама себе честно заработает хоть на яблоки, хоть на груши, хоть на ананасы в шампанском. А если кто-то хочет не работать, а только задачки решать - пусть сидит со своим одним яблоком и не выпендривается!

Потенциал к творчеству обычно приписывают гуманитарным дисциплинам, естественно научным оставляя анализ, практический подход и сухой язык формул и цифр. Математику к гуманитарным предметам никак не отнесешь. Но без творчеств в «царице всех наук» далеко не уедешь – об этом людям известно с давних пор. Со времен Пифагора, например.

Школьные учебники, к сожалению, обычно не объясняют, что в математике важно не только зубрить теоремы, аксиомы и формулы. Важно понимать и чувствовать ее фундаментальные принципы. И при этом попробовать освободить свой ум от штампов и азбучных истин – только в таких условиях рождаются все великие открытия.

К таким открытиям можно отнести и то, которое сегодня мы знаем как теорему Пифагора. С его помощью мы попробуем показать, что математика не только может, но и должна быть увлекательной. И что это приключение подходит не только ботаникам в толстых очках, а всем, кто крепок умом и силен духом.

Из истории вопроса

Строго говоря, хоть теорема и называется «теоремой Пифагора», сам Пифагор ее не открывал. Прямоугольный треугольник и его особенные свойства изучались задолго до него. Есть две полярных точки зрения на этот вопрос. По одной версии Пифагор первым нашел полноценное доказательство теоремы. По другой доказательство не принадлежит авторству Пифагора.

Сегодня уже не проверишь, кто прав, а кто заблуждается. Известно лишь, что доказательства Пифагора, если оно когда-либо существовало, не сохранилось. Впрочем, высказываются предположения, что знаменитое доказательство из «Начал» Евклида может принадлежать как раз Пифагору, и Евклид его только зафиксировал.

Также сегодня известно, что задачи о прямоугольном треугольнике встречаются в египетских источниках времен фараона Аменемхета I, на вавилонских глиняных табличках периода правления царя Хаммурапи, в древнеиндийском трактате «Сульва сутра» и древнекитайском сочинении «Чжоу-би суань цзинь».

Как видите, теорема Пифагора занимала умы математиков с древнейших времен. Подтверждением служит и около 367 разнообразных доказательств, существующих сегодня. В этом с ней не может тягаться ни одна другая теорема. Среди знаменитых авторов доказательств можно вспомнить Леонардо да Винчи и двадцатого президента США Джеймса Гарфилда. Все это говорит о чрезвычайной важности этой теоремы для математики: из нее выводится или так или иначе с нею связано большинство теорем геометрии.

Доказательства теоремы Пифагора

В школьных учебниках в основном приводят алгебраические доказательства. Но суть теоремы в геометрии, так что давайте рассмотрим в первую очередь те доказателства знаменитой теоремы, которые опираются на эту науку.

Доказательство 1

Для самого простого доказательства теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника нужно задать идеальные условия: пусть треугольник будет не только прямоугольным, но и равнобедренным. Есть основания полагать, что именно такой треугольник первоначально рассматривали математики древности.

Утверждение «квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах» можно проиллюстрировать следующим чертежом:

Посмотрите на равнобедренный прямоугольный треугольник ABC: На гипотенузе АС можно построить квадрат, состоящий из четырех треугольников, равных исходному АВС. А на катетах АВ и ВС построено по квадрату, каждый из которых содержит по два аналогичных треугольника.

Кстати, этот чертеж лег в основу многочисленных анекдотов и карикатур, посвященных теореме Пифагора. Самый знаменитый, пожалуй, это «Пифагоровы штаны во все стороны равны» :

Доказательство 2

Этот метод сочетает в себе алгебру и геометрию и может рассматриваться как вариант древнеиндийского доказательства математика Бхаскари.

Постройте прямоугольный треугольник со сторонами a, b и c (рис.1). Затем постройте два квадрата со сторонами, равными сумме длин двух катетов, – (a+b) . В каждом из квадратов выполните построения, как на рисунках 2 и 3.

В первом квадрате постройте четыре таких же треугольника, как на рисунке 1. В результате получаться два квадрата: один со стороной a, второй со стороной b .

Во втором квадрате четыре построенных аналогичных треугольника образуют квадрат со стороной, равной гипотенузе c .

