Условие равновесия заряда на проводнике.

В электрическое поле \(~\vec E_0\) на свободные электроны действуют электрические силы, под действием которых электроны приходят в движение. Если электрическое поле не слишком велико, то электроны не могут покинуть объем металла и скапливаются на одной стороне проводника, с другой стороны проводника образуется недостаток электронов, поэтому положительный заряд ионов решетки оказывается нескомпенсированным (рис. 225). Таким образом, на поверхности проводника появляются электрические заряды, при этом суммарный заряд проводника остается, конечно, неизменным.

Явление возникновения электрических зарядов на проводнике под воздействием электрического поля называется электростатической индукцией, а возникшие заряды – индуцированными .

Появившиеся индуцированные заряды создают собственное индуцированное электрическое поле \(~\vec E"\), которое направлено в сторону, противоположную внешнему полю (рис. 226). Конечно, эти заряды создают поле как внутри проводника, так и вне его. Суммарное поле \(~\vec E = \vec E_0 + \vec E"\) отличается от внешнего поля.

Рассмотренные особенности поведение проводников достаточно легко проиллюстрировать экспериментально.

Мы уже упоминали, что стрелка электроскопа отклоняется даже в том случае, когда заряженное тело не прикасается к его стержню (рис. 227). Это явление легко объясняется явлением электростатической индукции. Для увеличения эффекта, на стержень электроскопа следует насадить сферическую насадку. Поднесем к металлической сфере заряженную стеклянную палочку, заряд которой положительный. Под действием электрического поля зарядов палочки произойдет перераспределение зарядов на сферической насадке, стержне и стрелке. Отрицательно заряженные электроны под действием электрического поля будут приближаться к палочке, поэтому сфера приобретет отрицательный заряд, равный ему положительный заряд распределится между стержнем и стрелкой. Суммарный заряд электроскопа останется равным нулю. Вследствие электрического отталкивания между положительными зарядами стержня и стрелки, последняя отклонится.

Зарядим электроскоп, прикоснувшись к нему заряженной стеклянной палочкой. Если теперь к насадке поднести незаряженное проводящее тело (например, просто свою руку), не касаясь насадки, отклонение стрелки электроскопа уменьшится (рис. 228). Это явление объясняется следующим образом: под действием положительного заряда электроскопа на руке индуцируются заряды противоположного знака, которые притянут положительные заряды стрелки и стержня к насадке, то есть между ними произойдет перераспределение зарядов, в результате чего заряд стрелки и стержня уменьшится.

Электростатической индукцией объясняется и притяжение незаряженного тела к заряженному. Если заряженную стеклянную палочку поднести к небольшому проводящему телу (например, кусочку фольги), то в этом теле произойдет перераспределение зарядов: ближняя к палочке часть зарядится отрицательно, дальняя положительно (рис. 229). Следовательно, тело приобретет дипольный момент. Так как электрическое поле, создаваемое зарядом палочки не является однородным, а убывает с расстоянием, то на кусочек фольги будет действовать сила притяжения, поэтому незаряженное тело втягивается в область более сильного поля.

Подчеркнем, одним из необходимых условий притяжения незаряженного тела к заряженному является неоднородность электрического поля – если поместить проводящее тело в однородное электрическое поле (рис. 230), то индуцированные заряды возникнут, но суммарная сила, действующая на них, будет равна нулю!

Задание для самостоятельной работы.

1. Что произойдет с отклонением стрелки заряженного электроскопа, если к его насадке поднести другое заряженное тело (не касаясь насадки)?

Некоторые важнейшие свойства электрического поля, и распределения зарядов на проводниках можно получить, рассматривая только условия равновесия электрических зарядов. Условия равновесия не изменятся, если проводнику сообщить избыточный заряд, который также перераспределится по поверхности проводника, и также будет создавать электрическое поле. Далее, мы рассмотрим условия равновесия зарядов на проводнике и электрического поля, независимо от того, какими зарядами это поле создается – изначально находящимися на проводнике, индуцированными, или внешними; тем более, что нет принципиальной возможности разделить и различить эти поля, так как единственной реальностью является суммарное электрическое поле.

