Критерий согласия. Статистические гипотезы
Критерии согласия (соответствия)
Для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения теоретическому закону распределения используются особые статистические показатели - критерии согласия (или критерии соответствия). К ним относятся критерии Пирсона, Колмогорова, Романовского, Ястрем- ского и др. Большинство критериев согласия базируется на использовании отклонений эмпирических частот от теоретических. Очевидно, что чем меньше эти отклонения, тем лучше теоретическое распределение соответствует эмпирическому (или описывает его).
Критерии согласия - это критерии проверки гипотез о соответствии эмпирического распределения теоретическому распределению вероятностей. Такие критерии подразделяются на два класса: общие и специальные. Общие критерии согласия применимы к самой общей формулировке гипотезы, а именно к гипотезе о согласии наблюдаемых результатов с любым априорно предполагаемым распределением вероятностей. Специальные критерии согласия предполагают специальные нулевые гипотезы, формулирующие согласие с определенной формой распределения вероятностей.
Критерии согласия, опираясь на установленный закон распределения, дают возможность установить, когда расхождения между теоретическими и эмпирическими частотами следует признать несущественными (случайными), а когда - существенными (неслучайными). Из этого следует, что критерии согласия позволяют отвергнуть или иодтвердить правильность выдвинутой при выравнивании ряда гипотезы о характере распределения в эмпирическом ряду и дать ответ, можно ли принять для данного эмпирического распределения модель, выраженную некоторым теоретическим законом распределения.
Критерий согласия Пирсона х 2 (хи-квадрат) - один из основных критериев согласия. Предложен английским математиком Карлом Пирсоном (1857-1936) для оценки случайности (существенности) расхождений между частотами эмпирического и теоретического распределений:
где k - число групп, на которые разбито эмпирическое распределение; fi - эмпирическая частота признака в i -й группе; / тс °р - теоретическая частота признака в i-й группе.
Схема применения критерия у} к оценке согласованности теоретического и эмпирического распределений сводится к следующему.
- 1. Определяется расчетная мера расхождения % 2 асч.
- 2. Определяется число степеней свободы.
- 3. По числу степеней свободы v с помощью специальной таблицы определяется %^бл
- 4. Если % 2 асч >х 2 абл, то при заданном уровне значимости а и числе степеней свободы v гипотезу о несущественности (случайности) расхождений отклоняют. В противном случае гипотезу можно признать не противоречащей полученным экспериментальным данным и с вероятностью (1 - а) можно утверждать, что расхождения между теоретическими и эмпирическими частотами случайны.
Уровень значимости - это вероятность ошибочного отклонения выдвинутой гипотезы, т.е. вероятность того, что будет отвергнута правильная гипотеза. В статистических исследованиях в зависимости от важности и ответственности решаемых задач пользуются следующими тремя уровнями значимости:
- 1) а = 0,1, тогда Р = 0,9;
- 2) а = 0,05, тогда Р = 0,95;
- 3) а = 0,01, тогда Р = 0,99.
Используя критерий согласия у}, необходимо соблюдать следующие условия.
- 1. Объем исследуемой совокупности должен удовлетворять условию п > 50, при этом частота или численность группы должна быть не менее 5. Если это условие нарушается, необходимо предварительно объединить небольшие частоты (меньше 5).
- 2. Эмпирическое распределение должно состоять из данных, полученных в результате случайного отбора, т.е. они должны быть независимыми.
Недостатком критерия согласия Пирсона является потеря части первоначальной информации, связанная с необходимостью группировки результатов наблюдений в интервалы и объединения отдельных интервалов с малым числом наблюдений. В связи с этим рекомендуется дополнять проверку соответствия распределений но критерию у} другими критериями. Особенно это необходимо при объеме выборки п ~ 100.
В статистике критерий согласия Колмогорова (также известный как критерий согласия Колмогорова - Смирнова) используется для того, чтобы определить, подчиняются ли два эмпирических распределения одному закону, либо определить, подчиняется ли полученное распределение предполагаемой модели. Критерий Колмогорова основан на определении максимального расхождения между накопленными частотами или частостями эмпирических или теоретических распределений. Критерий Колмогорова исчисляется по следующим формулам:
где D и d - соответственно максимальная разность между накопленными частотами (/-/") и между накопленными частостями (р-р ") эмпирического и теоретического рядов распределений; N - число единиц в совокупности.
Рассчитав значение X, по специальной таблице определяется вероятность, с которой можно утверждать, что отклонения эмпирических частот от теоретических случайны. Если признак принимает значения до 0,3, то это означает, что происходит полное совпадение частот. При большом числе наблюдений критерий Колмогорова способен обнаружить любое отступление от гипотезы. Это означает, что любое отличие распределения выборки от теоретического будет с его помощью обнаружено, если наблюдений будет достаточно много. Практическая значимость этого свойства несущественна, так как в большинстве случаев трудно рассчитывать на получение большого числа наблюдений в неизменных условиях, теоретическое представление о законе распределения, которому должна подчиняться выборка, всегда приближенное, а точность статистических проверок не должна превышать точность выбранной модели.
Критерий согласия Романовского основан на использовании критерия Пирсона, т.е. уже найденных значений х 2 > и числа степеней свободы:
где v - число степеней свободы вариации.
Критерий Романовского удобен при отсутствии таблиц для х 2 . Если К р К? > 3, то неслучайны и теоретическое распределение не может служить моделью для изучаемого эмпирического распределения.
Б. С. Ястремский использовал в критерии согласия не число степеней свободы, а число групп (k ), особую величину 0, зависящую от числа групп, и величину хи-квадрат. Критерий согласия Ястремского имеет тот же смысл, что и критерий Романовского, и выражается формулой
где х 2 - критерий согласия Пирсона; /е гр - число групп; 0 - коэффициент, для числа групп меньше 20 равный 0,6.
Если 1ф акт > 3, расхождения между теоретическими и эмпирическими распределениями неслучайны, т.е. эмпирическое распределение не отвечает требованиям нормального распределения. Если 1ф акт
Критерии для проверки случайности и оценки резко выделяющихся наблюдений Литература Введение В практике статистического анализа экспериментальных данных основной интерес представляет не само по себе вычисление тех или иных статистик а ответы на вопросы такого типа. Соответственно разработано и множество критериев для проверки выдвигаемых статистических гипотез. Все критерии для проверки статистических гипотез делятся на две большие группы: параметрические и непараметрические.
Поделитесь работой в социальных сетях
Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск
Использование критериев согласия
Введение
Литература
Введение
В практике статистического анализа экспериментальных данных основной интерес представляет не само по себе вычисление тех или иных статистик, а ответы на вопросы такого типа. Действительно ли среднее генеральной совокупности равно некоторому числу? Значимо ли отличается от нуля коэффициент корреляции? Равны ли дисперсии двух выборок? И таких вопросов в зависимости от конкретной исследовательской задачи может возникать много. Соответственно разработано и множество критериев для проверки выдвигаемых статистических гипотез. Некоторые наиболее употребительные из них мы и рассмотрим. В основном они будут относиться к средним, дисперсиям, коэффициентам корреляции и распределениям численностей.
Все критерии для проверки статистических гипотез делятся на две большие группы: параметрические и непараметрические. Параметрические критерии основаны на предположении о том, что выборочные данные взяты из генеральной совокупности с известным распределением, и основная задача состоит в оценке параметров этого распределения. Для непараметрических критериев не требуется никаких предположений о характере распределения, за исключением предположения о том, что оно непрерывно.
Первыми рассмотрим параметрические критерии. Последовательность проверки будет включать формулирование нуль-гипотезы и альтернативной гипотезы, формулирование делаемых допущений, определение выборочной статистики, используемой при проверке и, образование выборочного распределения проверяемой статистики, определение критических областей для выбранного критерия и построение доверительного интервала для выборочной статистики.
1 Критерии согласия для средних
Пусть проверяемая гипотеза состоит в том, что параметр генеральной совокупности. Необходимость такой проверки может возникнуть, например, в следующей ситуации. Предположим, что на основании обширных исследований установлен диаметр раковины ископаемого моллюска в отложениях из некоторого фиксированного места. Пусть также в нашем распоряжении оказалось некоторое количество раковин, найденных в другом месте, а мы делаем предположение, что конкретное место не оказывает влияния на диаметр раковины, т.е. что среднее значение диаметра раковины для всей популяции моллюсков, когда-то живших в новом месте, равно известному значению, полученному ранее при изучении данного вида моллюсков в первом местообитании.
Если это известное значение равно, то нуль-гипотеза и альтернативная гипотеза записываются следующим образом: Примем, что переменная x в рассматриваемой совокупности имеет нормальное распределение, а величина дисперсии генеральной совокупности неизвестна.
Будем проверять гипотезу с помощью статистики:
, (1)
где - выборочное стандартное отклонение.
Было показано, что если справедлива, то t в выражении (1) имеет t-распределение Стьюдента с n-1 степенями свободы. Если выбрать уровень значимости (вероятность отбросить правильную гипотезу) равным, то в соответствии с тем, о чем шла речь в предыдущей главе, можно определеить критические значения для проверки =0.
В данном случае, так как распределение Стьюдента симметрично, то (1-) часть площади под кривой этого распределения с n-1 степенями свободы будет заключена между точками и, которые равны друг другу по абсолютной величине. Следовательно, все значения меньше отрицательного и больше положительного значения для t-распределения с заданным числом степеней свободы при выбранном уровне значимости будут составлять критическую область. Попадание выборочного значения t в эту область приводит к принятию альтернативной гипотезы.
Доверительный интервал для строится по описанной ранее методике и определяется из следующего выражения
(2)
Итак, пусть в нашем случае известно, что диаметр раковины ископаемого моллюска равен 18,2 мм. В нашем распоряжении оказалась выборка из 50 вновь найденных раковин, для которых мм, а =2,18 мм. Проверим: =18,2 против Имеем
Если уровень значимости выбрать =0,05 то критическое значение. Отсюда следует, что можно отклонить в пользу на уровне значимости =0,05 . Таким образом, для нашего гипотетического примера можно утверждать (естественно, с некоторой вероятностью), что диаметр раковины ископаемых моллюсков определенного вида зависит от мест, в которых они обитали.
