Так как все предположения о характере того или иного распределения - это гипотезы, а не категорические утверждения, то они, естественно, должны быть подвергнуты статистической проверке с помощью так называемых критериев согласия.

Критерии согласия, опираясь на установленный закон распределения, дают возможность установить, когда расхождения между теоретическими и эмпирическими частотами следует признать несущественными (случайными), а когда - существенными (неслучайными). Таким образом, критерии согласия позволяют отвергнуть или подтвердить правильность выдвинутой при выравнивании ряда гипотезы

о характере распределения в эмпирическом ряду и дать ответ, можно ли принять для данного эмпирического распределения модель, выраженную некоторым теоретическим законом распределения.

Существует ряд критериев согласия. Чаще других применяют критерии Пирсона, Романовского и Колмогорова. Рассмотрим их.

Критерий согласия Пирсона %2 (хи-квадрат) - один из основных критериев согласия. Критерий предложен английским математиком Карлом Пирсоном (1857-1936) для оценки случайности (существенности) расхождений между частотами эмпирического и теоретического распределений. Критерий Пирсона где к

число групп, на которые разбито эмпирическое распределение;

наблюдаемая частота признака в і-й группе; теоретическая частота, рассчитанная по предполагаемому распределению. Для распределения у} составлены таблицы, где указано критическое значение критерия согласия %2 для выбранного уровня значимости а и данного числа степеней свободы V (см. Приложение 4).

Уровень значимости а - вероятность ошибочного отклонения выдвинутой гипотезы, т.е. вероятность того, что будет отвергнута правильная гипотеза. В статистических исследованиях в зависимости от важности и ответственности решаемых задач пользуются следующими тремя уровнями значимости: 1)

а = 0,10, тогда Р = 0,90; 2)

а = 0,05, тогда Р = 0,95; 3)

а = 0,01, тогда Р = 0,99.

Например, вероятность 0,01 означает, что в одном случае из 100 может быть отвергнута правильная гипотеза. В экономических исследованиях считается практически приемлемой вероятность ошибки 0,05, т.е. в 5 случаях из 100 может быть отвергнута правильная гипотеза.

Кроме того, %2-критерий, определяемый по таблице, зависит и от числа степеней свободы. Число степеней свободы V определяется как число групп в ряду распределения к минус число связей с V

Под числом связей понимается число показателей эмпирического ряда, использованных при исчислении теоретических частот, т.е. показателей, связывающих эмпирические и теоретичес- / л

кие частоты

Так, в случае выравнивания по кривой нормального распределения имеется три связи:

х ~ х" " СУ = а" * х Ш = У

ЭМП теор’ ЭМП ТеОр> ^ 1ЭМП ^ /теор*

Поэтому при выравнивании по кривой нормального распределения число степеней свободы определяется как V = к - 3, где к - число групп в ряду.

В случае выравнивания по кривой Пуассона V = к - 2, так как при построении частот используются две ограничивающие связи: х, 1тг /

Для оценки существенности расчетное значение %2расч сравнивается с табличным %2табл.

При полном совпадении теоретического и эмпирического распределений %2 = 0, в противном случае %2 > 0.

Если Храсч > Xтабл’ Т0 ПРИ заданном уровне значимости а и числе степеней свободы V гипотезу о несущественности (случайности) расхождений отклоняем.

В случае если %2асч ^ Х2табЛ’ заключаем, что эмпирический ряд хорошо согласуется с гипотезой о предполагаемом распределении и с вероятностью (1 - а) можно утверждать, что расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами случайно.

Используя критерий согласия?2, необходимо соблюдать следующие условия: 1)

объем исследуемой совокупности должен быть достаточно большим (УУ> 50), при этом частота или численность каждой группы должна быть не менее 5. Если это условие нарушается, необходимо предварительно объединить маленькие частоты; 2)

эмпирическое распределение должно состоять из данных, полученных в результате случайного отбора, т.е. они должны быть независимыми.

Если в эмпирическом ряду распределение задано частостями / \ т.

то у} следует исчислять по формуле

Критерий Романовского Кр основан на использовании критерия Пирсона %2, т.е. уже найденных значений %2, и числа степеней свободы v:

Он весьма удобен при отсутствии таблиц для %2.

Если Кр 3, то не случайны

и, соответственно, теоретическое распределение не может служить моделью для изучаемого эмпирического распределения.

