Стохастическое моделирование. Инструментарий прогнозного анализа деятельности коммерческих организации
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Участок, до которого не дошла продольная волна, уменьшился за время At на величину ((/ / 2) + а0 At). Участок, где прошла только продольная волна, увеличился на (a0 - b) At, а участок, где прошли и продольная и поперечная волны, увеличился на b At. Посчитаем полную энергию всей струны за время At
2Wo((/ / 2) + ao At) + 2[ W^ - b) + E2b] At = = W/ + 2[(W - Wo)ao + (W2 - Wi) b] At = W/ +
E{[(eo - ei)2 + ei2 - eo2]ao +
+ [(eo - e1)2 (((1 + cos9) / (1 - cos9)) - 1)]x xao ((eo - e1) / (1 + e1)) (cos9 / (1 - cos9))}At =
Wo/ + Eao{(eo - e1)2 + e12 - eo2 + (eo - e1)2(2
cos29 / (1 - cos9)2) ((eo - e1) / (1 + e1))} At =,
учитывая
Wo/ + Eao[(eo - e1)2 + e12 - eo2 + 2(eo - e1) x x (e1 (1 + e1) / (1 + e1))] At = Wo/ + Eao At = Wo/.
Как и следовало из постоянства интеграла энергии, полная энергия всей струны в этой конкретной задаче постоянна, а если за нулевую энергию принять Eo/, то полная энергия будет равна нулю.
Сравним величины энергий на участках продольной и поперечных волн в случае,
когда продольное возмущение дошло до конца струны. В этом случае участок, где нет возмущения, отсутствует, а полная энергия складывается из энергий на участках продольного и поперечного движений. Очевидно, что вклад энергии продольных и поперечных волн в полную энергию будет одинаков.
При рассмотрении продольно-поперечных движений струн нельзя ограничиваться рассмотрением только поперечных составляющих и пренебрегать продольными, поскольку они вносят равный вклад в энергетику и динамическое нагружение струн.
В приведенных примерах проиллюстрировано распределение энергий между продольными и поперечными волнами и проведено сравнение энергий поперечного и продольного движений. Вклад энергии продольных составляющих в общую энергию колебаний гибких связей может быть найден как разность между полной энергией и энергией поперечных колебаний.
1. Рахматулин, Х.А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках / Х.А. Рахматулин, Ю.А. Демьянов. - М.: Физматгиз, 1961. - 399 с.
2. Демьянов, Ю.А. К уточнению теории колебаний музыкальных инструментов / Ю.А. Демьянов // Доклады РАН. - 1999. - Т 369. - № 4.
МЕТОДИКА ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
А.В. ТРЕГУБ, доц. МГУЛ, канд. физ.-мат. наук,
И.В. ТРЕГУБ, доц. Финансовой академии при Правительстве РФ, канд. техн. наук
Математическое моделирование сложных экономических систем на современном этапе предполагает, как правило, использование аналитических подходов к изучению функционирования реальных объектов. В различных задачах, встречающихся при моделировании, могут использоваться величины, значения которых определяются случайным образом. Примерами таких величин могут быть случайные воздействия внешней среды, случайные моменты времени, в которые система находится в особом состоянии и т.п. Системы, в которых переменные или воз-
действия являются случайными величинами, называются стохастическими.
На сегодняшний день технологии прогнозирования экономических показателей разработаны достаточно хорошо. Среди методов прогнозирования, наиболее часто применяемых в экономической практике, можно отметить методы экспертных оценок, основывающиеся на субъективной оценке текущего момента и перспектив развития. Эти методы успешно используются для конъюнктурных оценок, особенно в случаях, когда невозможно получить непосредствен-
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2oo8
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ную информацию о каком-либо явлении или процессе.
Методы анализа и прогнозирования динамических рядов связаны с исследованием изолированных друг от друга показателей, каждый из которых состоит из двух элементов: из прогноза детерминированной компоненты и прогноза случайной компоненты. Разработка первого прогноза не представляет больших трудностей, если определена основная тенденция развития и возможна ее дальнейшая экстраполяция. Прогноз случайной компоненты связан с определением закона вероятности и оценкой его параметров.
В основе казуальных методов определяются факторы, обусловливающие поведение прогнозируемого показателя. Поиск этих факторов приводит собственно к экономикоматематическому моделированию - построению модели поведения экономического объекта, учитывающей развитие взаимосвязанных явлений и процессов. Следует отметить, что применение многофакторного прогнозирования требует решения проблемы выбора факторов, которая связана с необходимостью глубокого изучения экономического содержания рассматриваемого явления или процесса.
Среди методов оценивания на практике успешно применяется теория игр, регрессионный анализ, известно нейросетевое прогнозирование, нечеткая логика и имитационное моделирование. Разработаны соответствующие программные пакеты, которые, к сожалению, не всегда доступны рядовому пользователю, в то же время многие из этих проблем можно достаточно успешно решать, реализуя алгоритмы в широко известном и распространенном пакете прикладных программ MS Excel.
В данной статье представлено вероятностное прогнозирование объема продаж дополнительных услуг на рынке телекоммуникаций, осуществленное на основе эмпирических данных.
Выборочное наблюдение. Под выборочным наблюдением понимается метод статистического исследования, при котором обобщающие показатели изучаемой системы устанавливаются по некоторой ее части на основе положений случайного отбора. При
выборочном методе изучается сравнительно небольшая часть всех данных, характеризующих систему. Выборка должна быть представительной (репрезентативной), чтобы по ней можно было судить о генеральной совокупности. Репрезентативность означает, что объекты выборки должны обладать теми же свойствами, что и генеральная совокупность. Предупреждение систематических ошибок выборочного обследования достигается в результате применения научно обоснованных способов формирования выборочной совокупности, в зависимости от которых выборка может быть: собственно-случайной, механической, типической, серийной, комбинированной. Собственно-случайная выборка образуется в результате случайного (непреднамеренного) отбора отдельных единиц из генеральной совокупности. Формирование выборки может быть осуществлено по схемам повторного и бесповторного отбора. При этом повторный отбор предполагает возможность включения в выборку одного и того же элемента генеральной совокупности два раза и более, бесповторный отбор исключает такую возможность.
Первый шаг на пути создания прогноза при выборочном наблюдении - это сбор и анализ статистической информации об исследуемой системе, формирование выборки из генеральной совокупности, отслеживание аномальных результатов в выборке.
В нашем случае анализируемым параметром является объем продаж дополнительных услуг регионального оператора сотовой связи за один месяц. Под генеральной совокупностью в данной задаче мы будем понимать множество месячных объемов продаж дополнительных услуг по предоставлению пользователю информации (новости, биржевые сводки, прогноз погоды и т.п.), полученных региональным оператором за все время работы на рынке. При этом к одной генеральной совокупности будем относить информационные сервисы с сопоставимыми за анализируемый период объемами продаж.
Выборкой из генеральной совокупности в нашем случае будет множество месячных объемов продаж услуг определенного сервиса. Формирование выборки осуществляется
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2008
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
в табличном процессоре Microsoft Excel, в котором выполнена собственно-случайная выборка, реализованная по схеме повторного отбора.
Далее необходимо построить вероятностную модель, оценить ее параметры и построить прогноз. Построение модели основано на выборе и идентификации закона распределения. Алгоритм выбора закона распределения целиком и полностью базируется на аппарате математической статистики. Идентификация закона распределения заключается в последовательной реализации двухэтапной процедуры для каждого вида параметрической модели из рассматриваемого множества законов. На первом этапе процедуры на основании выборочных данных строится модель закона определенного вида (из рассматриваемого множества моделей), оцениваются параметры этой модели. На втором этапе оценивается степень адекватности полученной модели экспериментальным наблюдениям, как правило, с применением различных критериев согласия.
При проведении выборочного обследования и построения прогноза объема продаж мы будем формировать две выборки из генеральной совокупности. Одну - для подбора и идентификации закона распределения вероятностей, другую - для оценки параметров моделируемого теоретического закона распределения.
