Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра 21

Реферат на тему:

«Преобразование Лапласа»

Выполнила

студентка гр.0850

Киселева Ю.В.

Проверил:

Данейкин Ю.В.

Томск, 2008г.

Введение

Преобразование Лапласа - интегральное преобразование, связывающее функцию

комплексного переменного (изображение) с функцией действительного переменного (оригинала). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями.

1. Прямое преобразование Лапласа

Преобразованием Лапласа функции действительной переменной

, называется функция комплексной переменной , такая что:

Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

2. Обратное преобразование Лапласа

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного

, называется функция действительного переменного, такая что: - некоторое вещественное число. Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.

3. Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа - обобщение на случай задач, в которых для функции

участвуют значения x < 0

Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом:

4. Дискретное преобразование Лапласа

Применяется в сфере систем компьютерного управления. Дискретное преобразование Лапласа может быть применено для решётчатых функций.
Различают

-преобразование и -преобразование. -преобразование

решётчатая функция, то есть значения этой функции определены только в дискретные моменты времени

, где - целое число, а - период дискретизации. Тогда применяя преобразование Лапласа получим: -преобразование

Если применить следующую замену переменных:

получим Z-преобразование:

5. Свойства и теоремы

· Абсолютная сходимость

Если интеграл Лапласа абсолютно сходится при σ = σ 0 , то есть существует предел

то он сходится абсолютно и равномерно для

и F(s) - аналитическая функция при ( - действительная часть комплексной переменной s). Точная нижняя грань σ a множества чисел σ, при которых это условие выполняется, называется абсциссой абсолютной сходимости преобразования Лапласа для функции f(x).

· Условия существования прямого преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа

существует в смысле абсолютной сходимости в следующих случаях: : преобразование Лапласа существует, если существует интеграл

2. Случай σ > σ a: преобразование Лапласа существует, если интеграл

существует для каждого конечного

для

3. Случай σ > 0 или σ > σ a (какая из границ больше): преобразование Лапласа существует, если существует преобразование Лапласа для функции f"(x) (производная к f(x)) для σ > σ a .

· Условия существования обратного преобразования Лапласа

Для существования обратного преобразования Лапласа достаточно выполнение следующих условий:

1. Если изображение F(s) - аналитичная функция для

и имеет порядок меньше −1, то обратное преобразование для неё существует и непрерывно для всех значений аргумента, причём для ,

аналитична относительно каждого z k и равна нулю для

, и

тогда обратное преобразование существует и соответствующее прямое преобразование имеет абсциссу абсолютной сходимости.

Примечание: это достаточные условия существования.

· Теорема о свёртке

Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов.

· Умножение изображений

Преобразование Лапласа (прямое и обратное) и его основные теоремы. Примеры.

Преобразования Лапласа играют очень важную роль при исследовании систем, описываемых дифференциальными уравнениями. С помощью прямого преобразования Лапласа можно перейти от дифференциальных уравнений к алгебраическим, решить их в алгебраической форме, а затем с помощью обратного преобразования получить искомый результат.

Прямое преобразование Лапласа осуществляется по формуле:

где - комплексная переменная.

На функцию x(t) накладываются некоторые ограничения. Иногда для простоты пользуются символической записью выражения (1) в виде:

где L - оператор прямого преобразования Лапласа.

Функция x(t) называется оригиналом, а Х(р) - изображением.

Кроме прямого существует также и обратное преобразование Лапласа, определяемое по формуле:

, (2)

где интеграл берется на комплексной плоскости р вдоль любой прямой . Символически операцию обратного преобразования Лапласа по (2) записывают в виде:

Обратное преобразование Лапласа можно определить по (2.2), из табл. 2.1, а также с помощью теоремы вычетов, из которой следует соотношение:

где Res i - вычеты подынтегральной функции

n - число полюсов функции где она обращается в бесконечность.

Вычет в простом полюсе определяется по формуле:

а вычет в полюсе кратности k:

Укажем основные свойства преобразования Лапласа , широко используемые на практике.

1. Линейность оригиналов и изображений

Если у(t) = a 1 х 1 (t) + a 2 х 2 (t) + . . .,

то У(р) = а 1 Х 1 (р) + а 2 Х 2 (р) + . . . .

2. Дифференцирование оригинала

Если , то .

3. Интегрирование оригинала

Если то .

4. Задержка во времени оригинала

Если , то

5. Свертка оригинала

Если , то У(р) = Х 1 (р) Х 2 (р) .

Это свойство гласит: свертке оригиналов соответствует произведение изображений.

6. Изменение масштаба времени оригинала

Если у(t) = x(at) , a>0, то .

7. Смещение изображения

Если У(р) = Х(р+а) , то .

Лекция №12

Тема: Операторный метод анализа переходных

процессов.

Учебные вопросы

1 Преобразование Лапласа и его свойства.

2 Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме. Операторная схема замещения.

3 Алгоритм анализа переходных процессов операторным методом.

4 Определение оригинала по его изображению. Теорема разложения.

Литература: с.331- 342.

1 Преобразование Лапласа и его свойства

Рассмотренный ранее классический метод имеет следующие существенные недостатки:

ограниченность применения , он используется в основном в тех случаях, когда исследуемая цепь имеет невысокий порядок сложности, а внешнее воздействие на нее после коммутации является гармонической функцией времени либо постоянно; если внешнее воздействие на цепь после коммутации имеет более сложный характер, то определение вынужденной составляющей реакции цепи существенно затрудняется.