1. Напряженность электрического поля внутри проводника равна нулю \(~\vec E = \vec 0\). Можно предположить, что заряды, возникающие на поверхности проводника, образуются крайне незначительной долей общего количества свободных электронов, поэтому внутри проводника всегда имеется значительное число свободных электронов. Если внутри проводника существует отличное от нуля электрическое поле, то под его действием свободные электроны будут продолжать перемещаться, в стационарном же состоянии равновесия такое движение прекращается. Следовательно, в состоянии равновесия поле индуцированных зарядов \(~\vec E"\) полностью компенсирует внешнее поле \(~\vec E_0\) . В некоторых пособиях утверждается, что проводники «не пропускают» электрическое поле. Данное высказывание не совсем корректно – проводник создает собственное поле, которое компенсирует внешнее, породившее его поле.

   

   Проверим высказанное предположение о малости числа электронов, образующих индуцированные заряды. Пусть медная пластинка помещена в однородное электрическое поле перпендикулярно его силовым линиям (рис. 231). Под действием внешнего электрического поля на гранях пластинки возникнут индуцированные электрические заряды, поверхностную плотность которых обозначим σ . Эти заряды породят электрическое поле, напряженность которого равна \(~E" = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\) . В состоянии равновесия это поле полностью компенсирует внешнее поле \(~\vec E_0\) , поэтому \(E" = E_0\) , а поверхностная плотность индуцированных зарядов связана с напряженностью внешнего поля соотношением \(\sigma = \varepsilon_0 E_0\) . Число электронов, приходящихся на единицу площади поверхности (поверхностная концентрация), равно \(~n_{pov} = \frac{\sigma}{e} = \frac{\varepsilon_0 E_0}{e}\) , где e - заряд электрона. Для численной оценки примем, что напряженность внешнего поля равна E 0 = 1·10 5 В/м = 1·10 3 В/см (что в тысячу раз превышает напряженность электрического поля Земли). Тогда поверхностная концентрация электронов равна \(~n_{pov} = \frac{\varepsilon_0 E_0}{e} = \frac{8,85 \cdot 10^{-12} \cdot 1 \cdot 10^5}{1,6 \cdot 10^{-19}} \approx 6 \cdot 10^{12} m^{-2} = 6 \cdot 10^{10} cm^{-2}\) . На первый взгляд достаточно много, но сравним с общим числом электронов в единице объема. Для расчета концентрации электронов примем, что каждый атом меди отдает один электрон в электронное облако. Число атомов меди (следовательно, и число свободных электронов) в единице объема рассчитаем следующим образом: масса единицы объема равна плотности меди ρ = 9 г/см 3 ; число молей вещества в единице объема равно \(~\nu = \frac{m}{M} = \frac{\rho}{M}\) , где M ≈ 65 г/моль - молярная масса меди; концентрация атомов (и свободных электронов) \(~n_{ob} = \nu N_A = \frac{\rho}{M} N_A \approx 8 \cdot 10^{22} cm^{-3}\) . Если принять толщину пластинки h = 1 см, то доля электронов, которые оказались на поверхности, оказывается равной \(~\eta = \frac{n_{pov}}{n_{ob} h} \approx 10^{-12}\) , что действительно крайне мало (одна десятимиллиардная доля процента). Напомним, такая доля электронов создает индуцированные заряды, если к медной пластинке толщиной в один сантиметр приложить напряжение в тысячу вольт! Поэтому с высокой степенью точности можно считать, что появление индуцированных зарядов не изменяет объемную концентрацию свободных электронов.

2. Все точки проводника имеют одинаковые потенциалы . Это утверждение является прямым следствием связи между разностью потенциалов и напряженностью поля \(~\Delta \varphi = - \vec E \cdot \Delta \vec l\) . Если напряженность поля внутри проводника равна нулю, то разность потенциалов также равна нулю, поэтому потенциалы всех точек проводника одинаковы. Также можно привести еще одно равноценное доказательство: если между двумя точками проводника существует разность потенциалов, то между ними будет течь электрический ток, то есть равновесия не будет.
3. В состоянии равновесия все заряды располагаются только на поверхности проводника, объемная плотность электрического заряда внутри проводника равна нулю .

