Определение.Квадратичной формой , соответствующей симметричной билинейной форме на линейном пространстве V , называется функция одного векторного аргумента .

Пусть задана квадратичная форма , – соответствующая ей симметричная билинейная форма. Тогда

откуда вытекает, что по квадратичной форме соответствующая ей симметричная билинейная форма тоже определяется однозначно. Итак, между симметричными билинейными и квадратичными формами на линейном пространстве V устанавливается взаимно однозначное соответствие, поэтому квадратичные формы можно изучать с помощью симметричных билинейных форм.

Рассмотрим n -мерное линейное пространство . Матрицей квадратичной формы в заданном базисе линейного пространства называется матрица соответствующей ей симметричной билинейной формы в том же базисе. Матрица квадратичной формы всегда симметрична.

Обозначим матрицу квадратичной формы в некотором базисе пространства . Если, как обычно, обозначить Х координатный столбец вектора в том же базисе, то из равенства 5.5 получаем матричную форма записи квадратичной формы:

.

Теорема 5.4. Пусть в линейном пространстве заданы два базиса

(5.10)

, (5.11)

и пусть и – матрицы квадратичной формы в базисах (5.10) и (5.11) соответственно. Тогда , где Т – матрица перехода от (5.10) к (5.11).

Доказательство вытекает из теоремы 5.2 и определения матрицы квадратичной формы.

В связи с тем, что матрица перехода Т является невырожденной, то при переходе к новому базису ранг матрицы квадратичной формы не меняется. Поэтому можно сформулировать следующее определение.

Определение . Рангом квадратичной формы, заданной на линейном пространстве , называется ранг ее матрицы в некотором, а значит, и в любом базисе пространства (обозначается ).

Теперь запишем квадратичную форму в координатном виде. Для этого вектор разложим по базису (5.10): . Если – матрица квадратичной формы в том же базисе, то в соответствии с равенством (5.4)имеем

– (5.12)

координатная форма записи квадратичной формы. Распишем (5.12) подробно при n = 3, учитывая, что

Итак, если в задан базис, то квадратичная форма в координатной записи выглядит как однородный многочлен второй степени от n переменных – координат вектора в данном базисе. Этот многочлен называется видом квадратичной формы в заданном базисе. Но в приложениях часто такие многочлены возникают самостоятельно, без видимой связи с линейными пространствами (например, вторые дифференциалы функций), поэтому мы сформулируем еще одно определение квадратичной формы.

Определение . Квадратичной формой от n переменных называется однородный многочлен второй степени от этих переменных, т. е. функция вида (5.12). Матрицей квадратичной формы (5.12) называется симметричная матрица .

Пример составления матрицы квадратичной формы. Пусть

Из (5.12) и (5.13) видно, что коэффициент при совпадает с , т.е. диагональные элементы матрицы квадратичной формы – это коэффициенты при квадратах. Точно так же видим, что – половина коэффициента при произведении . Таким образом, матрица квадратичной формы (5.14) выглядит так:

.

Выберем теперь в пространстве опять два базиса (5.10) и (5.11) и обозначим, как обычно, – координатные столбцы вектора в базисах (5.10) и (5.11) соответственно. При переходе от базиса (5.10) к базису (5.11) координаты вектора меняются по закону:

где - матрица перехода от (5.10) к (5.11). Заметим, что матрица – невырожденная. Запишем равенство (5.15) в координатной форме:

или подробно:

(5.17)

С помощью равенства (5.17) (или (5.16), что одно и то же) от переменных переходим к переменным .

Определение . Линейным невырожденным преобразованием переменных называется преобразование переменных, заданное системой равенств (5.16) или (5.17), или одним матричным равенством (5.15), при условии, что – невырожденная матрица. Матрица Т называется матрицей этого преобразования переменных.

Если в (5.12) вместо переменных подставить их выражения через переменные по формулам (5.17), раскрыть скобки и привести подобные, то получим другой однородный многочлен второй степени:

.

