Основные логические связки. Выражение логических связок (логических постоянных) в естественном языке

Сложным называют суждение, содержащее логические связки и состоящее из нескольких простых суждений.

В дальнейшем простые суждения мы будем рассматривать как некие неделимые атомы, как элементы, из соединения которых возникают сложные структуры. Простые суждения будем обозначать отдельными латинскими буквами: a, b, c, d, … Каждая такая буква представляет некоторое простое суждение. Откуда это видно? Отвлекаясь от сложной внутренней структуры простого суждения, от его количества и качества, забыв о том, что в нем имеется субъект и предикат, мы удерживаем лишь одно свойство суждения – то, что оно может быть истинным или ложным. Все остальное нас здесь не интересует. И когда мы говорим, что буква «a» представляет суждение, а не понятие, не число, не функцию, мы имеем в виду только одно: это «a» представляет истину или ложь. Если под «a» мы подразумеваем суждение «Кенгуру живут в Австралии», мы подразумеваем истину; если же под «а» мы подразумеваем суждение «Кенгуру живут в Сибири», мы подразумеваем ложь. Таким образом, наши буквы «a», «b», «c» и т.д. – это переменные, вместо которых могут подставляться истина или ложь.

Логические связки представляют собой формальные аналоги союзов нашего родного естественного языка. Как сложные предложения строятся из простых с помощью союзов «однако», «так как», «или» и т.п., так и сложные суждения образуются из простых с помощью логических связок. Здесь ощущается гораздо большая связь мысли с языком, поэтому в дальнейшем мы вместо слова «суждение», обозначающего чистую мысль, часто будем использовать слово «высказывание», обозначающее мысль в ее языковом выражении. Итак, давайте познакомимся с наиболее употребительными логическими связками.

Отрицание. В естественном языке ему соответствует выражение «Неверно, что…». Отрицание обычно обозначается знаком «¬», стоящим перед буквой, представляющей некоторое суждение: «¬а» читается «Неверно, что а». Пример: «Неверно, что Земля – шар».

Следует обратить внимание на одно тонкое обстоятельство. Выше мы говорили о простых отрицательных суждениях. Как их отличить от сложных суждений с отрицанием? Логика различает два вида отрицания – внутреннее и внешнее. Когда отрицание стоит внутри простого суждения перед связкой «есть», то в этом случае мы имеем дело с простым отрицательным суждением, например: «Земля не шар». Если же отрицание внешним образом присоединяется к суждению, например: «Неверно, что Земля – шар», то такое отрицание рассматривается как логическая связка, преобразующая простое суждение в сложное.

Конъюнкция. В естественном языке этой связке соответствуют союзы «и», «а», «но», «однако» и т.п. Чаще всего конъюнкция обозначается значком «&». Сейчас этот значок часто встречается в названиях различных фирм и предприятий. Суждение с такой связкой называется конъюнктивным, или просто конъюнкцией, и выглядит следующим образом:

a & b. Пример: «В корзине у деда лежали подберезовики и маслята». Это сложное суждение представляет собой конъюнкцию двух простых суждений: – «В корзине у деда лежали подберезовики» и «В корзине у деда лежали маслята».

Дизъюнкция. В естественном языке этой связке соответствует союз «или». Обычно она обозначается знаком «v». Суждение с такой связкой называется дизъюнктивным, или просто дизъюнкцией, и выглядит следующим образом: a v b.

Союз «или» в естественном языке употребляется в двух разных смыслах: нестрогое «или» – когда члены дизъюнкции не исключают друг друга, т.е. могут быть одновременно истинными, и строгое «или» (часто заменяется парой союзов «либо…, либо…») – когда члены дизъюнкции исключают друг друга. В соответствии с этим различают и два вида дизъюнкции – строгую и нестрогую.

