Образование поверхности вращения. Очерк поверхности

Поверхности вращения – поверхности, образованные вращением произвольной образующей вокруг неподвижной оси (рис. 51, а). Направляющей поверхности вращения является окружность постоянного (цилиндр) или переменного радиуса (конус, сфера). Нормальное – перпендикулярное оси вращения сечение любой поверхности вращения, представляет собой окружность с центром на ее оси.

Рис. 51. Поверхность вращения: а – основные линии на поверхности вращения; б – представление поверхности вращения в виде сети

Направляющие называют также параллелями поверхности вращения. Плоскости параллелей перпендикулярны к оси поверхности. Наибольшую из параллелей называют экватором поверхности, наименьшую – горлом. Плоскости, проходящие через ось поверхности вращения, называют меридиональными, а линии, по которым они пересекают поверхность – меридианами. Поверхность вращения можно представить параллелями или меридианами поверхности, а также сетью, состоящей из параллелей и меридианов (рис. 51, б).

Поверхность вращения называют закрытой, если меридиональное сечение поверхности является замкнутой кривой линией, пересекающей ось поверхности в двух точках.

При вращении вокруг оси плоской или пространственной алгебраической кривой n-го порядка образуется алгебраическая поверхность вращения, в общем случае, 2n–го порядка. Если кривая второго порядка вращается вокруг своей оси, то она образует поверхность второго порядка.

В зависимости от вида образующей различают:

Торовые поверхности – поверхности, образованные вращением окружности или дуги окружности:

Рис. 52. Торовые поверхности: а – сфера; b – открытый тор (кольцо); c – закрытый тор; d – глобоид

• Сфера образуется вращением окружности вокруг оси, проходящей через ее центр (рис. 52, а).
• Тор образуется вращением окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и не проходящей через ее центр (тор является поверхностью четвертого порядка). Различают открытый тор , образованный вращением окружности вокруг оси, которая не пересекает образующую (рис. 52, б) и закрытый тор , образованный вращением окружности вокруг оси, которая пересекает образующую окружность или касается ее (рис. 52, в).
• Глобоид образуется вращением окружности достаточно большого радиуса вокруг оси, которая не пересекает образующую (рис. 52, г).

Эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг его оси. Если за ось вращения принята большая ось эллипса, эллипсоид вращения называют вытянутым (рис. 53. а), если малая – сжатым или сфероидом (рис. 53, б). Земной шар, например, по форме близок к сфероиду

Рис. 53. Поверхности вращения: а – вытянутый эллипсоид; б – сфероид

Параболоид вращения образуется вращением параболы вокруг ее оси (рис. 54). Параболоиды вращения используются в качестве отражающей поверхности в прожекторах и фарах автомобилей для получения параллельного светового пучка.

Рис. 54. Параболоид вращения

Гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы. Различают однополостный гиперболоид (рис. 55, а), образованный вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси, и двуполостный гиперболоид (рис. 55, б), образованный вращением гиперболы вокруг ее действительной оси.

К поверхностям вращения относятся поверхности, образующиеся вращением линии l вокруг прямой i, представляющей собой ось вращения. Они могут быть линейчатыми, например конус или цилиндр вращения, и нелинейчатыми или криволинейными, например сфера. Определитель поверхности вращения включает образующую l и ось i. Криволинейная поверхность вращения образуется при вращении любой кривой вокруг оси i (рис. 103).

Каждая точка образующей при вращении описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси вращения. Такие окружности поверхности вращения называются параллелями . Наибольшую из параллелей называют экватором . Экватор определяет горизонтальный очерк поверхности, если i ⊥ П 1 . В этом случае параллелями являются горизонтали h этой поверхности.

Кривые поверхности вращения, образующиеся в результате пересечения поверхности плоскостями, проходящими через ось вращения, называются меридианами . Все меридианы одной поверхности конгруэнтны. Фронтальный меридиан называют главным меридианом ; он определяет фронтальный очерк поверхности вращения. Профильный меридиан определяет профильный очерк поверхности вращения.

Строить точку на криволинейных поверхностях вращения удобнее всего с помощью параллелей поверхности. На рис. 103 точка М построена на параллели h 4 .