Анализ эмпирических данных. Прежде чем приступать к построению модели, необходимо проанализировать наблюдаемые значения переменных на наличие аномальных результатов, т.е. таких наблюдений, которые резко отличаются в большую или меньшую сторону от средних значений по выборке. Поскольку существенным моментом вероятностного прогнозирования является предположение о законе распределения, соответствующего реальным наблюдаемым величинам, и оценка параметров этого распределения , то любые отклонения от предположений могут повлиять на оценки.
Если наблюдаемая выборка действительно принадлежит тому закону распределения, параметры которого мы оцениваем, отклонения могут быть связаны с наличием
аномальных наблюдений, появление которых в выборке определяется самыми различными причинами. Если не учитывать наличие аномальных наблюдений, попытки оценивания параметров распределения могут привести к самым негативным результатам. В этом случае обычно отбраковывают аномальные величины, а затем находят оценки параметров. К сожалению, реализовать отбраковку наблюдений в общем случае оказывается совсем не просто. Наблюдения, аномальные с позиций одного закона распределения, являются естественным проявлением закономерностей другого. Если нет надежной процедуры отбраковки или практических соображений, связанных с сущностью наблюдаемой величины, пытаются выйти из положения одним из следующих способов. В первом случае усекают выборку, отбрасывая определенную часть минимальных и/или максимальных наблюдений, и по оставшейся части оценивают параметры распределения. Во втором - перед процедурой оценивания всем наблюдениям левее и/или правее определенных значений присваивают одинаковые значения. Обе эти процедуры могут не всегда приводить к положительным результатам. Третий подход заключается в цензурировании выборки. Для наблюдений, попавших левее и/или правее определенных значений, фиксируют лишь факт попадания в соответствующий интервал, опуская конкретные значения этих наблюдений. По такой цензурированной выборке оценивают параметры закона.
В работе доказано, что процедура предварительного группирования наблюдений перед вычислением оценок параметров распределения позволяет резко снизить влияние аномальных наблюдений, а иногда практически исключить последствия присутствия их в выборке. При этом также снижается влияние на оценки параметров и отклонение вида наблюдаемого закона распределения от предполагаемого. Кроме того, группирование исходных наблюдений позволяет получать устойчивые оценки параметров.
Построение эмпирического распределения. Для построения эмпирического распределения будем использовать одну из двух сформированных ранее выборок. Груп-
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2008
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
пирование наблюдений используется как при оценке параметров распределений, в задачах проверки статистических гипотез, так и для построения эмпирического распределения.
Выборка называется группированной, если область определения случайной величины разбита на к непересекающихся интервалов граничными точками х0 < *1 < ... < <
х где *0 - нижняя грань области определения случайной величины X, хк - верхняя грань области определения случайной величины X, и зафиксированы количества наблюдений п, попавших в i-ый интервал значений. Объем выборки определяется соотношением
Существуют различные способы объединения данных в группы. При группировании область определения случайной величины разбивается на интервалы равной длины или равной вероятности, кроме того существует еще так называемое асимптотически оптимальное группирование. Нахождение х. граничных точек интервалов в этом случае связано с вычислением интегралов вида
P(e)=] f (х,в)л,
которые не всегда имеют аналитическое решение, здесь e - скалярный или векторный параметр распределения, функция P(e) - вероятность попадания наблюдаемой величины в i-й интервал, f(x, e) - плотность распределения.
В данной работе в качестве способа группировки выбрано разбиение области определения объема продаж на интервалы равной длины. Величину интервала b для группировки исходных данных определим по формуле
Xmin) / 0} - 1),
где х - х - максимальные и минимальные
значения;
{n} - округленное оптимальное число групп, определяемое по формуле Стерджесса n = 1 + 3,322lg(N);
N - объем выборки.
Нижняя граница первого интервала соответствует минимальному значению объема продаж за рассматриваемый период, правая граница последнего интерва-
ла - максимальному значение объема продаж. Относительная частота попадания переменной в интервал определяется по формуле
где ni - количество исходных значений, попавших в i-й интервал.
Графическое изображение эмпирических данных в виде гистограммы относительных частот - удобный и наглядный способ представления выборки, необходимый для первичного формирования гипотезы о законе распределения генеральной совокупности. При построении графика по оси абсцисс (OX) отложим значения середины интервалов объема продаж, а соответствующие им значения относительных частот - по оси ординат (OF). На рис. 1 приведен график эмпирических относительных частот, представленных в виде гистограммы.
Оценка параметров эмпирического распределения. Визуальный анализ графика показывает, что эмпирическое распределение является унимодальным и несимметричным. Для более детального описания воспользуемся надстройкой «Пакет анализа» «Описательная статистика» MS Excel. Результаты расчета приведены в таблице.
Средняя арифметическая - наиболее часто используемый показатель центра распределения, в нашем случае равна 17313,18. Вычисление средней X в программе осуществляется по формуле, совпадающей с формулой оценки математического ожидания методом моментов. Следовательно, в качестве оценки математического ожидания в начальном приближении можно использовать значение д = 17313,8. Оценка дисперсии, выполненная Пакетом анализа, дает значение D = 11631522,29.
Мода (Мо) - это наиболее часто встречающееся значение признака, или значение варианты с наибольшей частотой.
Медианой (Me) является значение варианты, находящейся в центре упорядоченной по возрастанию значений признака совокупности. Медиана делит вариационный ряд на две равные части. При этом 50 % единиц совокупности имеют значение меньше медианного, а 50 % - больше медианного.
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2008
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Объем продаж, USD
I I эмпирическая относительная частота й теоретическое гамма-распределение -♦ - теоретическое нормальное распределение
Рис. 1. Гистограмма относительных частот и теоретические функции плотности вероятности
Месячный объем продаж, USD
Среднее 17313,18
Стандартная ошибка 363,56
Медиана 16539
Стандартное отклонение 3410,50
Дисперсия выборки 11631522,29
Эксцесс 0,46
Асимметрично сть 0,71
Интервал 16988
Минимум 10801
Максимум 27789
Сумма 1523560
В нашем случае значение моды равно 16802, а значение медианы - 16539.
Для симметричного распределения значения средней, медианы и моды должны совпадать. В нашем же случае они различны. Таким образом, можно предположить, что искомое распределение несимметрично.
Чтобы в этом убедиться, надо определить, есть ли смещения в рассеянии данных. Индикатором этих смещений является скошенность данных или, по-другому, асимметрия As - показатель симметрии распределения. В случае положительной асимметрии распределение имеет длинную правую ветвь. Средняя величина больше медианы. Отрицательная асимметрия проявляется в виде более длинной левой ветви, а величина средней меньше медианы и моды. В случае симмет-
ричного распределения, например нормального, As = 0. При этом следует учитывать значимость коэффициента асимметрии. Если выполняется неравенство
|As| / ° < 3
ш \(n+1)(n+3) ’
n - количество наблюдений, то асимметричность считается несущественной.
Коэффициент асимметрии, рассчитанный в «Описательной статистике», равен 0,71, а значение параметра = 0,26. Следовательно, в нашем случае \ASI / = 2,73 < 3,
и асимметрией при подборе теоретического распределения объема продаж за месяц можно пренебречь. Параметры, полученные на основе эмпирических данных, могут быть использованы как начальные приближения при построении вероятностной модели.
Построение математической модели. Для исследуемой экономической системы построение модели, как правило, включает два этапа. На первом этапе высказываются предположения о виде модели закона распределения и по выборкам, извлекаемым из генеральной совокупности, оцениваются параметры этой модели. На втором этапе адекватность модели наблюдаемым данным проверяется с использованием критериев согласия типа Пирсона, типа Колмогорова, типа Мизеса и других. В статистике этим этапам соответствует основные типы задач: идентификация закона распределения и проверка статистических гипотез, оценивание параметров распределения.
Под задачей идентификации закона распределения наблюдаемой случайной величины, как правило, понимают задачу выбора такой модели закона распределения вероятностей, которая наилучшим образом соответствует результатам наблюдения.