В связи с тем, что t-распределение симметрично, приводятся только положительные значения t этого распределения при выбранных уровнях значимости и числе степеней свободы. Причем учитывается не только доля площади под кривой распределения справа от значения t, но и одновременно слева от значения -t. Это связано с тем, что в большинстве случаев при проверке гипотез нас интересует существенность отклонений сама по себе, независимо от того, в большую или меньшую сторону эти отклонения, т.е. мы проверяем против, а не против: >a или: Вернемся теперь к нашему примеру. Доверительный 100(1-)% интервал для равен
18,92,01
Рассмотрим теперь случай, когда необходимо сравнить между собой средние двух генеральных совокупностей. Проверяемая гипотеза выглядит так: : =0, : 0. Предполагается также, что имеет нормальное распределение со средним и дисперсией, а - нормальное распределение со средним и той же дисперсией. Кроме того, принимаем, что выборки, по которым оцениваются генеральные совокупности, извлекаются независимо друг от друга и имеют объем соответственно и Из независимости выборок следует, что если взять большее их число и для каждой пары рассчитать средние значения, то множество этих пар средних будет полностью некоррелированно.
Проверка нулевой гипотезы проводится с использованием статистики
(3)
где и - оценки дисперсии для первой и второй выборок соответственно. Нетрудно видеть, что (3) представляет собой обобщение (1).
Было показано, что статистика (3) имеет t-распределение Стьюдента с степенями свободы. При равенстве и, т.е. = = формула (3) упрощается и имеет вид
(4)
Рассмотрим пример. Пусть при измерении стеблевых листьев одной и той же популяции растений в течение двух сезонов получены следующие результаты: Будем считать, что условия для использования критерия Стьюдента, т.е. нормальность генеральных совокупностей, из которых взяты выборки, существование неизвестной, но одной и той же дисперсии для этих совокупностей и независимость выборок выполнены. Оценим на уровне значимости =0,01. Имеем
Табличное значение t = 2,58. Поэтому гипотеза о равенстве средних значений длин стеблевых листьев для популяции растений в течение двух сезонов должна быть отвергнута на выбранном уровне значимости.
Внимание!
В качестве нулевой гипотезы в математической статистике выбирается гипотеза об отсутствии значимых различий между сравниваемыми показателями, причем независимо от того, идет ли речь о средних, дисперсиях или других статистиках. И во всех этих случаях, если эмпирическое (вычисленное по формуле) значение критерия больше теоретического (выбранного из таблиц), то отвергается. Если же эмпирическое значение меньше табличного, то принимается.
Для того, чтобы построить доверительный интервал для разности средних этих двух генеральных совокупностей, обратим внимание на то, что критерий Стьюдента, как видно из формулы (3), оценивает значимость разности между средними относительно стандартной ошибки этой разности. В том, что знаменатель в (3) представляет именно эту стандартную ошибку, нетрудно убедиться, используя уже рассмотренные ранее соотношения и сделанные предположения. В самом деле, нам известно, что в общем случае
Если x и y независимы, то и
Взяв вместо x и y выборочные значения и и припомнив сделанное предположение о том, что обе генеральные совокупности имеют одну и ту же дисперсию, получим
(5)
Оценка дисперсии может быть получена из следующего соотношения
(6)
(Мы делим на, потому что по выборкам оцениваются две величины и, и значит, число степеней свободы должно быть уменьшено на два.)
Если теперь подставить (6) в (5) и извлечь квадратный корень, то получится знаменатель в выражении (3).
После этого отступления вернемся к построению доверительного интервала для через -.
Имеем
Сделаем некоторые замечания, связанные с предположениями, используемыми при построении t-критерия. Прежде всего было показано, что нарушения допущения о нормальности для имеют незначительное влияние на уровень значимости и мощность критерия для 30. Несущественно также и нарушение предположения об однородности дисперсий обоих генеральных совокупностей, из которых берутся выборки, но тольков том случае, когда объемы выборок равны. Если же а дисперсии обеих совокупностей отличаются друг от друга, то вероятности ошибок первого и второго рода будут существенно отличаться от ожидаемых.
В этом случае для проверки следует пользоваться критерием
(7)
с числом степеней свободы
. (8)
Как правило, получается дробным числом, поэтому при пользовании таблицами t-распределения необходимо брать табличные значения для ближайших целых значений и проводить интерполяцию для нахождения t, соответствующего полученному.
Рассмотрим пример. При изучении двух подвидов озерной лягушки рассчитывалось отношение длины тела к длине голени. Были взяты две выборки с объемами =49 и =27. Средние и дисперсии интересующего нас отношения оказались равными соответственно =2,34; =2,08; =0,21; =0,35. Если теперь проверять гипотезу с использованием формулы (2), то получим, что
При уровне значимости =0,05 мы должны отвергнуть нулевую гипотезу (табличное значение t=1,995) и считать, что есть статистически достоверные на выбранном уровне значимости различия между средними значениями измеряемых показателей для двух подвидов лягушки.
При использовании же формул (6) и (7) имеем
В данном случае для того же уровня значимости =0,05 табличное значение t=2,015, и нулевая гипотеза принимается.
На этом примере достаточно ясно видно, что пренебрежение условиями, принимаемыми при выводе того или иного критерия, может привести к результатам, прямо противоположным тем, которые имеют место на самом деле. Конечно же, в данном случае, имея выборки разного объема в отсутствии заранее установленного факта о том, что дисперсии измеряемого показателя в обеих популяциях статистически равны, следовало пользоваться формулами (7) и (8), которые и показали отсутствие статистически значимых различий.
Поэтому хочется повторить еще раз, что проверка соблюдения всех предположений, сделанных при выводе того или иного критерия, является совершенно необходимым условием для его корректного использования.
Неизменным требованием в обоих приведенных модификациях t-критерия было требование о независимости между собой выборок. Однако на практике достаточно часто встречаются ситуации, когда это требование не может быть выполнено по объективным причинам. Например, измеряются некоторые показатели на одном и том же животном или участке территории до и после действия внешнего фактора и т.д. И в этих случаях нас может интересовать проверка гипотезы против. Будем по-прежнему предполагать, что обе выборки взяты из нормальных генеральных совокупностей с одинаковой дисперсией.
В этом случае можно воспользоваться тем фактом, что разности между нормально распределенными величинами также имеют нормальное распределение, и поэтому можно воспользоваться критерием Стьюдента в форме (1). Таким образом, будет проверяться гипотеза о том что n разностей есть выборка из нормально распределенной генеральной совокупности со средним, равным нулю.
Обозначив i-ю разность через, имеем
, (9) Рассмотрим пример. Пусть в нашем распоряжении имеются данные о количестве импульсов отдельной нервной клетки за определенный интервал времени до () и после () действия раздражителя:
Отсюда Имея в виду, что (9) имеет t-распределение, и выбрав уровень значимости =0,01, из соответствующей таблицы Приложения найдем, что критическое значение t для n-1=10-1=9 степеней свободы равно 3,25. Сравнение теоретического и эмпирического значений t-статистики показывает, что нулевая гипотеза об отсутствии статистически значимых различий между частотой импульсации до и после подачи стимула должна быть отвергнута. Можно сделать вывод о том, сто используемый раздражитель статистически значимо меняет частоту импульсации.
В экспериментальных исследованиях, как упоминалось выше, зависимые выборки появляются достаточно часто. Тем не менее этот факт иногда игнорируется и t-критерий некорректно используется в форме (3).
В неправомерности этого можно убедиться, рассматривая стандартные ошибки разности между некоррелированными и коррелированными средними. В первом случае
А во втором
Стандартная ошибка разности d равна
С учетом этого знаменатель в (9) будет иметь вид
Теперь обратим внимание на то, что числители выражений (4) и (9) совпадают:
следовательно, различие в величине t в них зависит от знаменателей.
Таким образом, если в задаче с зависимыми выборками будет использована формула (3), и при этом выборки будут иметь положительную корреляцию, то получаемые значения t будут меньше, чем они должны были бы быть при использовании формулы (9), и может возникнуть ситуация, что будет принята нулевая гипотеза, в то время как она неверна. Обратная ситуация может возникнуть, когда между выборками будет существовать отрицательная корреляция, т.е. в этом случае значимыми будут признаваться такие различия, которые на самом деле таковыми не являются.
Вернемся вновь к примеру с импульсной активностью и вычислим для приведенных данных значение t по формуле (3), не обращая внимания на то, что выборки связаны. Имеем: Для числа степеней свободы, равного 18, и уровня значимости =0,01 табличное значение t=2,88 и, на первый взгляд, кажется, что ничего не произошло, даже при использовании непригодной для данных условий формулы. И в этом случае вычисленное значение t приводит к отбрасыванию нулевой гипотезы, т.е. к тому же самому выводу, который был сделан с использованием правильной в данной ситуации формулой (9).
Однако давайте переформируем имеющиеся данные и представим их в следующем виде (2):
Это те же самые значения, и они вполне могли бы быть получены в каком-нибудь из опытов. Так как все значения в обеих выборках сохранены, то использование критерия Стьюдента в формуле (3) дает уже полученное ранее значение =3,32 и приводит к тому же самому выводу, который уже был сделан.
А теперь рассчитаем значение t по формуле (9), которая и должна использоваться в данном случае. Имеем: Критическое значение t при выбранном уровне значимости и девяти степенях свободы равно 3,25. Следовательно, оснований отвергнуть нулевую гипотезу у нас нет, мы ее принимаем, и оказывается, что этот вывод прямо противоположен тому, который был сделан при использовании формулы (3).
На этом примере мы вновь убедились в том, как важно для получения правильных выводов при анализе экспериментальных данных строго соблюдать все требования, которые были положены в основу определения того или иного критерия.
Рассмотренные модификации критерия Стьюдента предназначаются для проверки гипотез относительно средних двух выборок. Однако возникают ситуации, когда появляется необходимость сделать выводы относительно равенства одновременно k средних. Для этого случая тоже разработана определенная статистическая процедура, которая будет рассмотрена в дальнейшем при обсуждении вопросов, связанных с дисперсионным анализом.
2 Критерии согласия для дисперсий
Проверка статистических гипотез относительно дисперсий генеральных совокупностей проводится в той же последовательности, что и для средних. Напомним вкратце эту последовательность.
1. Формулируется нулевая гипотеза (об отсутствии статистически значимых различий между сравниваемыми дисперсиями).
2. Делаются некоторые предположения относительно выборочного распределения статистики, с помощью которой планируется оценивать параметр, входящий в гипотезу.
3. Выбирается уровень значимости для проверкигипотезы.