громоздкость при анализе переходных процессов цепей более второго порядка, так как нахождение свободной составляющей и постоянных интегрирований требует решение алгебраических уравнений высокого порядка.

Перечисленных недостатков лишен операторный метод анализа переходных процессов, основанный на применении преобразования Лапласа .

Операторный метод не обладает физической наглядностью в силу математической формализации, но значительно упрощает расчеты. Важная особенность операторного метода состоит в его применимости для функций, которые не являются абсолютно интегрируемыми, например, единичный скачок напряжения, гармоническое напряжение, включаемое в некоторый момент времени, и другие формы сигналов, для которых классический и спектральные методы анализа применить не удается.

Сущность операторного метода заключается в том, что расчет переходного процесса переносится из области функций действительной переменной (времени t) в область функций комплексного переменного . При этом операции дифференцирования и интегрирования функций времени заменяются соответствующими операциями умножения и деления функций комплексного переменного на оператор p. Это существенно упрощает расчет, так как сводит систему дифференциальных уравнений к системе алгебраической. В операторном методе отпадает необходимость определения постоянных интегрирования. Этим обстоятельством объясняется широкое применение этого метода на практике.

Переход из области действительного переменного в область функций комплексного переменного осуществляется с помощью прямого преобразования Лапласа . После этого решаются алгебраические уравнения относительно изображений искомых функций. Полученное решение алгебраических уравнений обратным преобразованием Лапласа переносится в область действительного переменного.

Математическое обоснование операторного метода впервые дано в 1862г. русским математиком М.Е.Ващенко-Захарченко, который показал возможность применения символического (операторного) исчисления к интегрированию дифференциальных уравнений на основе прямого преобразования Лапласа.

В конце XIXв. английские инженеры-электрики О.Хэвисайд и Д.Карсон успешно применили и развили символический метод решения дифференциальных уравнений для расчета переходных процессов в электрических цепях. Однако строгое обоснование операторный метод получил только в XXв. на базе общей теории функциональных преобразований.

Прямое преобразование Лапласа определяется уравнением

где f(t) – функция действительного переменного t, определенная при
(при t < 0; f(t) = 0) и удовлетворяющая условием граниченного роста:

где множитель M и показатель роста C 0 – положительные действительные числа.

На рис.12.1 изображена область определения комплексного переменного F(p).

Обратное преобразование Лапласа определяют из решения
(12.1).

Функция F(p), определяемая уравнением (12.1), называется изображением по Лапласу , а функция f(t) в (12.3) – оригиналом .

Следовательно, оригинал и изображение представляют собой пару функций действительного f(t) и комплексного F(p) переменного, связанных преобразованием Лапласа и поставленных друг другу в строгое соответствие.

Для сокращения записи преобразований (12.1) и (12.3) используют следующую символику:

где L – оператор Лапласа.

В дальнейшем для определенности будем использовать знак соответствия.

На основе преобразования Лапласа можно получить изображение любых функций, удовлетворяющих условию (12.2). Имеются специальные справочники, в которых приведены оригиналы и изображения широкого класса функций.

В таблице 12.1 приведены примеры изображений простых функций.

Таблица 12.1 – Изображения функций по Лапласу

Функция оригинал f(t)		Изображение функции F(p)
Выражение функции	Вид функции
единичная функция

Рассмотрим некоторые свойства преобразования Лапласа , называемые также теоремами.

Теорема о сложении или линейность преобразования

Теорема о дифференцировании

.

Теорема об интегрировании

.

Теорема запаздывания

Преобразование Лапласа позволяет получить соотношения между напряжением и током в операторной форме для резистивного, индуктивного и емкостного элементов.

Изображение напряжения на резистивном элементе

U r (t) = r i(t) согласно (12.1) примет вид:

Выражение U r (p) = r I(p) называется законом Ома в операторной форме для резистивного элемента (рис.12.1,а), операторная схема замещения которого представлена на рис.12.1,б.

Изображение напряжения
на индуктивном элементе (рис.12.2,а) согласно (12.4) и (12.5) примет вид:

U L (p) = - L i(0) + pLI(p), (12.9)

где i(0) = i(0 -) = i(0 +) – ток в индуктивном элементе в момент коммутации t = 0, учитывающий начальные условия (согласно первого закона коммутации).

Выражению (12.9) соответствует операторная схема замещения индуктивного элемента на рис.12.2,б.

Напряжения на емкостном элементе (рис.12.3,а), начиная с момента времени t = 0 возникновения переходного процесса в общем случае

где U c (0) = U c (0 -) = U c (0 +) – напряжение на емкостном элементе, соответствующее начальному условию (согласно второго закона коммутации).

Учитывая изображение единичной функции
(табл.12.1) и соотношения (12.4) и (12.5), найдем изображение напряженияU c (t):

Выражению (12.10) соответствует схема замещения емкостного элемента в операторной форме на рис.12.3,б.

Если начальные условия нулевые, т.е. i L (0 -) = 0 и U c (0 -) = 0, то выражения (12.9) и (12.10) примут вид закона Ома в операторной форме для индуктивного элемента

U L (p) = LpI(p) = Z L (p)I(p), (12.11)

где Z L (p) = Lp – операторное сопротивление индуктивного элемента, для емкостного элемента