Критерий Колмогорова X основан на определении максимального расхождения между накопленными частотами или частостями эмпирических и теоретических распределений:

X = -2= или X = , iN

где Dud- соответственно максимальная разность между накопленными частотами (F - F") и между накоплен-

ными частостями (р - р") эмпирического и теоретического рядов распределений;

N - число единиц в совокупности.

Рассчитав значение X, по таблице Р(к) (см.

Приложение 6) определяют вероятность, с которой можно утверждать, что отклонения эмпирических частот от теоретических случайны. Вероятность Р(к) может изменяться от 0 до 1. При Р(к) = 1 происходит полное совпадение частот, при Р(к) = 0 - полное расхождение. Если А, принимает значения до 0,3, то Р(к) = 1.

Основное условие для использования критерия Колмогорова - достаточно большое число наблюдений.

Пример. Используя данные табл. 5.17, проверить правильность выдвинутой гипотезы о распределении призывников района по закону нормального распределения. Величины, необходимые для расчета критериев согласия, приведены в табл. 5.19.

Таблица 5.19

Расчет величин для определения критериев согласия Пирсона х2 и Колмогорова X Рост, см Частоты ряда распределения (/п - т")2 т" F F" к- р,\ т т" А 1 2 3 4 5 6 156-160 8 5 1,8 8 5 3 161-165 17 16 0,1 25 21 4 166-170 42 40 0,1 67 61 6 171-175 54 65 1,9 121 126 5 176-180 73 73 0 194 199 5 181-185 57 57 0 251 256 5 186-190 38 30 2,1 289 286 3 191-195 11 11 0 300 297 3 X 300 297 6,0 Сначала рассчитаем критерий Пирсона

Затем выберем уровень значимости а = 0,05 и определим число степеней свободы V. В данном распределении 8 групп и число связей (параметров) равно 3, следовательно, V = 8 - 3 = 5. По таблице Приложения 4 найдем при а = 0,05 и V = 5 критерий Пирсона %2 = 11,07.

Так как %2расч Проверим выдвинутую гипотезу, используя критерий Романовского:

I X2 - V I 16,0 - 5 I 1

кр = ] Г=^ = 1 = --г = 0,3.

Так как Кр Критерий Романовского также подтверждает, что расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами несущественны.

Рассмотрим теперь применение критерия Колмогорова А,. Как видно из табл. 5.19, максимальная разность между кумулятивными частотами равна 6, т.е. Б = шах!/1- Р"\ = 6. Следовательно, критерий Колмогорова

X = -?= = = 0,35.

По таблице Приложения 6 находим значение вероятности при X = 0,35: Р(Х) = 0,9997. Это означает, что с вероятностью, близкой к единице, можно утверждать, что гипотеза о нормальном распределении не отвергается, а расхождения эмпирического и теоретического распределений носят случайный характер.

Теперь, подтвердив правильность выдвинутой гипотезы с помощью известных критериев согласия, можно использовать результаты распределения для практической деятельности.

Пример. Используя данные табл. 5.18, проверить гипотезу о подчинении распределения числа неисправностей в автомобилях закону Пуассона.

Исходные данные и расчет величин, необходимых для определения критериев согласия, приведены в табл. 5.20.

Подсчитаем величину %2: 2

Дфасч ^ / 9

(см. табл. 5.20). хХтабл = 9>49

(см. Приложение 4).

Поскольку %2расч Таким образом, выдвинутая гипотеза о распределении числа неисправностей в автомобилях по закону Пуассона не отвергается.

Введение

Актуальность данной темы в том, что в течение изучения основ биостатистики мы предполагали, что закон распределения генеральной совокупности известен. Но что, если закон распределения неизвестен, но есть основания предполагать, что он имеет определенный вид (назовем его А), то проверяют нулевую гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону А. Проверка этой гипотезы производится при помощи специально подобранной случайной величины - критерия согласия.

Критерии согласия - это критерии проверки гипотез о соответствии эмпирического распределения теоретическому распределению вероятностей. Такие критерии подразделяются на два класса:

• Ш Общие критерии согласия применимы к самой общей формулировке гипотезы, а именно к гипотезе о согласии наблюдаемых результатов с любым априорно предполагаемым распределением вероятностей.
• Ш Специальные критерии согласия предполагают специальные нулевые гипотезы, формулирующие согласие с определенной формой распределения вероятностей.

Критерий согласия

Наиболее распространенные критерии согласия - омега-квадрат, хи-квадрат, Колмогорова и Колмогорова-Смирнова.

Непараметрические критерии согласия Колмогорова, Смирнова, омега квадрат широко используются. Однако с ними связаны и широко распространенные ошибки в применении статистических методов.