Поверхности вращения нашли самое широкое применение в технике. Они ограничивают поверхности большинства машиностроительных деталей.

Коническая поверхность вращения образуется вращением прямой l вокруг пересекающейся с ней прямой - оси i (рис. 104, а). Точка М на поверхности построена с помощью образующей l и параллели h. Эту поверхность называют еще конусом вращения или прямым круговым конусом.

Цилиндрическая поверхность вращения образуется вращением прямой l вокруг параллельной ей оси i (рис. 104, б). Эту поверхность называют еще цилиндром или прямым круговым цилиндром.

Сфера образуется вращением окружности вокруг ее диаметра (рис. 104, в). Точка А на поверхности сферы принадлежит главному меридиану f, точка В - экватору h, а точка М построена на вспомогательной параллели h".

Тор образуется вращением окружности или ее дуги вокруг оси, лежащей в плоскости окружности. Если ось расположена в пределах образующейся окружности, то такой тор называется закрытым (рис. 105, а).

Если ось вращения находится вне окружности, то такой тор называется открытым (или кольцо) (рис. 105, б).

Поверхности вращения могут быть образованы и другими кривыми второго порядка. Эллипсоид вращения (рис. 106, а) образуется вращением эллипса вокруг одной из его осей; параболоид вращения (рис. 106, б) - вращением параболы вокруг ее оси; гиперболоид вращения однополостный (рис. 106, в) образуется вращением гиперболы вокруг мнимой оси, а двуполостный (рис. 106, г) - вращением гиперболы вокруг действительной оси.

В общем случае поверхности изображаются не ограниченными в направлении распространения образующих линий (см. рис. , ). Для решения конкретных задач и получения геометрических фигур ограничиваются плоскостями обреза. Например, чтобы получить круговой цилиндр, необходимо ограничить участок цилиндрической поверхности плоскостями обреза (см. рис.). В результате получим его верхнее и нижнее основания. Если плоскости обреза перпендикулярны оси вращения, цилиндр будет прямым, если нет - цилиндр будет наклонным.

Чтобы получить круговой конус (см. рис. ), необходимо выполнить обрез по вершине и за пределами ее. Если плоскость обреза основания цилиндра будет перпендикулярна оси вращения - конус будет прямой, если нет - наклонный. Если обе плоскости обреза не проходят через вершину - конус получим усеченным.

С помощью плоскости обреза можно получить призму и пирамиду. Например, шестигранная пирамида будет прямой, если все ее ребра имеют одинаковый наклон к плоскости обреза. В других случаях она будет наклонной. Если она выполнена с помощью плоскостей обреза и ни одна из них не проходят через вершину - пирамида усеченная.

Призму (см. рис. ) можно получить, ограничив участок призматической поверхности двумя плоскостями обреза. Если плоскость обреза перпендикулярна ребрам, например восьмигранной призмы, она прямая, если не перпендикулярна - наклонная.

Выбирая соответствующее положение плоскостей обреза, можно получать различные формы геометрических фигур в зависимости от условий решаемой задачи.

Если перемещение образующей линии представляет собой вращение вокруг некоторой неподвижной прямой (оси), то образованная в этом случае поверхность называется поверхностью вращения .

Образующая линия может быть плоской или пространственной кривой, а также прямой. Каждая точка образующей линии при вращении вокруг оси описывает окружность, которая располагается в плоскости перпендикулярной оси вращения (рис. 42).

Эти окружности называются параллелями . Следовательно, плоскости, перпендикулярные оси, пересекают поверхность вращения по параллелям . Линия пересечения поверхности вращения плоскостью Σ , проходящей через ось, называется меридианом .

Меридиан, который является результатом пересечения поверхности вращения с плоскостью уровня, называетсяглавным . Проекция главного меридиана на плоскость, которой параллельна плоскость уровня, является очерковой линией соответствующей проекции поверхности вращения.

М

Рис. 42 Элементы поверхности вращения

ножество всех параллелей или меридианов представляет собой непрерывныйкаркас поверхности вращения. Через каждую точку поверхности проходит одна параллель и один меридиан. Проекции точки располагаются на соответствующих проекциях параллели или меридиана. Задать точку на поверхности или построить вторую проекцию точки, если одна задана, можно при помощи параллели или меридиана, которые проходят через эту точку.

