Функции случайных величин.

ЧАСТЬ 6

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Лекция 11

1. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие функции случайной величины и провести классификацию возникающих при этом задач; вывести закон распределения функции одного случайного аргумента и закон распределения суммы двух случайных величин; пояснить понятие композиции законов распределения.

Понятие о функции случайной величины

Среди практических приложений теории вероятностей особое место занимают задачи, требующие нахождения законов распределения и/или числовых характеристик функций случайных величин. В простейшем случае задача ставится следующим образом: на вход технического устройства поступает случайное воздействие
; устройство подвергает воздействие
некоторому функциональному преобразованиюи на выходе дает случайную величину
(см. рис. 6.1). Нам известен закон распределения случайной величины
, и требуется найти закон распределения и/или числовые характеристики случайной величины.

Можно выделить три основные возникающие задачи:

1. Зная закон распределения случайной величины
(или случайного вектора
), найти закон распределения выходной случайной величины
(или
).

2. Зная закон распределения случайной величины
, найти только числовые характеристики выходной случайной величины.

3. В некоторых случаях (при особых видах преобразования ) для нахождения числовых характеристик выхода не требуется знать закон распределения входной случайной величины
, а достаточно знать только его числовые характеристики.

Рассматриваем случайную величину , зависящую функционально от случайной величины
, т. е.
. Пусть случайная величина
дискретна и известен ее ряд распределения:

где
.

При подаче на вход значения случайной величины
на выходе получим
с вероятностью. И так для всех возможных значений случайной величины
. Таким образом, получаем табл. 6.1.

Таблица 6.1

Полученная табл. 6.1 в общем случае может не быть рядом распределения случайной величины , так как значения в верхней строке таблицы могут быть расположены в невозрастающем порядке, а некоторые
могут даже совпадать.

Для преобразования табл. 6.1 в ряд распределения случайной величины необходимо упорядочить возможные значения
по возрастанию, а вероятности совпадающих значений
нужно сложить.

Для нахождения числовых характеристик случайной величины преобразовывать (6.1) в ряд распределения нет необходимости, так как их можно вычислить по таблице (6.1). Действительно, находя сумму произведений возможных значений случайной величинына их вероятности, получаем

. (6.1)

Таким образом, зная только закон распределения аргумента
, можно найти математическое ожидание функции случайной величины.

Аналогично находим дисперсию случайной величины :

Аналогично определяем начальные и центральные моменты любых порядков случайной величины
:

Для непрерывной случайной величины
, имеющей плотность распределения
, получаем

;

;

Видим, что для нахождения числовых характеристик функции
вовсе не нужно знать ее закон распределения – достаточно знания закона распределения аргумента
.

Теоремы о числовых характеристиках функций случайных величин

В некоторых задачах числовые характеристики системы случайных величин
можно определить как функции числовых характеристик системы случайных величин
. В этом случае не требуется даже знание закона распределения аргумента, например совместную плотность распределения
, а достаточно иметь только числовые характеристики этой системы случайных величин. Для решения таких задач сформулированы следующие теоремы о числовых характеристиках функций случайных величин:

1.
, 3.
,

2.
, 4.
,

где – неслучайная величина.

5. для любого числа слагаемых, как независимых, так и зависимых, коррелированных и некоррелированных.

6. Математическое ожидание от линейной комбинации случайных величин
равно той же линейной функции от математических ожиданий рассматриваемых случайных величин:

.

7. Дисперсия суммы случайных величин равна сумме всех элементов корреляционной матрицы
этих случайных величин

.

Так как корреляционная матрица
симметрична относительно главной диагонали, на которой находятся дисперсии, то последнюю формулу перепишем в виде

.

Если случайные величины
не коррелированы , то справедлива теорема о сложении дисперсий:

.

8. Дисперсия линейной функции случайных величин определяется по формуле

.

9. Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению математических ожиданий плюс ковариация

Математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий

10. Дисперсия произведения независимых случайных величин

выражается формулой

Если случайные величины
независимые и центрированные, получаем

.

Закон распределения функции случайного аргумента

Есть непрерывная случайная величина
с плотностью распределения
, связанная со случайной величинойфункциональной зависимостью
. Требуется найти закон распределения случайной величиной.