Сумма площадей построенных квадратов на рис.2 равна площади построенного нами квадрата со стороной с на рис.3. Это легко проверить, высчитав площади квадратов на рис. 2 по формуле. А площадь вписанного квадрата на рисунке 3. путем вычитания площадей четырех равных между собой вписанных в квадрат прямоугольных треугольников из площади большого квадрата со стороной (a+b) .

Записав все это, имеем: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab . Раскройте скобки, проведите все необходимые алгебраические вычисления и получите, что a 2 +b 2 = a 2 +b 2 . При этом площадь вписанного на рис.3. квадрата можно вычислить и по традиционной формуле S=c 2 . Т.е. a 2 +b 2 =c 2 – вы доказали теорему Пифагора.

Доказательство 3

Само же древнеиндийское доказательство описано в XII веке в трактате «Венец знания» («Сиддханта широмани») и в качестве главного аргумента автор использует призыв, обращенный к математическим талантам и наблюдательности учеников и последователей: «Смотри!».

Но мы разберем это доказательство более подробно:

Внутри квадрата постройте четыре прямоугольных треугольника так, как это обозначено на чертеже. Сторону большого квадрата, она же гипотенуза, обозначим с . Катеты треугольника назовем а и b . В соответствии с чертежом сторона внутреннего квадрата это (a-b) .

Используйте формулу площади квадрата S=c 2 , чтобы вычислить площадь внешнего квадрата. И одновременно высчитайте ту же величину, сложив площадь внутреннего квадрата и площади всех четырех прямоугольных треугольников: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b .

Вы можете использовать оба варианта вычисления площади квадрата, чтобы убедиться: они дадут одинаковый результат. И это дает вам право записать, что c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b . В результате решения вы получите формулу теоремы Пифагора c 2 =a 2 +b 2 . Теорема доказана.

Доказательство 4

Это любопытное древнекитайское доказательство получило название «Стул невесты» - из-за похожей на стул фигуры, которая получается в результате всех построений:

В нем используется чертеж, который мы уже видели на рис.3 во втором доказательстве. А внутренний квадрат со стороной с построен так же, как в древнеиндийском доказательстве, приведенном выше.

Если мысленно отрезать от чертежа на рис.1 два зеленых прямоугольных треугольника, перенести их к противоположным сторонам квадрата со стороной с и гипотенузами приложить к гипотенузам сиреневых треугольников, получится фигура под названием «стул невесты» (рис.2). Для наглядности можно то же самое проделать с бумажными квадратами и треугольниками. Вы убедитесь, что «стул невесты» образуют два квадрата: маленькие со стороной b и большой со стороной a .

Эти построения позволили древнекитайским математикам и нам вслед за ними прийти к выводу, что c 2 =a 2 +b 2 .

Доказательство 5

Это еще один способ найти решение для теоремы Пифагора, опираясь на геометрию. Называется он «Метод Гарфилда».

Постройте прямоугольный треугольник АВС . Нам надо доказать, что ВС 2 =АС 2 +АВ 2 .

Для этого продолжите катет АС и постройте отрезок CD , который равен катету АВ . Опустите перпендикулярный AD отрезок ED . Отрезки ED и АС равны. Соедините точки Е и В , а также Е и С и получите чертеж, как на рисунке ниже:

Чтобы доказать терему, мы вновь прибегаем к уже опробованному нами способу: найдем площадь получившейся фигуры двумя способами и приравняем выражения друг к другу.

Найти площадь многоугольника ABED можно, сложив площади трех треугольников, которые ее образуют. Причем один из них, ЕСВ , является не только прямоугольным, но и равнобедренным. Не забываем также, что АВ=CD , АС=ED и ВС=СЕ – это позволит нам упростить запись и не перегружать ее. Итак, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2 .

При этом очевидно, что ABED – это трапеция. Поэтому вычисляем ее площадь по формуле: S ABED =(DE+AB)*1/2AD . Для наших вычислений удобней и наглядней представить отрезок AD как сумму отрезков АС и CD .

Запишем оба способа вычислить площадь фигуры, поставив между ними знак равенства: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD) . Используем уже известное нам и описанное выше равенство отрезков, чтобы упростить правую часть записи: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(АВ+АС) 2 . А теперь раскроем скобки и преобразуем равенство: AB*AC+1/2BC 2 =1/2АС 2 +2*1/2(АВ*АС)+1/2АВ 2 . Закончив все преобразования, получим именно то, что нам и надо: ВС 2 =АС 2 +АВ 2 . Мы доказали теорему.

