Высказывания-простые и составные. логические связки

Сложным называют суждение, содержащее логические связки и состоящее из нескольких простых суждений.

В дальнейшем простые суждения мы будем рассматривать как некие неделимые атомы, как элементы, из соединения которых возникают сложные структуры. Простые суждения будем обозначать отдельными латинскими буквами: a, b, c, d, … Каждая такая буква представляет некоторое простое суждение. Откуда это видно? Отвлекаясь от сложной внутренней структуры простого суждения, от его количества и качества, забыв о том, что в нем имеется субъект и предикат, мы удерживаем лишь одно свойство суждения – то, что оно может быть истинным или ложным. Все остальное нас здесь не интересует. И когда мы говорим, что буква «a» представляет суждение, а не понятие, не число, не функцию, мы имеем в виду только одно: это «a» представляет истину или ложь. Если под «a» мы подразумеваем суждение «Кенгуру живут в Австралии», мы подразумеваем истину; если же под «а» мы подразумеваем суждение «Кенгуру живут в Сибири», мы подразумеваем ложь. Таким образом, наши буквы «a», «b», «c» и т.д. – это переменные, вместо которых могут подставляться истина или ложь.

Логические связки представляют собой формальные аналоги союзов нашего родного естественного языка. Как сложные предложения строятся из простых с помощью союзов «однако», «так как», «или» и т.п., так и сложные суждения образуются из простых с помощью логических связок. Здесь ощущается гораздо большая связь мысли с языком, поэтому в дальнейшем мы вместо слова «суждение», обозначающего чистую мысль, часто будем использовать слово «высказывание», обозначающее мысль в ее языковом выражении. Итак, давайте познакомимся с наиболее употребительными логическими связками.

Отрицание. В естественном языке ему соответствует выражение «Неверно, что…». Отрицание обычно обозначается знаком «¬», стоящим перед буквой, представляющей некоторое суждение: «¬а» читается «Неверно, что а». Пример: «Неверно, что Земля – шар».

Следует обратить внимание на одно тонкое обстоятельство. Выше мы говорили о простых отрицательных суждениях. Как их отличить от сложных суждений с отрицанием? Логика различает два вида отрицания – внутреннее и внешнее. Когда отрицание стоит внутри простого суждения перед связкой «есть», то в этом случае мы имеем дело с простым отрицательным суждением, например: «Земля не шар». Если же отрицание внешним образом присоединяется к суждению, например: «Неверно, что Земля – шар», то такое отрицание рассматривается как логическая связка, преобразующая простое суждение в сложное.

Конъюнкция. В естественном языке этой связке соответствуют союзы «и», «а», «но», «однако» и т.п. Чаще всего конъюнкция обозначается значком «&». Сейчас этот значок часто встречается в названиях различных фирм и предприятий. Суждение с такой связкой называется конъюнктивным, или просто конъюнкцией, и выглядит следующим образом:

a & b. Пример: «В корзине у деда лежали подберезовики и маслята». Это сложное суждение представляет собой конъюнкцию двух простых суждений: – «В корзине у деда лежали подберезовики» и «В корзине у деда лежали маслята».

Дизъюнкция. В естественном языке этой связке соответствует союз «или». Обычно она обозначается знаком «v». Суждение с такой связкой называется дизъюнктивным, или просто дизъюнкцией, и выглядит следующим образом: a v b.

Союз «или» в естественном языке употребляется в двух разных смыслах: нестрогое «или» – когда члены дизъюнкции не исключают друг друга, т.е. могут быть одновременно истинными, и строгое «или» (часто заменяется парой союзов «либо…, либо…») – когда члены дизъюнкции исключают друг друга. В соответствии с этим различают и два вида дизъюнкции – строгую и нестрогую.

Импликация. В естественном языке ей соответствует союз «если… то». Она обозначается знаком «->». Суждение с такой связкой называется импликативным, или просто импликацией, и выглядит следующим образом: a -> b. Пример: «Если по проводнику проходит электрический ток, то проводник нагревается». Первый член импликации называется антецедентом, или основанием; второй – консеквентом, или следствием. В повседневном языке союз «если… то» обычно соединяет предложения, которые выражают причинно-следственную связь явлений, причем первое предложение фиксирует причину, а второе – следствие. Отсюда и названия членов импликации.

Представление высказываний естественного языка в символическом виде с помощью указанных выше обозначений означает их формализацию, которая во многих случаях оказывается полезной.