4. Рассчитывается значение интересующей нас статистики и принимается решение относительно истинности нулевой гипотезы.
А теперь начнем с проверки гипотезы о том, что дисперсия генеральной совокупности =a, т.е. против. Если предположить, что переменная x имеет нормальное распределение, и что выборка объема n извлекается из генеральной совокупности случайно, то для проверки нулевой гипотезы используется статистика
(10)
Вспомнив формулу для расчета дисперсии, перепишем (10) так:
. (11)
Из этого выражения видно, что числитель представляет собой сумму квадратов отклонений нормально распределенных величин от их среднего. Каждое из этих отклонений также распределено нормально. Поэтому в соответствии с известным нам распределением суммы квадратов нормально распределенных величин статистики (10) и (11) имеют -распределение с n-1 степенью свободы.
По аналогии с использованием t-распределения при проверке для выбранного уровня значимости по таблице распределения устанавливают критические точки, соответствующие вероятностям принятия нулевой гипотезы и. Доверительный интервал для при выбранном строится следующим образом:
. (12)
Рассмотрим пример. Пусть на основании обширных экспериментальных исследований установлено, что дисперсия содержания алкалоидов одного вида растений из определенного района равна 4,37 условных единиц. В распоряжение специалиста попадает выборка объемом n = 28 таких растений, предположительно из того же района. Проведенный анализ показал, что для этой выборки =5,01 и нужно убедиться в том, что эта и известная ранее дисперсии статистически неразличимы на уровне значимости =0,1.
По формуле (10) имеем
Полученную величину необходимо сравнить с критическими значениями /2=0,05 и 1--/2=0,95. Из таблицы Приложения для с 27 степенями свободы имеем соответственно 40,1 и 16,2, откуда следует, что нулевая гипотеза может быть принята. Соответствующий доверительный интервал для равен 3,37<<8,35.
В отличии от проверки гипотез относительно выборочных средних с использованием критерия Стьюдента, когда ошибки первого и второго рода несущественно менялись при нарушении предположения о нормальном распределении генеральных совокупностей, в случае гипотез о дисперсиях при невыполнении условий нормальности ошибки меняются существенно.
Рассмотренная выше задача о равенстве дисперсии некоторому фиксированному значению представляет ограниченный интерес, так как довольно редко встречаются ситуации, когда известна дисперсия генеральной совокупности. Значительно больший интерес представляет случай, когда нужно проверить, равны ли дисперсии двух совокупностей, т.е. проверка гипотезы против альтернативы. При этом предполагается, что выборки объемом и случайно извлекаются из генеральных совокупностей с дисперсиями и.
Для проверки нулевой гипотезы используется критерий отношения дисперсий Фишера
(13)
Так как суммы квадратов отклонений нормально распределенных случайных величин от их средних значений имеют распределение, то и числитель и знаменатель (13) представляют собой величины с распределением, поделенные соответственно на и, и следовательно, их отношение имеет F-распределение с -1 и -1 степенями свободы.
Общепринято - и так построены таблицы F-распределения, - что в качестве числителя в (13) берется большая из дисперсий, и поэтому определяется только одна критическая точка, соответствующая выбранному уровню значимости.
Пусть в нашем распоряжении оказались две выборки объемом =11 и =28 из популяций обыкновенных и овальных прудовиков, для которых отношения высоты к ширине имеют дисперсии =0,59 и =0,38. Необходимо проверить гипотезу о равенстве этих дисперсий этих показателей для изучаемых популяций при уровне значимости =0,05. Имеем
В литературе иногда можно встретить утверждение о том, что проверке гипотезы о равенстве средних по критерию Стьюдента должна предшествовать проверка гипотезы о равенстве дисперсий. Это неправильная рекомендация. Более того, она может привести к ошибкам, которых можно избежать, если ей не следовать.
В самом деле, результаты проверки гипотезы о равенстве дисперсий с использованием критерия Фишера в значительной мере зависят от предположения о том, что выборки взяты из совокупностей с нормальным распределением. В то же время критерий Стьюдента малочувствителен к нарушениям нормальности, и если удается получить выборки равного объема, то предположение о равенстве дисперсий также не является существенным. В случае неравных n следует пользоваться для проверки формулами (7) и (8).
При проверке гипотез о равенстве дисперсий возникают некоторые особенности в расчетах, связанных с зависимыми выборками. В этом случае для проверки гипотезы против альтернативы используется статистика
(14)
Если нулевая гипотеза справедлива, то статистика (14) имеет t-распределение Стьюдента с n-2 степенями свободы.
При измерении блеска 35 образцов покрытий была получена дисперсия =134,5. Повторные измерения через две недели показали =199,1. При этом коэффициент корреляции между парными измерениями оказался равным =0,876. Если не обращать внимание на то, что выборки зависимы и воспользоваться критерием Фишера для проверки гипотезы, то получим F=1,48. Если выбрать уровень значимости =0,05, то нулевая гипотеза будет принята, так как критическое значение F-распределения для =35-1=34 и =35-1=34 степеней свободы равно 1,79.
В то же время, если использовать подходящую для данного случая формулу (14), то получим t=2,35, в то время как критическое значение t для 33 степеней свободы и выбранного уровня значимости =0,05 равно 2,03. Следовательно, нулевая гипотеза о равенстве дисперсий в этих двух выборках должна быть отклонена. Таким образом, из этого примера видно, что, как и в случае проверки гипотезы о равенстве средних, использование критерия, не учитывающего специфику экспериментальных данных, приводит к ошибке.
В рекомендуемой литературе можно найти критерий Бартлетта, используемый при проверке гипотез об одновременном равенстве k дисперсий. Кроме того, что вычисления статистики этого критерия довольно трудоемки, основной недостаток этого критерия в том, что он необычайно чувствителен к отклонениям от предположения о нормальности распределений совокупностей из которых извлекаются выборки. Таким образом, при его использовании никогда нельзя быть уверенным в том, что нулевая гипотеза отклонена в самом деле из-за того, что статистически значимо различаются дисперсии, а не из-за того, что выборки не имеют нормального распределения. Поэтому в случае возникновения проблемы сравнения нескольких дисперсий необходимо искать такую постановку задачи, когда можно будет использовать критерий Фишера или его модификации.
3 Критерии согласия относительно долей
Довольно часто приходится анализировать совокупности, в которых объекты могут быть отнесены к одной из двух категорий. Например, по принадлежности к полу в некоторой популяции, по наличию некоторого микроэлемента в почве, по темной или светлой окраске яиц у некоторых видов птиц и т.д.
Долю элементов, обладающих определенным качеством, обозначим через P, где P представляет собой отношение объектов с интересующим нас качеством ко всем объектам в совокупности.
Пусть проверяется гипотеза о том, что в некоторой достаточно большой совокупности доля P равна некоторому числу a (0 Для дихотомических (имеющих две градации) переменных, как в нашем случае, P играет ту же роль, что и среднее генеральной совокупности переменных, измеряемых количественно. С другой стороны, ранее было указано, что стандартная ошибка доли P может быть представлена в виде
Тогда, если верна гипотеза, то статистика
, (19) Пусть из литературных данных известно, что в популяции озерной лягушки доля особей, имеющих продольную полосу на спине составляет 62% или 0,62. В нашем распоряжении оказалась выборка из 125 (n) особей, 93 (f) из которых имеют продольную полосу на спине. Необходимо выяснить, соответствует ли доля особей с интересующим нас признаком в популяции, из которой извлечена выборка, известным данным. Имеем: p=f/n=93/125=0,744, a=0,62, n(1-p)=125(1-0,744)=32>5 и
Следовательно, и для уровня значимости = 0,05 и для = 0,01 нулевая гипотеза должна быть отвергнута, так как критическое значение для = 0,05 равно 1,96, а для = 0,01 - 2,58 .
Если существуют две большие совокупности, в которых доли объектов с интересующих нас свойством составляют соответственно и, то интерес представляет проверка гипотезы: = против альтернативной:. Для проверки извлекаются случайно и независимо две выборки объемами и. По этим выборкам оцениваются и и определяется статистика
(20)
где и - число объектов, обладающих данным признаком, соответственно в первой и второй выборках.
Из формулы (20) можно понять, что при ее выводе использовался все тот же принцип, с которым мы сталкивались и ранее. А именно, для проверки статистических гипотез определяется количество стандартных отклонений, составляющих разность между интересующими нас показателями, в самом деле величина (+)/(+) представляет собой долю объектов с заданным признаком в обоих выборках одновременно. Если обозначит ее через, то выражение во второй скобке знаменателя (20) представляет собой (1-) и становится очевидным, что выражение (20) эквивалентно формуле для проверки нулевой гипотезы:
Так как.
С другой стороны, стандартная ошибка. Таким образом, (20) может быть записано в виде
. (21)
Единственное различие между этой статистикой и статистикой, используемой при проверке гипотез о средних состоит в том, что z имеет не t-, а единичное нормальное распределение.
Пусть изучение группы людей (=82) показало, что доля лиц, у которых в электроэнцефалограмме обнаруживается -ритм, составляет 0,84 или 84%. Исследование группы людей в другой местности (=51) показало, что эта доля составляет 0,78. Для уровня значимости =0,05 необходимо проверить, что доли лиц, обладающих мозговой альфа-активностью в генеральных совокупностях, из которых взяты выборки, одинаковы.
Прежде всего убедимся в том, что имеющиеся экспериментальные данные позволяют пользоваться статистикой (20). Имеем:
и так как z имеет нормальное распределение, для которого критической точкой при =0,05 является 1,96, то нулевая гипотеза принимается.
Рассмотренный критерий справедлив, если выборки, для которых сравнивались доли объектов, обладающих интересующим нас признаком, являются независимыми. Если это требование не выполняется, например, когда совокупность рассматривается в последовательные интервалы времени, то один и тот же объект может в этих интервалах обладать или не обладать данным признаком.