Импликация. В естественном языке ей соответствует союз «если… то». Она обозначается знаком «->». Суждение с такой связкой называется импликативным, или просто импликацией, и выглядит следующим образом: a -> b. Пример: «Если по проводнику проходит электрический ток, то проводник нагревается». Первый член импликации называется антецедентом, или основанием; второй – консеквентом, или следствием. В повседневном языке союз «если… то» обычно соединяет предложения, которые выражают причинно-следственную связь явлений, причем первое предложение фиксирует причину, а второе – следствие. Отсюда и названия членов импликации.

Представление высказываний естественного языка в символическом виде с помощью указанных выше обозначений означает их формализацию, которая во многих случаях оказывается полезной.

4) Прекрасный остров лежал в теплом океане. И все бы хорошо, да повадились на этом острове устраиваться на жительство чужестранцы. Едут и едут со всех концов света, уж коренных жителей стеснять стали. Дабы воспрепятствовать нашествию чужестранцев, правитель острова издал указ: «Всякий приезжий, желающий поселиться на нашем благословенном острове, обязан высказать какое-нибудь суждение. Если суждение окажется истинным, чужестранца следует расстрелять; если же суждение окажется ложным, его следует повесить». Боишься – тогда молчи и поворачивай восвояси!

Спрашивается: какое нужно высказать суждение, чтобы остаться в живых и все-таки поселиться на острове?

Сложные суждения – это суждения, образованные из простых с помощью логических связок.

Связь между элементами сложного суждения осуществляется с помощью логических союзов (логических связок).

Логические связки:

Главная их особенность в том, что логические союзы однозначны, тогда как грамматические союзы имеют множество смыслов и оттенков.

1. КОНЪЮНКЦИЯ (от лат. сonjunctio– союз, связь).

Знак: ˄ или &

и », «а », «но », «да », «хотя », «который », «зато », «однако », «при этом » и т.п.

Суждение «Она любит яблочный сок и зелёный чай » является конъюнкцией (связью) двух простых суждений: «она любит яблочный сок » и «она любит зелёный чай ».

а ˄ b или а & b

2. ДИЗЪЮНКЦИЯ (от лат.disjunctio– разобщение).

Знак: ˅

В русском языке конъюнкции соответствуют союзы: «или », «либо », «то ли… то ли ».

Суждение «Мы пойдём в кино или в парк » является дизъюнкцией двух простых суждений: «мы пойдём в кино» или «мы пойдём в парк» . Данная связка не является строгой, то есть не предполагает только один выбор, так как мы можем пойти и в кино, и погулять в парке.

Запись этого суждения с помощью логических связок будет выглядеть: а ˅ b

3.Строгаядизъюнкция

Знак: .

Союз «или» может употребляться в строгом смысле – когда члены дизъюнкции исключают друг друга.

Запись этого суждения с помощью логических связок будет выглядеть:

4. ИМПЛИКАЦИЯ (от лат.implico– тесно связываю)

Знак: → .

В языке аналоги этой связки союзы: «если…, то »; «когда…, тогда »; «коль скоро…, то » и т.п.

Обычно с помощью импликации выражаются причинно-следственные отношения типа: «Если выглянет Солнце, то станет тепло ».a → b . Первый элемент импликации называетсяоснованием (антецедентом), второй –следствием (консеквентом).

5. ЭКВИВАЛЕНЦИЯ (от позднелат.aequivalens– равнозначный; равноценный)

Знак: ↔ или ≡ .

В языке аналоги этой связки союзы: «если и только если »; «тогда и только тогда, когда… »; «лишь при условии, что…, то ».

Суждение: «Только тогда ребёнок получит конфету, когда доест весь суп » является эквиваленцией.

Запись этого суждения с помощью логической связки будет выглядеть: a ↔ b илиa ≡ b

6 .ОТРИЦАНИЕ

Знак: ~ или ¬ . ставятся перед суждением ~а или ¬а ; или черта, которая ставится над суждением

В языке отрицание выражается союзами и словами: «не », «неверно » и т.п.