4) Прекрасный остров лежал в теплом океане. И все бы хорошо, да повадились на этом острове устраиваться на жительство чужестранцы. Едут и едут со всех концов света, уж коренных жителей стеснять стали. Дабы воспрепятствовать нашествию чужестранцев, правитель острова издал указ: «Всякий приезжий, желающий поселиться на нашем благословенном острове, обязан высказать какое-нибудь суждение. Если суждение окажется истинным, чужестранца следует расстрелять; если же суждение окажется ложным, его следует повесить». Боишься – тогда молчи и поворачивай восвояси!

Спрашивается: какое нужно высказать суждение, чтобы остаться в живых и все-таки поселиться на острове?

Сложным называют суждение, содержащее логи­ческие связки и состоящее из нескольких простых суждений.

В дальнейшем простые суждения мы будем рассматривать как некие неделимые атомы, как

элементы, из соединения которых возникают сложные структуры.

Простые суждения будем обозначать отдельными латинскими буквами: а, Ь, с, d,... Каждая такая буква представляет некото­рое простое суждение. Откуда это видно? Отвле­каясь от сложной внутренней структуры простого суждения, от его количества и качества, забыв о том, что в нем имеется субъект и предикат, мы удерживаем лишь одно свойство суждения - то, что оно может быть истинным или ложным. Все остальное нас здесь не интересует. И когда мы го­ворим, что буква “а” представляет суждение, а не понятие, не число, не функцию, мы имеем в виду только одно: это “а” представляет истину или ложь. Если под “а” мы подразумеваем суждение “Кенгуру живут в Австралии”, мы подразумеваем истину; если же под “а” мы подразумеваем суж­дение “Кенгуру живут в Сибири”, мы подразуме­ваем ложь. Таким образом, наши буквы “а”, “Ь”, “с” и т.д. - это переменные, вместо которых могут подставляться истина или ложь.

Логические связки представляют собой фор­мальные аналоги союзов нашего родного естест­венного языка. Как сложные предложения строятся из простых с помощью союзов “однако”, “так как”, “или” и т.п., так и сложные суждения образуются из простых с помощью логических связок. Здесь ощу­щается гораздо большая связь мысли с языком, по­этому в дальнейшем мы вместо слова “суждение”, обозначающего чистую мысль, часто будем исполь­зовать слово “высказывание”, обозначающее мысль в ее языковом выражении. Итак, давайте познакомимся с наиболее употребительными логиче­скими связками.

Отрицание. В естественном языке ему соответ­ствует выражение “Неверно, что...”. Отрицание обычно обозначается знаком “-”, стоящим перед буквой, представляющей некоторое суждение: “-а” читается “Неверно, что а”. Пример: “Неверно, что Земля - шар”.

Следует обратить внимание на одно тонкое обсто­ятельство. Выше мы говорили о простых отрицатель­ных суждениях. Как их отличить от сложных суждений с отрицанием? Логика различает два вида отрица­ния - внутреннее и внешнее. Когда отрицание стоит внутри простого суждения перед связкой “есть”, то в этом случае мы имеем дело с простым отрицатель­ным суждением, например: “Земля не шар”. Если же отрицание внешним образом присоединяется к суж­дению, например: “Неверно, что Земля - шар”, то та­кое отрицание рассматривается как логическая связка, преобразующая простое суждение в сложное.

Конъюнкция. В естественном языке этой связке соответствуют союзы “и”, “а”, “но”, “однако” и т.п.

Чаще всего конъюнкция обозначается значком “&”. Сейчас этот значок часто встречается в названиях различных фирм и предприятий. Суждение с такой связкой называется конъюнктивным, или просто конъюнкцией, и выглядит следующим образом:

а & Ь. Пример: “В корзине у деда лежали подбере­зовики и маслята”. Это сложное суждение пред­ставляет собой конъюнкцию двух простых сужде­ний: -“В корзине у деда лежали подберезовики” и “В корзине у деда лежали маслята”.

Дизъюнкция. В естественном языке этой связке соответствует союз “или”. Обычно она обозначается знаком “v”. Суждение с такой связкой называется дизъюнктивным, или просто дизъюнкцией, и выгля­дит следующим образом: а v Ь.

Союз “или” в естественном языке употребляется в двух разных смыслах: нестрогое “или” - когда члены дизъюнкции не исключают друг друга, т.е. могут быть одновременно истинными, и строгое “или” (часто заменяется парой союзов “либо..., ли­бо...”) - когда члены дизъюнкции исключают друг друга. В соответствии с этим различают и два вида дизъюнкции - строгую и нестрогую.