Обозначим наличие у объекта некоторого интересующего нас признака через 1, а его отсутствие - через 0. Тогда мы приходим к таблице 3, где (a+c) - число объектов в первой выборке, обладающих некоторым признаком, (a+c) - число объектов с этим признаком во второй выборке, а n - общее число обследованных объектов. Очевидно, что это уже известная четырехпольная таблица, взаимосвязь в которой оценивается с помощью коэффициента
Для такой таблицы и малых (<10) значений в каждой клетке Р.Фишером было найдено точное распределение для, которое позволяет проверять гипотезу: =. Это распределение имеет довольно сложный вид, и его критические точки приводятся в специальных таблицах. В реальных ситуациях, как правило, значения в каждой клетке больше 10, и было показано, что в этих случаях для проверки нулевой гипотезы можно использовать статистику
(22) Рассмотрим пример. Пусть в течение двух лет проверялась эффективность прививок от малярии, сделанных в разное время года.. Проверяется гипотеза о том, что эффективность прививок не зависит от времени года, когда они делаются. Имеем
Табличное значение для =0,05 равно 3,84, а для =0,01 - 6,64. Следовательно, на любом из этих уровней значимости нулевая гипотеза должна быть отвергнута, и в этом гипотетическом примере (впрочем имеющем отношение к действительности) может быть сделан вывод о том, что пививки, сделанные во второй половине года, значительно эффективней.
Естественным обобщением коэффициента связи для четырехпольной таблицы является, как уже упоминалось ранее, коэффициент взаимной сопряженности Чупрова. Для этого коэффициента неизвестно точное распределение, поэтому о справедливости гипотезы судят на основании сравнения вычисленного значения и выбранного уровня значимости с критическими точками для этого распределения. Число степеней свободы определяется из выражения (r-1)(c-1), где r и c - число градаций по каждому из признаков.
Напомним расчетные формулы
Приведены данные, полученные при исследовании дальности зрения правым и левым глазом у людей, не имеющих аномалий зрения. Условно эта дальность разбита на четыре категории, и нас интересует достоверность связи между дальностью зрения левым и правым глазом. Сначала найдем все слагаемые в двойной сумме. Для этого квадрат каждого значения, приводимого в таблице, делится на сумму строки и столбца, к которым принадлежит выбранное число. Имеем
Используя это значение, получим =3303,6 и T=0,714.
4 Критерии для сравнения распределений численностей
В классических экспериментах по селекции гороха, знаменовавших начало генетики, Г.Мендель наблюдал частоты различных видов семян, получаемых при скрещивании растений с круглыми желтыми семенами и с морщинистыми зелеными семенами.
В данном и аналогично случаях интерес представляет проверка нулевой гипотезы о равенстве функций распределения генеральных совокупностей, из которых извлекаются выборки, т.е. Теоретические выкладки показали, что при решении такой задачи может быть использована статистика
= (23)
Критерий, использующий эту статистику был предложен К.Пирсоном и носит его имя. Критерий Пирсона применяется для группированных данных независимо от того, имеют ли они непрерывное или дискретное распределение. В (23) k- число интервалов группирования, - эмпирические численности, а - ожидаемые или теоретические численности (=n). В случае справедливости нулевой гипотезы статистика (23) имеет - распределение с k-1 степенями свободы.
Для приведенных в таблице данных
Критические точки -распределения с 3 степенями свободы для =0,05 и =0,01 равны соответственно 7,81 и 11,3. Следовательно нулевая гипотеза принимается и делается вывод, что расщепление в потомстве достаточно хорошо соответствует теоретическим закономерностям.
Рассмотрим еще один пример. В колонии морских свинок получены в течение года следующие численности рождения самцов по месяцам, начиная с января: 65, 64, 65, 41, 72, 80, 88, 114, 80, 129, 112, 99. Можно ли считать, что полученные данные соответствуют равномерному распределению, т.е. распределению, в котором численность рождающихся в отдельные месяцы самцов в среднем одинакова? Если принять такую гипотезу, то ожидаемое среднее число рождающихся самцов будет равно. Тогда
Критическое значение распределения с 11 степенями свободы и = 0,01 равно 24,7, поэтому на выбранном уровне значимости нулевая гипотеза отвергается. Дальнейший анализ экспериментальных данных показывает, что вероятность рождения самцов морских свинок во второй половине года повышается.
В случае, когда теоретическое распределение предполагается равномерным, проблем с вычислением теоретических численностей не возникает. В случае же других распределений расчеты усложняются. Рассмотрим на примерах, как рассчитываются теоретические численности для нормального и пуассоновского распределения, которые достаточно часто встречаются в исследовательской практике.
Начнем с определения теоретических численностей для нормального распределения. Идея состоит в том, чтобы преобразовать наше эмпирическое распределение в распределение с нулевым средним и единичной дисперсией. Естественно, что при этом границы класс-интервалов будут выражаться в единицах стандартного отклонения, и тогда, помня о том, что площадь под участком кривой, ограниченной верхним и нижним значением каждого интервала, равна вероятности попадания в данный интервал, умножением этой вероятности на общую численность выборки мы и получим искомую теоретическую численность.
Пусть у нас есть эмпирическое распределение для длины листьев дуба и необходимо проверить, можно ли считать с уровнем значимости =0,05, что это распределение незначимо отличается от нормального.
Поясним, как рассчитывались значения, приводимые в таблице. Во-первых, по стандартной методике для группированных данных были вычислены среднее и стандартное отклонение, которые оказались равными =10,3 и =2,67. По этим значениям были найдены границы интервалов в единицах стандартного отклонения, т.е. найдены стандартизованные величины Например, для границ интервала (46) имеем: (4-10,3)/2,67=-2,36; (6-10,3)/2,67=-1,61. Затем для каждого интервала была вычислена вероятность попадания в него. Например, для интервала (-0,110,64) из таблицы нормального распределения имеем, что слева от точки (-0,11) лежит 0,444 площади единичного нормального распределения, а слева от точки (0,64) - 0,739 этой площади. Таким образом, вероятность попадания в этот интервал равна 0,739-0,444=0,295. Остальные вычисления очевидны. Следует объяснить разницу между n и. Она возникает за счет того, что теоретическое нормальное распределение можно считать для практических целей сосредоточенным на интервале. В эксперименте же значений, отклоняющихся больше, чем на от среднего не бывает. Поэтому площадь под кривой эмпирического распределения не равна единице, за счет чего и возникает погрешность. Однако эта погрешность не вносит существенных изменений в окончательные результаты.
При сравнении эмпирического и теоретического распределений число степеней свободы для -распределения находится из сотношения f=m-1-l, где m - число класс-интервалов, а l - число независимых параметров распределения, оцениваемых по выборке. Для нормального распределения l=2, так как оно зависит от двух параметров: и.
Число степеней свободы уменьшается также на 1, так как для любого распределения существует условие, что =1, и следовательно, число независимо определяемых вероятностей равно k-1, а не k.
Для приведенного примера f = 8-2-1 = 5 и критическое значение при =0,05 для -распределения с 5 степенями свободы равно 11,07. Следовательно, нулевая гипотеза принимается.
Технику сравнения эмпирического распределения с распределением Пуассона рассмотрим на классическом примере о числе смертей драгун за месяц в прусской армии от удара лошадиным копытом. Данные относятся к XIX веку, а численности смертей 0, 1, 2 и т.д. характеризуют эти печальные, но, к счастью происходившие сравнительно редко события в прусской кавалерии почти за 20 лет наблюдений.
Как известно распределение Пуассона имеет следующий вид:
где - параметр распределения, равный среднему,
K =0,1,2,...,n.
Так как распределение дискретное, то интересующие нас вероятности находятся непосредственно по формуле.
Покажем, например, как определяется теоретическая численность для k=3. Обычным способом находим, что среднее в этом распределении равно 0,652. Имея это значение, найдем
Отсюда
Если выбрать =0,05, то критическое значение для -распределения с двумя степенями свободы равно 5,99, и, следовательно, гипотеза о том, что эмпирическое распределение на выбранном уровне значимости не отличается от пуассоновского, принимается. Число степеней свободы в данном случае равно двум, потому что распределение Пуассона зависит от одного параметра, и значит, в соотношении f = m-1-l число параметров, оцениваемых по выборке l = 1, и
f
= 4-1-1 = 2.
Иногда на практике оказывается важным знать, различаются ли между собой два распределения, даже если затруднительно решить, каким теоретическим распределением они могут быть аппроксимированы. Это особенно важно в тех случаях, когда, например, их средние и/или дисперсии между собой статистически значимо не различаются. Обнаружение существенных различий в характере распределения может помочь исследователю сделать предположения относительно возможных факторов, которые приводят к этим различиям.
В этом случае может быть использована статистика (23), причем в качестве эмпирических численностей используются значения одного распределения, а в качестве теоретического - другого. Естественно, что в этом случае разбиение на класс интервалы должно быть единым для обоих распределений. Это значит, что для всех данных из обоих выборок выбираются минимальное и максимальное значение, независимо к какой выборке они относятся, а затем в соответствии с выбранным числом класс-интервалов определяется их ширина и подсчитывается число объектов, попавших в отдельные интервалы, для каждой выборки отдельно.
При этом может оказаться, что в некоторые классы не попадает или попадает мало (35) значений. Использование критерия Пирсона дает удовлетворительные результаты, если в каждый интервал попадает не менее 35 значений. Поэтому, если это требование не выполняется, необходимо объединять соседние интервалы. Конечно же, это делается для обоих распределений.
И, наконец, еще одно замечание, касающееся сравнения вычисленного значения и критических точек для него по выбранному уровню значимости. Нам уже известно, что если >, то нулевая гипотеза отвергается. Однако и значения, близкие к критической точке 1- справа, должны вызывать у нас подозрения, потому что такое слишком хорошее совпадение эмпирического и теоретического распределений или двух эмпирических распределений (ведь в этом случае численности будут отличаться между собой очень незначительно) вряд ли может встретиться для случайных распределений. В этом случае возможны две альтернативных объяснения: либо мы имеем дело с законом, и тогда получаемый результат неудивителен, либо экспериментальные данные в силу каких-то причин “подогнаны” друг к другу, что требует их повторной проверки.
Кстати, в примере с горохом мы имеем как раз первый случай, т.е. появление семян разной гладкости и окраски в потомстве определяется законом, и поэтому неудивительно, что вычисленное значение получилось таким малым.
Теперь вернемся к проверке статистической гипотезы об идентичности двух эмпирических распределений. Приведены данные о распределении числа лепестков цветков анемона, взятых из разных местообитаний.
Из табличных данных видно, что два первых и два последних интервала должны быть объединены, так как число, попадающих в них значений недостаточно для корректного использования критерия Пирсона. Из этого примера видно также, что если бы анализировалось только распределение из местообитания А, то класс-интервала, содержащего 4 лепестка, вообще бы не было. Он появился в результате того, что рассматриваются два распределения одновременно, а во втором распределении такой класс имеется.