Дело в том, что перечисленные критерии были разработаны для проверки согласия с полностью известным теоретическим распределением. Расчетные формулы, таблицы распределений и критических значений широко распространены. Основная идея критериев Колмогорова, омега квадрат и аналогичных им состоит в измерении расстояния между функцией эмпирического распределения и функцией теоретического распределения. Различаются эти критерии видом расстояний в пространстве функций распределения.

Критерии согласия ч2 Пирсона для простой гипотезы

Теорема К. Пирсона относится к независимым испытаниям с конечным числом исходов, т.е. к испытаниям Бернулли (в несколько расширенном смысле). Она позволяет судить о том, согласуются ли наблюдения в большом числе испытаний частоты этих исходов с их предполагаемыми вероятностями.

Во многих практических задачах точный закон распределения неизвестен. Поэтому выдвигается гипотеза о соответствии имеющегося эмпирического закона, построенного по наблюдениям, некоторому теоретическому. Данная гипотеза требует статистической проверки по результатам которой будет либо подтверждена, либо опровергнута.

Пусть X - исследуемая случайная величина. Требуется проверить гипотезу H0 о том, что данная случайная величина подчиняется закону распределения F(x). Для этого необходимо произвести выборку из n независимых наблюдений и по ней построить эмпирический закон распределения F"(x). Для сравнения эмпирического и гипотетического законов используется правило, называемое критерием согласия. Одним из популярных является критерий согласия хи-квадрат К. Пирсона. В нем вычисляется статистика хи-квадрат:

где N - число интервалов, по которому строился эмпирический закон распределения (число столбцов соответствующей гистограммы), i - номер интервала, pt i -вероятность попадания значения случайной величины в i-й интервал для теоретического закона распределения, pe i - вероятность попадания значения случайной величины в i-й интервал для эмпирического закона распределения. Она и должна подчиняться распределению хи-квадрат.

Если вычисленное значение статистики превосходит квантиль распределения хи-квадрат с k-p-1 степенями свободы для заданного уровня значимости, то гипотеза H0 отвергается. В противном случае она принимается на заданном уровне значимости. Здесь k - число наблюдений, p число оцениваемых параметров закона распределения.

Рассмотрим статистику:

Статистика ч2 называется статистикой хи-квадрат Пирсона для простой гипотезы.

Ясно, что ч2 представляем собой квадрат некоего расстояния между двумя r-мерными векторами: вектором относительных частот (mi /n, …, mr /n) и вектором вероятностей (pi , …, pr). От евклидового расстояния это расстояние отличается лишь тем, что разные координаты входят в него с разными весами.

Обсудим поведение статистики ч2 в случае, когда гипотеза Н верна, и в случае, когда Н неверна. Если верна Н, то асимптотическое поведение ч2 при n > ? указывает теорема К. Пирсона. Чтобы понять, что происходит с (2.2), когда Н неверна, заметим, что по закону больших чисел mi /n > pi при n > ?, для i = 1, …, r. Поэтому при n > ?:

Эта величина равна 0. Поэтому если Н неверна, то ч2 >? (при n > ?).

Из сказанного следует, что Н должна быть отвергнута, если полученное в опыте значение ч2 слишком велико. Здесь, как всегда, слова «слишком велико» означают, что наблюденное значение ч2 превосходит критическое значение, которое в данном случае можно взять из таблиц распределения хи-квадрат. Иначе говоря, вероятность Р(ч2 npi ч2) - малая величина и, следовательно, маловероятно случайно получить такое же, как в опыте, или еще большее расхождение между вектором частот и вектором вероятностей.

Асимптотический характер теоремы К. Пирсона, лежащий в основе этого правила, требует осторожности при его практическом использовании. На него можно полагаться только при больших n. Судить же о том, достаточно ли n велико, надо с учетом вероятностей pi , …, pr . Поэтому нельзя сказать, к примеру, что ста наблюдений будет достаточно, поскольку не только n должно быть велико, но и произведения npi , …, npr (ожидаемые частоты) тоже не должны быть малы. Поэтому проблема аппроксимации ч2 (непрерывное распределение) к статистике ч2 , распределение которой дискретно, оказалась сложной. Совокупность теоретических и экспериментальных доводов привела к убеждению, что эта аппроксимация применима, если все ожидаемые частоты npi>10. если число r (число различных исходов) возрастает, граница для снижена (до 5 или даже до 3, если r порядка нескольких десятков). Чтобы соблюсти эти требования, на практике порой приходится объединять несколько исходов, т.е. переходить к схеме Бернулли с меньшим r.