В этом случае говорят, что линейное невырожденное преобразование переменных (5.17) переводит квадратичную форму в квадратичную форму . Значения переменных и , связанные соотношением (5.15) (или соотношениями (5.16) либо (5.17)), будем называть соответствующими при заданном линейном невырожденном преобразовании переменных.

Определение. Набор переменных называется нетривиальным , если в нем значение хотя бы одной из переменных отлично от нуля. В противном случае набор переменных называется тривиальным .

Лемма 5.2. При линейном невырожденном преобразовании переменных тривиальному набору переменных соответствует тривиальный набор.

Из равенства (5.15), очевидно, вытекает: если , то и . С другой стороны, используя невырожденность матрицы Т , опять же из (5.15) получаем , откуда видно, что при , также и .◄

Следствие. При линейном невырожденном преобразовании переменных нетривиальному набору переменных соответствует нетривиальный набор.

Теорема 5.5. Если линейное невырожденное преобразование (5.15) переводит квадратичную форму с матрицей А в квадратичную форму с матрицей А" , то (другая формулировка теоремы 5.4).

Следствие. При линейном невырожденном преобразовании переменных определитель матрицы квадратичной формы не меняет знака.

Замечание. В отличие от матрицы перехода и матрицы линейного оператора, матрица линейного невырожденного преобразования переменных пишется не по столбцам, а по строкам.

Пусть заданы два линейных невырожденных преобразования переменных:

Применим их последовательно:

Композицией линейных невырожденных преобразований переменных (5.18) и (5.19) называется их последовательное применение, т. е. преобразование переменных Из (5.20) видно, что композиция двух линейных невырожденных преобразований переменных также является линейным невырожденным преобразованием переменных.

Определение. Квадратичные формы называются эквивалентными , если существует линейное невырожденное преобразование переменных, переводящее одну из них в другую.

Квадратичные формы

Квадратичной формой f(х 1 , х 2 ,...,х n) от n переменных называют сумму, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятым с некоторым коэффициентом: f(х 1 , х 2 ,...,х n) = (a ij = a ji).

Матрицу А, составленную из этих коэффициентов, называют матрицей квадратичной формы. Это всегда симметрическая матрица (т.е. матрица, симметричная относительно главной диагонали, a ij = a ji).

В матричной записи квадратичная форма имеет вид f(Х) = Х Т AX, где

В самом деле

Например, запишем в матричном виде квадратичную форму .

Для этого найдем матрицу квадратичной формы. Ее диагональные элементы равны коэффициентам при квадратах переменных, а остальные элементы - половинам соответствующих коэффициентов квадратичной формы. Поэтому

Пусть матрица-столбец переменных X получена невырожденным линейным преобразовании матрицы-столбца Y, т.е. X = CY, где С - невырожденная матрица n-го порядка. Тогда квадратичная форма
f(X) = Х T АХ = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Таким образом, при невырожденном линейном преобразовании С матрица квадратичной формы принимает вид: А * = C T AC.

Например, найдем квадратичную форму f(y 1 , y 2), полученную из квадратичной формы f(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 линейным преобразованием .

Квадратичная форма называется канонической (имеет канонический вид ), если все ее коэффициенты a ij = 0 при i ≠ j, т.е.
f(х 1 , х 2 ,...,х n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Ее матрица является диагональной.

Теорема (доказательство здесь не приводится). Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования.

Например, приведем к каноническому виду квадратичную форму
f(х 1 , х 2 , х 3) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 – х 2 х 3 .

Для этого вначале выделим полный квадрат при переменной х 1:

f(х 1 , х 2 , х 3) = 2(x 1 2 + 2х 1 х 2 + х 2 2) - 2х 2 2 - 3х 2 2 – х 2 х 3 = 2(x 1 + х 2) 2 - 5х 2 2 – х 2 х 3 .

Теперь выделяем полный квадрат при переменной х 2:

f(х 1 , х 2 , х 3) = 2(x 1 + х 2) 2 – 5(х 2 2 – 2* х 2 *(1/10)х 3 + (1/100)х 3 2) - (5/100)х 3 2 =
= 2(x 1 + х 2) 2 – 5(х 2 – (1/10)х 3) 2 - (1/20)х 3 2 .