Итак, проверим гипотезу, что два этих распределения не отличаются друг от друга. Имеем
Для числа степеней свободы 4 и уровня значимости даже равного 0,001, нулевая гипотеза отвергается.
Для сравнения двух выборочных распределений можно использовать и непараметрический критерий, предложенный Н.В.Смирновым и основанный на статистике, введенной ранее А.Н.Колмогоровым. (Вот почему этот критерий иногда называют критерием Колмогорова-Смирнова.) Этот критерий основан на сравнении рядов накопленных частот. Статистика этого критерия находится как
max, (24) Критические точки для статистики (24) находятся из соотношения
, (25) Критические значения для =0,1;=0,05; и =0,01 равны соответственно 1,22; 1,36; 1,63. Проиллюстрируем использование критерия Смирнова на группированных данных, и представляющих собой рост школьников одинакового возраста из двух разных районов.
Максимальная разность между кривыми накопленных частот равна 0,124. Если выбрать уровень значимости =0,05, то из формулы (25) имеем
0,098.
Таким образом, максимальная эмпирическая разность больше теоретически ожидаемой, поэтому на принятом уровне значимости нулевая гипотеза об идентичности двух рассматриваемых распределений отвергается.
Критерий Смирнова может быть использован и не для группированных данных, единственное требование состоит в том, что эти данные должны быть извлечены из генеральных совокупностей с непрерывным распределением. Желательно также, чтобы число значений в каждой из выборок было не менее 40-50.
Для проверки нулевой гипотезы, согласно которой двум независимым выборкам объемом n и m отвечают одинаковые функции распределения, Ф.Вилкоксоном был предложен непараметрический критерий, получивший обоснование в работах Г.Манна и Ф.Уитни. Поэтому в литературе этот критерий называется, то критерием Вилкоксона, то критерием Манна-Уитни. Этот критерий целесообразно использовать, когда объемы получаемых выборок малы, и использование других критериев неправомерно.
Приводимые ниже выкладки иллюстрируют подход к построению критериев, использующих статистики, связанные не с самими выборочными значениями, а с их рангами.
Пусть в нашем распоряжении оказались две выборки объема n и m значений. Построим из них общий вариационный ряд, и каждому из этих значений сопоставим его ранг (), т.е. порядковый номер, который оно занимает в ранжированном ряду. Если справедлива нулевая гипотеза, то любое распределение рангов равновероятно, а общее число всевозможных комбинаций рангов при заданных n и m равно числу сочетаний из N=n+m элементов по m.
Критерий Вилкоксона основан на статистике
. (26)
Формально для проверки нулевой гипотезы необходимо подсчитать все возможные комбинации рангов, при которых статистика W принимает значения равные или меньшие тому, которое получено для конкретного ранжированного ряда, и найти отношение этого числа к общему числу возможных комбинаций рангов по обоим выборкам. Сравнение полученного значения с выбранным уровнем значимости позволит принять или отвергнуть нулевую гипотезу. Разумность такого подхода состоит в том, что если одно распределение смещено относительно другого, то это проявится в том, что маленькие ранги должны соответствовать, в основном, одной выборке, а большие - другой. В зависимости от этого соответствующие суммы рангов должны быть маленькими или большими в зависимости от того, какая альтернатива имеет место.
Необходимо проверить гипотезу об одинаковости функций распределения, характеризующих оба метода измерения, с уровнем значимости =0,05.
В данном примере
n
= 3,
m
= 2,
N
= 2+3 = 5, а сумма рангов, соответствующих измерениям по методу В равна 1+3 = 4.
Выпишем все =10 возможных распределений рангов и их суммы:
Ранги: 1,2 1,3 1,4 1,5 2,3 2,4 2,5 3,4 3,5 4,5
Суммы: 3 4 5 6 5 6 7 7 8 9
Отношение числа комбинаций рангов, сумма которых не превосходит полученного значения 4 для метода В, к общему числу возможных комбинаций рангов равно 2/10=0,2>0,05, так что для этого примера нулевая гипотеза принимается.
При малых значениях n и m проверку нулевой гипотезы можно осуществлять непосредственным подсчетом числа комбинаций соответствующих сумм рангов. Однако для выборок большого объема это становится практически невозможным, поэтому была получена аппроксимация для статистики W, которая, как оказалось, асимптотически стремится к нормальному распределению с соответствующими параметрами. Мы проведем расчет этих параметров, чтобы проиллюстрировать подход к синтезу статистических критериев, основанных на рангах. При этом мы воспользуемся результатами, приведенными в главе 37.
Пусть W -сумма рангов, соответствующих одной из выборок, например, той, что имеет объем m. Пусть - среднее арифметическое этих рангов. Математическое ожидание величины равно
так как при нулевой гипотезе ранги элементов выборки объемом m представляют собой выборку из конечной совокупности 1, 2,...,N (N=n+m). Известно, что
Поэтому.
При вычислении дисперсии воспользуемся тем фактом, что сумма квадратов рангов общего ранжированного ряда, составленного из значений обоих выборок, равна
С учетом полученных ранее соотношений для оценки дисперсий генеральных совокупностей и выборок имеем
Отсюда следует, что
Было показано, что статистика
(27)
для больших n и m имеет асимптотически единичное нормальное распределение.
Рассмотрим пример. Пусть для двух возрастных групп получены данные о полярографической активности фильтрата сыворотки крови. Необходимо с уровнем значимости =0,05 проверить гипотезу о том, что выборки взяты из генеральных совокупностей, имеющих одинаковые функции распределения. Сумма рангов для первой выборки равна 30, для второй - 90. Проверкой правильности подсчета сумм рангов является выполнение условия. В нашем случае 30+90=(7+8)(7+8+1):
:2=120. По формуле (27), используя сумму рангов второй выборки, имеем
Если использовать сумму рангов для первой выборки, то получим значение =-3,01. Так как вычисленная статистика имеет единичное нормальное распределение, то, естественно, что и в первом, и во втором случае нулевая гипотеза отвергается, так как критическое значение для 5% уровня значимости равно по модулю 1,96.
При использовании критерия Вилкоксона определенные трудности возникают, когда в обоих выборках встречаются одинаковые значения, так как при этом использование приведенной выше формулы приводит к уменьшению мощности критерия, иногда очень существенному.
Чтобы для таких случаев свести ошибки к минимуму целесообразно пользоваться следующим эмпирическим правилом. Первый раз, когда встречаются одинаковые значения, принадлежащие разным выборкам, то, какое из них в вариационном ряду поставить первым, определяется случайно, например, подбрасыванием монеты. Если таких значений несколько, то, определив случайно первое, остальные равные значения из обоих выборок чередуют через одно. В тех же случаях, когда встречаются и другие равные значения, поступают так. Если в первой группе равных значений первым случайно было выбрано значение из одной какой-то выборки, то в следующей группе равных значений первым выбирается значение из другой выборки и т.д.
5.Критерии для проверки случайности и оценки резко выделяющихся наблюдений
Довольно часто данные получают сериями во времени или пространстве. Например, в процессе проведения психофизиологических экспериментов, которые могут длиться несколько часов, несколько десятков или сотен раз, измеряется латентный (скрытый период) реакции на предъявляемый зрительный стимул, или в географических обследованиях, когда на площадках, расположенных в определенных местах, например, вдоль опушки леса, подсчитывается число растений некоторого вида и т.д. С другой стороны, при вычислении различных статистик предполагается, что исходные данные независимы и одинаково распределены. Поэтому интерес представляет проверка этого предположений.
Сначала рассмотрим критерий для проверки нулевой гипотезы о независимости одинаково нормально распределенных величин. Таким образом, этот критерий является параметрическим. Он основан на расчете среднего квадратов последовательных разностей
. (28)
Если ввести новую статистику, то, как известно из теории, при справедливости нулевой гипотезы статистика
(29) Рассмотрим пример. Приведены времена реакции () испытуемого в одном из психофизиологических экспериментов.
Имеем: откуда
Так как для =0,05 критическое значение равно 1,96, нулевая гипотеза о независимости полученного ряда принимается с выбранным уровнем значимости.
Другой вопрос, который часто возникает при анализе экспериментальных данных состоит в том, что делать с некоторыми наблюдениями, которые резко отличаются от основной массы наблюдений. Такие резко выделяющиеся наблюдения могу возникнуть при методических ошибках, ошибках вычислений и т.д. Во всех тех случаях, когда экспериментатору известно, что в наблюдение вкралась ошибка, он должен исключать это значение независимо от его величины. В других случаях существует только подозрение на ошибку, и тогда необходимо использовать соответствующие критерии, с тем чтобы принять то или иное решение, т.е. исключить или оставить резко выделяющиеся наблюдения.
В общем случае вопрос ставится так: произведены ли наблюдения над одной и той же генеральной совокупностью или некоторая часть или отдельные значения относятся к другой генеральной совокупности?
Конечно, единственным надежным способом для исключения отдельных наблюдений является тщательное изучение условий, при которых эти наблюдения получены. Если по каким-то причинам условия отличались от стандартных, то наблюдения должны быть исключены из дальнейшего анализа. Но в определенных случаях имеющиеся критерии, хотя и несовершенные, могут оказать существенную пользу.
Мы приведем здесь без доказательства несколько соотношений, которые могут быть использованы для проверки гипотезы о том, что наблюдения производятся случайно над одной и той же генеральной совокупностью. Имеем
(30)
(31)
(32)
где - подозреваемое на “выброс” наблюдение. Если все значения ряда проранжировать, то в нем резко выделяющееся наблюдение будет занимать n-е место.
Для статистики (30) протабулирована функция распределения. Приведены критические точки этого распределения для некоторых n.
Критическими значениями для статистики (31) в зависимости от n являются
4,0; 6 4,5; 100 5,0; n>1000.
В формуле (31) предполагается, что и вычисляются без учета подозреваемого наблюдения.
Со статистикой (32) дело обстоит сложнее. Для нее показано, что в случае, если распределены равномерно, то математическое ожидание и дисперсия имеют вид:
Критическую область образуют малые значения, которые соответствуют большим значениям. Если интересует проверка на “выброс” наименьшего значения, то сначала преобразуют данные, чтобы они имели равномерное распределение на интервале, а затем берут дополнение этих равномерных величин до 1 и проверяют по формуле (32).
Рассмотрим использование приведенных критериев для следующего проранжированного ряда наблюдений: 3,4,5,5,6,7,8,9,9,10,11,17. Необходимо решить, следует ли отвергнуть наибольшее значение 17.