Описанный способ для проверки согласия можно прилагать не только к испытаниям Бернулли, но и к произвольным выборкам. Предварительно их наблюдения надо превратить в испытания Бернулли путем группировки. Делают это так: пространство наблюдений разбивают на конечное число непересекающихся областей, а затем для каждой области подсчитывают наблюденную частоту и гипотетическую вероятность.

В данном случае к перечисленным ранее трудностям аппроксимации прибавляется еще одна - выбор разумного разбиения исходного пространства. При этом надо заботится о том, чтобы в целом правило проверки гипотезы об исходном распределении выборки было достаточно чувствительным к возможным альтернативам. Наконец, отмечу, что статистические критерии, основные на редукции к схеме Бернулли, как правило, не являются состоятельными против всех альтернатив. Так что такой метод проверки согласия имеет ограниченную ценность.

Критерий согласия Колмогорова - Смирнова в своем классическом виде является более мощным, чем критерий ч2 и может быть использован для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения любому теоретическому непрерывному распределению F(x) с заранее известными параметрами. Последнее обстоятельство накладывает ограничения на возможность широкого практического приложения этого критерия при анализе результатов механических испытаний, так как параметры функции распределения характеристик механических свойств, как правило, оценивают по данным самой выборки.

Критерий Колмогорова - Смирнова применяют для негруппированных данных или для группированных в случае малой ширины интервала (например, равной цене деления шкалы силоизмерителя, счетчика циклов нагружения и т. д.). Пусть результатом испытаний серии из n образцов является вариационный ряд характеристики механических свойств

x1 ? x2 ? ... ? xi ? ... ? xn. (3.93)

Требуется проверить нулевую гипотезу о принадлежности выборочного распределения (3.93) теоретическому закону F(x).

Критерий Колмогорова - Смирнова базируется на распределении максимального отклонения накопленной частности от значения функции распределения. При его использовании вычисляют статистики

являющуюся статистикой критерия Колмогорова. Если выполняется неравенство

Dnvn ? лб (3.97)

для больших объемов выборки (n > 35) или

Dn(vn + 0.12 + 0.11/vn) ? лб (3.98)

для n ? 35, то нулевую гипотезу не отвергают.

При невыполнении неравенств (3.97) и (3.98) принимают альтернативную гипотезу о принадлежности выборки (3.93) неизвестному распределению.

Критические значения лб составляют: л0.1 = 1.22; л0.05 = 1.36; л0.01 = 1.63.

Если параметры функции F(x) заранее не известны, а оцениваются по данным выборки, критерий Колмогорова - Смирнова теряет свою универсальность и может быть использован только для проверки соответствия опытных данных лишь некоторым конкретным функциям распределения.

При использовании в качестве нулевой гипотезы принадлежность опытных данных нормальному или логарифмически нормальному распределению вычисляют статистики:

где Ц(zi) - значение функции Лапласа для

Ц(zi) = (xi - xср)/s Критерий Колмогорова - Смирнова для любых объемов выборки n записывают в виде

Критические значения лб в этом случае составляют: л0.1 = 0.82; л0.05 = 0.89; л0.01 = 1.04.

Если проверяют гипотезу о соответствии выборки ***экспоненциальному распределению, параметр которого оценивают по опытным данным, вычисляют аналогичные статистики:

критерий эмпирический вероятность

и составляют критерий Колмогорова - Смирнова.

Критические значения лб для этого случая: л0.1 = 0.99; л0.05 = 1.09; л0.01 = 1.31.

Определение 51. Критерии, которые позволяют судить, согласуются ли значения х 1 , х 2 ,…, х n случайной величины Х с гипотезой относительно ее функции распределения, называются критериями согласия.

Идея применения критериев согласия

Пусть на основании данного статистического материала предстоит проверить гипотезу Н , состоящую в том, что СВ Х подчиняется некоторому определенному закону распределения. Этот закон может быть задан либо в виде функция распределения F (x ), либо в виде плотности распределения f (x ), или же в виде совокупности вероятностей p i . Так как из всех этих форм функция распределения F (x ) является наиболее общей (существует и для ДСВ и для НСВ) и определяет собой любую другую, будем формулировать гипотезу Н , как состоящую в том, что величина Х имеет функцию распределения F (x ).