При проектировании различных инженерных сооружений, машин и механизмов наибольшее распространение получили поверхности, образующиеся вращением прямой линии и кривых второго порядка.

Вращением прямой линии образуются:

– цилиндр вращения , если прямая l параллельна оси i (рис. 43 а );

– конус вращения , если прямая l пересекает ось i (рис. 43 б );

– однополостный гиперболоид , если прямая l скрещивается с осью i (рис. 43 в ).

Рис. 43 Линейчатые поверхности вращения

К поверхностям вращения, образованным вращением кривых второго порядка вокруг оси относятся:

– сфера образуется вращением окружности вокруг ее диаметра (рис. 44 а );

– эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг большой или малой оси (44 б , в );

– тор образуется вращением окружности вокруг внешней оси (рис. 44 г );

Рис. 44 Поверхности вращения второго порядка

–параболоид вращения образуется вращением параболы вокруг ее оси (рис. 44 д );

– однополостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси. Эта поверхность образуется также вращением прямой (рис. 44 е ).

Каналовые и циклические поверхности

Каналовой называют поверхность, образованную непрерывным каркасом замкнутых плоских сечений, определенным образом ориентированных в пространстве. Площади этих сечений могут оставаться постоянными или монотонно изменяться в процессе перехода от одного сечения к другому. На рис. 45 приведены два изображения каналовой поверхности. В инженерной практике наибольшее распространение получили два способа ориентирования плоскостей образующих:

– параллельно какой-либо плоскости – каналовые поверхности с плоскостью параллелизма ;

– перпендикулярно к направляющей линии – прямые каналовые поверхности .

Каналовая поверхность может быть использована для создания переходных участков между двумя поверхностями типа трубопроводов, имеющих:

– различную форму, но одинаковую площадь нормального сечения;

– одинаковую форму, но различные площади сечения;

– различную форму и различные площади поперечных сечений.

Циклическую поверхность можно рассматривать как частный случай каналовой поверхности. Она образуется с помощью окружности, центр которой перемещается по криволинейной направляющей. В процессе движения радиус окружности монотонно меняется. Пример циклической поверхности показан на рис. 46.

Трубчатая поверхность относится к группе нелинейчатых поверхностей с образующей постоянного вида и является частным случаем циклической и каналовой поверхностей. Она обладает свойствами, присущими этим видам поверхностей. У циклической поверхности она позаимствовала форму образующей, а у каналовой – закон движения этой образующей. На рис. 47 приведен пример трубчатой поверхности.

Рис. 3.15

Поверхности вращения имеют весьма широкое применение во всех областях техники. Поверхностью вращения называют поверхность, получающуюся от вращения некоторой образующей линии 1 вокруг неподвижной прямойi - оси вращения поверхности (рис.3.15). На чертеже поверхность вращения задается своим очерком. Очерком поверхности называются линии, которые ограничивают области ее проекций. При вращении каждая точка образующей описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси. Соответственно, линия пересечения поверхности вращения плоскостью, перпендикулярной оси, является окружностью. Такие окружности называют параллелями (рис. 3.15). Параллель наибольшего радиуса называют экватором, наименьшего - горлом. Плоскость, проходящую через ось поверхности вращения, называют меридиональной, линию ее пересечения с поверхностью вращения - меридианом. Меридиан, лежащий в плоскости, параллельной плоскости проекций, называют главным меридианом. В практике выполнения чертежей наиболее часто встречаются следующие поверхности вращения: цилиндрическая, коническая, сферическая, торовая.

Рис. 3.16

Цилиндрическую поверхность вращения . В качестве направляющейа следует взять окружность, а в качестве прямойb - осьi (рис.3.16). Тогда получим, что образующаяl , параллельная осиi , вращается вокруг последней. Если ось вращения перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, то наП 1 цилиндрическая поверхность проецируется в окружность, а наП 3 - в прямоугольник. Главным меридианом цилиндрической поверхности являются две параллельные прямые.