Рассмотрим случай, когда
строго монотонна, непрерывна и дифференцируема на интервале
всех возможных значений случайной величиной
.

Функция распределения
случайной величинойпо определению есть
. Если функция
монотонно возрастает на участке всех возможных значений случайной величиной
, то событие
эквивалентно событию
, где
есть функция,обратная функции
. Когда случайная величина
принимает значения на участке
, то случайная точка
перемещается по кривой
(ордината полностью определяется абсциссой) (см. рис. 6.2). Из строгой монотонности
следует монотонность
, и поэтому функцию распределения случайной величинойможно записать следующим образом:

.

Дифференцируя это выражение по , входящему в верхний предел интеграла, получаем плотность распределения случайной величинойв виде

Если функция
на участке
возможных значений случайной величиной
монотонно убывает , то, проведя аналогичные выкладки, получаем

. (6.3)

Диапазон возможных значений случайной величиной
может быть в выражениях (6.2) и (6.3) от
до
.

Так как плотность распределения не может быть отрицательной, то формулы (6.2) и (6.3)можно объединить в одну

. (6.4)

Пример . Пусть функция случайной величины
является линейной, т. е.
, где
. Непрерывная случайная величина
имеет плотность распределения
, и тогда, используя выражение (6.4), найдем закон распределения
, учитывая, что обратная функция есть
, а модуль ее производной равен
,

. (6.5)

Если случайная величина
имеет нормальное распределение

,

то согласно (6.5) получаем

.

Это по-прежнему нормальный закон распределения с математическим ожиданием
, дисперсией
и средним квадратичным отклонением
.

В результате линейного преобразования нормально распределенной случайной величины
получаем случайную величину, также распределенную по нормальному закону.

Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения

Имеем систему двух непрерывных случайных величин
и их сумму – случайную величину
. Необходимо найти закон распределения случайной величины , если известна совместная плотность распределения системы
.

Функция распределения – это площадь области
на плоскости
, где выполняется неравенство
(см. рис. 6.3), т. е.

.

Продифференцировав это выражение по, получаем плотность распределения вероятности случайной величины

.

Учитывая симметрию слагаемых, можно записать аналогичное соотношение

.

Если случайные величины и
независимы, т. е. выполняется равенство, то две последние формулы примут вид:

; (6.6)

. (6.7)

В том случае, когда складываются независимые случайные величины и
, то говорят окомпозиции законов распределения . Для обозначения композиции законов распределения иногда применяется символьная запись:
.

Закон распределения называется устойчивым к композиции , если при композиции законов распределения этого типа получается снова тот же закон, но с другими значениями параметров. Например, если сложить две независимые нормальные случайные величины, то результирующая случайная величина будет иметь нормальный закон распределения, т. е. нормальный закон устойчив к композиции. Кроме нормального закона, устойчивыми к композиции являются законы распределения Эрланга, биноминальный, Пуассона.

аргумент величина квадрат отклонение распределение

Начнем с рассмотрения наиболее простой задачи о законе распределения функции одного случайного аргумента. Так как для практики наибольшее значение имеют непрерывные случайные величины, будем решать задачу именно для них.

Имеется непрерывная случайная величина X с плотностью распределения f(x). Другая случайная величина Y связана с нею функциональной зависимостью: .

Требуется найти плотность распределения величины Y. Рассмотрим участок оси абсцисс, на котором лежат все возможные значения величины X, т. е. .

Способ решения поставленной задачи зависит от поведения функции на участке: является ли она монотонной или нет.

В данном параграфе мы рассмотрим случай, когда функция на участке монотонна. При этом отдельно проанализируем два случая: монотонного возрастания и монотонного убывания функции.

1. Функция на участке монотонно возрастает (рис. 6.1.1). Когда величина X принимает различные значения на участке, случайная точка (X, Y) перемещается только по кривой; ордината этой случайной точки полностью определяется ее абсциссой.

Обозначим плотность распределения величины Y. Для того чтобы определить, найдем сначала функцию распределения величины Y: .