Для того, чтобы принять или опровергнуть гипотезу Н , рассмотрим некоторую величину U , характеризующую степень расхождения (отклонения) теоретического и статистического распределений. Величина U может быть выбрана различными способами : 1) сумма квадратов отклонений теоретических вероятностей p i от соответствующих частот , 2) сумма тех же квадратов с некоторыми коэффициентами (весами), 3) максимальное отклонение статистической (эмпирической) функции распределения от теоретической F (x ).

Пусть величина U выбрана тем или иным способом. Очевидно, что это есть некоторая случайная величина. Закон распределения U зависит от закона распределения случайной величины Х , над которой производились опыты, и от числа опытов n . Если гипотеза Н верна, то закон распределения величины U определяется законом распределения величины Х (функцией F (x )) и числом n .

Допустим, что этот закон распределения известен. В результате данной серии опытов обнаружено, что выбранная мера расхождения U приняла некоторое значение u . Вопрос: можно ли объяснить это случайными причинами или же это расхождение слишком велико и указывает на наличие существенной разницы между теоретическим и статистическим (эмпирическим) распределениями и, следовательно, на непригодность гипотезы Н ? Для ответа на этот вопрос предположим, что гипотеза Н верна, и вычислим в этом предположении вероятность того, что за счет случайных причин, связанных с недостаточным объемом опытного материала, мера расхождения U окажется не меньше, чем наблюдаемое в опыте значение u , то есть вычислим вероятность события: .

Если эта вероятность мала, то гипотезу Н следует отвергнуть как мало правдоподобную, если же эта вероятность значительна, то делаем вывод, что экспериментальные данные не противоречат гипотезе Н .

Возникает вопрос: каким же способом следует выбирать меру расхождения (отклонения) U ? Оказывается, что при некоторых способах ее выбора закон распределения величины U обладает весьма простыми свойствами и при достаточно большом n практически не зависит от функции F (x ). Именно такими мерами расхождения и пользуются в математической статистике в качестве критериев согласия.

Определение 51 / . Критерием согласия называется критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Для количественных данных при распределениях, близких к нормальным, используют параметрические методы, основанные на таких показателях, как математическое ожидание и стандартное отклонение. В частности, для определения достоверности разницы средних для двух выборок применяют метод (критерий) Стьюдента, а для того чтобы судить о различиях между тремя или большим числом выборок, - тест F , или дисперсионный анализ. Если же имеем дело с неколичественными данными или выборки слишком малы для уверенности в том, что популяции, из которых они взяты, подчиняются нормальному распределению, тогда используют непараметрические методы - критерий χ 2 (хи-квадрат) или Пирсона для качественных данных и критерии знаков, рангов, Манна-Уитни, Вилкоксона и др. для порядковых данных.

Кроме того, выбор статистического метода зависит от того, являются ли те выборки, средние которых сравниваются, независимыми (т. е., например, взятыми из двух разных групп испытуемых) или зависимыми (т. е. отражающими результаты одной и той же группы испытуемых до и после воздействия или после двух различных воздействий).

Пп. 1. Критерий Пирсона (- хи-квадрат)

Пусть произведено n независимых опытов, в каждом из которых случайная величина Х приняла определенное значение, то есть дана выборка наблюдений случайной величины Х (генеральной совокупности) объема n . Рассмотрим задачу по проверке близости теоретической и эмпирической функций распределения для дискретного распределения, то есть требуется проверить, согласуются ли экспериментальные данные с гипотезой Н 0 , утверждающей, что случайная величина Х имеет закон распределения F (x ) при уровне значимости α . Назовем этот закон «теоретическим».

При получении критерия согласия для проверки гипотезы определяют меру D отклонения эмпирической функции распределения данной выборки от предполагаемой (теоретической) функции распределения F (x ).

Наиболее употребительной является мера, введенная Пирсоном. Рассмотрим эту меру. Разобьем множество значений случайной величины Х на r множеств - групп S 1 , S 2 ,…, S r , без общих точек. Практически такое разбиение осуществляется с помощью (r - 1) чисел c 1 < c 2 < … < c r -1 . При этом конец каждого интервала исключают из соответствующего множества, а левый – включают.

S 1 S 2 S 3 …. S r -1 S r

c 1 c 2 c 3 c r -1

Пусть p i , , - вероятность того, что СВ Х принадлежит множеству S i (очевидно ). Пусть n i , , - количество величин (вариант) из числа наблюдаемых, принадлежащих множеству S i (эмпирические частоты). Тогда относительная частота попадания СВ Х во множество S i при n наблюдениях. Очевидно, что , .

Для разбиения, приведенного выше, p i есть приращение F (x ) на множестве S i , а приращение на этом же множестве. Cведем результаты опытов в таблицу в виде группированного статистического ряда.