Рис 3.17

Коническую поверхность вращения получим, вращая прямолинейную образующуюl вокруг осиi . При этом образующаяl пересекает осьi в точкеS , называемой вершиной конуса (рис.3.17). Главным меридианом конической поверхности являются две пересекающиеся прямые. Если в качестве образующей взять отрезок прямой, а ось конуса перпендикулярнойП 1 , то наП 1 коническая поверхность проецируется в круг, а наП 2 - в треугольник.

Сферическая поверхность образуется за счет вращения окружности вокруг оси, проходящей через центр окружности и лежащей в ее плоскости (рис.3.18). Экватор и меридианы сферической поверхности являются равными между собой окружностями. Поэтому при ортогональном проецировании на любую плоскость сферическая поверхность проецируется в круги.

Рис. 3.18 При вращении окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности, но не проходящей через ее центр, образуется поверхность, называемая торовой (рис.3.19).

Рис. 3.19

11.ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ.ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ, ЛИНИИ ПОВЕРХНОСТИ.ТЕОРЕМА МОНЖА. Под позиционными подразумеваются задачи, решение которых позволяет получить ответ о принадлежности элемента (точки) или подмножества (линии) множеству (поверхности). К позиционным относятся также задачи на определение общих элементов, принадлежащих различным геометрическим фигурам. Первая группа задач может быть объединена под общим названием задачи на принадлежность. К ним, в частности, относятся задачи на определение:1) принадлежности точки линии;2) принадлежности точки поверхности;3) принадлежности линии поверхности.Ко второй группе относятся задачи на пересечение. Эта группа содержит также три типа задач:1) на пересечение линии с линией;2) на пересечение поверхности с поверхностью;3) на пересечение линии с поверхностью.Принадлежность точки поверхности . Основное положение при решении задач для этого варианта принадлежности следующее: точка принадлежит поверхности, если она принадлежит какой-либо линии этой поверхности . В этом случае линии надо выбирать наиболее простыми, чтобы легче было построить проекции такой линии, затем использовать то обстоятельство, что проекции точки, лежащие на поверхности, должны принадлежать одноименным проекциям линии этой поверхности. Пример решение этой задачи показан на рисунке . Здесь есть два пути решения, поскольку можно провести две простейших линии, принадлежащих конической поверхности. В первом случае - проводится прямая линия - образующая конической поверхности S1 так, чтобы она проходила через какую-либо заданную проекцию точки С. Тем самым предполагаем, что точка С принадлежит образующей S1 конической поверхности, а следовательно - самой конической поверхности. В этом случае одноименные проекции точки С должны лежать на соответствующих проекциях этой образующей.Другая простейшая линия - окружность с диаметром 1-2 (радиус этой окружности - отсчитывается от оси конуса до очерковой образующей). Этот факт известен еще из школьного курса геометрии: при пересечении кругового конуса плоскостью, параллельной его основанию, или перпендикулярной к его оси, в сечении будет получаться окружность. Второй способ решения позволяет найти недостающую проекцию точки С, заданной своей фронтальной проекцией, принадлежащей поверхности конуса и совпадающей на чертеже с осью вращения конуса, без построения третьей проекции. Всегда следует иметь в виду, видима или не видима точка, лежащая на поверхности конуса (в случае, если она не видна, соответствующая проекция точки будет заключена в скобки). Очевидно, что в нашей задаче точка С принадлежит поверхности, поскольку проекции точки принадлежат одноимённым проекциям линий, использованных для решения как при первом, так и при втором способе решения.Принадлежность линии поверхности. Основное положение:линия принадлежит поверхности, если все точки линии принадлежат заданной поверхности . Это означает, что в данном случае принадлежности должна быть несколько раз решена задача о принадлежности точки поверхности.Торема Монжа :если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в неё, то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения окружности касания.