Визуальный анализ гистограммы относительных частот (рис. 1) позволяет сделать предположение о том, что вероятностная модель может быть представлена в виде нормального или гамма-распределения. Для построения кривых теоретических законов распределения найдем оценку параметров нормального и гамма-распределений, исполь-
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2008
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
зуя вторую из двух сформированных ранее выборок.
Среди всего множества различных оценок параметров модели можно выделить три основных класса оценок . Это M-оценки, к которым относятся, например, оценки максимального правдоподобия и наименьших квадратов, L-оценки, формирующиеся как линейные комбинации порядковых статистик, и R-оценки, основанные на использовании ранговых критериев. Еще один класс оценок образуют методы, минимизирующие расстояния (MD-оценки).
Определяющими факторами при выборе метода оценивания являются структура представления наблюдаемых данных и качество оценок. Качество оценок определяется такими свойствами, как несмещенность, состоятельность и асимптотическая эффективность. Вместе с тем, оценки должны быть устойчивыми к малым отклонениям от предположений.
Если последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин xp..., xN имеет функцию распределения F(x, 9) и функцию плотности fx,9), то оценкой максимального правдоподобия (ОМП) неизвестного векторного или скалярного параметра 9 по группированным наблюдениям называется такое значение параметра, при котором функция правдоподобия
достигает максимума на множестве возможных значений параметра. Вероятность попадания наблюдения в i-ый интервал значений определяется выражением
Р (е)= J f (x,e)dx.
Для вычисления ОМП дифференцируют функцию правдоподобия по 01 и, приравнивая производные нулю, получают систему уравнений правдоподобия
решая которые находят искомые оценки параметров, здесь m - размерность вектора параметров.
Закон гамма-распределения имеет функцию плотности вероятности
Р“- Г (а) где Г(а)- гамма функция.
Векторный параметр гамма распределения 0 = (а, в), при этом связь с оценками математического ожидания и дисперсии осуществляется по формулам
д = а-р, D = а-р2.
Для нормального распределения 0 = (д, а), где a=4D - среднеквадратичное отклонение. Плотность вероятности нормального закона распределения вероятности задается формулой
Функция правдоподобия для нормального распределения имеет вид
Продифференцировав функцию правдоподобия по параметрам д, а, приравняв получившиеся уравнения к нулю и выразив значения д, D, получим, что искомые оценки параметров нормального распределения, осуществленные по методу максимума правдоподобия, совпадают с оценками, выполненными по методу моментов.
д=x=NZxi D=N_1,^(x" _ x) ■
Значения математического ожидания и дисперсии в этом случае равны соответственно
д = 17313, D = 11631522. (1)
Для гамма-распределения ОМП параметров а, р находятся аналогичным способом с дифференциацией соответствующей функции правдоподобия. В этом случае система уравнений для определения оценок параметров а, р имеет вид
1 N dlnГ(0) , n л
Zlnx.----------lnP = 0 .
Данная система была решена численными методами, в результате чего получились следующие значения параметров
а = 25,8; р = 671,8. (2)
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2008
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Метод максимального правдоподобия, в отличие от других, позволяет определять оценки максимального правдоподобия параметров по негруппированным, частично группированным и группированным данным, т.е. дает возможность исследователю самому определять, в каком виде хранить эмпирическую информацию. Этот метод при соответствующих условиях регулярности дает состоятельные и асимптотически эффективные оценки. Кроме того, применение метода максимального правдоподобия регламентировано в Рекомендациях по стандартизации при проверке согласованности опытного распределения с теоретическим.
Используя оценки параметров распределения (1) и (2), полученные по выборке из генеральной совокупности в предыдущем пункте, на графике относительных частот построим теоретические законы распределения вероятностей. На рис. 1 кривая, соответствующая нормальному закону распределения, изображена в виде пунктирной линии, закон гамма-распределения представлен сплошной линией. Из графика видно, что эти два закона достаточно хорошо аппроксимируют эмпирический закон распределения, однако для принятия решения о виде распределения необходимо решить задачу идентификации закона распределения.
Для этого, опираясь на предыдущий анализ эмпирических данных, сформулируем гипотезу H0: F(x) = F(x, 9), где 9 - оценки (2) параметров гамма-распределения, рассчитанные по второй выборке методом максимума правдоподобия. В этом случае проверяемая гипотеза является простой в отличие от сложной гипотезы, в которой помимо проверки вида распределения необходимо еще производить оценивание параметром.
В случае простых гипотез для проверки согласия теоретического и эмпирического законов распределения применяются критерии согласия, такие как Колмогорова, Смирнова, ш2 и Q2 Мизеса, которые не зависят от вида наблюдаемого закона распределения F(x, 9) и, в частности, от его параметров 9. В этом случае при проверке согласия опытного распределения с теоретическим распределением случайной величины X действуют
в соответствии алгоритмом, представленным ниже:
1. Формулируют проверяемую гипотезу, выбирая теоретическое распределение случайной величины, согласие которого с опытным распределением этой величины следует проверить.
2. Из совокупности отбирают случайную выборку объема N. Полученные результаты наблюдений располагают в порядке их возрастания, так что в распоряжении имеют упорядоченную выборку значений.
3. В соответствии с выбранным критерием проверки вычисляют значение статистики S* критерия (статистику Колмогорова, Смирнова, ш2 и Q2 Мизеса).
4. В соответствии с выбранным критерием проверки вычисляют значение
p(> SS >7 g (Ho yis =1-G(? Ho),
где G(S\H0) - распределение статистики критерия при справедливости гипотезы
g(s|H0) - условная плотность распределения статистики критерия при справедливости гипотезы.
Если выполняется неравенство
p{S > S*} > a,
где a = J g(s|H0)ds
Задаваемый уровень значимости (вероятность ошибки 1-го рода - отклонить справедливую гипотезу H0), то нет оснований для отклонения проверяемой гипотезы. В противном случае проверяемая гипотеза H0 отвергается.
В критерии Колмогорова в качестве расстояния между эмпирическим и теоретическим законом используется величина
dn = sup|FN (x)-F (x,e), (3)
где FN(x) - эмпирическая функция распределения;
F(x, 9) - теоретическая функция распределения;
N - объем выборки.
При проверке гипотез обычно используется статистика вида
S = S = 6" N6^DNN +1, D„ = max(D+N, Dn),
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2008
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
F(x ,e), D-=f^iiN iF (xi,e)-
где N - объем выборки;
xp..., xN - упорядоченные по возрастанию выборочные значения;
F(x) - функция закона распределения, согласие с которым проверяется.
Распределение величины Sk при простой гипотезе в пределе подчиняется закону Колмогорова K(S) .
Для проверки согласия двух распределений воспользуемся статистикой Колмогорова. Выберем уровень значимости a = 0,05, рассчитаем значение статистики Колмогорова для нашей задачи и величину расстояния между эмпирическим и теоретическим законом (3). В нашем случае оказалось, что теоретическое гамма-распределение согласуется с экспериментальными данными.
Повторяя вышеизложенные расчеты для нормального распределения, получаем, что нормальное распределение также хорошо согласуется с опытными данными. Следовательно, на основании выбранного критерия проверки Колмогорова два теоретических закона распределения - нормальный и гамма - могут быть использованы для построения прогнозной модели.
Прогноз объема продаж
- ♦ - нормальное распределение USD -*- гамма-распределение
Рис. 2. Интегральные функции вероятности гамма- и нормального распределения
Результаты моделирования. Для
построения прогноза объема продаж дополнительных услуг сотовой связи необходимо рассчитать значения интегральных функций
найденных выше теоретических законов нормального и гамма-распределения вероятностей с оцененными параметрами (1) и (2) этих распределений. График, построенный на рис. 2, позволяет спрогнозировать будущее значение месячного объема продаж с заданной вероятностью. Так, с 95 % вероятностью можно утверждать, что объем продаж в следующем месяце составит 11745 USD. При этом относительная погрешность прогноза в зависимости от выбора модели нормального или гамма-распределения в этом случае не превышает одного процента.