Зная теоретический закон распределения, можно найти теоретические вероятности попадания случайной величины в каждую группу: р 1 , р 2 , …, p r . Проверяя согласованность теоретического и эмпирического (статистического) распределений, будем исходить из расхождений между теоретическими вероятностями p i и наблюдаемыми частотами .

За меру D расхождения (отклонения) эмпирической функции распределения от теоретической принимают сумму квадратов отклонений теоретических вероятностей p i от соответствующих частот , взятых с некоторыми «весами» c i : .

Коэффициенты c i вводятся потому, что в общем случае отклонения, относящиеся к разным группам, нельзя считать равноправными по значимости: одно и то же по абсолютной величине отклонение может быть мало значительным, если сама вероятность p i велика, и очень заметным, если она мала. Поэтому естественно «веса» c i взять обратно пропорциональным вероятностям. Как выбрать этот коэффициент?

К.Пирсон показал, что если положить , то при больших n закон распределения величины U обладает весьма простыми свойствами: он практически не зависит от функции распределения F (x ) и от числа опытов n , а зависит только от количества групп r , а именно, этот закон при увеличении n приближается к так называемому распределению «хи-квадрат» .

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Критерии согласия (соответствия)

Для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения теоретическому закону распределения используются особые статистические показатели - критерии согласия (или критерии соответствия). К ним относятся критерии Пирсона, Колмогорова, Романовского, Ястрем- ского и др. Большинство критериев согласия базируется на использовании отклонений эмпирических частот от теоретических. Очевидно, что чем меньше эти отклонения, тем лучше теоретическое распределение соответствует эмпирическому (или описывает его).

Критерии согласия - это критерии проверки гипотез о соответствии эмпирического распределения теоретическому распределению вероятностей. Такие критерии подразделяются на два класса: общие и специальные. Общие критерии согласия применимы к самой общей формулировке гипотезы, а именно к гипотезе о согласии наблюдаемых результатов с любым априорно предполагаемым распределением вероятностей. Специальные критерии согласия предполагают специальные нулевые гипотезы, формулирующие согласие с определенной формой распределения вероятностей.

Критерии согласия, опираясь на установленный закон распределения, дают возможность установить, когда расхождения между теоретическими и эмпирическими частотами следует признать несущественными (случайными), а когда - существенными (неслучайными). Из этого следует, что критерии согласия позволяют отвергнуть или иодтвердить правильность выдвинутой при выравнивании ряда гипотезы о характере распределения в эмпирическом ряду и дать ответ, можно ли принять для данного эмпирического распределения модель, выраженную некоторым теоретическим законом распределения.

Критерий согласия Пирсона х 2 (хи-квадрат) - один из основных критериев согласия. Предложен английским математиком Карлом Пирсоном (1857-1936) для оценки случайности (существенности) расхождений между частотами эмпирического и теоретического распределений:

где k - число групп, на которые разбито эмпирическое распределение; fi - эмпирическая частота признака в i -й группе; / тс °р - теоретическая частота признака в i-й группе.

Схема применения критерия у} к оценке согласованности теоретического и эмпирического распределений сводится к следующему.

• 1. Определяется расчетная мера расхождения % 2 асч.
• 2. Определяется число степеней свободы.
• 3. По числу степеней свободы v с помощью специальной таблицы определяется %^бл
• 4. Если % 2 асч >х 2 абл, то при заданном уровне значимости а и числе степеней свободы v гипотезу о несущественности (случайности) расхождений отклоняют. В противном случае гипотезу можно признать не противоречащей полученным экспериментальным данным и с вероятностью (1 - а) можно утверждать, что расхождения между теоретическими и эмпирическими частотами случайны.

Уровень значимости - это вероятность ошибочного отклонения выдвинутой гипотезы, т.е. вероятность того, что будет отвергнута правильная гипотеза. В статистических исследованиях в зависимости от важности и ответственности решаемых задач пользуются следующими тремя уровнями значимости:

• 1) а = 0,1, тогда Р = 0,9;
• 2) а = 0,05, тогда Р = 0,95;
• 3) а = 0,01, тогда Р = 0,99.

Используя критерий согласия у}, необходимо соблюдать следующие условия.

• 1. Объем исследуемой совокупности должен удовлетворять условию п > 50, при этом частота или численность группы должна быть не менее 5. Если это условие нарушается, необходимо предварительно объединить небольшие частоты (меньше 5).
• 2. Эмпирическое распределение должно состоять из данных, полученных в результате случайного отбора, т.е. они должны быть независимыми.