Суждение: «Не заводится машина » записывается как~а

Суждение: «Любит или не любит » содержит строгую дизъюнкцию и отрицание.

Упражнения: Запишите суждения в виде логической формы с помощью логических связок.

Самопроверка: Запишите суждения в виде логической формы с помощью логических связок

Для самопроверки выделите столбец «формула» и измените цвет шрифта

Чтобы заложить основу для нечеткой логики, необходимо расширить содержание таких логических операций, как отрицание, дизъюнкция, конъюнкция и импликация применительно к высказываниям, которые имеют не числовые, а лингвистические значения истинности. Другими словами, мы должны уметь вычислять значение истинности высказывания и , зная лингвистические значения истинности высказываний и . При рассмотрении этой проблемы полезно иметь в виду, что если - нечеткое подмножество универсального множества и , то два следующих утверждения эквивалентны:

Таким образом, вопрос «Что является значением истинности высказывания и , если заданы лингвистические значения истинности и ?» аналогичен вопросу, который мы поставили в § 3: «Какова степень принадлежности элемента множеству, если заданы степени принадлежности элемента множествам и ?»

Чтобы ответить на последний вопрос, мы использовали принцип обобщения. Будем придерживаться той же процедуры для обобщения смысла отрицания не , а также связок и , или и влечет применительно к лингвистическим значениям истинности.

В частности, если - точка в , представляющая значение истинности высказывания «» (или просто ), где - элемент универсального множества , то значение истинности высказывания не (или) определяется выражением

. (6.7)

Предположим теперь, что - не точка в , а нечеткое подмножество интервала , представленное в виде

где - точки в , а - их степени принадлежности множеству . Тогда, применяя принцип обобщения (3.80) к (6.7), получим выражения для как нечеткого подмножества интервала , т. е.

В частности, если значение истинности есть истинно , т. е.

, (6.10)

то значение истинности ложно можно записать в виде

. (6.11)

Например, если

то значение истинности высказывания не имеет вид

Замечание 6.1. Следует отметить, что если

то согласно (3.33), имеем

Однако если

То же самое относится и к лингвистическим неопределенностям. Например, согласно определению неопределенности очень (см. (5.38)),

С другой стороны, значение истинности высказывания очень равно

Перейдем к бинарным связкам. Пусть и - лингвистические значения истинности высказываний и соответственно. Для простоты будем пользоваться теми же обозначениями, что и в случае, когда и – точки в:

имея при этом в виду, что в случае, когда и - точки в , операции , и сводятся к операциям min (конъюнкция), max (дизъюнкция) и вычитания из единицы соответственно.

где и - точки в , а и - соответствующие им степени принадлежности множествам и , то, применяя принцип обобщения к , получим

Таким образом, значение истинности высказывания и есть нечеткое подмножество интервала , носитель которого состоит из точек вида

с соответствующими степенями принадлежности . Отметим, что выражение (6.25) эквивалентно выражению (3.107) для функции принадлежности пересечения нечетких множеств, имеющих нечеткие функции принадлежности.

Пример 6.2. Предположим, что

Тогда, используя (6.25), получаем

(6.28)

Аналогично, для значения истинности высказывания или получим

(6.29)

Значение истинности высказывания зависит от того, как определена связка для числовых значений истинности. Так, если для случая, когда и - точки в , мы положим (см. (8.24))

то, применив принцип обобщения, получим (см. замечание 3.20)

(6.31)

для случая, когда и - нечеткие подмножества интервала .

Замечание 6.3. Важно четко понимать разницу между связкой и в терме, скажем, истинный и не очень истинный и символом в высказывании истинный не истинный . В первом случае нас интересует смысл терма истинный и не истинный , и связка и определяется отношением

(6.32)

где - смысл терма (см. определение 5.1). Напротив, в случае терма истинный не истинный нас в основном интересует значение истинности высказывания истинный не истинный , которое получается из равенства (см. (6.19))

Таким образом, в (6.32)символ обозначает операцию пересечения нечетких множеств, а в (6.33) символ обозначает операцию конъюнкции. Проиллюстрируем это различие на простом примере. Пусть , а и - нечеткие подмножества множества , определяемые следующим образом:

в то время как

Отметим, что такое же различие имеет место и в случае отрицания не и операции , как указывалось в замечании 6.1.