Конечно, этот список доказательств далеко не полный. Теорему Пифагора также можно доказать с помощью векторов, комплексных чисел, дифференциальный уравнений, стереометрии и т.п. И даже физики: если, например, в аналогичные представленным на чертежах квадратные и треугольные объемы залить жидкость. Переливая жидкость, можно доказать равенство площадей и саму теорему в итоге.

Пару слов о Пифагоровых тройках

Этот вопрос мало или вообще не изучается в школьной программе. А между тем он является очень интересным и имеет большое значение в геометрии. Пифагоровы тройки применяются для решения многих математических задач. Представление о них может пригодиться вам в дальнейшем образовании.

Так что же такое Пифагоровы тройки? Так называют натуральные числа, собранные по трое, сумма квадратов двух из которых равна третьему числу в квадрате.

Пифагоровы тройки могут быть:

• примитивными (все три числа – взаимно простые);
• не примитивными (если каждое число тройки умножить на одно и то же число, получится новая тройка, которая не является примитивной).

Еще до нашей эры древних египтян завораживала мания чисел Пифагоровых троек: в задачах они рассматривали прямоугольный треугольник со сторонами 3,4 и 5 единиц. К слову, любой треугольник, стороны которого равны числам из пифагоровой тройки, по умолчанию является прямоугольным.

Примеры Пифагоровых троек: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) и т.д.

Практическое применение теоремы

Теорема Пифагора находит применение не только в математике, но и в архитектуре и строительстве, астрономии и даже литературе.

Сначала про строительство: теорема Пифагора находит в нем широкое применение в задачах разного уровня сложности. Например, посмотрите на окно в романском стиле:

Обозначим ширину окна как b , тогда радиус большой полуокружности можно обозначить как R и выразить через b: R=b/2 . Радиус меньших полуокружностей также выразим через b: r=b/4 . В этой задаче нас интересует радиус внутренней окружности окна (назовем его p ).

Теорема Пифагора как раз и пригодиться, чтобы вычислить р . Для этого используем прямоугольный треугольник, который на рисунке обозначен пунктиром. Гипотенуза треугольника состоит из двух радиусов: b/4+p . Один катет представляет собой радиус b/4 , другой b/2-p . Используя теорему Пифагора, запишем: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2 . Далее раскроем скобки и получим b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2 . Преобразуем это выражение в bp/2=b 2 /4-bp . А затем разделим все члены на b , приведем подобные, чтобы получить 3/2*p=b/4 . И в итоге найдем, что p=b/6 – что нам и требовалось.

С помощью теоремы можно вычислить длину стропила для двускатной крыши. Определить, какой высоты вышка мобильной связи нужна, чтобы сигнал достигал определенного населенного пункта. И даже устойчиво установить новогоднюю елку на городской площади. Как видите, эта теорема живет не только на страницах учебников, но и часто бывает полезна в реальной жизни.

Что касается литературы, то теорема Пифагора вдохновляла писателей со времен античности и продолжает это делать в наше время. Например, немецкого писателя девятнадцатого века Адельберта фон Шамиссо она вдохновила на написание сонета:

Свет истины рассеется не скоро,
Но, воссияв, рассеется навряд
И, как тысячелетия назад,
Не вызовет сомнения и спора.

Мудрейшие, когда коснется взора
Свет истины, богов благодарят;
И сто быков, заколоты, лежат –
Ответный дар счастливца Пифагора.

С тех пор быки отчаянно ревут:
Навеки всполошило бычье племя
Событие, помянутое тут.

Им кажется: вот-вот настанет время,
И сызнова их в жертву принесут
Какой-нибудь великой теореме.

(перевод Виктора Топорова)

А в двадцатом веке советский писатель Евгений Велтистов в книге «Приключения Электроника» доказательствам теоремы Пифагора отвел целую главу. И еще полглавы рассказу о двухмерном мире, какой мог бы существовать, если бы теорема Пифагора стала основополагающим законом и даже религией для отдельно взятого мира. Жить в нем было бы гораздо проще, но и гораздо скучнее: например, там никто не понимает значения слов «круглый» и «пушистый».