12.СЕЧЕНИЯ КОНУСА ВРАЩЕНИЯ ПРОЕЦИРУЮЩИМИ ПЛОСКОСТЯМИ . При пересечении поверхностей тел проецирующими плоскостями, одна проекция сечения совпадает с проекцией проецирующей плоскости. Конус может иметь в сечении пять различных фигур.Треугольник - если секущая плоскость пересекает конус через вершину по двум образующим.Окружность - если плоскость пересекает конус параллельно основанию (перпендикулярно оси).Эллипс - если плоскость пересекает все образующие под некоторым углом.Параболу - если плоскость параллельна одной из образующих конуса.Гиперболу - если плоскость параллельна оси или двум образующим конуса.Сечение поверхности плоскостью представляет собой плоскую фигуру, ограниченную замкнутой линией, все точки которой принадлежат как секущей плоскости, так и поверхности. При пересечении плоскостью многогранника в сечении получается многоугольник с вершинами, расположенными на ребрах многогранника.Пример . Построить проекции линии пересечения L поверхности прямого кругового конуса ω плоскостью β.Решение . В сечении получается парабола, вершина которой спроецируется в точку А (А′, А′′). Точки A, D, E линии пересечения являются экстремальными. На рис. построение искомой линии пересечения осуществлено с помощью горизонтальных плоскостей уровня αi, которые пересекают поверхность конуса ω по параллелям рi , а плоскость β - по отрезкам фронтально проецирующих прямых. Линия пересечения L полностью видима на плоскостях.

№13.Соосные поверхности. Метод концентрических сфер.

При построении линии пересечения поверхностей особенности пересечения соосных поверхностей вращения позволяют в качестве вспомогательных поверхностей-посредников использовать сферы, соосные с данными поверхностями. К соосным поверхностям вращения относятся поверхности, имеющие общую ось вращения. На рис. 134 изображены соосные цилиндр и сфера (рис. 134, а), соосные конус и сфера (рис. 134, б) и соосные цилиндр и конус (рис. 134, в)

Соосные поверхности вращения всегда пересекаются по окружностям, плоскости которых перпендикулярны оси вращения. Этих общих для обеих поверхностей окружностей столько, сколько существует точек пересечения очерковых линий поверхностей. Поверхности на рис. 134 пересекаются по окружностям, создаваемым точками 1 и 2 пересечения их главных меридианов. Вспомогательная сфера-посредник пересекает каждую из заданных поверхностей по окружности, в пересечении которых получаются точки, принадлежащие и другой поверхности, а значит, и линии пересечения. Если оси поверхностей пересекаются, то вспомогательные сферы проводят из одного центра-точки пересечения осей. Линию пересечения поверхностей в этом случае строят способом вспомогательных концентрических сфер. При построении линии пересечения поверхностей для использования способа вспомогательных концентрических сфер необходимо выполнение следующих условий:1) пересечение поверхностей вращения;2) оси поверхностей - пересекающиеся прямые - параллельны одной из плоскостей проекций, т. е. имеется общая плоскость симметрии;3) нельзя использовать способ вспомогательных секущих плоскостей, так как они не дают графически простых линий на поверхностях. Обычно способ вспомогательных сфер используется в сочетании со способом вспомогательных секущих плоскостей. На рис. 135 построена линия пересечения двух конических поверхностей вращения с пересекающимися во фронтальной плоскости уровня Ф (Ф1) осями вращения. Значит, главные меридианы этих поверхностей пересекаются и дают в своем пересечении точки видимости линии пересечения относительно плоскости П2 или самую высокую А и самую низкую В точки. В пересечении горизонтального меридиана h и параллели h", лежащих в одной вспомогательной секущей плоскости Г(Г2), определены точки видимости С и D линии пересечения относительно плоскости П1. Использовать вспомогательные секущие плоскости для построения дополнительных точек линии пересечения нецелесообразно, так как плоскости, параллельные Ф, будут пересекать обе поверхности по гиперболам, а плоскости, параллельные Г, будут давать в пересечении поверхностей окружности и гиперболы. Вспомогательные горизонтально или фронтально проецирующие плоскости, проведенные через вершину одной из поверхностей, будут пересекать их по образующим и эллипсам. В данном примере выполнены условия, позволяющие применение вспомогательных сфер для построения точек линии пересечения. Оси поверхностей вращения пересекаются в точке О (О1; О2), которая является центром вспомогательных сфер, радиус сферы изменяется в пределах Rmin < R < Rmах- Радиус максимальной сферы определяется расстоянием от центра О наиболее удаленной точки В (Rmax = О2В2), а радиус минимальной сферы определяется как радиус сферы, касающейся одной поверхности (по окружности h2) и пересекающей другую (по окружности h3).Плоскости этих окружностей перпендикулярны осям вращения поверхностей. В пересечении этих окружностей получаем точки Е и F, принадлежащие линии пересечения поверхностей:

h22 ^ h32 = E2(F2); Е2Е1 || А2А1; Е2Е1 ^ h21 =E1; F2F ^ h1 = F1 Промежуточная сфера радиуса R пересекает поверхности по окружностям h4 и h5, в пересечении которых находятся точки Ми N:h42 ^ h52 = M2(N2); M2M1 || А2А1, М2М1 ^ h41 = М1; N2N1 ^ h41 = N1 Соединяя одноименные проекции построенных точек с учетом их видимости, получаем проекции линии пересечения поверхностей.

№14. построение линии пересечения поверхностей, если хотя бы одна из них проецирующая. Характерные точки линии пересечения.

Прежде чем приступить к построению линии пересечения поверхностей, необходимо внимательно изучить условие задачи, т.е. какие поверхности пересекаются. Если одна из поверхностей является проецирующей, то решение задачи упрощается, т.к. на одной из проекций линия пересечения совпадает с проекцией поверхности. И задача сводится к нахождению второй проецирующей линии. При решении задачи следует отметить в первую очередь «характерные» точки или «особые». Это:

· Точки на крайних образующих

· Точки, делящие линию на видимую и невидимую часть

· Верхние и нижние точки и др. Далее следует разумно выбрать способ, каким будем пользоваться при построении линии пересечения поверхностей. Мы будем пользоваться двумя способами: 1. вспомогательных секущих плоскостей. 2. вспомогательных секущих сфер. К проецирующим поверхностям относятся: 1) цилиндр, если его ось перпендикулярна плоскости проекций; 2) призма, если ребра призмы перпендикулярны плоскости проекций. Проецирующая поверхность проецируется в линию на плоскость проекций. Все точки и линии, принадлежащие боковой поверхности проецирующего цилиндра или проецирующей призме проецируются в линию на ту плоскость, которой ось цилиндра или ребро призмы перпендикулярно. Линия пересечения поверхностей принадлежит обеим поверхностям одновременно и, если одна из этих поверхностей проецирующая, то для построения линии пересечения можно использовать следующее правило: если одна из пересекающихся поверхностей проецирующая, то одна проекция линии пересечения есть на чертеже в готовом виде и совпадает с проекцией проецирующей поверхности (окружность, в которую проецируется цилиндр или многоугольник, в который проецируется призма). Вторая проекция линии пересечения строится исходя из условия принадлежности точек этой линии другой не проецирующей поверхности.

Рассмотренные особенности характерных точек позволяют легко проверить правильность построения линии пересечения поверхностей, если она построена по произвольно выбранным точкам. В данном случае десяти точек достаточно для проведения плавных проекций линии пересечения. При необходимости может быть построено любое количество промежуточных точек. Построенные точки соединяют плавной линией с учетом особенностей их положения и видимости. Сформулируем общее правило построения линии пересечения поверхностей: выбирают вид вспомогательных поверхностей; строят линии пересечения вспомогательных поверхностей с заданными поверхностями; находят точки пересечения построенных линий и соединяют их между собой. Вспомогательные секущие плоскости выбираем таким образом, чтобы в пересечении с заданными поверхностями получались геометрически простые линии (прямые или окружности). Выбираем вспомогательные секущие плоскости. Чаще всего, в качестве вспомогательных секущих плоскостей выбирают проецирующие плоскости, в частности, плоскости уровня. При этом необходимо учитывать линии пересечения, получаемые на поверхности, в результате пресечения поверхности плоскостью. Так конус является наиболее сложной поверхностью по числу получаемых на нем линий. Только плоскости, проходящие через вершину конуса или перпендикулярные оси конуса, пересекают его соответственно по прямой линии и окружности (геометрически простейшие линии). Плоскость, проходящая параллельно одной образующей пересекает его по параболе, плоскость параллельная оси конуса пересекает его по гиперболе, а плоскость, пересекающая все образующие и наклонные к оси конуса, пересекает его по эллипсу. На сфере, при пересечении ее плоскостью, всегда получается окружность, а если пересекать ее плоскостью уровня, то эта окружность проецируется на плоскости проекции соответственно в прямую линию и окружность. Итак, в качестве вспомогательных плоскостей выбираем горизонтальные плоскости уровня, которые пересекают и конус, и сферу по окружностям (простейшие линии).Некоторые особые случаи пересечения поверхностей В некоторых случаях расположение, форма или соотношения размеров криволинейных поверхностей таковы, что для изображения линии их пресечения никаких сложных построений не требуется. К ним относятся пересечение цилиндров с параллельными образующими, конусов с общей вершиной, соосных поверхностей вращения, поверхностей вращения, описанных вокруг одной сферы.