Имеем: По формуле (30) =(17-11)/3,81=1,57, и нулевая гипотеза должна быть принята при =0,01. По формуле (31) =(17-7,0)/2,61=3,83, и нулевая гипотеза также должна быть принята. Для использования третьего критерия найдем =5,53, тогда
Статистика w распределена нормально с нулевым средним и единичной дисперсией, и, следовательно нулевая гипотеза при =0,05 принимается.
Сложность использования статистики (32) состоит в необходимости иметь априорную информацию о законе распределения выборочных значений, а затем аналитически преобразовать это распределение в равномерное на интервале.
Литература
1. Елисеева И.И. Общая теория статистики: учебник для вузов / И.И. Елисеева, М.М. Юзбашев; под ред. И.И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2009. 656 с.
2. Ефимова М.Р. Практикум по общей теории статистики: учебное пособие для вузов / М.Р. Ефимова и др. М.: Финансы и статистика, 2007. 368 с.
3. Мелкумов Я.С. Социально-экономическая статистика: учебно-методическое пособие. М.: ИМПЭ-ПАБЛИШ, 2007. 200 с.
4. Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности: учебник для вузов / О.Э. Башина и др.; под ред. О.Э. Башиной, А.А. Спирина. - М.: Финансы и статистика, 2008. 440 с.
5. Салин В.Н. Курс теории статистики для подготовки специалистов финансово-экономического профиля: учебник / В.Н. Салин, Э.Ю. Чурилова. М.: Финансы и статистика, 2007. 480 с.
6. Социально-экономическая статистика: практикум: учебное пособие / В.Н. Салин и др.; под ред. В.Н. Салина, Е.П. Шпаковской. М.: Финансы и статистика, 2009. 192 с.
7. Статистика: учебное пособие / А.В. Багат и др.; под ред. В.М. Симчеры. М.: Финансы и статистика, 2007. 368 с.
8. Статистика: учебник / И.И. Елисеева и др.; под ред. И.И. Елисеевой. М.: Высшее образование, 2008. - 566 с.
9. Теория статистики: учебник для вузов / Р.А. Шмойлова и др.; под ред. Р.А. Шмойловой. - М.: Финансы и статистика, 2007. 656 с.
10. Шмойлова Р.А. Практикум по теории статистики: учебное пособие для вузов / Р.А. Шмойлова и др.; под ред. Р.А. Шмойловой. - М.: Финансы и статистика, 2007. 416 с.
PAGE \* MERGEFORMAT
1
Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.вшм> Проверяемую гипотезу обычно называют нулевой H 0
, правило, по которому гипотеза принимается или отвергается называется статистическим критерием.. Статистические критерии, служащие для проверки гипотез о виде законов распределения называются критериями согласия. Т.е. критерии согласия устанавливают, когда полученные в действительности расхождения между предполагаемыми теоретическим и опытным распределением:несущественно - случайные и когда существенно - неслучайные. Рассмотрим случайную величину, которая характеризует вид или функцию расхождения между предполагаемым теоретическим и опытным распределением признака, тогда по имеющемуся опытному распределению, можно определить значение a
, которое приняла случайная величина, если известен ее закон распределения, то не трудно найти вероятность того, что случайная величина примет значение не меньшее a
. Если величина a
получена как результат наблюдения случайной величины x
, т.е. при распределении рассматриваемого признака, по предполагаемому теоретическому закону, то вероятность не должна быть малой. Если же вероятность оказалась малой, то это объясняется тем, что фактически полученному значение не случайной величины x
, а какой-то другой с другим законом распределения, т.е. изучаемый признак распределен не по предполагаемому закону. Таким образом, в случае, когда не мала -расхождения между эмпирическими и теоретическими распределениями следует признать не существенным- случайным, а опытное и теоретическое распределение не противоречащими, т.е. согласующимися друг с другом. Если вероятность мала, то расхождения между опытным и теоретическим распределениями существенны, объяснить их случайностью нельзя, а гипотезу о распределении признака по предполагаемому теоретическому закону следует считать не подтвердившейся, она не согласуется с опытными данными. Необходимо тщательно изучив опытные данные попытаться найти новый закон о качестве предполагаемого признака, который лучше, полнее бы отражал особенности опытного распределения, такие вероятности считаются малыми и их берут не превосходящими 0,1. Критерии согласия Пирсона или критерии
c 2 .
Пусть анализ опытных данных привел к выбору некоторого закона распределения, в качестве предполагаемого для рассматриваемого признака, а по опытным данным в результате n-наблюдений, найдены параметры (если они не были известны раннее). Обозначим через n i
- эмпирические частоты случайной величины x.
n×P i
-теоретические частоты, представляющие произведение числа наблюдений n
на вероятности P i
- рассчитанные по предполагаемому теоретическому распределению. Критерии согласия c 2
за меру расхождения теоретического и эмпирического рядов частот принимают величину c 2
-величина, которую называют c 2
распределение или распределение Пирсона. Она равна 0 лишь при совпадении всех эмпирических и теоретических частот, в остальных случаях отлична от 0 и тем больше, чем больше расхождение между указанными частотами. Доказано, что выбранная характеристика c 2
или статистика при n®¥ имеет распределение Пирсона со степенями свободы k=m-s-
1. где m
-число интервалов эмпирического распределения вариационного ряда или число групп. s
-число параметров теоретического распределения, определяемых по опытным данным, (например в случае нормального распределения число оцениваемых по выборке параметров равно 2). Схема применения критерия сводится к следующему: 1. По опытным данным выбирают в качестве предполагаемого закон распределения признака и находят его параметры. 2. С помощью полученного распределения определяют теоретические частоты, соответствующие опытным частотам. 3. Малочисленные опытные частоты, если они есть, объединяют с соседними, затем по формуле определяют величину c 2
. 4. Определяют число степеней свободы k
. 5. Из таблиц приложения для выбранного уровня значимости a
находят критическое значение при числе степеней свободы равным k
. 6. Формулируем вывод, руководствуясь общим принципом применения критериев согласия, а именно если вероятность >0,01, то имеющиеся расхождения между теоретическими и опытными частотами признаются не существенными. Если фактически наблюдаемое значение больше критического, то H 0
отвергается, если то гипотеза не противоречит опытным данным. Критерий c 2
дает удовлетворительные результаты, если в каждом группировочном интервале достаточное число наблюдений n i
. Замечание: Если в каком-нибудь интервале число наблюдений <5, то имеет смысл объединить соседние интервалы с тем, чтобы в объединенных интервалах n i
было не меньше 5. При этом при вычислении числа степеней свободы k
в качестве m
-берется соответственно уменьшенное число интервалов. Получено следующее распределение 100 рабочих цеха по выработке в отчетном году (в %-тах к предыдущему году). В настоящей заметке χ 2 -распределение используется для проверки согласованности набора данных с фиксированным распределением вероятностей. В критерии согласия часто
ты, принадлежащие определенной категории, сравниваются с частотами, которые являются теоретически ожидаемыми, если бы данные действительно имели указанное распределение. Проверка с помощью критерия согласия χ 2 выполняется в несколько этапов. Во-первых, определяется конкретное распределение вероятностей, которое сравнивается с исходными данными. Во-вторых, выдвигается гипотеза о параметрах выбранного распределения вероятностей (например, о ее математическом ожидании) или проводится их оценка. В-третьих, на основе теоретического распределения определяется теоретическая вероятность, соответствующая каждой категории. В заключение, для проверки согласованности данных и распределения применяется тестовая χ 2 -статистика: где f 0
- наблюдаемая частота, f е
- теоретическая, или ожидаемая частота, k
- количество категорий, оставшихся после объединения, р
- количество оцениваемых параметров. Скачать заметку в формате или , примеры в формате Использование χ 2 -критерия согласия для распределения Пуассона
Для расчета по этой формуле в Excel удобно воспользоваться функцией =СУММПРОИЗВ() (рис. 1). Для оценки параметра λ
можно воспользоваться оценкой
. Теоретическую частоту X
успехов (Х = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и более), соответствующую параметру λ
= 2,9 можно определить с помощью функции =ПУАССОН.РАСП(Х;;ЛОЖЬ). Умножив пуассоновскую вероятность на объем выборки n
, получим теоретическую частоту f e
(рис. 2). Рис. 2. Фактические и теоретические частоты прибытий в минуту Как следует из рис. 2, теоретическая частота девяти и более прибытий не превосходит 1,0. Для того чтобы каждая категория содержала частоту, равную 1,0 или большему числу, категорию «9 и более» следует объединить с категорией «8». То есть, остается девять категорий (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и более). Поскольку математическое ожидание распределения Пуассона определяется на основе выборочных данных, количество степеней свободы равно k – р – 1 = 9 – 1 – 1 = 7. Используя уровень значимости, равный 0,05 находим критическое значение χ 2 -статистики, имеющей 7 степеней свободы по формуле =ХИ2.ОБР(1-0,05;7) = 14,067. Решающее правило формулируется следующим образом: гипотеза Н 0
отклоняется, если χ 2 > 14,067, в противном случае гипотеза Н 0
не отклоняется. Для расчета χ 2 воспользуемся формулой (1) (рис. 3). Рис. 3. Расчет χ 2 -критерия согласия для распределения Пуассона Так как χ 2 = 2,277 < 14,067, следует, что гипотезу Н 0
отклонять нельзя. Иначе говоря, у нас нет оснований утверждать, что прибытие клиентов в банк не подчиняется распределению Пуассона. Применение χ 2 -критерия согласия для нормального распределения
В предыдущих заметках при проверке гипотез о числовых переменных использовалось предположение о том, что исследуемая генеральная совокупность имеет нормальное распределение. Для проверки этого предположения можно применять графические средства, например, блочную диаграмму или график нормального распределения (подробнее см. ). При больших объемах выборок для проверки этих предположений можно использовать χ 2 -критерий согласия для нормального распределения. Рассмотрим в качестве примера данные о 5-летней доходности 158 инвестиционных фондов (рис. 4). Предположим, требуется поверить, имеют ли эти данные нормальное распределение. Нулевая и альтернативная гипотезы формулируются следующим образом: Н 0
: 5-летняя доходность подчиняется нормальному распределению, Н 1
: 5-летняя доходность не подчиняется нормальному распределению. Нормальное распределение имеет два параметра - математическое ожидание μ и стандартное отклонение σ, которые можно оценить на основе выборочных данных. В данном случае