Тогда невырожденное линейное преобразование y 1 = x 1 + х 2 , y 2 = х 2 – (1/10)х 3 и y 3 = x 3 приводит данную квадратичную форму к каноническому виду f(y 1 , y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Отметим, что канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно (одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду разными способами). Однако полученные различными способами канонические формы обладают рядом общих свойств. В частности, число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду (например, в рассмотренном примере всегда будет два отрицательных и один положительный коэффициент). Это свойство называют законом инерции квадратичных форм .

Убедимся в этом, по-другому приведя ту же квадратичную форму к каноническому виду. Начнем преобразование с переменной х 2:
f(х 1 , х 2 , х 3) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 – х 2 х 3 = -3х 2 2 – х 2 х 3 + 4х 1 х 2 + 2x 1 2 = -3(х 2 2 –
- 2* х 2 ((1/6) х 3 + (2/3)х 1) +((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2) – 3((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(х 2 – (1/6) х 3 - (2/3)х 1) 2 – 3((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2 + 2x 1 2 = f(y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2 , где y 1 = - (2/3)х 1 + х 2 – (1/6) х 3 , y 2 = (2/3)х 1 + (1/6) х 3 и y 3 = x 1 . Здесь положительный коэффициент 2 при y 3 и два отрицательных коэффициента (-3) при y 1 и y 2 (а при использовании другого способа мы получили положительный коэффициент 2 при y 1 и два отрицательных – (-5) при y 2 и (-1/20) при y 3).

Также следует отметить, что ранг матрицы квадратичной формы, называемый рангом квадратичной формы , равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не меняется при линейных преобразованиях.

Квадратичную форму f(X) называют положительно (отрицательно ) определенной , если при всех значениях переменных, не равных одновременно нулю, она положительна, т.е. f(X) > 0 (отрицательна, т.е.
f(X) < 0).

Например, квадратичная форма f 1 (X) = x 1 2 + х 2 2 - положительно определенная, т.к. представляет собой сумму квадратов, а квадратичная форма f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 х 2 - х 2 2 - отрицательно определенная, т.к. представляет ее можно представить в виде f 2 (X) = -(x 1 - х 2) 2 .

В большинстве практических ситуации установить знакоопределенность квадратичной формы несколько сложнее, поэтому для этого используют одну из следующих теорем (сформулируем их без доказательств).

Теорема . Квадратичная форма является положительно (отрицательно) определенной тогда и только тогда, когда все собственные значения ее матрицы положительны (отрицательны).

Теорема (критерий Сильвестра) . Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы этой формы положительны.

Главным (угловым) минором k-го порядка матрицы А n-го порядка называют определитель матрицы, составленный из первых k строк и столбцов матрицы А ().

Отметим, что для отрицательно определенных квадратичных форм знаки главных миноров чередуются, причем минор первого порядка должен быть отрицательным.

Например, исследуем на знакоопределенность квадратичную форму f(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 + 3х 2 2 .

= (2 - l)*
*(3 - l) – 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) – 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Следовательно, квадратичная форма – положительно определенная.

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А D 1 = a 11 = 2 > 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма – положительно определенная.

Исследуем на знакоопределенность другую квадратичную форму, f(х 1 , х 2) = -2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 .

Способ 1. Построим матрицу квадратичной формы А = . Характеристическое уравнение будет иметь вид = (-2 - l)*
*(-3 - l) – 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) – 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Следовательно, квадратичная форма – отрицательно определенная.

Квадратичной формой f(х 1 , х 2 ,...,х n) от n переменных называют сумму, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятым с некоторым коэффициентом:f(х 1 , х 2 ,...,х n) = (a ij =a ji).

Матрицу А, составленную из этих коэффициентов, называют матрицей квадратичной формы. Это всегда симметрическая матрица (т.е. матрица, симметричная относительно главной диагонали,a ij =a ji).

В матричной записи квадратичная форма имеет вид f(Х) = Х Т AX, где

В самом деле

Например, запишем в матричном виде квадратичную форму .