Проведем прямую АВ, параллельную оси абсцисс на расстоянии y от нее (рис. 1). Чтобы выполнялось условие, случайная точка (X,Y) должна попасть на тот участок кривой, который лежит ниже прямой АВ; для этого необходимо и достаточно, чтобы случайная величина X попала на участок оси абсцисс от a до x, где x - абсцисса точки пересечения кривой и прямой АВ. Следовательно,

Так, как монотонная на участке, то существует обратная однозначная функция. Тогда

Дифференцируя интеграл (2) по переменной у, входящей в верхний предел, получим:

2. Функция на участке монотонно убывает (рис. 2). В этом случае

Сравнивая формулы (3) и (5), замечаем, что они могут быть объединены в одну:

Действительно, когда возрастает, ее производная (а значит, и) положительна. При убывающей функции производная отрицательна, но зато перед ней в формуле (5) стоит минус. Следовательно, формула (6), в которой производная берется по модулю, верна в обоих случаях.

3. Рассмотрим случай, когда функция на участке возможных значений аргумента не монотонна (рис. 3).

Найдем функцию распределения G(y) величины Y. Для этого снова проведем прямую АВ, параллельную оси абсцисс, на расстоянии у от нее и выделим те участки кривой, на которых выполняется условие. Пусть этим участкам соответствуют участки оси абсцисс: .

Событие равносильно попаданию случайной величины X на один из участков - безразлично, на какой именно. Поэтому

Таким образом, для функции распределения величины имеем формулу:

Границы интервалов зависят от у и при заданном конкретном виде функции могут быть выражены как явные функции у. Дифференцируя G(y) по величине у, входящей в пределы интегралов, получим плотность распределения величины Y:

Пример. Величина X подчинена закону равномерной плотности на участке отдо.

Найти закон распределения величины.

Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргумента Х и записывают Y=φ(Х). Если Х – дискретная случайная величина и функция Y=φ(Х) – монотонная, то . Если φ(Х) – немонотонная функция, то различным значениям Х могут соответствовать одинаковые значения Y, тогда вероятности возможных значений Х, при которых Y принимает одинаковые значения следует сложить.

Если Х – непрерывная случайная величина с плотностью f(x), а y=φ(x) дифференцируемая строго возрастающая или строго убывающая функция, обратная для которой x=ψ(y) то плотность распределения g(y) случайной величины Y находят из равенства

Если функция φ(x) не монотонна на интервале возможных значений Х, то этот интервал следует разбить на интервалы монотонности, найти плотность для каждого интервала, а затем результаты просуммировать.

Математическое ожидание функции Y=φ(Х) вычисляется по формулам:

или
,

а дисперсия –

Пример 1. Дискретная случайная величина задана законом распределения:

Найти закон распределения случайной величины Y=X 2 , математическое ожидание M(Y), D(Y) и σ(Y).

Решение. Найдем возможные значения Y:

Найдем вероятности возможных значений

Следовательно, закон распределения величины Y имеет вид

Пример 2 . Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x)=x+0,5 в интервале (0,1); вне этого интервала f(x)=0. Найти: а) плотность распределения функции Y=X 2 ; б) математическое ожидание M(Y); в) дисперсию D(Y).

Решение. а) Так как функция y=x 2 на промежутке (0,1) строго возрастает и имеет обратную
, то

б)

Математическое ожидание можно найти другим способом:

.

3. Случайная величина X задана плотностью распределения f(x)=cos(x) в интервале (0, π/2); вне этого интервала f(x)=0. Найти математическое ожидание функции Y=φ(X)=X 2 (не находя предварительно плотности распределения Y).

4. Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) =cos(x) в интервале (0, π/2); вне этого интервала f(x) =0. Найти дисперсию функции Y = φ(Х)=Х2, не находя предварительно плотности распределения Y. Для решения используем формулу

и то, что
.

5. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

Найти закон распределения случайной величины Y=sin(X).

7. Задана плотность распределения f(x) случайной величины X, возможные значения которой заключены в интервале (0,∞). Найти плотность распределения g(у) случайной величины Y, если: а) Y=e -х; б) Y=ln(X); в)Y=X 2 ; г) Y=1/X 2 ; д) Y=Х 3 .

8. Случайная величина X распределена равномерно в интервале (0, π/2). Найти плотность распределения g(y)случайной величины Y=sin(X).

9. Случайная величина X распределена равномерно в интервале (-π/2, π/2). Найти плотность распределения g(y) случайной величины У=cos(X).