   

   Доказательство этого утверждения проведем методом от противного. Допустим, что в некоторой части проводника существует заряженная область. Окружим эту область замкнутой поверхностью S (рис. 232). Согласно теореме Гаусса поток вектора напряженности электрического поля через эту поверхность отличен от нуля и пропорционален заряду, находящемуся внутри поверхности. Следовательно, в точках этой поверхности напряженность электрического поля отлична от нуля. Но мы доказали, что в состоянии равновесия внутри проводника электрическое поле отсутствует, мы пришли к противоречию, поэтому внутри проводника электрические заряды отсутствуют. Реально, если каким то образом внутрь проводника поместить избыточный электрический заряд, то под действием сил отталкивания этот заряд «разбежится» на поверхность проводника. Строго говоря, электрические заряды существуют в очень тонком слое вблизи поверхности, толщина которого измеряется несколькими атомными слоями, поэтому практически можно говорить о поверхностном заряде, пренебрегая толщиной заряженного слоя.

4. У поверхности проводника вектор напряженности электрического поля направлен перпендикулярно поверхности проводника .

   

   Опять воспользуемся доказательством методом от противного – предположим, что в некоторой точке поверхности проводника вектор напряженности электрического поля \(~\vec E\) направлен под некоторым углом к поверхности проводника (рис. 233). Разложим это вектор на две составляющих: нормальную \(~\vec E_n\), перпендикулярную поверхности, и тангенциальную \(~\vec E_{\tau}\) - направленную по касательной к поверхности. Аналогично можно провести и разложения вектора силы, действующей на электроны. Нормальная составляющая этой электрической силы уравновешивается силой, действующей на электрон со стороны кристаллической решетки. Под действием же тангенциальной составляющей электроны придут в движение вдоль поверхности, но …нас интересует состояние равновесия, поэтому в состоянии равновесия тангенциальная составляющая электрического поля отсутствует. Если в какой-то момент времени тангенциальная составляющая поля отлична от нуля, то под ее действием начнется движение электрических зарядов, которое будет продолжаться до тех пор, пока не установится такое распределение зарядов, при котором вектор поля будет перпендикулярен поверхности во всех ее точках.

5. Напряженность электрического поля у поверхности проводника связана с поверхностной плотностью зарядов соотношением \(~E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\) . Итак, мы установили, что внутри проводника напряженность электрического поля равна нулю, а у поверхности вектор напряженности перпендикулярен поверхности проводника. Кроме того, электрические заряды локализованы на поверхности проводника. Эти факты позволяют с помощью теоремы Гаусса установить связь между напряженностью поля и поверхностной плотностью заряда.

   

   Выделим на поверхности проводника малую площадку, площадью ΔS , поверхностную плотность заряда на ней обозначим σ , и будем считать ее постоянной в пределах выбранной малой площадки (рис. 234). Окружим эту площадку замкнутой поверхностью, состоящей из двух частей: первая Ω 1 расположена над поверхностью и непосредственно примыкает к выбранной площадке ΔS , вторая Ω 2 находится под поверхностью, внутри проводника. Поток вектора напряженности через поверхность Ω 2 равен нулю, так как внутри проводника поля отсутствует Ф E2 = 0; поток вектора напряженности через поверхность Ω 1 равен произведению напряженности поля на площадь площадки Ф E1 = E ΔS , так как на этой поверхности вектор напряженности направлен вдоль нормали. Так как Ω 1 и Ω 2 образуют замкнутую поверхность, то суммарный поток через нее равен заряду, находящемуся внутри поверхности q = σ ΔS , деленному на электрическую постоянную ε 0 \[~\Phi_{E1} + \Phi_{E2} = \frac{q}{\varepsilon_0}\] . Подставив выражения для потоков и заряда \(~E \Delta S + 0 = \frac{\sigma \Delta S}{\varepsilon_0}\) , получим искомое соотношение \(~E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\) . (1) К сожалению, эта формула только устанавливает связь между напряженностью поля и плотностью заряда, хотя обе величины остаются неизвестными.