Импликация. В естественном языке ей соответ­ствует союз “если... то”. Она обозначается знаком “->”. Суждение с такой связкой называется импликативным, или просто импликацией, и выглядит следующим образом: а -> Ь. Пример: “Если по про­воднику проходит электрический ток, то проводник нагревается”. Первый член импликации называется антецедентом, или основанием; второй - консеквентом, или следствием. В повседневном языке со­юз “если... то” обычно соединяет предложения, ко­торые выражают причинно-следственную связь яв­лений, причем первое предложение фиксирует причину, а второе - следствие. Отсюда и названия членов импликации.

Представление высказываний естественного языка в символическом виде с помощью ука­занных выше обозначений означает их форма­лизацию, которая во многих случаях оказывает­ся полезной. 4) Прекрасный остров лежал в теплом океане. И все бы хорошо, да повадились на этом острове ус­траиваться на жительство чужестранцы. Едут и едут со всех концов света, уж коренных жителей стеснять стали. Дабы воспрепятствовать нашествию чужест­ранцев, правитель острова издал указ: “Всякий при­езжий, желающий поселиться на нашем благосло­венном острове, обязан высказать какое-нибудь суждение. Если суждение окажется истинным, чу­жестранца следует расстрелять; если же суждение окажется ложным, его следует повесить”. Боишь­ся - тогда молчи и поворачивай восвояси!

Спрашивается: какое нужно высказать сужде­ние, чтобы остаться в живых и все-таки поселиться на острове?

В мышлении мы оперируем не только простыми, но и сложны­ми суждениями, образуемыми из простых посредством логичес­ких связок (или операций) - конъюнкции, дизъюнкции, имплика­ции, эквиваленции, отрицания, которые также называются логическими константами, или логическими постоянными. Проанали­зируем, каким образом перечисленные логические связки выра­жаются в естественном (русском) языке.

Конъюнкция (знак “^”) выражается союзами: “и”, “а”, “но”, “да”, “хотя”, “который”, “зато”, “однако”, “не только..., но и” и др. В логике высказываний знак “Ù”соединяет простые высказывания, образуя из них сложные. В естественном языке союз “и” и дру­гие слова, соответствующие конъюнкции, могут соединять суще­ствительные, глаголы, наречия, прилагательные и иные части речи. Например: “Дети пели и смеялись” (а ^ b) ; “Интересная и кра­сиво оформленная книга лежит на столе”. Последнее высказы­вание нельзя разбить на два простых, соединенных конъюнкцией:

“Интересная книга лежит на столе” и “Красиво оформленная книга лежит на столе”, так как создается впечатление, что на столе лежат две книги, а не одна.

В логике высказываний действует закон коммутативности конъ­юнкции (а ^ b) = (b^а). В естественном русском языке такого закона нет, так как действует фактор времени. Там, где учитыва­ется последовательность во времени, употребление союза “и” некоммутативно. Поэтому не будут эквивалентными, например, та­кие два высказывания: 1) “Джейн вышла замуж, и у нее родился ребенок” и 2) “У Джейн родился ребенок, и она вышла замуж”.

В естественном языке конъюнкция может быть выражена не только словами, но и знаками препинания: запятой, точкой с за­пятой, тире. Например: “Сверкнула молния, загремел гром, по­шел дождь”.

О выражении конъюнкции средствами естественного языка пишет С. Клини в книге “Математическая логика”. В разделе “Анализ рассуждений” он приводит (не исчерпывающий) список выражений естественного языка, которые могут быть заменены

символами “^” (или “&”). Формула А ^ В в естественном языке может выражаться так:

“Не только А, но и В Как А, так и В.

В, хотя и А.А вместе с В.

В, несмотря на А А, в то время как В”".

Придумать примеры на все эти структуры предоставляем читателю.

В естественном (русском) языке дизъюнкция (обозначен­ная а b и а ύ b) выражается союзами: “или”, “либо”, “то ли..., то ли” и др. Например: “Вечером я пойду в кино или в библио­теку”; “Это животное принадлежит либо к позвоночным, либо к беспозвоночным”; “Сочинение будет то ли по произведениям Л. Н. Толстого, то ли по произведениям Ф. М. Достоевского”.

В логике высказываний различается нестрогая дизъюнкция, например: “Я подарю ей цветы или книги” (а b) и строгая дизъ­юнкция, например: “Данный студент находится в институте или дома” (а ύ b). В нестрогой дизъюнкции члены дизъюнкции не исключают друг друга, а в строгой - исключают. Для обоих ви­дов дизъюнкции действует закон коммутативности.

С грамматической точки зрения, высказывание – это повествовательное предложение.

Сложные предложения строятся из выражений, обозначающих некоторые понятия, и логических связок. Слова и обороты НЕ, И, ИЛИ, ЕСЛИ … ТО, ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, СУЩЕСТВУЕТ, ВСЕ и некоторые другие называются логическими связками (операторами) и обозначают логические операции, с помощью которых из одних предложений строятся другие.