Недостатком критерия согласия Пирсона является потеря части первоначальной информации, связанная с необходимостью группировки результатов наблюдений в интервалы и объединения отдельных интервалов с малым числом наблюдений. В связи с этим рекомендуется дополнять проверку соответствия распределений но критерию у} другими критериями. Особенно это необходимо при объеме выборки п ~ 100.

В статистике критерий согласия Колмогорова (также известный как критерий согласия Колмогорова - Смирнова) используется для того, чтобы определить, подчиняются ли два эмпирических распределения одному закону, либо определить, подчиняется ли полученное распределение предполагаемой модели. Критерий Колмогорова основан на определении максимального расхождения между накопленными частотами или частостями эмпирических или теоретических распределений. Критерий Колмогорова исчисляется по следующим формулам:

где D и d - соответственно максимальная разность между накопленными частотами (/-/") и между накопленными частостями (р-р ") эмпирического и теоретического рядов распределений; N - число единиц в совокупности.

Рассчитав значение X, по специальной таблице определяется вероятность, с которой можно утверждать, что отклонения эмпирических частот от теоретических случайны. Если признак принимает значения до 0,3, то это означает, что происходит полное совпадение частот. При большом числе наблюдений критерий Колмогорова способен обнаружить любое отступление от гипотезы. Это означает, что любое отличие распределения выборки от теоретического будет с его помощью обнаружено, если наблюдений будет достаточно много. Практическая значимость этого свойства несущественна, так как в большинстве случаев трудно рассчитывать на получение большого числа наблюдений в неизменных условиях, теоретическое представление о законе распределения, которому должна подчиняться выборка, всегда приближенное, а точность статистических проверок не должна превышать точность выбранной модели.

Критерий согласия Романовского основан на использовании критерия Пирсона, т.е. уже найденных значений х 2 > и числа степеней свободы:

где v - число степеней свободы вариации.

Критерий Романовского удобен при отсутствии таблиц для х 2 . Если К р К? > 3, то неслучайны и теоретическое распределение не может служить моделью для изучаемого эмпирического распределения.

Б. С. Ястремский использовал в критерии согласия не число степеней свободы, а число групп (k ), особую величину 0, зависящую от числа групп, и величину хи-квадрат. Критерий согласия Ястремского имеет тот же смысл, что и критерий Романовского, и выражается формулой

где х 2 - критерий согласия Пирсона; /е гр - число групп; 0 - коэффициент, для числа групп меньше 20 равный 0,6.

Если 1ф акт > 3, расхождения между теоретическими и эмпирическими распределениями неслучайны, т.е. эмпирическое распределение не отвечает требованиям нормального распределения. Если 1ф акт

Опр Критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения называется критерием согласия.

Имеется несколько критериев согласия: $\chi ^2$ { хи-квадрат } К. Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др.

Обычно теоретические и эмпирические частоты различаются. Случай расхождения может быть не случайным, значит и объясняется тем, что не верно выбрана гипотеза. Критерий Пирсона отвечает на поставленный вопрос, но как любой критерий он ничего не доказывает, а лишь устанавливает на принятом уровне значимости её согласие или несогласие с данными наблюдений.

Опр Достаточно малую вероятность, при которой событие можно считать практически невозможным называют уровнем значимости.

На практике обычно принимают уровни значимости, заключённые между 0,01 и 0,05, $\alpha =0,05$ - это $5 { \% } $ уровень значимости.

В качестве критерия проверки гипотезы примем величину \begin{equation} \label { eq1 } \chi ^2=\sum { \frac { ({ n_i -n_i" })^2 } { n_i" } } \qquad (1) \end{equation}

здесь $n_i -$ эмпирические частоты, полученные из выборки, $n_i" -$ теоретические частоты, найденные теоретическим путём.

Доказано, что при $n\to \infty $ закон распределения случайной величины { 1 } независимо от того, по какому закону распределена генеральная совокупность, стремится к закону $\chi ^2$ { хи-квадрат } с $k$ степенями свободы.

Опр Число степеней свободы находят по равенству $k=S-1-r$ где $S-$ число групп интервалов, $r-$ число параметров.

1) равномерное распределение: $r=2, k=S-3 $

2) нормальное распределение: $r=2, k=S-3 $

3) показательное распределение: $r=1, k=S-2$.

Правило . Проверка гипотезы по критерию Пирсона.