Поверхности вращения и ограничиваемые ими тела имеют весьма широкое применение во всех областях техники. В качестве примеров на рис. 8.11 показаны баллон электронно-лучевой трубки (а), сосуд Дьюара для хранения жидкого воздуха (б), центр токарного станка (в), коллектор электронов мощного электронно-лучевого прибора (г),

объемный сверхвысокочастотный резонатор электромагнитных колебаний (∂).

В зависимости от вида образующей поверхности вращения могут быть линейчатыми, нелинейчатыми или состоять из частей таких поверхностей.

Поверхностью вращения называют поверхность, получающуюся от вращения некоторой образующей линии вокруг неподвижной прямой – оси поверхности. На чертежах ось изображают штрихпунктирной линией. Образующаяся линия может в общем случае иметь как криволинейные, так и прямолинейные участки. Поверхность вращения на чертеже можно задать образующей и положением оси. На рис. 8.12 изображена поверхность вращения, которая образована вращением образующей ABCD (ее фронтальная проекция А "В"CD") вокруг оси OO1 (фронтальная проекция О"О"), перпендикулярной плоскости π,. При вращении каждая точка образующей описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси. Соответственно линия пересечения поверхности вращения любой плоскостью, перпендикулярной оси, является окружностью. Такие окружности называют параллелями. На виде сверху (рис. 8.12) показаны проекции окружностей, описываемых точками А, В, С, D, проходящие через проекции А", В",С, D". Наибольшую параллель из двух соседних с нею параллелей по обе стороны от нее называют экватором, аналогично наименьшую – горлом.

Плоскость, проходящую через ось поверхности вращения, называют меридианальной, линию ее пересечения с поверхностью вращения – меридианом. Если ось поверхности параллельна плоскости проекций, то меридиан, лежащий в плоскости, параллельной этой плоскости проекций, называют главным меридианом. На эту плоскость проекций главный меридиан проецируется без искажений. Так, если ось поверхности вращения параллельна плоскости π2, то главный меридиан проецируется на плоскость π 2 без искажений. Если ось поверхности вращении перпендикулярна плоскости π, то горизонтальная проекция поверхности имеет очерк в виде окружности.

Наиболее удобным для выполнения изображений поверхностей вращения являются случаи, когда их оси перпендикулярны плоскости Jt1, плоскости π2 или плоскости π3.

Некоторые поверхности вращения являются частными случаями поверхностей, рассмотренных в § 8.1, например цилиндр вращения, конус вращения . Для цилиндра и конуса вращения меридианами являются прямые линии. Они параллельны оси и равноудалены от нее для цилиндра или пересекают ось в одной и той же ее точке под одним и тем же углом к оси для конуса. Цилиндр и конус вращения – поверхности, бесконечные в направлении их образующих, поэтому на изображениях их ограничивают какими-либо линиями, например линиями пересечения этих поверхностей с плоскостями проекций или какими-либо из параллелей. Из стереометрии известно, что прямой круговой цилиндр и прямой круговой конус ограничены поверхностью вращения и плоскостями, перпендикулярными оси поверхности. Меридиан такого цилиндра – прямоугольник, конуса – треугольник.