Замечание 6.4. Следует отметить, что, применяя принцип обобщения (3.96) к вычислению значений , и , мы молчаливо предполагали, что и - невзаимодействующие нечеткие переменные в смысле замечания 3.20. Если и - взаимодействующие переменные, то необходимо применять принцип обобщения не в форме (3.96), а в форме (3.97). Интересно заметить, что вопрос о возможном взаимодействии между и возникает даже в том случае, когда и - точки в , а не нечеткие переменные.

Замечание 6.5. Применяя принцип обобщения с целью определения операций , , и применительно к лингвистическим значениям истинности, мы в сущности рассматриваем нечеткую логику как обобщение многозначной логики. В таком же смысле можно рассматривать классическую трёхзначную логику как обобщение двузначной логики (см. (6.64))., от 0 до 1.истинный и ложный , можно заключить, что

что согласуется с (6.25).

С грамматической точки зрения, высказывание – это повествовательное предложение.

Сложные предложения строятся из выражений, обозначающих некоторые понятия, и логических связок. Слова и обороты НЕ, И, ИЛИ, ЕСЛИ … ТО, ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, СУЩЕСТВУЕТ, ВСЕ и некоторые другие называются логическими связками (операторами) и обозначают логические операции, с помощью которых из одних предложений строятся другие.

Предложения без логических связок являются элементарными, их нельзя расчленить на части так, чтобы при этом каждая из частей была также предложением. Элементарные высказывания называются также высказываниями (суждениями). В высказываниях содержится информация о предметах, явлениях, процессах.

Элементарное высказывание состоит из субъекта (логического подлежащего) – того, о чем идет речь в высказывании, и предиката (логического сказуемого) – того, что утверждается или отрицается в высказывании о субъекте.

Таким образом, высказывание – это форма мышления, в которой утверждается или отрицается логическая связь между понятиями, выступающими в качестве субъекта и предиката данного высказывания. Соответствие или несоответствие этой связи реальности делает высказывание (суждение) истинным или ложным.

Логическая связь между субъектом и предикатом высказывания выражается обычно в виде связки ЕСТЬ или НЕ ЕСТЬ, хотя в самом предложении эта связка может отсутствовать, а лишь подразумеваться. При этом субъект высказывания может выражаться не обязательно только подлежащим в предложении, так же как и предикат – не только сказуемым (это могут быть и другие члены предложения). Что считать в предложении субъектом, а что предикатом высказывания определяется логическимударением. Логическое ударение связано со смыслом, содержащимся в предложении для говорящего или слушающего.

По форме высказывания делятся на простые (имеющие логическую форму «S есть P » или «S не есть P », где S – субъект, P – предикат) и сложные (грамматически выражающиеся сложными предложениями).

Пример простого высказывания: «Все медведи любят мед», сложного – «Некоторые медведи любят мед и молодые побеги бамбука».

Простые высказывания позволяют выразить следующие типы высказываний:

· атрибутивные высказывания – выражают принадлежность или не принадлежность свойства объекту или классу (например, Земля есть планета);

· высказывания об отношениях– говорят о наличии отношения между объектами (например, 3<5 );

· высказывания существования (экзистенциональные высказывания)– говорят о существовании или не существовании объекта или явления.

Операции на множестве высказываний.

Из элементарных высказываний можно составлять сложные высказывания с помощью логических операций. Элементарные высказывания, входящие в состав сложного высказывания, связываются логическими операторами не по смысловому описанию, а только по их истинностным значениям. Следовательно, сложные высказывания являются функциями от входящих в них элементарных высказываний. Все операции в логике высказываний описываются только таблицей истинности.