Предложения без логических связок являются элементарными, их нельзя расчленить на части так, чтобы при этом каждая из частей была также предложением. Элементарные высказывания называются также высказываниями (суждениями). В высказываниях содержится информация о предметах, явлениях, процессах.

Элементарное высказывание состоит из субъекта (логического подлежащего) – того, о чем идет речь в высказывании, и предиката (логического сказуемого) – того, что утверждается или отрицается в высказывании о субъекте.

Таким образом, высказывание – это форма мышления, в которой утверждается или отрицается логическая связь между понятиями, выступающими в качестве субъекта и предиката данного высказывания. Соответствие или несоответствие этой связи реальности делает высказывание (суждение) истинным или ложным.

Логическая связь между субъектом и предикатом высказывания выражается обычно в виде связки ЕСТЬ или НЕ ЕСТЬ, хотя в самом предложении эта связка может отсутствовать, а лишь подразумеваться. При этом субъект высказывания может выражаться не обязательно только подлежащим в предложении, так же как и предикат – не только сказуемым (это могут быть и другие члены предложения). Что считать в предложении субъектом, а что предикатом высказывания определяется логическимударением. Логическое ударение связано со смыслом, содержащимся в предложении для говорящего или слушающего.

По форме высказывания делятся на простые (имеющие логическую форму «S есть P » или «S не есть P », где S – субъект, P – предикат) и сложные (грамматически выражающиеся сложными предложениями).

Пример простого высказывания: «Все медведи любят мед», сложного – «Некоторые медведи любят мед и молодые побеги бамбука».

Простые высказывания позволяют выразить следующие типы высказываний:

· атрибутивные высказывания – выражают принадлежность или не принадлежность свойства объекту или классу (например, Земля есть планета);

· высказывания об отношениях– говорят о наличии отношения между объектами (например, 3<5 );

· высказывания существования (экзистенциональные высказывания)– говорят о существовании или не существовании объекта или явления.

Операции на множестве высказываний.

Из элементарных высказываний можно составлять сложные высказывания с помощью логических операций. Элементарные высказывания, входящие в состав сложного высказывания, связываются логическими операторами не по смысловому описанию, а только по их истинностным значениям. Следовательно, сложные высказывания являются функциями от входящих в них элементарных высказываний. Все операции в логике высказываний описываются только таблицей истинности.

К операциям на множестве высказываний относятся:

· Отрицание. Для него таблица истинности:

В естественном языке она чаще всего интерпретируется союзом «и».

· Дизъюнкция двух элементарных высказываний истинна тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из элементарных высказываний. Ее иногда называется логическим сложением или логическим максимумом. Таблица истинности дизъюнкции выглядит так:

· Операция «исключающего или» задается следующей таблицей истинности, она истинна, когда истинен только один из операндов. Эту операцию еще называют строгой дизъюнкцией или логическим неравенством.

В таком виде часто формулируются математические теоремы. Если теорема сформулирована как-нибудь иначе, то ее можно перефразировать в указанном виде, не теряя её сущности.

ЛОГИЧЕСКИЕ СВЯЗКИ – символы логических языков, используемые для образования сложных высказываний (формул) из элементарных. Логическими связками называют также соответствующие этим символам союзы естественного языка. Обычно используются такие логические связки, как конъюнкция (союз «и», символические обозначения: &, ∧ и точка в виде знака умножения, которые часто опускают, записывая конъюнкцию А и В как AB ), дизъюнкция (нестрогий союз «или», обозначается как «∨»), импликация («если..., то», обозначается с помощью знака «⊃» и различного рода стрелок), отрицание («неверно, что...», обозначается: , ~ или чертой над отрицаемым выражением). Из перечисленных отрицание является одноместной (унарной) связкой. Другие являются двухместными (бинарными). В принципе логические связки могут быть сколь угодно местными, но на практике более, чем бинарные, используются очень редко. В классической логике (Логика , Логика высказываний ) любые многоместные логические связки выразимы через перечисленные. Некоторый практический смысл дает использование тернарной логической связки, называемой условной дизъюнкцией, связывающей три высказывания А, В и С и означающей, что «А в случае В , и С в случае не-B » или формально: (B ⊃A )&(B ⊃C ) (Сидоренко Е.А. Пропозициональное исчисление с условной дизъюнкцией. – В кн.: Методы логического анализа. М., 1977).