= 10,149 и S
= 4,773. Рис. 4. Упорядоченный массив, содержащий данные о пятилетней среднегодовой доходности 158 фондов Данные о доходности фондов можно сгруппировать, разбив, например на классы (интервалы) шириной 5% (рис. 5). Рис. 5. Распределение частот для пятилетней среднегодовой доходности 158 фондов Поскольку нормальное распределение является непрерывным, необходимо определить площадь фигур, ограниченных кривой нормального распределения и границами каждого интервала. Кроме того, поскольку нормальное распределение теоретически изменяется от –∞ до +∞, необходимо учитывать площадь фигур, выходящих за пределы классов. Итак, площадь, лежащая под нормальной кривой слева от точки –10, равна площади фигуры, лежащей под стандартизованной нормальной кривой слева от величины Z, равной Z = (–10 – 10,149) / 4,773 = –4,22 Площадь фигуры, лежащей под стандартизованной нормальной кривой слева от величины Z = –4,22 определяется по формуле =НОРМ.РАСП(-10;10,149;4,773;ИСТИНА) и приближенно равна 0,00001. Для того чтобы вычислить площадь фигуры, лежащей под нормальной кривой между точками –10 и –5, сначала необходимо вычислить площадь фигуры, лежащей слева от точки –5: =НОРМ.РАСП(-5;10,149;4,773;ИСТИНА) = 0,00075. Итак, площадь фигуры, лежащей под нормальной кривой между точками –10 и –5, равна 0,00075 – 0,00001 = 0,00074. Аналогично можно вычислить площадь фигуры, ограниченной границами каждого класса (рис. 6). Рис. 6. Площади и ожидаемые частоты для каждого класса 5-летней доходности Видно, что теоретические частоты в четырех крайних классах (два минимальных и два максимальных) меньше 1, поэтому проведем объединение классов, как показано на рис 7. Рис. 7. Вычисления, связанные с применением χ 2 -критерия согласия для нормального распределения Используем χ 2 -критерий согласия данных с нормальным распределением с помощью формулы (1). В нашем примере после объединения остаются шесть классов. Поскольку математическое ожидание и стандартное отклонение оцениваются на основе выборочных данных, количество степеней свободы равно k
–
p
– 1
= 6 – 2 – 1 = 3. Используя уровень значимости, равный 0,05, находим, что критическое значение χ 2 -статистики, имеющее три степени свободы =ХИ2.ОБР(1-0,05;F3) = 7,815. Вычисления, связанные с применением χ 2 -критерия согласия, приведены на рис. 7. Видно, что χ 2 -статистика = 3,964 < χ U 2 7,815, следовательно гипотезу Н 0
отклонять нельзя. Иначе говоря, у нас нет оснований утверждать, что 5-летняя доходность инвестиционных фондов, ориентированных на быстрый рост, не подчиняется нормальному распределению. В нескольких последних заметках рассмотрены разные подходы к анализу категорийных данных. Описаны методы проверки гипотез о категорийных данных, полученных на основе анализа двух или нескольких независимых выборок. Кроме критериев «хи-квадрат», рассмотрены непараметрические процедуры. Описан ранговый критерий Уилкоксона, который используется в ситуациях, когда не выполняются условия применения t
-критерия для поверки гипотезы о равенстве математических ожиданий двух независимых групп, а также критерий Крускала-Уоллиса, который является альтернативой однофакторному дисперсионному анализу (рис. 8). Рис. 8. Структурная схема методов проверки гипотез о категорийных данных Используются материалы книги Левин и др. Статистика для менеджеров. – М.: Вильямс, 2004. – с. 763–769 До конца XIX века нормальное распределение считалась всеобщим законом вариации данных. Однако К. Пирсон заметил, что эмпирические частоты могут сильно отличаться от нормального распределения. Встал вопрос, как это доказать. Требовалось не только графическое сопоставление, которое имеет субъективный характер, но и строгое количественное обоснование. Так был изобретен критерий χ 2
(хи-квадрат), который проверяет значимость расхождения эмпирических (наблюдаемых) и теоретических (ожидаемых) частот. Это произошло в далеком 1900 году, однако критерий и сегодня на ходу. Более того, его приспособили для решения широкого круга задач. Прежде всего, это анализ номинальных данных, т.е. таких, которые выражаются не количеством, а принадлежностью к какой-то категории. Например, класс автомобиля, пол участника эксперимента, вид растения и т.д. К таким данным нельзя применять математические операции вроде сложения и умножения, для них можно только подсчитать частоты. Наблюдаемые частоты обозначим О (Observed)
, ожидаемые – E (Expected)
. В качестве примера возьмем результат 60-кратного бросания игральной кости. Если она симметрична и однородна, вероятность выпадения любой стороны равна 1/6 и, следовательно, ожидаемое количество выпадения каждой из сторон равна 10 (1/6∙60). Наблюдаемые и ожидаемые частоты запишем в таблицу и нарисуем гистограмму. Нулевая гипотеза заключается в том, что частоты согласованы, то есть фактические данные не противоречат ожидаемым. Альтернативная гипотеза – отклонения в частотах выходят за рамки случайных колебаний, то есть расхождения статистически значимы. Чтобы сделать строгий вывод, нам потребуется. Начнем с расстояния между частотами. Если взять просто разницу О — E
, то такая мера будет зависеть от масштаба данных (частот). Например, 20 — 5 =15 и 1020 – 1005 = 15. В обоих случаях разница составляет 15. Но в первом случае ожидаемые частоты в 3 раза меньше наблюдаемых, а во втором случае – лишь на 1,5%. Нужна относительная мера, не зависящая от масштаба. Обратим внимание на следующие факты. В общем случае количество градаций, по которым измеряются частоты, может быть гораздо больше, поэтому вероятность того, что отдельно взятое наблюдение попадет в ту или иную категорию, довольно мала. Раз так, то, распределение такой случайной величины будет подчинятся закону редких событий, известному под названием закон Пуассона
. В законе Пуассона, как известно, значение математического ожидания и дисперсии совпадают (параметр λ
). Значит, ожидаемая частота для некоторой категории номинальной переменной E i
будет являться одновременное и ее дисперсией. Далее, закон Пуассона при большом количестве наблюдений стремится к нормальному. Соединяя эти два факта, получаем, что, если гипотеза о согласии наблюдаемых и ожидаемых частот верна, то, при большом количестве наблюдений
, выражение Будет иметь . Важно помнить, что нормальность будет проявляться только при достаточно больших частотах. В статистике принято считать, что общее количество наблюдений (сумма частот) должна быть не менее 50 и ожидаемая частота в каждой градации должна быть не менее 5. Только в этом случае величина, показанная выше, будет иметь стандартное нормальное распределение. Предположим, что это условие выполнено. У стандартного нормального распределения почти все значение находятся в пределах ±3 (правило трех сигм). Таким образом, мы получили относительную разность в частотах для одной градации. Нам нужна обобщающая мера. Просто сложить все отклонения нельзя – получим 0 (догадайтесь почему). Пирсон предложил сложить квадраты этих отклонений. Это и есть знамений критерий χ 2
Пирсона
. Если частоты действительно соответствуют ожидаемым, то значение критерия будет относительно не большим (т.к. большинство отклонений находится около нуля). Но если критерий оказывается большим, то это свидетельствует в пользу существенных различий между частотами. «Большим» критерий становится тогда, когда появление такого или еще большего значения становится маловероятным. И чтобы рассчитать такую вероятность, необходимо знать распределение критерия при многократном повторении эксперимента, когда гипотеза о согласии частот верна. Как нетрудно заметить, величина хи-квадрат также зависит от количества слагаемых. Чем их больше, тем большее значение должно быть у критерия, ведь каждое слагаемое внесет свой вклад в общую сумму. Следовательно, для каждого количества независимых
слагаемых, будет собственное распределение. Получается, что χ 2
– это целое семейство распределений. И здесь мы подошли к одному щекотливому моменту. Что такое число независимых
слагаемых? Вроде как любое слагаемое (т.е. отклонение) независимо. К. Пирсон тоже так думал, но оказался неправ. На самом деле число независимых слагаемых будет на один меньше, чем количество градаций номинальной переменной n
. Почему? Потому что, если мы имеем выборку, по которой уже посчитана сумма частот, то одну из частот всегда можно определить, как разность общего количества и суммой всех остальных. Отсюда и вариация будет несколько меньше. Данный факт Рональд Фишер заметил лет через 20 после разработки Пирсоном своего критерия. Даже таблицы пришлось переделывать. По этому поводу Фишер ввел в статистику новое понятие – степень свободы
(degrees of freedom), которое и представляет собой количество независимых слагаемых в сумме. Понятие степеней свободы имеет математическое объяснение и проявляется только в распределениях, связанных с нормальным (Стьюдента, Фишера-Снедекора и сам хи-квадрат). Чтобы лучше уловить смысл степеней свободы, обратимся к физическому аналогу. Представим точку, свободно движущуюся в пространстве. Она имеет 3 степени свободы, т.к. может перемещаться в любом направлении трехмерного пространства. Если точка движется по какой-либо поверхности, то у нее уже две степени свободы (вперед-назад, вправо-влево), хотя и продолжает находиться в трехмерном пространстве. Точка, перемещающаяся по пружине, снова находится в трехмерном пространстве, но имеет лишь одну степень свободы, т.к. может двигаться либо вперед, либо назад. Как видно, пространство, где находится объект, не всегда соответствует реальной свободе перемещения. Примерно также распределение статистического критерия может зависеть от меньшего количества элементов, чем нужно слагаемых для его расчета. В общем случае количество степеней свободы меньше наблюдений на число имеющихся зависимостей. Это чистая математика, никакой магии. Таким образом, распределение χ 2
– это семейство распределений, каждое из которых зависит от параметра степеней свободы. А формальное определение критерия хи-квадрат следующее. Распределение χ 2
(хи-квадрат) с k
степенями свободы - это распределение суммы квадратов k