К операциям на множестве высказываний относятся:

· Отрицание. Для него таблица истинности:

В естественном языке она чаще всего интерпретируется союзом «и».

· Дизъюнкция двух элементарных высказываний истинна тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из элементарных высказываний. Ее иногда называется логическим сложением или логическим максимумом. Таблица истинности дизъюнкции выглядит так:

· Операция «исключающего или» задается следующей таблицей истинности, она истинна, когда истинен только один из операндов. Эту операцию еще называют строгой дизъюнкцией или логическим неравенством.

В таком виде часто формулируются математические теоремы. Если теорема сформулирована как-нибудь иначе, то ее можно перефразировать в указанном виде, не теряя её сущности.

В мышлении мы оперируем не только простыми, но и сложны­ми суждениями, образуемыми из простых посредством логичес­ких связок (или операций) - конъюнкции, дизъюнкции, имплика­ции, эквиваленции, отрицания, которые также называются логическими константами, или логическими постоянными. Проанали­зируем, каким образом перечисленные логические связки выра­жаются в естественном (русском) языке.

Конъюнкция (знак “^”) выражается союзами: “и”, “а”, “но”, “да”, “хотя”, “который”, “зато”, “однако”, “не только..., но и” и др. В логике высказываний знак “Ù”соединяет простые высказывания, образуя из них сложные. В естественном языке союз “и” и дру­гие слова, соответствующие конъюнкции, могут соединять суще­ствительные, глаголы, наречия, прилагательные и иные части речи. Например: “Дети пели и смеялись” (а ^ b) ; “Интересная и кра­сиво оформленная книга лежит на столе”. Последнее высказы­вание нельзя разбить на два простых, соединенных конъюнкцией:

“Интересная книга лежит на столе” и “Красиво оформленная книга лежит на столе”, так как создается впечатление, что на столе лежат две книги, а не одна.

В логике высказываний действует закон коммутативности конъ­юнкции (а ^ b) = (b^а). В естественном русском языке такого закона нет, так как действует фактор времени. Там, где учитыва­ется последовательность во времени, употребление союза “и” некоммутативно. Поэтому не будут эквивалентными, например, та­кие два высказывания: 1) “Джейн вышла замуж, и у нее родился ребенок” и 2) “У Джейн родился ребенок, и она вышла замуж”.

В естественном языке конъюнкция может быть выражена не только словами, но и знаками препинания: запятой, точкой с за­пятой, тире. Например: “Сверкнула молния, загремел гром, по­шел дождь”.

О выражении конъюнкции средствами естественного языка пишет С. Клини в книге “Математическая логика”. В разделе “Анализ рассуждений” он приводит (не исчерпывающий) список выражений естественного языка, которые могут быть заменены

символами “^” (или “&”). Формула А ^ В в естественном языке может выражаться так:

“Не только А, но и В Как А, так и В.

В, хотя и А.А вместе с В.

В, несмотря на А А, в то время как В”".

Придумать примеры на все эти структуры предоставляем читателю.

В естественном (русском) языке дизъюнкция (обозначен­ная а b и а ύ b) выражается союзами: “или”, “либо”, “то ли..., то ли” и др. Например: “Вечером я пойду в кино или в библио­теку”; “Это животное принадлежит либо к позвоночным, либо к беспозвоночным”; “Сочинение будет то ли по произведениям Л. Н. Толстого, то ли по произведениям Ф. М. Достоевского”.

В логике высказываний различается нестрогая дизъюнкция, например: “Я подарю ей цветы или книги” (а b) и строгая дизъ­юнкция, например: “Данный студент находится в институте или дома” (а ύ b). В нестрогой дизъюнкции члены дизъюнкции не исключают друг друга, а в строгой - исключают. Для обоих ви­дов дизъюнкции действует закон коммутативности.