Для дальнейшего исследования модели прогнозирования объема продаж дополнительных услуг представляется целесообразным формулировать две конкурирующие гипотезы: H0: F(x) = F(x, e) - о соответствии эмпирических данных гамма-распределению и альтернативную ей H1: F(x) = F1(x, Э) - о нормальном распределении наблюдаемых величин, и рассчитывать вероятность в ошибки 2-го рода, т.е вероятность ошибочного принятия гипотезы H0, в то время как верна гипотеза Н1. При этом чем больше мощность критерия 1-в, тем лучше он различает соответствующие гипотезы.
Напоследок следует заметить, что в дальнейшем построенную вероятностную модель объема продаж можно улучшить, если идентификацию закона проводить с использованием ряда критериев согласия. Это связано в первую очередь с тем, что в непараметрических критериях проверки согласия опытного и теоретического распределений типа Колмогорова, типа Мизеса, типа Смирнова, и в критериях согласия типа хи-квадрат используются различные меры, поэтому критерии по-разному улавливают в выборках различные отклонения от предполагаемых теоретических законов. В этом случае окончательное решение может быть принято по совокупности критериев, когда выбирается модель, для которой достигаемый уровень значимости по всем критериям максимален.
Кроме того, при идентификации планируется рассматривать более широкое множество законов распределения, в том числе модели в виде смесей законов. В этом случае для любого эмпирического распределения можно построить адекватную, статистически
ЛЕСНОИ ВЕСТНИК 2/2008
В процессе финансового прогнозирования для расчета финансовых показателей используются такие специфические методы, как математическое моделирование, эконометрическое прогнозирование, экспертные оценки, построение трендов и составление сценариев, стохастические методы.
Математическое моделирование позволяет учесть множество взаимосвязанных факторов, влияющих на показатели финансового прогноза, выбрать из нескольких вариантов проекта прогноза наиболее соответствующий принятой концепции производственного, социально-экономического развития и целям финансовой политики.
Эконометрическое прогнозирование основано на принципах экономической теории и статистики: расчет показателей прогноза осуществляется на основе статистических оценочных коэффициентов при одной или нескольких экономических переменных, выступающих в качестве прогнозных факторов; позволяет рассмотреть одновременное изменение нескольких переменных, влияющих на показатели финансового прогноза. Эконометрические модели описывают с определенной степенью вероятности динамику показателей в зависимости от изменения факторов, влияющих на финансовые процессы. При построении эконометрических моделей используется математический аппарат регрессионного анализа, который дает количественные оценки усредненных взаимосвязей и пропорций, сложившихся в экономике в течение базисного периода. Для получения наиболее надежных результатов экономико-математические методы дополняются экспертными оценками.
Метод экспертных оценок предполагает обобщение и математическую обработку оценок специалистов-экспертов по определенному вопросу. Эффективность этого метода зависит от профессионализма и компетентности экспертов. Такое прогнозирование может быть достаточно точным, однако экспертные оценки носят субъективный характер, зависят от «ощущений» эксперта и не всегда поддаются рациональному объяснению.
Трендовый метод , предполагающий зависимость некоторых групп доходов и расходов лишь от фактора времени, исходит из постоянных темпов изменений (тренд постоянных темпов роста) или постоянных абсолютных изменений (линейный временной тренд). Недостатком данного метода является игнорирование экономических, демографических и других факторов.
Разработка сценариев не всегда исходит из научности и объективности, в них всегда ощущается влияние политических предпочтений, предпочтений отдельных должностных лиц, инвесторов, собственников, но это позволяет оценить последствия реализации тех или иных политических обещаний.
Стохастические методы предполагают вероятностный характер как прогноза, так и связи между используемыми данными и прогнозными финансовыми показателями. Вероятность расчета точного финансового прогноза определяется объемом эмпирических данных, используемых при прогнозировании.
Таким образом, методы финансового прогнозирования различаются по затратам и объемам предоставляемой итоговой информации: чем сложнее метод прогнозирования, тем больше связанные с ним затраты и объемы получаемой с его помощью информации.
Точность прогнозов
Основными критериями при оценке эффективности модели, используемой в прогнозировании, служат точность прогноза и полнота представления будущего финансового состояния прогнозируемого объекта. Вопрос с точностью прогноза несколько более сложен и требует более пристального внимания. Точность или ошибка прогноза - это разница между прогнозным и фактическим значениями. В каждой конкретной модели эта величина зависит от ряда факторов.
Чрезвычайно важную роль играют исторические данные, используемые при выработке модели прогнозирования. В идеале желательно иметь большое количество данных за значительный период времени. Кроме того, используемые данные должны быть "типичными" с точки зрения ситуации. Стохастические методы прогнозирования, использующие аппарат математической статистики, предъявляют к историческим данным вполне конкретные требования, в случае невыполнения которых не может быть гарантирована точность прогнозирования. Данные должны быть достоверны, сопоставимы, достаточно представительны для проявления закономерности, однородны и устойчивы.
Точность прогноза однозначно зависит от правильности выбора метода прогнозирования в том или ином конкретном случае. Однако это не означает, что в каждом случае применима только какая-нибудь одна модель. Вполне возможно, что в ряде случаев несколько различных моделей выдадут относительно надежные оценки. Основным элементом в любой модели прогнозирования является тренд или линия основной тенденции изменения ряда. В большинстве моделей предполагается, что тренд является линейным, однако такое предположение не всегда закономерно и может отрицательно повлиять на точность прогноза. На точность прогноза также влияет используемый метод отделения от тренда сезонных колебаний - сложения или умножения. При использовании методов регрессии крайне важно правильно выделить причинно-следственные связи между различными факторами и заложить эти соотношения в модель.
Прежде чем использовать модель для составления реальных прогнозов, ее необходимо проверить на объективность, с тем чтобы обеспечить точность прогнозов. Этого можно достичь двумя разными путями:
Результаты, полученные с помощью модели, сравниваются с фактическими значениями через какой-то промежуток времени, когда те появляются. Недостаток такого подхода состоит в том, что проверка "беспристрастности" модели может занять много времени, так как по-настоящему проверить модель можно только на продолжительном временном отрезке.
Модель строится исходя из усеченного набора имеющихся исторических данных. Оставшиеся данные можно использовать для сравнения с прогнозными показателями, полученными с помощью этой модели. Такого рода проверка более реалистична, так как она фактически моделирует прогнозную ситуацию. Недостаток этого метода состоит в том, что самые последние, а, следовательно, и наиболее значимые показатели исключены из процесса формирования исходной модели.
В свете вышесказанного относительно проверки модели становится ясным, что для того, чтобы уменьшить ожидаемые ошибки, придется вносить изменения в уже существующую модель. Такие изменения вносятся на протяжении всего периода применения модели в реальной жизни. Непрерывное внесение изменений возможно в том, что касается тренда, сезонных и циклических колебаний, а также любого используемого причинно-следственного соотношения. Эти изменения затем проверяются с помощью уже описанных методов. Таким образом, процесс оформления модели включает в себя несколько этапов: сбор данных, выработку исходной модели, проверку, уточнение - и опять все сначала на основе непрерывного сбора дополнительных данных с целью обеспечения надежности модели.
Виды прогнозов
Различают три основных вида прогноза: технологический, экономический и прогноз объема продаж (спроса).
1. Технологические прогнозы охватывают уровень развития НТП или технологическое развитие в сферах, непосредственно влияющих на производство, в котором осуществляется прогноз. Например, предприятие, выпускающее компьютеры, интересует перспективы расширения объема памяти на дискетах, т.к. они являются дополнительной продукцией для использования компьютеров, а предприятие, использующее вредные, токсичные вещества в своем производстве, интересует разработка технологий по очистке и утилизации отходов.
Развитие НТП приводит к появлению новых товаров и услуг, а те, в свою очередь, составляют серьезную конкуренцию существующим предприятиям. Грамотно сделанный прогноз позволит сэкономить финансовые ресурсы, предскажет развитие новых технологий, даже если научно-технические изменения не повлияли на производство продукции.
2. Экономический прогноз позволяет предусмотреть будущее состояние экономики, процентные ставки и другие факторы, влияющие на развитие любого предприятия. От результатов экономического прогноза зависят такие решения как: расширение или сокращение производственных мощностей; заключение новых договоров; увольнение или наем рабочих и т.д.