А еще в книге «Приключения Электроника» автор устами учителя математики Таратара говорит: «Главное в математике – движение мысли, новые идеи». Именно этот творческий полет мысли порождает теорема Пифагора – не зря у нее столько разнообразных доказательств. Она помогает выйти за границы привычного, и на знакомые вещи посмотреть по-новому.

Заключение

Эта статья создана, чтобы вы могли заглянуть за пределы школьной программы по математике и узнать не только те доказательства теоремы Пифагора, которые приведены в учебниках «Геометрия 7-9» (Л.С. Атанасян, В.Н. Руденко) и «Геометрия 7-11» (А.В. Погорелов), но и другие любопытные способы доказать знаменитую теорему. А также увидеть примеры, как теорема Пифагора может применяться в обычной жизни.

Во-первых, эта информация позволит вам претендовать на более высокие баллы на уроках математики – сведения по предмету из дополнительных источников всегда высоко оцениваются.

Во-вторых, нам хотелось помочь вам прочувствовать, насколько математика интересная наука. Убедиться на конкретных примерах, что в ней всегда есть место творчеству. Мы надеемся, что теорема Пифагора и эта статья вдохновят вас на самостоятельные поиски и волнующие открытия в математике и других науках.

Расскажите нам в комментариях, показались ли вам приведенные в статье доказательства интересными. Пригодились ли вам эти сведения в учебе. Напишите нам, что думаете о теореме Пифагора и этой статье – нам будет приятно обсудить все это с вами.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Шутливое доказательство теоремы Пифагора; также в шутку о мешковатых брюках приятеля.

• - тройки целых положительных чисел х, у,z, удовлетворяющих уравнению x2+у 2=z2...

  Математическая энциклопедия

• - тройки таких натуральных чисел, что треугольник, длины сторон к-рого пропорциональны этим числам, является прямоугольным, напр. тройка чисел: 3, 4, 5...

  Естествознание. Энциклопедический словарь

• - см. Ракета спасательная...

  Морской словарь

• - тройки натуральных чисел таких, что треугольник, длины сторон которого пропорциональны этим числам, является прямоугольным...

  Большая Советская энциклопедия

• - mil. Неизм. Выражение, используемое при перечислении или противопоставлении двух фактов, явлений, обстоятельств...

  Учебный фразеологический словарь

• - Из романа-антиутопии «Скотный двор» английского писателя Джорджа Оруэлла...
• - Впервые встречается в сатире «Дневник либерала в Петербурге» Михаила Евграфовича Салтыкова-Щедрина, который так образно описал двойственную, трусливую позицию российских либералов - своих...

  Словарь крылатых слов и выражений

• - Говорится в случае, когда собеседник долго и невнятно пытался что-то сообщить, загромождая основную мысль второстепенными деталями...

  Словарь народной фразеологии

• - Число пуговиц известно. Почему же хую тесно? - о штанах и мужском половом органе. . Чтобы это доказать, надо снять и показать 1) о теореме Пифагора; 2) о широких штанах...

  Живая речь. Словарь разговорных выражений

• - Ср. Нет бессмертия души, так нет и добродетели, "значит, все позволено"... Соблазнительная теория подлецам... Хвастунишка, а суть-то вся: с одной стороны, нельзя не признаться, а с другой - нельзя не сознаться...

  Толково-фразеологический словарь Михельсона

• - Пиѳагоровы штаны иноск. о человѣкѣ даровитомъ. Ср. Это несомнѣнности мудрецъ. Въ древности онъ навѣрное выдумалъ бы пиѳагоровы штаны... Салтыковъ. Пестрыя письма...
• - Съ одной стороны - съ другой стороны. Ср. Нѣтъ безсмертія души, такъ нѣтъ и добродѣтели, «значитъ, все позволено»... Соблазнительная теорія подлецамъ.....

  Толково-фразеологический словарь Михельсона (ориг. орф.)

• - Шуточное название теоремы Пифагора, возникшее в силу того, что построенные на сторонах прямоугольника и расходящиеся в разные стороны квадраты напоминают покрой штанов...
• - С ОДНОЙ СТОРОНЫ… С ДРУГОЙ СТОРОНЫ. Книжн...

  Фразеологический словарь русского литературного языка

• - См. ЗВАНИЯ -...

  В.И. Даль. Пословицы русского народа

• - Жарг. шк. Шутл. Пифагор. ...

  Большой словарь русских поговорок

"Пифагоровы штаны во все стороны равны" в книгах

11. Пифагоровы штаны