Следует отметить, что электрическое поле E , входящее в формулу (1) создается не только зарядами, находящимися на выбранной площадке ΔS , но и всеми остальными зарядами на проводнике и вне его (рис. 235). Представим это поле в виде суммы полей \(~\vec E = \vec E_0 + \vec E_1\) , где \(~\vec E_0\) напряженность поля, создаваемого зарядами на площадке σ 0 ; \(~\vec E_1\) - напряженность поля, создаваемого всеми остальными зарядами σ 1 . Рассмотрим теперь эти поля непосредственно под площадкой ΔS внутри проводника. Напряженность поля \(~\vec E"_0\) зарядов σ 0 будет направлена в противоположную сторону, так как рассматривается точка с противоположной стороны площадки. А напряженность поля остальных зарядов остается неизменной, так как мы выбираем две точки в непосредственной близости друг от друга. Теперь, внимание, так как внутри проводника поле отсутствует, то \(~\vec E_1 - \vec E_0 = \vec 0\) , поэтому модули напряженности этих полей равны и определяются формулой \(~E_0 = E_1 = \frac{E}{2} = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}\) . С помощью полученного соотношения можно вычислить силу, действующую на выбранную площадку поверхности, как произведение заряда площадки \(~q = \sigma \Delta S = \varepsilon_0 E \Delta S\) на напряженность поля E 1 , создаваемого всеми зарядами кроме, заряда на самой площадке \(~F = q E_1 = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2} \Delta S\). Сила, действующая на единицу площади поверхности проводника со стороны электрического поля (то есть давление поля) вычисляется по формуле

\(~P = \frac{F}{\Delta S} = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2}\) .

Удивитесь (и попытайтесь его осмыслить) полученному результату: давление электростатического поля на поверхность проводника равно плотности энергии электрического поля!

Основная особенность проводников – наличие свободных зарядов (электронов), которые участвуют в тепловом движении и могут перемещаться по всему объему проводника. Типичные проводники – металлы.

В отсутствие внешнего поля в любом элементе объема проводника отрицательный свободный заряд компенсируется положительным зарядом ионной решетки. В проводнике, внесенном в электрическое поле, происходит перераспределение свободных зарядов, в результате чего на поверхности проводника возникают нескомпенсированные положительные и отрицательные заряды (рис. 1.5.1). Этот процесс называют электростатической индукцией, а появившиеся на поверхности проводника заряды – индукционными зарядами.

Индукционные заряды создают свое собственное поле которое компенсирует внешнее поле во всем объеме проводника: (внутри проводника).

Полное электростатическое поле внутри проводника равно нулю, а потенциалы во всех точках одинаковы и равны потенциалу на поверхности проводника.

Носители зарядов в проводнике способны перемещаться под действием сколь угодно малой силы. Поэтому равновесие зарядов на проводнике может наблюдаться лишь при выполнении следующих условий:

1. Напряженность поля всюду внутри проводника должна быть равна нулю . В соответствии с уравнением это означает, что потенциал внутри проводника долженбыть постоянным, т.е.

2. Напряженность поля на поверхности проводника должна быть в каждой точке направлена по нормали к поверхности в противном случае появляется составляющая направлена вдоль поверхности, что будет приводить к перемещению зарядов до тех пор пока не пропадет составляющая .

Следовательно, в случае равновесия зарядов поверхность проводника будет эквипотенциальной. Если проводящему телу сообщить некоторый заряд q, то он распределится так, чтобы соблюдались условия равновесия.

Следовательно, при равновесии ни в каком месте внутри проводника не может быть избыточных зарядов - все они расположены на поверхности проводника с некоторой плотностью . Т.к. в состоянии равновесия внутри проводника избыточных зарядов нет, удаление вещества из некоторого объема, взятого внутри проводника, никак не отразится на равновесном расположении зарядов. Таким образом, избыточный заряд распределяется на полом проводнике так же, как и на сплошном, т.е. по его наружной поверхности. На поверхности полости в состоянии равновесия избыточные заряды располагаться не могут.