3. Представление о реальном уровне спроса на продукцию предприятия на конкретный период в будущем дает прогноз объема продаж. Такой прогноз является основой для планирования и проведения экономических расчетов. На спрос влияют множество факторов, учет которых можно выявить с помощью составления прогноза объема продаж (спроса). В качестве базы для будущего прогноза используются такие показатели, как уровень спроса в предшествующем периоде, демографические изменения, изменения рыночных долей отраслевых организаций, динамику политической ситуации, интенсивность рекламы, конкурентов и др.
480 руб. | 150 грн. | 7,5 долл. ", MOUSEOFF, FGCOLOR, "#FFFFCC",BGCOLOR, "#393939");" onMouseOut="return nd();"> Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут , круглосуточно, без выходных и праздников
240 руб. | 75 грн. | 3,75 долл. ", MOUSEOFF, FGCOLOR, "#FFFFCC",BGCOLOR, "#393939");" onMouseOut="return nd();"> Автореферат - 240 руб., доставка 1-3 часа, с 10-19 (Московское время), кроме воскресенья
Алейникова Наталья Александровна. Разработка стохастических моделей прогнозирования на основе количественной интерпретации методов технического анализа: диссертация... кандидата физико-математических наук: 05.13.18.- Воронеж, 2003.- 123 с.: ил. РГБ ОД, 61 03-1/869-7
Введение
Глава 1. Анализ существующих подходов к построению моделей прогнозированиял
1.1. Определение, классификация и требования, предъявляемые к прогнозам
1.2. Анализ методов построения моделей прогноза
1.2.1. Основные подходы
1.2.2. Эконометрический (фундаментальный) анализ
1.2.3. Технический анализ
1.2.4. Стохастическое моделирование
1.2.5. Основные достоинства и недостатки подходов к прогнозированию
1.3. Выводы, постановка цели и задач исследования
Глава 2. Построение моделей прогноза с помощью индикаторов технического анализа
2.1. Теоретическое обоснование использования индикаторов технического анализа в модели стохастического моделирования
2.1.1. Модель скользящего среднего и этапы введения индикатора ТА в модель
2.1.2. Модель скользящего среднего и индикатор движущееся среднее
2.1.3. Модель скользящего среднего и индикатор экспоненциальное скользящее среднее
2.1.4. Модель скользящего среднего и индикатор Momentum
2.2. Построение условно-вероятностной индикаторной модели
2.2.1. Аппроксимация распределения условных вероятностей случайной величины А,
2.2.2. Построение эмпирических распределений вероятностей величины hn+l
2.2.3. Аппроксимация эмпирического условного распределения с помощью теоретических законов 54
2.2.4. Использование нормального распределения при оценке распределения условных вероятностей
2.2.5. Использование нормального и Парето распределений при оценке функции плотности распределения условных вероятностей 57
2.2.6. Использование распределений Парето и равномерного при оценке функции плотности распределения условных вероятностей 63
2.2.7. Формулировка требований к области применения прогнозной модели УВИМ
2.3. Выводы 66
Глава 3. Реализация моделей прогноза 68
3.1. Описание методики проверки работоспособности моделей прогнозирования
3.1.1. Этапы проверки работоспособности моделей ИМСС
3.1.2. Этапы проверки работоспособности модели УВИМ
3.1.3. Практическая проверка работоспособности модели ИМСС
3.1.4. Краткая характеристика мирового товарного рынка фьючерсов
3.1.5. Практическая проверка работоспособности модели УВИМ
3.1.6. Аппроксимация эмпирического условного распределения с помощью теоретических законов
3.2. Информационно-аналитическая подсистема «ИС-Трейдер»
3.2.1. Общее описание «ИС-Трейдер» 100
3.2.2. Раздел «Анализ конъюнктуры мирового рынка сахара и прогноз его развития»
3.3. Выводы
Заключение
Литература
Приложения
Основные достоинства и недостатки подходов к прогнозированию
В общем случае под прогнозом принято понимать научно обоснованное суждение, носящее вероятностный характер, о возможных состояниях изучаемого объекта (явления) в будущем или о путях и сроках достижения определенных целей и результатов. Прогнозирование - это процесс разработки прогнозов с целью предсказания динамики изменения объектов (явлений) в ближайшей или отдаленной перспективе .
Приведем следующую классификацию прогнозов, на основании которой в дальнейшем более точно определим место, занимаемое нашим прогнозом. Прогнозы разделяются по следующим параметрам : В зависимости от применяемой методологии a) При нормативном прогнозе происходит формулировка желаемого состояния, цели, результата, которые должны быть достигнуты в будущем. Объектом прогнозирования являются пути, направления возможного развития, приводящие к реализации поставленной цели; b) Исследовательские прогнозы базируются на изучении тенденций изменения объекта во времени и распространении найденной зависимости на перспективу. При использовании исследовательского подхода предполагается, что элементы будущего развития явлений заложены в фактах реальной действительности и закономерностях прошлого; с) Комплексный прогноз сочетает в себе элементы предыдущих двух подходов; По характеру отношения прогноза к состоянию объекта прогнозирова ния: a) Условный (активный) прогноз позволяет оценить возможные направления развития и их последствия с учетом влияния экзогенных (внешних) и эндогенных (внутренних, действующих в рамках прогнозируемой системы) факторов; b) Безусловный (пассивный) прогноз характеризует будущее развитие как результат движения по инерции, закономерности которого сформированы в прошлом и настоящем; По степени разброса прогностических оценок: a) Точечный прогноз описывает возможное состояние объекта с помощью однозначно установленной числовой величины; b) Интервальный прогноз характеризует состояние объекта в виде совокупности числовых значений, заключенных в определенном интервале. Задача построения моделей прогноза достаточно сложная, так как при ее решении необходимо учитывать особенности моделируемого объекта и условия, в которых объект функционирует. В работе рассматриваются объекты, поведение которых нельзя заранее предугадать, так как оно зависит от множества случайных факторов и основная сложность состоит в невозможности измерить все эти факторы, а также предположить, какой из факторов окажет наибольшее воздействие в тот или иной момент времени. Попытки углубиться в причинно-следственные связи между внешними факторами и поведением объекта способны увести исследователя от конкретного изменения состояния объекта как угодно далеко. Задача усложняется тем, что, даже разобравшись «сегодня» с причинами, приведшими к определенному состоянию объекта, «назавтра» существует риск получить совершенно новую реальность, где ведущую роль могут играть иные силы и факторы, которые создадут событийный ряд, не похожий на предыдущий . Наиболее ярким примером таких объектов служат цены на финансовых и товарных мировых биржах. Сформулируем начальные требования к моделям прогноза. Во-первых, следует исключить из модели влияние внешних факторов, которых может быть очень много и которые не всегда можно измерить; во-вторых, использовать в математических моделях прогнозирования информацию о поведении объекта в предыдущие периоды; в-третьих, необходимо, чтобы модель учитывала неопределенность в поведении объекта; в-четвертых, в соответствии с приведенной классификацией, прогноз должен быть исследовательским, пассивным, модель должна допускать интервальную и точечную оценки прогнозируемых значений. Проанализируем основные черты существующих и наиболее распространенных подходов к прогнозированию, выделим достоинства и недостатки каждого подхода с точки зрения сформулированных требований. Существует множество подходов к прогнозированию динамики объектов. Эксперты пытаются предугадать дальнейшее развитие событий, пользуясь предлагаемыми им математико-статистическими методами и моделями, исследуя закономерности, пытаясь учесть влияние множества разнообразных факторов, которые могут повлиять на поведение объекта, наконец, прибегают даже к интуиции . В данной работе рассматриваются только количественные методы прогноза. Основные количественные методы построения моделей прогноза можно разделить на три группы: а) Эконометрический (фундаментальный) анализ Термин «эконометрика» был введен еще в 1926 г. норвежским экономистом и статистиком Рагнаром Фишером. В буквальном переводе этот термин означает «измерения в экономике». Главным назначением эконометрики является модельное описание конкретных количественных взаимосвязей, существующих между анализируемыми показателями. Описанию эконометрических методов посвящена многочисленная литература, например, . b) Технический анализ (ТА) ТА применяется на различных финансовых и товарных рынках (биржах) и основан на гипотезе о том, что рыночные цены являются отражением желаний и действий всех участников рынка и все факторы (фундаментальные, политические, психологические), влияющие на рыночную цену, фактически в ней самой и отражены . Методы ТА можно использовать в качестве источника дополнительной информации для прогнозирования не только цен, но и других объектов (характеристики которых колеблются во времени и имеют состояния открытия, закрытия, максимальное и минимальное). ТА наименее математизирован, но опирается на огромный практический материал, накопленный грейдерами (участниками рынка) почти за 100 лет. Исторически классический ТА развивался следующим образом. Первоначально, когда еще в природе не существовало компьютерной техники, а математические методы в силу сложности расчетов никто не пытался применить для анализа динамики цен, участники рынка, в особенности трейдеры, рисовали графики, на которых откладывали прямые линии. Позже были найдены закономерности в соотношении этих линий и графиков цен. Так возникли трендовые линии, модели и фигуры. Далее появились потребности для отхода от прямолинейности трен-довых линий и моделей и трейдеры, также вручную, начали рассчитывать средние цены, которые и стали с успехом применяться для анализа. И уже с возникновением компьютерной техники появилась возможность для расчета и применения методов осцилляторного анализа рынка.