Такая поверхность вращения, как сфера , является ограниченной и может быть изображена на чертеже полностью. Экватор и меридианы сферы – равные между собой окружности. При ортогональном проецировании на все три плоскости проекций сфера проецируется в круги.

Тор . При вращении окружности (или ее дуги) вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности, но не проходящей через ее центр, получается поверхность, называемая тором. На рис. 8.13 приведены:

а – открытый тор или круговое кольцо; б – закрытый тор; в, г – самопересекающийся тор. Тор вида г называют также лимоновидным. На рис. 8.13 они изображены в положении, когда ось тора перпендикулярна плоскости проекций π1. В открытый и закрытый торы могут быть вписаны сферы. Тор можно рассматривать как поверхность, огибающую одинаковые сферы, центры которых находятся на окружности.

В построениях на чертежах широко используют две системы круговых сечений тора: в плоскостях, перпендикулярных его оси, и в плоскостях, проходящих через ось тора. При этом в плоскостях, перпендикулярных оси тора, в свою очередь имеются два семейства окружностей – линий пересечения плоскостей с наружной поверхностью тора и линий пересечения плоскостей с внутренней поверхностью тора. У лимоновидного тора (рис. 8.13, г) имеется только первое семейство окружностей.

Точки на поверхности вращения. Положение точки на поверхности вращения определяют с помощью окружности, проходящей через эту точку на поверхности вращения. В случае линейчатых поверхностей для этой цели возможно применение и прямолинейных образующих.

Применение параллели и прямолинейной образующей для построения проекций точек, принадлежащих данной поверхности вращения, показано на рис. 8.12. Если дана проекция М", то проводят фронтальную проекцию параллели, а затем радиусом проводят окружность – горизонтальную проекцию параллели – и на ней находят проекцию M". M ", то следовало бы провести радиусом

окружность, по точке F" построить F" и провести – фронтальную проекцию параллели и на ней в проекционной связи отметить точку М". Если дана проекция N" на линейчатом (коническом) участке поверхности вращения, то проводят фронтальную проекцию D"G" очерковой образующей и через проекцию N" фронтальную проекцию G "К" образующей на поверхности конуса. Затем на горизонтальной проекции G"K" этой образующей строят проекцию N". Если бы была задана горизонтальная проекция N", то следовало бы провести через нее горизонтальную проекцию G "K" образующей, по проекциям К " и G" (построение ее было рассмотрено выше) построить фронтальную проекцию G "К" и на ней в проекционной связи отметить проекцию N".

На рис. 8.14 показано построение проекций точки К, принадлежащей поверхности тора. Стрелками указано построение горизонтальной проекции К " по заданной фронтальной проекции К ". Если задана горизонтальная проекция, то построение выполняют в обратном порядке.

На рис. 8.15 показано построение по заданной фронтальной проекции M" точки на поверхности сферы ее горизонтальной M" и профильной M проекций. Проекция M" построена с помощью окружности – параллели, проходящей через M". Ее радиус – ОТ. Проекция M"" построена с помощью окружности, плоскость которой па

раллельна профильной плоскости проекций, проходящей через проекцию М". Ее радиус – О ""2

Построение проекций линий на поверхностях вращения может быть выполнено также с помощью окружностей – параллелей, проходящих через точки, принадлежащие этой линии.

На рис. 8.16 показано построение горизонтальной проекции А "В" линии, заданной фронтальной проекцией А "В" на поверхности вращения, состоящей из частей поверхностей сферы, тора, конической. Для более точного вычерчивания горизонтальной проекции линии продолжим ее фронтальную проекцию вверх и вниз и отметим проекции 6" и 5 " крайних точек. Горизонтальные проекции 6 ", Г,3",4",5" построены с помощью линий связи. Проекции В", 2", 7", 8", А " построены с помощью параллелей, фронтальные проекции которых проходят через проекции /?",2", 7", 8", А "этихточек. Количество и расположение промежуточных точек выбирают исходя из формы линии и требуемой точности построения. Горизонтальная проекция линии состоит из участков: В"–Г – части эллипса, 3 "8 "А "4 части другого эллипса, 1 "2"7"3"– кривой четвертого порядка (проекция кривой на поверхности тора).