8) Напряженность поля вблизи поверхности заряженного проводника.

Выделим на поверхности S проводника площадку и построим на ней цилиндр с образующими, перпендикулярными к площадке , высотой :

На поверхности проводника вектор напряженности поля и вектор электрического смещения перпендикулярны поверхности. Поэтому поток сквозь боковую поверхность равен нулю.

Поток вектора электрического смещения через тоже равен нулю, так как лежит внутри проводника, где и, следовательно, . Отсюда следует, что поток = сквозь замкнутую поверхность равен потоку через :

В рамках электростатики мы рассматриваем задачи, в которых распределение зарядов отличается статичностью . Другими словами, такие состояния тел, которые реализуются после того, когда тела рассматриваемых систем пришли в равновесие после некоторых воздействий, например, сообщения заряда, помещения в электрическое поле и т.п. Проводники , в отличие от, диэлектриков, имеют в своем составе свободные носители заряда , которые могут перемещаться по объему проводника. В случае металлов такими носителями заряда являются электроны. Скорость их перемещения по металлу весьма высока, поэтому металлы приходят в равновесие в очень малые доли секунды. В случае других материалов может оказаться, что переход в равновесие происходит гораздо медленнее, однако мы сейчас будем рассматривать ситуации, когда равновесие достигнуто.

В состоянии равновесия выполняются следующие условия:

1. Напряженность поля внутри проводника была равна нулю: .

2. На поверхности (вблизи, в непосредственной окрестности…) проводника напряженность электрического поля перпендикулярна поверхности.

Эти условия являются следствиями наличия в проводнике свободных носителей заряда. Действительно, в равновесии перемещение зарядов должно отсутствовать, а, значит, напряженность поля внутри проводника должна быть равна нулю. Следствием этого условия является утверждение о том, что все точки проводника должны иметь одинаковый потенциал, и поверхность проводника является эквипотенциальной .

Поскольку внутри проводника в равновесии не может быть некомпенсированных зарядов (они создавали бы ненулевое поле внутри проводника), то заряд сообщаемый проводнику, располагается в очень тонком слое проводника вблизи поверхности, т.е. на поверхности проводника .

На поверхности проводника у вектора напряженности электрического поля должна отсутствовать тангенциальная (направленная по касательной к поверхности составляющая) составляющая . При ее наличии должно было бы происходить движение зарядов вдоль поверхности, чего в равновесии не может быть. Это утверждение справедливо для любого направления, поэтому вектор напряженностидолжен быть перпендикулярен поверхности .

Заряд, сообщенный проводнику, располагается на его поверхности с плотностью . Поток вектора электрической индукции через поверхность цилиндра, показанного на рисунке 16.1, по теореме Гаусса должен быть равен величине свободного заряда, заключенного внутри поверхности – . Однако поток через боковую поверхность отсутствует, поскольку вектор напряженности (а значит и вектор индукции) параллелен ей, поток через основание внутри проводника отсутствует – там нет электрического поля, а поток через внешнее основание равен . Поэтому

Представим уединенный проводник которому сообщен некоторый заряд. На большом, по сравнению с размерами проводника, расстоянии от него, независимо от формы проводника, его можно считать точечным заряженным телом . Эквипотенциальные поверхности точечного заряда являются сферами. Вблизи проводника эквипотенциальные поверхности должны приблизительно повторять его форму. Вследствие этого вблизи концов проводника эквипотенциальные поверхности сгущаются. Это означает, что потенциал в этих точках пространства изменяется быстро, а напряженность поля, соответственно достигает больших значений. Вследствие большой напряженности поля вблизи острых концов проводников возможно возникновение газового разряда, сопровождающегося стеканием заряда с проводника. По этой причиной элементы высоковольтных линий электропередач обязательно выполняются с округлыми поверхностями.