Модель скользящего среднего и индикатор экспоненциальное скользящее среднее
Очевидно, что для построения прогнозной модели, удовлетворяющей требованиям, сформулированным в 1.1, необходимо сочетать черты каждого из подходов. Чтобы создать подходящую модель прогнозирования, учитывающую неопределенность, можно воспользоваться уже существующими методиками построения таких моделей в эконометрике и стохастическом моделировании. Но при этом важно, чтобы соблюдалось требование независимости прогнозных выходных данных от измерения значений внешних случайных факторов. Для выполнения этого условия, предлагается использовать стохастический подход, как наиболее подходящий. Согласно следующему требованию - извлечению необходимой для прогноза дополнительной информации из самого поведения прогнозируемой величины, - воспользуемся индикаторными методами технического анализа.
Таким образом, построение модели прогнозирования предлагается проводить в рамках стохастического подхода с применением индикаторов ТА. Такое объединение двух подходов представляется возможным осуществить двумя способами. Первый способ заключается во внедрении индикаторов ТА в существующие модели стохастического моделирования (например, в модель скользящего среднего) и последующем исследовании влияния, оказываемого индикаторами на прогнозную эффективность модель. Второй способ состоит в создании новой модели в рамках вероятностного пространства (1.4), не связанной с существующими моделями, с использованием индикаторов ТА в качестве источников дополнительной информации.
Необходимо отметить, что, так как модель - это лишь идеализация реального мира, в которой интересующие исследователя отношения между реальными элементами заменены подходящими отношениями между математическими категориями, то нужно разработать специальную методику, с помощью которой будет осуществляться проверка работоспособности модели на конкретных реальных и тестовых данных, включающую в себя ряд критериев оценки качества прогноза.
Для автоматизации построения прогноза с помощью комбинирования методов стохастического моделирования и технического анализа необходимо разработать программный комплекс. При этом в силу специфики используемых методов, потребуются большие объемы статистической информации. Обеспечить это требование возможно благодаря существующим информационно-аналитическим центрам, выполняющим функции сбора, хранения, обработки и выдачи информации о текущем состоянии объекта. Важно учитывать и то, что полученную информацию о прогнозе нужно сделать доступной, то есть где-то ее публиковать. Поэтому программный комплекс необходимо разработать в рамках существующей информационно-аналитической системы, выполняющий указанные выше функции.
Из приведенного выше анализа существующих подходов и сформулированных требований к прогнозу, можно сделать следующие основные выводы: a) При построении моделей прогнозирования необходимо учитывать особенности моделируемого объекта и условия, в которых объект функционирует. b) К модели прогноза выдвигается ряд требований, заключающихся в ее независимости от непосредственного измерения значений множества внешних случайных факторов, вычислении прогнозных значений на основе информации о поведении объекта в предыдущий период, учет неопределенности, и наконец, то, что прогноз, получаемый с помощью модели должен быть исследовательским, пассивным, допускать интервальную и точечную оценки прогнозируемых значений. c) Анализ существующих методов к построению моделей прогноза цен показал, что ни один из подходов в чистом виде не ведет к построению модели прогнозирования, удовлетворяющей сформулированным требованиям. Для достижения требований, необходимо использовать комбинацию сразу нескольких подходов, наиболее подходящими из которых являются стохастическое моделирование и индикаторный технический анализ. d) Объединение двух подходов к прогнозированию возможно осуществить двумя способами. Первый способ заключается во внедрении индикаторов ТА в существующие модели стохастического моделирования и последующем исследовании влияния, оказываемого индикаторами на прогнозную эффективность модель. Второй способ состоит в создании новой модели в рамках вероятностного пространства Колмогорова, с использованием индикаторов ТА в качестве источников дополнительной информации. e) Для построения прогноза с помощью комбинирования методов стохастического моделирования и технического анализа требуются большие объемы статистической информации. Для обеспечения этого требования необходимо существование информационно-аналитических центров, выполняющих функции сбора, хранения, обработки и выдачи информации о текущем состоянии объекта. Эти центры должны также обеспечивать публикацию прогноза. f) В рамках существующего информационно-аналитического центра необходимо разработать программный комплекс для реализации моделей прогноза. На основании выводов сформулирована цель диссертационной работы. Целью работы является создание стохастических моделей прогнозирования на основе количественной интерпретации методов технического анализа и разработка комплекса программ, как инструментального средства поддержки принятия решений субъектами управления. Для реализации поставленной цели необходимо решить следующие задачи: 1. Теоретически обосновать применение некоторых индикаторов технического анализа в существующих моделях стохастического моделирования. Построить модель прогнозирования поведения исследуемого объекта на основе модели стохастического моделирования с использованием индикаторов технического анализа в качестве источника дополнительной информации. 2. Построить условно-вероятностную индикаторную модель прогнозирования поведения исследуемого объекта, отвечающую требованиям универсальности по использованию видов и числа индикаторов технического анализа, а также разработать алгоритм получения прогнозных оценок по этой модели.
Использование нормального и Парето распределений при оценке функции плотности распределения условных вероятностей
В работе предлагается использовать методику проверки работоспособности моделей прогнозирования ИМСС (глава 2, п. 1.) и УВИМ (глава 2, п. 2) на тестовых и реальных данных, которая в общих чертах будет описана далее. Для изложения этой методики удобно разбить общую логическую схему исследования на несколько этапов.
На первом этапе происходит сбор или формирование исходной статистической информации, а так же представление (группирование) исходных данных в виде удобном для дальнейшего моделирования.
На следующем этапе необходимо удостовериться в том, что статистические данные удовлетворяют условиям модели (см. глава 2, п. 1.6). Действительно, у каждой из предложенных моделей прогнозирования имеется своя область применения. Напомним, что во второй главе выдвигались два предположения о поведении объекта. Первое накладывало ограничение на поведение объекта, предполагалось, что оно подчинено модели скользящего среднего. В связи с этим возникали требования к закону распределения цены. На практике мы будем иметь дело лишь со случайными выборками из некоторой генеральной совокупности, эмпирические характеристики которых могут отличаться от теоретических характеристик всей совокупности. Следовательно, может получиться так, что модель прогнозирования будет использована для данных, к которым она попросту не применима.
Второе предположение не связывало поведение объекта с какой-либо известной моделью (хотя и не исключало этого), зато требовало, чтобы была достаточно большая статистика по четырем разновидностям состояний объекта - открытия, закрытия, минимального и максимального. Поэтому и необходимо на втором этапе методики проверить, насколько выборка соответствует всем исходным требованиям модели.
Далее каждая модель включала в себя ряд теоретических положений (глава 2, следствия из теорем 1,2, теорема 3, предложения о «склейке» нескольких законов распределения для аппроксимации эмпирических условных распределений, получаемых с помощью модели УВИМ), проверка которых на практике будет составлять третий этап методики.