Классическая логика рассматривает логические связки экстенсионально (игнорируя содержательный смысл связываемых ими высказываний) как функции истинности, определяемые истинностными значениями связываемых ими высказываний. При двух имеющих место в этой логике истинностных значениях 1 (истинно) и 0 (ложно) высказывания А и В могут иметь четыре возможных набора упорядоченных истинностных значений: <1,1>, <1,0>, <0,1>, <0,0>. Пропозициональная истинностная функция ставит в соответствие каждому перечисленному набору одно из значений истинности – 1 или 0. Всего таких функций 16. Конъюнкция приписывает выражению А &В значение 1 только в случае, когда как А , так и В истинны, т.е. оба имеют значение 1, в остальных случаях значение А &В равно 0. Дизъюнкция Α ∨ В, напротив, ложна только в одном случае, когда ложны как А , так и В. Импликация А ⊃ В является ложной только при истинном (антецеденте) А и ложном (консеквенте) В. В остальных случаях А ⊃ В принимает значение 1. Из четырех одноместных функций интерес представляет только отрицание, меняющее значение высказывания на противоположное: когда А – истинно, A – ложно, и наоборот. Все другие унарные и бинарные классические функции могут быть выражены через представленные. Когда принятая в соответствующей семантике система логических связок позволяет дать определение всех остальных, ее называют функционально полной. К полным системам в классической логике относятся, в частности, конъюнкция и отрицание; дизъюнкция и отрицание; импликация и отрицание. Конъюнкция и дизъюнкция определимы друг через друга за счет эквивалентностей (А &В )≡(А ∨В) и (A∨B)≡(А &B), именуемых законами де Моргана, а также: (Α⊃Β)≡(Α ∨В ), (А &В )≡(А ⊃B), (Α ∨В )≡((А ⊃В )⊃A). Любая эквивалентность вида A ≡ В имеет силу только тогда, когда общезначима (всегда истинна) конъюнкция (А ⊃В )&(В ⊃A ).

Функции антидизъюнкция и антиконъюнкция, определимые соответственно как (А ∨В) и (А &В ), также представляют каждая в отдельности функционально полную систему связок. Это последнее обстоятельство было известно уже Ч.Пирсу (неопубликованная при его жизни работа 1880 г.) и было переоткрыто X.Шеффером (H.M.Sheffer). Используя антидизъюнкцию как единственную логическую связку, Шеффер в 1913 построил полное исчисление высказываний. Антидизъюнкцию обозначают А ∣В и называют штрихом Шеффера, читая данное выражение, как «не-A и не-B ». Ж.Нико (J. G.P.Nicod) употребил то же обозначение для антиконъюнкции («Неверно, что одновременно А и B ») и с помощью только этой связки в 1917 сформулировал полное исчисление высказываний с одной (всего!) аксиомой и одним правилом вывода. Т.о., штрихом Шеффера называют по сути саму вертикальную черту, которая у разных авторов может обозначать как антидизъюнкцию, так и антиконъюнкцию.

Экстенсиональность логических связок придает им однозначность, упрощает проблему построения логических исчислений, дает возможность решать для последних метатеоретические проблемы непротиворечивости, разрешимости, полноты (см. Металогика ). Однако в некоторых случаях истинностно-функциональная трактовка связок приводит к значительному несоответствию с тем, как они понимаются в естественном языке. Так, указанная истинностная интерпретация импликации вынуждает признавать верными предложения вида «Если А, то B » даже в том случае, когда между высказываниями А и В (и, соответственно, событиями, о которых в них идет речь) нет никакой реальной связи. Достаточно, чтобы А было ложным или В – истинным. Поэтому из двух предложений: «Если А, то В » и «Если В, то А », по крайней мере одно приходится признавать верным, что плохо сообразуется с обычным употреблением условной связки. Импликацию в данном случае специально называют «материальной», отличая ее тем самым от условного союза, предполагающего, что между антецедентом и консеквентом истинного условного высказывания имеется действительная связь. При этом материальная импликация может прекрасно использоваться во многих контекстах, напр., математических, когда при этом не забывают о ее специфических особенностях. В некоторых случаях, однако, именно контекст не позволяет трактовать условный союз как материальную импликацию, предполагая взаимосвязь высказываний. Для анализа таких контекстов приходится строить специальные неклассические логики , напр., релевантные (см. Релевантная логика ), в язык которых вместо материальной импликации (или наряду с ней) вводятся другие импликации, которые понимаются интенсионально (содержательно) и верность которых не может быть обоснована истинностно-функционально. Интенсионально могут трактоваться также другие логические связки.

Литература:

1. Чёрч А. Введение в математическую логику, т. 1. М., 1960;

2. Карри Х. Основания математической логики. М., 1969.

Е.А.Сидоренко