При помещении проводника во внешнее поле свободные заряды проводника смещаются до тех пор, пока не будут выполнены условия равновесия. При этом на различных участках проводника возникают заряды, распределенные по его поверхности с некоторой плотностью так, чтобы выполнялись условия равновесия. Эти заряды называют индуцированными, а само явление их возникновения – электрической индукцией (не путать с вектором электрической индукции!).

Носители заряда в проводнике способны перемещаться под действием сколь угодно малой силы. Поэтому для равновесия зарядов на проводнике необходимо выполнение следующих условий:

Напряженность поля всюду внутри проводника должна быть равна нулю,

В соответствии с (8.2) это означает, что потенциал внутри проводника должен быть постоянным).

2. Напряженность поля на поверхности проводника должна быть в каждой точке направлена по нормали к поверхности:

Следовательно, в случае равновесия зарядов поверхность проводника будет эквипотенциальной.

Если проводящему телу сообщить некоторый заряд q, то он распределится так, чтобы соблюдались условия равновесия. Представим себе произвольную замкнутую поверхность, полностью заключенную в пределах тела. При равновесии зарядов поле в каждой точке внутри проводника отсутствует; поэтому поток вектораэлектрического смещения через поверхность равен нулю. Согласно теореме Гаусса сумма зарядов внутри поверхности также будет равна нулю. Это справедливо для поверхности любых размеров, проведенной внутри проводника произвольным образом. Следовательно, при равновесии ни в каком месте внутри проводника не может быть избыточных зарядов - все они распределятся по поверхности проводника с некоторой плотностью о.

Поскольку в состоянии равновесия внутри проводника избыточных зарядов нет, удаление вещества из некоторого объема, взятого внутри проводника, никак не отразится на равновесном расположении зарядов. Таким образом, избыточный заряд распределяется на полом проводнике так же, как и на сплошном, т. е. по его наружной поверхности.

На поверхности полости в состоянии равновесия избыточные заряды располагаться не могут. Этот вывод вытекает также из того, что одноименные элементарные заряды, образующие данный заряд q, взаимно отталкиваются и, следовательно, стремятся расположиться на наибольшем расстоянии друг от друга.

Представим себе небольшую цилиндрическую поверхность, образованную нормалями к поверхности проводника и основаниями величины dS, одно из которых расположено внутри, а другое вне проводника (рис. 24.1). Поток вектора электрического смещения через внутреннюю часть поверхности равен нулю, так как внутри проводника Е, а значит и D, равно нулю. Вне проводника в непосредственной близости к немунапряженность поля Е направлена по нормали к поверхности. Поэтому для выступающей наружу боковой поверхности цилиндра а для внешнего основания (внешнее основание предполагается расположенным очень близко к поверхности проводника). Следовательно, поток смещения через рассматриваемую поверхность равен, где D - величина смещения в непосредственной близости к поверхности проводника. Внутри цилиндра содержится сторонний заряд (- плотность заряда в данном месте поверхности проводника). Применив теорему Гаусса, получим: Отсюда следует, что напряженность поля вблизи поверхности проводника равна

36)Уравнения Лапласа и Пуассона. Общая задача электростатики

Уравнения Пуассона и Лапласа являются основными дифференциальными уравнениями электростатики. Они вытекают из теоремы Гаусса в дифференциальной форме. Действительно, подставляя в уравнение

вместо величин Е х; Е у; Е z их выражения через потенциал:

получаем уравнение

Это дифференциальное уравнение носит название уравнения Пуассона .

Интеграл

является решением уравнения Пуассона для случая, когда заряды распределены в конечной области пространства.

Если в рассматриваемой области пространства отсутствуют объемные электрические заряды, то уравнение Пуассона получает вид

и называется в этом частном случае уравнением Лапласа .

Отметим, что в цилиндрической и сферической системах координат уравнение Пуассона и Лапласа имеют другую форму записи. Поэтому данные уравнения часто записывают в виде, не зависящем от системы координат.

Любая С.И.

Лекция №11

Тема : «Проводники в электрическом поле»

План лекции.

1. 
   Равновесие зарядов на проводниках.
2. 
   Электроемкость. Конденсаторы.
3. 
   Энергия заряженных проводников.