На четвертом этапе необходимо указать, какие значения мы будем считать прогнозом. В качестве прогнозного значения можно выбрать математическое ожидание, или, если последнее неизвестно, оценку математического ожидания - выборочное среднее. Так же прогнозными значениями могут быть приращения с максимальными частотами в выборке (выборочная мода). В случае модели ИМСС, когда приращения распределены по нормальному закону распределения, в силу симметричности закона, математическое ожидание и мода равны друг другу. Насколько лучше прогноз, получаемый с помощью тех или иных данных, можно будет судить, пройдя следующий этап методики.
Последний (пятый) этап связан с необходимостью оценки качества прогноза, получаемого с помощью модели. Нужно отметить, что часто для исследования качества прогноза ограничиваются изображением графиков реальных и прогнозных данных и вывод о том, насколько хорош прогноз, следует из простого сравнения этих графиков. Такое исследование является достаточно субъективным. В работе предлагается использовать количественный признак (критерий) степени схожести прогнозных и фактических значений. При этом он должен учитывать сразу несколько факторов, по которым оценивается точность прогноза (глядя на график реальных и прогнозных значений, исследователи, аналитики интуитивно отмечают эти факторы). Во-первых, желательно, чтобы прогнозные и реальные данные коррелировали между собой. То есть, если, например, фактическое значение движется вверх, то и найденное прогнозное значение так же должно двигаться вверх. Но при этом может возникнуть ситуация, показанная на рис. 3.1, когда фактические и прогнозные значения, несмотря на схожесть направлений их изменений, значительно отличаются по величине. Поэтому нужно учитывать еще и степень расхождения между ними.
Следующий фактор, по которому оценивается качество прогноза, связан с понятием доверительного интервала. Дело в том, что в качестве про Графики движения прогнозных и реальных значений. гнозного значения можно взять точечную оценку математического ожидания а случайной величины - выборочное среднее х. Но так как эта оценка получается по выборке, то она так же является случайной величиной и может значительно отличаться от математического ожидания генеральной совокупности. Чтобы дать представление о точности и надежности оценки х, для математического ожидания строится доверительный интервал: где у - доверительная вероятность - вероятность того, что / накроет неиз вестное значение математического ожидания, /?!(х),...,хп), /32(х],...,хп) - границы интервала (строятся по выборке, являются случайными величинами, Д (xj,..., хп) /?2 (xi хп)) находят ся из условия, что вероятность у попадания неизвестного математического ожидания ав 1у достаточно большая: Очевидно, что интервальная оценка тем лучше, чем меньше длина доверительного интервала. А так как границы доверительного интервала напрямую зависят от дисперсии, то если окажется, что дисперсия прогнозной величины после применения модели уменьшилась, тогда можно считать, что использование модели повышает качество прогноза. Исходя из выше сказанного, предлагается ввести векторный критерий оценки качества прогноза, включающий в себя три компоненты:
Первая компонента q]f с помощью которой исследуется точность прогноза, представляет собой степень тесноты связи (коррелированности) между изменениями прогнозных и реальных значений. Для формализации этого критерия можно воспользоваться показателем регрессионного анализа, таким как коэффициент корреляции. Но перед тем как использовать этот показатель, необходимо ввести некоторые дополнительные предположения о регрессионной зависимости между прогнозным и реальным значениями. Так как фактические значения при тестировании модели нам заранее известны, можно, пользуясь эконометрической терминологией, трактовать фактические данные как объясняющие переменные, а прогнозные значения как объясняемые переменные, предположив при этом, что эти переменные связаны некоторой зависимостью у = f(y)+ є , например, линейной, которую можно описать с помощью формулы
Аппроксимация эмпирического условного распределения с помощью теоретических законов
Наиболее распространенным и удобным способом осуществления импорта товаров, в том числе и сахара, является приобретение товаров на мировых фьючерсных биржах по фьючерсным контрактам. Фьючерсный контракт - это имеющее юридическую силу обязательство осуществить поставку или получить обусловленное количество оговоренного товара по согласованной цене в определенный день (или дни) в будущем. Фьючерсный контракт фиксирует «сейчас» цену и условия сделки, которая состоится в будущем. Предметами фьючерсных контрактов могут быть сельскохозяйственная продукция (сахар, живой скот и т.д.), сырая нефть, алюминий, золото и т.д., а также различные финансовые инструменты (векселя, облигации, валюта и т.д.) . Наиболее крупными фьючерсными биржами являются Чикагская товарная биржа (СМЕ - Chicago Mercantile Exchange), Лондонская международная биржа финансовых фьючерсов (LIFFE - London International Financial Futures Exchange), Нью-Йоркская товарная биржа (CSCE или NYMEX - New-York Mercantile Exchange) . Популярность фьючерсных бирж обусловлена рядом причин, наиболее важные из которых перечислены ниже : фьючерсная биржа - это традиционный, имеющий вековую историю рынок товаров; фьючерсные контракты помогают избежать риска изменения цены на товар; информация о фьючерсных ценах распространяется по сети Internet (например, сеть Рейтер Монитор); торговлю на фьючерсной бирже теперь можно осуществлять через сеть Интернет (например, с помощью систем Reuters Dealing 2000 и Quotron FX Trader). Необходимо отметить, что в силу популярности среди импортеров, фьючерсный рынок оказывает значительное влияние на российский товарный рынок. Это выражается, в том числе, и в зависимости российских цен на сахар от мировых фьючерсных цен на сырец. Цена на внутреннем российском рынке сахара образуется в общем случае при собственном производстве и за счет закупок на международных фьючерсных биржах.
Поведение цен на фьючерсном рынке, в том числе на сахар, не возможно предугадать заранее . Цены на мировом рынке сахара являются не стабильными, постоянно колеблющимися, зависят от баланса спроса и предложения, который устанавливается на рынке сахара не по жестко действующим законам, а в результате конкурентной борьбы между участниками рынка. При этом даже если между сторонами, где одни участники рынка всегда «слишком много просят», тогда как другие в обмен на это «слишком мало предлагают», достигнуто «компромиссное согласие», то оно будет носить весьма неустойчивый и непредсказуемый характер .
Но участникам фьючерсного рынка, таким, как государство, торговые компании, трейдеры, для успешной и эффективной работы, планирования, для правильного и грамотного регулирования импорта товаров, для получения наибольшей прибыли, хотя бы частичного снижения неопределенности и риска, необходимо предвидеть заранее какая ситуация сложится на рынке фьючерсов, иметь возможность качественно или количественно определять степень вероятности того или иного исхода ситуации . Для этого нужны специальные инструменты, методы, позволяющие получать обоснованные и как можно более точные прогнозы поведения рыночных цен, необходима вовремя собранная, достоверная информация о состоянии рынка . Грамотный, обоснованный прогноз снижает риски ошибочных решений со стороны участников рынка.
В странах с развитой рыночной экономикой, а в последнее время, и в нашей стране (что связано с увеличением объема импорта товаров), создаются специальные информационно-аналитические центры, выполняющие функции сбора, хранения, обработки и выдачи информации о текущем состоянии рынков товаров, необходимой для дальнейшей оценки и прогнозирования состояний субъектов рынка . Примерами таких информационно-аналитических центров на сахарном рынке являются информационная система «Russion Sugar» фирмы Стеле, информационно-аналитическая система «Информсахар» . Собранные, обработанные и проанализированные этими центрами данные публикуются в средствах массовой информации, а так же на специальных сайтах в Internet. По мере развития, с целью поддержки принятия решений, такие аналитические центры все больше внимания уделяют разработке информационных технологий в виде экономико-математических моделей и методов. Особое внимание при этом уделяется задачам прогнозирования поведения рынка, рыночных цен. Анализ, проведенный в показал, что методы прогнозирования в сахарной промышленности развиты не достаточно. Перечислим условия, в которых строится прогнозная модель : a) Торги на фьючерсных биржах проводятся ежедневно кроме субботы и воскресенья. b) Информация о ценах регулярно публикуется в журналах и в Internet, что делает ее доступной для всех участников рынка. c) В аналитических центрах в Internet существуют специальные архивы, содержащие большие объемы данных по ценам за предыдущие периоды, что позволяет использовать статистические методы обработки информации. d) Публикуемые данные по ценам включают в себя сведения о максимальной, минимальной ценах, а также о ценах открытия и закрытия, цены внутри одного дня, дневные цены, средние за неделю, месяц и т.д. Таким образом, фьючерсные цены удовлетворяют всем условиям модели УВИМ, приведенным в главе 2, п. 2.7.
