Случайные функции и их характеристики (примеры). Случайные процессы и их характеристики

o Случайной функцией называется функция X(t), значение которой при любом значении аргумента t является случайной величиной.

Другими словами, случайной функцией называется функция, которая в результате опыта может принять тот или иной конкретный вид, при этом заранее не известно, какой именно.

o Конкретный вид, принимаемый случайной величиной в результате опыта, называется реализацией случайной функции.

Т.к. на практике аргумент t чаще всего является временным, то случайную функцию иначе называют случайным процессом.

На рисунке изображено несколько реализаций некоторого случайного процесса.

Если зафиксировать значение аргумента t, то случайная функция X(t) превратится в случайную величину, которую называют сечением случайной функции , соответствующим моменту времени t. Будем считать распределение сечения непрерывным. Тогда Х(t) при данном t определяется плотностью распределения p(x; t).

Очевидно, p(x; t) не является исчерпывающей характеристикой случайной функции X(t), поскольку она не выражает зависимости между сечениями X(t) в разные моменты времени t. Более полную характеристику дает функция -совместная плотность распределения системы случайных величин , где t 1 и t 2 -произвольные значения аргумента t случайной функции. Еще более полную характеристику случайной функции X(t) даст совместимая плотность распределения системы трех случайных величин и т.д.

o Говорят, что случайный процесс имеет порядок n , если он полностью определяется плотностью совместимого распределения n произвольных сечений процесса, т.е. системы n случайных величин , где X(t i)-сечение процесса, отвечающее моменту времени t i , но не определяется заданием совместного распределения меньшего, чем n, числа сечений.

o Если плотность совместного распределения произвольных двух сечений процесса вполне его определяет, то такой процесс называется марковским.

Пусть имеется случайная функция X(t). Возникает задача описания ее с помощью одной или нескольких неслучайных характеристик. В качестве первой из них естественно взять функцию -математическое ожидание случайного процесса. В качестве второй берется среднее квадратическое отклонение случайного процесса .

Эти характеристики являются некоторыми функциями от t. Первая из них-это средняя траектория для всех возможных реализаций. Вторая характеризует возможный разброс реализаций случайной функции около средней траектории. Но и этих характеристик недостаточно. Важно знать зависимость величин X(t 1) и X(t 2). Эту зависимость можно характеризовать с помощью корреляционной функции или корреляционного момента.

Пусть имеются два случайных процесса, по нескольку реализаций которых изображено на рисунках.

У этих случайных процессов примерно одинаковые математические ожидания и средние квадратичные отклонения. Тем не менее это различные процессы. Всякая реализация для случайной функции X 1 (t) медленно меняет свои значения с изменением t, чего нельзя сказать о случайной функции X 2 (t). У первого процесса зависимость между сечениями X 1 (t) и будет больше, чем зависимость для сечений X 2 (t) и второго процесса, т.е. убывает медленнее, чем , при увеличении Δt. Во втором случае процесс быстрее «забывает» свое прошлое.

Остановимся на свойствах корреляционной функции, которые вытекают из свойств корреляционного момента пары случайных величин.

Свойство 1. Свойство симметричности .

Свойство 2. Если к случайной функции X(t) прибавить неслучайное слагаемое , то от этого корреляционная функция не изменится, т.е. .

Действительно,

Свойство 3. , где -неслучайная функция.

Основные задачи

Можно выделить два основных вида задач, решение которых требует использования теории случайных функций.

Прямая задача {анализ): заданы параметры некоторого устройства и его вероятностные характеристики (математические ожидания, корреляционные функции, законы распределения) поступающей на его «вход» функции (сигнала, процесса); требуется определить характеристики на «выходе» устройства (по ним судят о «качестве» работы устройства).

Обратная задача {синтез): заданы вероятностные характеристики «входной» и «выходной» функций; требуется спроектировать оптимальное устройство (найти его параметры), осуществляющее преобразование заданной входной функции в такую выходную функцию, которая имеет заданные характеристики. Решение этой задачи требует кроме аппарата случайных функций привлечения и других дисциплин и в настоящей книге не рассматривается.

Определение случайной функции

Случайной функцией называют функцию неслучайного аргумента t, которая при каждом фиксированном значении аргумента является случайной величиной. Случайные функции аргумента t обозначают прописными буквами X{t), Y{t) и т.д.

Например, если U - случайная величина, то функция Х{!)=С U - случайная. Действительно, при каждом фиксированном значении аргумента эта функция является случайной величиной: при t { = 2

получим случайную величину Х х = AU, при t 2 = 1,5 - случайную величину Х 2 = 2,25 U и т.д.

Для краткости дальнейшего изложения введем понятие сечения.

Сечением случайной функции называют случайную величину, соответствующую фиксированному значению аргумента случайной функции. Например, для случайной функции X(t) = t 2 U, приведенной выше, при значениях аргумента 7, = 2 и t 2 = 1,5 были получены соответственно случайные величины X { = AUn Х 2 = 2,2577, которые и являются сечениями заданной случайной функции.

Итак, случайную ф у н к ц и ю можно рассматр и - вать как совокупность случайных величин {Х(?)}, зависящих от параметра t. Возможно и другое истолкование случайной функции, если ввести понятие ее реализации.

Реализацией (траекторией , выборочной функцией) случайной функции X(t) называют неслучайную функцию аргумента t , равной которой может оказаться случайная функция в результате испытания.

Таким образом, если в опыте наблюдают случайную функцию, то в действительности наблюдают одну из возможных ее реализаций; очевидно, при повторении опыта будет наблюдаться другая реализация.

Реализации функции X(t) обозначают строчными буквами x t (t) t x 2 (t) и т.д., где индекс указывает номер испытания. Например, если X(t) = (/sin t, где U - непрерывная случайная величина, которая в первом испытании приняла возможное значение и { = 3, а во втором испытании и 2 = 4,6, то реализациями X(t) являются соответственно неслучайные функции х { (t ) = 3sin t и х 2 (t) = 4,6sin t.

Итак, случайную функцию можно рассматривать как совокупность ее возможных реализаций.

Случайным (стохастическим ) процессом называют случайную функцию аргумента t, который истолковывается как время. Например, если самолет должен лететь с заданной постоянной скоростью, то в действительности вследствие воздействия случайных факторов (колебание температуры, изменение силы ветра и др.), учесть влияние которых заранее нельзя, скорость изменяется. В этом примере скорость самолета - случайная функция от непрерывно изменяющегося аргумента (времени), т.е. скорость есть случайный процесс.

Заметим, что если аргумент случайной функции изменяется дискретно, то соответствующие ему значения случайной функции (случайные величины) образуют случайную последовательность.

Аргументом случайной функции может быть не только время. Например, если измеряется диаметр ткацкой нити вдоль ее длины, то вследствие воздействия случайных факторов диаметр нити изменяется. В этом примере диаметр - случайная функция от непрерывно изменяющегося аргумента (длины нити).

Очевидно, задать случайную функцию аналитически (формулой), вообще говоря, невозможно. В частных случаях, если вид случайной функции известен, а определяющие ее параметры - случайные величины, задать ее аналитически можно. Например, случайными являются функции:

X{t) = sin Qf, где Q - случайная величина,

X(t) = Г/sin t, где U - случайная величина,

X(t) = Г/sin Qt, где О. и }