1. Равновесие зарядов на проводниках .

Свободные электрические заряды в проводнике могут перемещаться под действием сколь угодно малой силы. П оэтому равновесие зарядов в проводнике может наблюдаться только при выполнении следующих условий :

Это означает, что потенциал внутри проводни­ка остается постоянным.

2. Напряженность поля на поверхности проводника должна быть в каждой точке направлена по нормали к поверхности. Следовательно, в случае равнове­сия зарядов, поверхность проводника является эквипотенциальной поверхно­стью

Если бы эти условия не выполнялись, то на свободные заряды, имеющиеся в каждом проводнике, действовала сила, и равновесие было бы нарушено.

Земля также является проводником, и заряды на ней находятся в равнове­сии. Поэтому можно считать, что всё точки земли имеют одинаковый потенци­ал. По этой причине постоянную точку при измерении потенциала часто выби­рают на поверхности земли и говорят о потенциале относительно земли.

Так как при равновесии зарядов на проводнике напряженность поля в нем равна нулю, то поток вектора напряженности через любую замкнутую поверх­ность, проведенную внутри проводника, равен нулю. Из теоремы Гаусса 1.9 следует, что в этом случае поверхность электрических зарядов не охватывает. Следовательно, при равновесии, внутри проводника не может быть электриче­ских зарядов. Все они расположатся на поверхности проводника с некоторой поверхностной плотностью о. Заряды в состоянии равновесия распределяются по поверхности проводника всегда, независимо от того каким образом возни­кают эти заряды.

Так как в состоянии равновесия зарядов внутри проводника нет, то удале­ние вещества из некоторого объема, взятого внутри проводника, никак не от­ражается на распределении зарядов. Это озна­чает, что избыточный заряд распределяется на полом проводнике так же, как и на сплошном, т.е. на его наружной поверхности. На поверх­ности полости заряды располагаться не могут. Это явление широко используется в электро­статической защите и генераторе Ван-де-Граафа.

К аналогичному результату мы придем,

Рассматривая незаряженный проводник, поме­щенный во внешнее электрическое поле.

Под действием внешнего электрического поля в проводнике носители за­ряда, приводятв движение: положительные по полю, Рис.2.1.Электрическое поле отрицательные –против поля. В результате перемещения зарядов на

В проводнике. поверхности проводника возника­ют заряды противоположных

Знаков (рис. 21), называемые индуцированными зарядами, а само явление - электростатической индукцией.

Ранее мы показали, что напряженность электрического поля у поверхности проводника Е" = . Поле этих зарядов направлено против внешнего поля и ослабляет его. Перемещение зарядов будет происходить до тех пор, пока напря­женность поля в проводнике не станет равна нулю, а заряды при этом распре­делятся по поверхности проводника. Следовательно, нейтральный проводник, внесенный во внешнее электрическое поле, разрывает часть линий напряженности - они заканчиваются на отрицательном заряде и начинаются на положи­тельном (рис. 21).

Распределение зарядов по поверхности проводника зависит от его формы. Опыт показывает, что поверхностная плотность зарядов различна в различных точках поверхности проводника: она близка к нулю в углублениях и макси­мальна вблизи острия.

Но напряженность электрического поля пропорциональна поверхностной плотности заряда ст. Поэтому напряженность поля у поверхности проводника сложной формы также весьма неодинакова. Она особенно велика возле участ­ков с малым радиусом кривизны, т.е. у заострений. Это приводит к своеобраз­ному явлению «стекания» зарядов с металлического острия.

2. Электроемкость. Конденсаторы.

Опыт показывает, что независимо от способа электризации тела, его заряд всегда пропорционален потенциалу, т.е. введём понятие электроёмкость.

(2)

Коэффициент пропорциональности между зарядом тела и его потенциа­лом называется электроемкостью (или просто емкостью) проводника .

Из (2) следует, что

(3)

Единица измерения емкости в системе СИ называется Фарадой. Фарада (Ф) - это емкость такого проводника, потенциал которого повышается на 1 Вольт при сообщении ему заряда в 1 Кулон. [Ф=] .