Кожевников, Александр Сергеевич
Стохастическое моделирование - это форма финансового моделирования, включающая одну или несколько случайных величин. Цель такого моделирования состоит в том, чтобы оценить, как вероятные результаты находятся в пределах прогноза для прогнозирования условий для разных ситуаций. Моделирование методом Монте-Карло является одним из примеров стохастической модели; при использовании для оценки портфеля, различные моделирование того, как портфель может выполнять, разрабатываются на основе распределения вероятностей отдельных возвратов акций.
ВЫКЛЮЧЕНИЕ «Стохастическое моделирование»
Стохастическое моделирование представляет данные или прогнозирует результаты, все из которых учитывают определенные степени непредсказуемости или случайности. Стохастическое моделирование используется во многих отраслях по всему миру, многие из которых зависят от таких моделей для улучшения деловой практики или повышения рентабельности. Например, страховая отрасль в значительной степени полагается на стохастическое моделирование для прогнозирования будущих балансов компаний. Другие отрасли и области исследований, которые зависят от стохастического моделирования, включают в себя инвестирование в акции, статистику, лингвистику, биологию и даже квантовую физику.
Понимание концепции стохастического моделирования
Чтобы понять иногда запутанную концепцию стохастического моделирования, полезно сравнить ее с детерминированным моделированием. В то время как первое дает множество ответов, оценок или результатов, детерминированное моделирование является противоположным. При детерминированном моделировании обычно существует только одно решение или ответ на проблему в большинстве элементарных математик. Детерминированное моделирование также типично диктует наличие только одного набора конкретных значений. Альтернативно, стохастическое моделирование можно сравнить с добавлением вариаций к сложной математической задаче, чтобы увидеть ее влияние на решение. Затем этот процесс повторяется несколькими различными способами для создания ряда решений.
[Стохастическое моделирование - мощный метод прогнозирования, который может быть использован для значительного влияния на инвестиции и реализацию торговых стратегий. Если вы заинтересованы в изучении этого и других видов финансового моделирования, ознакомьтесь с Курсом финансового моделирования Investopedia Academy и овладейте навыками оценки любого финансового проекта.]
Стохастическое моделирование в инвестиционном мире
Стохастические модели инвестиций пытаются прогнозировать изменения цен и доходности активов и классов активов, таких как облигации и акции, с течением времени. В инвестиционном мире стохастические модели можно классифицировать по-разному, имея разные модели для отдельных активов и нескольких активов. Такое моделирование в большинстве случаев используется для финансового планирования и актуарной работы, что позволяет инвесторам и трейдерам оптимизировать распределение активов, а также управление активами и пассивами.
Значение стохастического моделирования является обширным и далеко идущим. Важность того, чтобы иметь возможность рассматривать различные результаты и фактор в различных переменных, не имеет себе равных, и в некоторых отраслях это может означать успех или банкротство компании. Поскольку новые переменные могут вступать в игру в любое время и потому, что количество переменных, которые могут иметь эффект, может быть высоким, стохастические модели иногда выполняются сотни или даже тысячи раз, предлагая потенциальные результаты практически для каждой ситуации в бизнесе, промышленности, портфель или агентство могут столкнуться.
В рамках своей диссертации « » мне нужно было делать обзор моделей прогнозирования . Кроме обзора, я сделала вариант классификации, который мне тогда не очень удался. Классификацию уже немного поправила, теперь хочется разобраться в существующих моделях прогнозирования временных рядов. Такие модели называют стохастическими моделями (stochastic models).
По оценке некто Тихонова в его «Прогнозировании в условиях рынка » на сегодняшний день (2006 год) существует около 100 методов и моделей прогнозирования. Эта оценка звучит бредово, я полно разбирала ее ! Давайте теперь вместе разберемся, какие же модели прогнозирования временных рядов существуют на сегодняшний день.
- Авторегрессионные модели прогнозирования (ARIMAX, GARCH, ARDLM)
- Модели экспоненциального сглаживания (ES)
- Модель по выборке максимального подобия (MMSP)
- Модель на нейронных сетях (ANN)
- Модель на цепях Маркова (Markov chains)
- Модель на классификационно-регрессионных деревьях (CART)
- Модель на основе генетического алгоритма (GA)
- Модель на опорных векторах (SVM)
- Модель на основе передаточных функций (TF)
- Модель на нечеткой логике (FL)
- Что еще?...
Регрессионные модели прогнозирования
Регрессионные модели прогнозирования одни из старейших, однако нельзя сказать, что она нынче очень популярны. Регрессионными моделями являются:- Простая линейная регрессия (linear regression)
- Множественная регрессия (multilple regression)
- Нелинейная регрессия (nonlinear regression)
Авторегрессионные модели прогнозирования
Это широчайший и один из двух наиболее широко применимых классов моделей! Книг по этим моделям много, примеров применения много.Модель по выборке максимального подобия
Это моя модель (model on the most similar pattern), на ряде задач показывает высокую эффективность. К рядам FOREX и бирж применять не стоит, проверяли, работает неважно. Ее описание можно найти в диссертации по ссылке выше, кроме того, можно скачать пример реализации в MATLAB .Модель на нейронных сетях
Вторая из двух наиболее популярных моделей прогнозирования временных рядов. Лучшая книга с примерами, на мой вкус, Хайкин С. Нейронные сети: полный курс . Книгу с примерами в MATLAB можно скачать по ссылке.Модель на цепях Маркова
Модель на цепях Маркова фигурирует в множестве обзоров, однако мне не удалось найти ни хорошей книги, ни хорошей статьи о ее конкретном применении для прогнозирования временных рядов. Сама эту модель разбирала в курсе теории надежности (учебник Гнеденко), принцип ее расчета хорошо понимаю, кроме того, читала, что ее часто применяют для моделирования финансовых временных рядов.Вопрос к аудитории: посоветуйте хорошую и понятную (!) книгу/статью по применению цепей Маркова для прогнозирования временных рядов.
Модель на классификационно-регрессионных деревьях
Вот тут материалов немного, но они есть. В частности, неплохая статья по применению этой модели для прогнозирования Hannes Y.Y., Webb P. Classification and regression trees: A User Manual for IdentifyingIndicators of Vulnerability to Famine and Chronic Food Insecurity .Модель на основе генетического алгоритма
Это странный зверь, такого рода решения я называю «иезуитскими», потому что кажется, что они рождены только для обоснования научной новизны, однако эффективность их невысока. Например, генетический алгоритм применяется для решения задач оптимизации (поиска экстремума), однако некоторые приплели его к прогнозированию временных рядов. Найти внятного материала по этой теме мне не удалось.Вопрос к аудитории: посоветуйте хорошую и понятную (!) книгу/статью по применению генетического алгоритма для прогнозирования временных рядов.
Модель на опорных векторах
Модель на основе передаточных функций
Модель на нечеткой логике
Все эти модели принадлежат, на мой вкус, классу иезуитских. Например, опорные векторы (SVM) применяется в основном для задач классификации. Нечеткая логика где только не применяется, однако найти ее понятно описанное применение для прогнозирования временных рядов мне не удалось. Хотя в обзорах специалисты почти всегда ее указывают.Вопрос к аудитории тот же!
Итого
Моделей мы наберем с десяток, со всеми модификациями — два десятка. Хотелось бы, чтобы в комментариях вы не только высказывали мнение, а по возможности делали полезные ссылки на понятные материалы. Лучше на английском!PS. Всех любителей FOREX и всякого рода бирж большая просьба не долбится ко мне в личку! Вы мне ужасно надоели!