независимых стандартных нормальных случайных величин. Далее можно было бы перейти к самой формуле, по которой вычисляется функция распределения хи-квадрат, но, к счастью, все давно подсчитано за нас. Чтобы получить интересующую вероятность, можно воспользоваться либо соответствующей статистической таблицей, либо готовой функцией в специализированном ПО, которая есть даже в Excel. Интересно посмотреть, как меняется форма распределения хи-квадрат в зависимости от количества степеней свободы. С увеличением степеней свободы распределение хи-квадрат стремится к нормальному. Это объясняется действием центральной предельной теоремы, согласно которой сумма большого количества независимых случайных величин имеет нормальное распределение. Про квадраты там ничего не сказано)). Вот мы и подошли к проверке гипотез по методу хи-квадрат. В целом техника остается . Выдвигается нулевая гипотеза о том, что наблюдаемые частоты соответствуют ожидаемым (т.е. между ними нет разницы, т.к. они взяты из той же генеральной совокупности). Если этот так, то разброс будет относительно небольшим, в пределах случайных колебаний. Меру разброса определяют по критерию хи-квадрат. Далее либо сам критерий сравнивают с критическим значением (для соответствующего уровня значимости и степеней свободы), либо, что более правильно, рассчитывают наблюдаемый p-level, т.е. вероятность получить такое или еще больше значение критерия при справедливости нулевой гипотезы. Т.к. нас интересует согласие частот, то отклонение гипотезы произойдет, когда критерий окажется больше критического уровня. Т.е. критерий является односторонним. Однако иногда (иногда) требуется проверить левостороннюю гипотезу. Например, когда эмпирические данные уж оооочень сильно похожи на теоретические. Тогда критерий может попасть в маловероятную область, но уже слева. Дело в том, что в естественных условиях, маловероятно получить частоты, практически совпадающие с теоретическими. Всегда есть некоторая случайность, которая дает погрешность. А вот если такой погрешности нет, то, возможно, данные были сфальсифицированы. Но все же обычно проверяют правостороннюю гипотезу. Вернемся к задаче с игральным кубиком. Рассчитаем по имеющимся данным значение критерия хи-квадрат. Теперь найдем табличное значение критерия при 5-ти степенях свободы (k
) и уровне значимости 0,05 (α
). То есть χ 2 0,05; 5
= 11,1. Сравним фактическое и табличное значение. 3,4 (χ 2
) < 11,1 (χ 2 0,05; 5
). Расчетный критерий оказался меньшим, значит гипотеза о равенстве (согласии) частот не отклоняется. На рисунке ситуация выглядит вот так. Если бы расчетное значение попало в критическую область, то нулевая гипотеза была бы отклонена. Более правильным будет рассчитать еще и p-level. Для этого нужно в таблице найти ближайшее значение для заданного количества степеней свободы и посмотреть соответствующий ему уровень значимости. Но это прошлый век. Воспользуемся ПЭВМ, в частности MS Excel. В эксель есть несколько функций, связанных с хи-квадрат. Ниже их краткое описание. ХИ2.ОБР
– критическое значение критерия при заданной вероятности слева (как в статистических таблицах) ХИ2.ОБР.ПХ
– критическое значение критерия при заданной вероятности справа. Функция по сути дублирует предыдущую. Но здесь можно сразу указывать уровень α
, а не вычитать его из 1. Это более удобно, т.к. в большинстве случаев нужен именно правый хвост распределения. ХИ2.РАСП
– p-level слева (можно рассчитать плотность). ХИ2.РАСП.ПХ
– p-level справа. ХИ2.ТЕСТ
– по двум заданным диапазонам частот сразу проводит тест хи-квадрат. Количество степеней свободы берется на одну меньше, чем количество частот в столбце (так и должно быть), возвращая значение p-level. Давайте пока рассчитаем для нашего эксперимента критическое (табличное) значение для 5-ти степеней свободы и альфа 0,05. Формула Excel будет выглядеть так: ХИ2.ОБР(0,95;5) ХИ2.ОБР.ПХ(0,05;5) Результат будет одинаковым – 11,0705. Именно это значение мы видим в таблице (округленное до 1 знака после запятой). Рассчитаем, наконец, p-level для 5-ти степеней свободы критерия χ 2
= 3,4. Нужна вероятность справа, поэтому берем функцию с добавкой ПХ (правый хвост) ХИ2.РАСП.ПХ(3,4;5) = 0,63857 Значит, при 5-ти степенях свободы вероятность получить значение критерия χ 2
= 3,4 и больше равна почти 64%. Естественно, гипотеза не отклоняется (p-level больше 5%), частоты очень хорошо согласуются. А теперь проверим гипотезу о согласии частот с помощью функции ХИ2.ТЕСТ. Никаких таблиц, никаких громоздких расчетов. Указав в качестве аргументов функции столбцы с наблюдаемыми и ожидаемыми частотами, сразу получаем p-level. Красота. Представим теперь, что вы играете в кости с подозрительным типом. Распределение очков от 1 до 5 остается прежним, но он выкидывает 26 шестерок (количество всех бросков становится 78). P-level в этом случае оказывается 0,003, что гораздо меньше чем, 0,05. Есть серьезные основания сомневаться в правильности игральной кости. Вот, как выглядит эта вероятность на диаграмме распределения хи-квадрат. Сам критерий хи-квадрат здесь получается 17,8, что, естественно, больше табличного (11,1). Надеюсь, мне удалось объяснить, что такое критерий согласия χ 2
(хи-квадрат) Пирсона и как с его помощью проверяются статистические гипотезы. Напоследок еще раз о важном условии! Критерий хи-квадрат исправно работает только в случае, когда количество всех частот превышает 50, а минимальное ожидаемое значение для каждой градации не меньше 5. Если в какой-либо категории ожидаемая частота менее 5, но при этом сумма всех частот превышает 50, то такую категорию объединяют с ближайшей, чтобы их общая часта превысила 5. Если это сделать невозможно, или сумма частот меньше 50, то следует использовать более точные методы проверки гипотез. О них поговорим в другой раз. Ниже находится видео ролик о том, как в Excel проверить гипотезу с помощью критерия хи-квадрат.
где
где p - выборочное значение P, имеет единичное нормальное распределение. Сразу нужно оговориться, что такая аппроксимация справедлива, если меньшее из произведений np или (1-p)n больше 5.
которая в случае, если нулевая гипотеза верна, имеет распределение хи-квадрат с одной степенью свободы.
где и - кривые распределения накопленных частот.
где и -объемы первой и второй выборок.
для n>10 распределена асимптотически по стандартному нормальному распределению.
17926.
Анализе критериев компактности промышленной робототехники
1.77 MB
Программные решения для оценки компактности робота. Миниатюрные роботы могут проникать в узкие образования щели отверстия и двигаться в них что позволяет применять их для выполнения различных задач в ограниченных пространствах например трубах малого диаметра имеющих размер порядка нескольких миллиметров. Практически во всех отраслях промышленности вопросы миниатюризации исполнительных устройств и механизмов являются одними из приоритетных задач; важнейшее значение они имеют для малоресурсных технологических процессов...
1884.
Разработка критериев эффективного управления персоналом в ОАО «Казань-Оргсинтез» для СМК
204.77 KB
Основные теоретические аспекты системы управления персоналом. Персонал как объект управления. Методы исследования системы управления персоналом для СМК. Способы повышения эффективности управления персоналом.
16316.
а эта теория разрешает эту дилемму; б разрешение этой дилеммы требует наличия критериев этой теории.
12.12 KB
Автор утверждает что фундаментальная причина дилеммы макроэкономической политики в условиях фиксированного валютного курса состоит не в нарушении правила Тинбергена что является на самом деле следствием а не причиной а в отсутствии необходимых экономических предпосылок для фиксации валютного курса представленных в теории оптимальных валютных зон. Причиной возникновения этой дилеммы обычно считают нарушение правила Тинбергена согласно которому для достижения определенного числа экономических целей в руках у государства должно быть по...
18273.
Анализ правового статуса Президента Республике Казахстан с позиций общепринятых критериев правового государства и принципа разделения властей
73.64 KB
Суть подхода Президента состояла в том что страна должна развиваться естественным образом эволюционно. Президентское правление - предусмотренное Конституцией государства это прекращение деятельности институтов самоуправления определенного регионального административного образования и осуществление управления последним посредством уполномоченных назначаемых главой государства - президентом и подотчетными ему лицами; предусмотренное Конституцией наделение главы государства - президента чрезвычайными полномочиями в масштабе всего...
5713.
Использование DotNetNuke
1.87 MB
В данной курсовой работе мы будем изучать DotNetNuke. DotNetNuke (сокращенное название DNN) - система управления содержимым веб-сайтами (Web Content Management System, сокр. WCMS), которая вобрала в себя все самые лучшие достижения в области технологий построения веб-проектов.
7073.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНТЕРФЕЙСОВ
56.59 KB
Слово интерфейс - многозначное, и в разных контекстах оно имеет различный смысл. Существует понятие программного или аппаратного интерфейса, но в большинстве случаев слово интерфейс ассоциируется с некоторой связью между объектами или процессами.
6471.
Структура и использование регистров
193.04 KB
Структура и использование регистров Регистры предназначены для хранения и преобразования многоразрядных двоичных чисел. Регистры построены как упорядоченная последовательность триггеров. В микропроцессорах регистры являются основным средством для быстрого запоминания и хранения цифровой информации. Элементы из которых строят регистры это D RS JKтриггеры с динамическим по срезу импульса или статическим управлением.
6472.
Структура и использование счетчиков
318.58 KB
Классификация и принцип построения асинхронных счетчиков Счетчиком называется устройство на выходах которого формируется двоичный код выражающий количество импульсов поступивших на вход счетчика. Количество возможных состояний счетчика называют его модулем или коэффициентом счета и обозначают. Основные временные характеристики счетчиков: максимальная частота поступления счетных импульсов; время перехода из одного состояния в другое; Различают собственно микросхемы счетчика и схемы построенной на основе одной или нескольких...
7066.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕНЮ В ПРИЛОЖЕНИИ
240.2 KB
Меню программы Меню программы должно соответствовать основным режимам работы программы поэтому к выбору пунктов меню и команд отдельных пунктов необходимо относится с особой тщательностью. Для лучшего понимания технологии использования меню в программах рассмотрим последовательность действий при решении следующей учебной программы. Все действия оформить с использованием меню.
7067.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДИАЛОГОВАХ МЕНЮ
73.13 KB
Продолжая разработку приложения с меню и инструментальной панелью, нам необходимо написать код обработчиков сообщений для команд создания матрицы 6*6 и вывод (печать) матрицы в клиентскую область нашего приложения. Создание матрицы необходимо заканчивать выводом на экран сообщения об успешном окончании работы обработчика, например, «Матрица создана».
;
Проверка гипотезы по критерию хи-квадрат