Для уединенной сферы потенциал определяется по формуле 1.17. и тогда для

Емкости сферы получим выражение

(4)

Из (4) следует, что емкость уединенного проводника зависит от его геометри­ческих размеров, а также диэлектрических свойств среды.

Уединенные проводники обладают малой емкостью и поэтому не могут накапливать большой заряд. На практике нам необходимы устройства способ­ные при малых размерах и сравнительно низких потенциалах накапливать значительные заряды.

Конденсатором называются два проводника, разделенных слоем диэлек­трика, толщина которого во много раз меньше размеров проводника.

Чтобы внешние тела не влияли на емкость конденсатора, проводникам придают такую форму, что электрическое поле сосредоточено только между проводниками. Этому условию удовлетворяют: две пластины, расположенные близко друг к другу, два коаксиальных цилиндра, две концентрические сферы.

Поскольку электрическое поле сосредоточено внутри конденсатора, то ли­нии напряженности начинаются на одной обкладке и заканчиваются на другой. Следовательно, заряды обкладок равны по величине и противоположны по зна­ку.

Под емкостью конденсатора понимается величина равная отношению за­ряда одной из обкладок к разности потенциалов между ними.

. (5)

Величина емкости конденсатора определяется его геометрическими размерами, а также диэлектрическими свойствами среды, заполняющей конденсатор. В зависимости от формы обкладок, конденсаторы бывают плоскими, сферическими и цилиндрическими.

Примеры расчета емкости конденсатора.

Плоский конденсатор. Если на плоские пластины подать равные по ве­личине и противоположные по знаку заряды, то напряженность электрического поля между пластинами, согласно 1.12, будет определяться по формуле

Если расстояние между пластинами равно d, то разность потенциалов между ними будет равна

Подставляя найденное выражение в формулу (5) емкости конденсатора, получим

Цилиндрический конденсатор. Если на обкладках конденсатора имеется электрический заряд q, то напряженность электрического поля между обклад­ками определяется по формуле Е =
и тогда для разности потенциалов

Между ними можно получить . И для

Емкости сферического конденсатора получим

Если расстояние между пластинами d = R 2 -R 1 значительно меньше ра­диусов цилиндров, то

И тогда для емкости цилиндрического конденсатора получим

.

Аналогичное выражение можно получить и для сферического конденсато­ра. Из полученных выражений следует, что емкость конденсатора определяется геометрическими размерами конденсатора и диэлектрическими свойствами среды, заполняющей конденсатор.

Емкости конденсаторов

Тип конденсатора	Схематическое изображение	Формула для расчета емкости	Примечания
Плоский конденсатор			S площадь пластины; d расстояние между пластинами.
Сферический конденсатор			R 1 и R 2 радиусы внешней и внутренней обкладок.
Цилиндрический конденсатор			h – высота цилиндров.

При параллельном соединении напряжение на всех обкладках одинаковое U 1 =U 2 =U 3 =U а емкость батареи равняется сумме емкостей отдельных конденсаторов С = С 1 + С 2 +С 3 .

При последовательном соединении заряд на обкладках всех конденсаторов одинаковQ 1 =Q 2 =Q 3 =Q, а напряжение батареи равняется сумме напряжений отдельных конденсаторов U= U 1 +U 2 +U 3 . Емкость всей системы последовательно соединенных конденсаторов рассчитывается из соотношения: 1/С = U/Q = 1/С 1 + 1/С 2 + 1/С 3 .

Емкость батареи последовательно соединенных конденсаторов всегда меньше, чем емкость каждого из этих конденсаторов в отдельности.

3. Энергия взаимодействия точечных зарядов.

Энергия заряженных проводников.

Ранее мы показали, что электрический заряд, находящийся в электриче­ском поле, обладает энергией, которую можно найти по формуле 1.18. Поэтому энергия системы двух точечных зарядов q 1 и q 2 , расположенных на расстоянии r друг от друга может быть определена следующим образом. Пусть заряд q, на­ходится в электрическом поле, создаваемым вторым зарядом. Тогда