1. Для проверки гипотезы вычисляют теоретические частоты и находят $\chi _ { набл } ^2 =\sum { \frac { ({ n_i -n_i" })^2 } { n_i" } } $
2. По таблице критических точек распределения $\chi ^2$ по заданному уровню значимости $\alpha $ и числу степеней свободы $k$ находят $\chi _ { кр } ^2 ({ \alpha ,k })$.
3. Если $\chi _ { набл } ^2 <\chi _ { кр } ^2 $ то нет оснований отвергать гипотезу, если не выполняется данное условие - то отвергают.

Замечание Для контроля вычислений применяют формулу для $\chi ^2$ в виде $\chi _ { набл } ^2 =\sum { \frac { n_i^2 } { n_i" } -n } $

Проверка гипотезы о равномерном распределении

Функция плотности равномерного распределения величины $X$ имеет вид $f(x)=\frac { 1 } { b-a } x\in \left[ { a,b }\right]$.

Для того, чтобы при уровне значимости $\alpha $ проверить гипотезу о том, что непрерывная случайная величина распределена по равномерному закону, требуется:

1) Найти по заданному эмпирическому распределению выборочное среднее $\overline { x_b } $ и $\sigma _b =\sqrt { D_b } $. Принять в качестве оценки параметров $a$ и $b$ величины

$a = \overline x _b -\sqrt 3 \sigma _b $, $b = \overline x _b +\sqrt 3 \sigma _b $

2) Найти вероятность попадания случайной величины $X$ в частичные интервалы $({ x_i ,x_ { i+1 } })$ по формуле $ P_i =P({ x_i

3) Найти теоретические { выравнивающие } частоты по формуле $n_i" =np_i $.

4) Приняв число степеней свободы $k=S-3$ и уровень значимости $\alpha =0,05$ по таблицам $\chi ^2$ найдём $\chi _ { кр } ^2 $ по заданным $\alpha $ и $k$, $\chi _ { кр } ^2 ({ \alpha ,k })$.

5) По формуле $\chi _ { набл } ^2 =\sum { \frac { ({ n_i -n_i" })^2 } { n_i" } } $ где $n_i -$ эмпирические частоты, находим наблюдаемое значение $\chi _ { набл } ^2 $.

6) Если $\chi _ { набл } ^2 <\chi _ { кр } ^2 -$ нет оснований, отвергать гипотезу.

Проверим гипотезу на нашем примере.

1) $\overline x _b =13,00\,\,\sigma _b =\sqrt { D_b } = 6,51$

2) $a=13,00-\sqrt 3 \cdot 6,51=13,00-1,732\cdot 6,51=1,72468$

$b=13,00+1,732\cdot 6,51=24,27532$

$b-a=24,27532-1,72468=22,55064$

3) $P_i =P({ x_i

$ P_2 =({ 3

$ P_3 =({ 7

$ P_4 =({ 11

$ P_5 =({ 15

$ P_6 =({ 19

В равномерном распределении если одинакова длина интервала, то $P_i -$ одинаковы.

4) Найдём $n_i" =np_i $.

5) Найдём $\sum { \frac { ({ n_i -n_i" })^2 } { n_i" } } $ и найдём $\chi _ { набл } ^2 $.

Занесём все полученные значения в таблицу

\begin{array} { |l|l|l|l|l|l|l| } \hline i& n_i & n_i" =np_i & n_i -n_i" & ({ n_i -n_i" })^2& \frac { ({ n_i -n_i" })^2 } { n_i" } & Контроль~ \frac { n_i^2 } { n_i" } \\ \hline 1& 1& 4,43438& -3.43438& 11,7950& 2,659898& 0,22551 \\ \hline 2& 6& 4,43438& 1,56562& 2,45117& 0,552765& 8,11838 \\ \hline 3& 3& 4,43438& -1,43438& 2,05744& 0,471463& 2,0296 \\ \hline 4& 3& 4,43438& -1,43438& 2,05744& 0,471463& 2,0296 \\ \hline 5& 6& 4,43438& 1,56562& 2,45117& 0,552765& 8,11838 \\ \hline 6& 6& 4,43438& 1,56562& 2,45117& 0,552765& 8,11838 \\ \hline & & & & & \sum = \chi _ { набл } ^2 =3,261119& \chi _ { набл } ^2 =\sum { \frac { n_i^2 } { n_i" } -n } =3,63985 \\ \hline \end{array}

$\chi _ { кр } ^2 ({ 0,05,3 })=7,8$

$\chi _ { набл } ^2 <\chi _ { кр } ^2 =3,26<7,8$

Вывод отвергать гипотезу нет оснований.