Для этого найдем матрицу квадратичной формы. Ее диагональные элементы равны коэффициентам при квадратах переменных, а остальные элементы - половинам соответствующих коэффициентов квадратичной формы. Поэтому

Пусть матрица-столбец переменных X получена невырожденным линейным преобразовании матрицы-столбца Y, т.е. X = CY, где С - невырожденная матрица n-го порядка. Тогда квадратичная форма f(X) = Х T АХ = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

Таким образом, при невырожденном линейном преобразовании С матрица квадратичной формы принимает вид: А * =C T AC.

Например, найдем квадратичную форму f(y 1 , y 2), полученную из квадратичной формыf(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 линейным преобразованием .

Квадратичная форма называется канонической (имеетканонический вид ), если все ее коэффициентыa ij = 0 приi≠j, т.е.f(х 1 , х 2 ,...,х n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Ее матрица является диагональной.

Теорема (доказательство здесь не приводится). Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования.

Например, приведем к каноническому виду квадратичную форму f(х 1 , х 2 , х 3) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 – х 2 х 3 .

Для этого вначале выделим полный квадрат при переменной х 1:

f(х 1 , х 2 , х 3) = 2(x 1 2 + 2х 1 х 2 + х 2 2) - 2х 2 2 - 3х 2 2 – х 2 х 3 = 2(x 1 + х 2) 2 - 5х 2 2 – х 2 х 3 .

Теперь выделяем полный квадрат при переменной х 2:

f(х 1 , х 2 , х 3) = 2(x 1 + х 2) 2 – 5(х 2 2 – 2* х 2 *(1/10)х 3 + (1/100)х 3 2) - (5/100)х 3 2 = = 2(x 1 + х 2) 2 – 5(х 2 – (1/10)х 3) 2 - (1/20)х 3 2 .

Тогда невырожденное линейное преобразование y 1 = x 1 + х 2 ,y 2 = х 2 – (1/10)х 3 и y 3 = x 3 приводит данную квадратичную форму к каноническому видуf(y 1 ,y 2 ,y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Отметим, что канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно (одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду разными способами 1). Однако полученные различными способами канонические формы обладают рядом общих свойств. В частности, число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду (например, в рассмотренном примере всегда будет два отрицательных и один положительный коэффициент). Это свойство называютзаконом инерции квадратичных форм .

Убедимся в этом, по-другому приведя ту же квадратичную форму к каноническому виду. Начнем преобразование с переменной х 2:f(х 1 , х 2 , х 3) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 – х 2 х 3 = -3х 2 2 – х 2 х 3 + 4х 1 х 2 + 2x 1 2 = -3(х 2 2 – - 2* х 2 ((1/6) х 3 + (2/3)х 1) +((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2) – 3((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2 + 2x 1 2 = = -3(х 2 – (1/6) х 3 - (2/3)х 1) 2 – 3((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1 ,y 2 ,y 3) = -3y 1 2 - -3y 2 2 + 2y 3 2 , гдеy 1 = - (2/3)х 1 + х 2 – (1/6) х 3 ,y 2 = (2/3)х 1 + (1/6) х 3 и y 3 = x 1 . Здесь положительный коэффициент 2 приy 3 и два отрицательных коэффициента (-3) приy 1 иy 2 (а при использовании другого способа мы получили положительный коэффициент 2 приy 1 и два отрицательных – (-5) приy 2 и (-1/20) приy 3).

Также следует отметить, что ранг матрицы квадратичной формы, называемый рангом квадратичной формы , равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не меняется при линейных преобразованиях.

Квадратичную форму f(X) называютположительно (отрицательно )определенной , если при всех значениях переменных, не равных одновременно нулю, она положительна, т.е.f(X) > 0 (отрицательна, т.е.f(X) < 0).

Например, квадратичная форма f 1 (X) = x 1 2 + х 2 2 - положительно определенная, т.к. представляет собой сумму квадратов, а квадратичная формаf 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 х 2 - х 2 2 - отрицательно определенная, т.к. представляет ее можно представить в видеf 2 (X) = -(x 1 - х 2) 2 .

В большинстве практических ситуации установить знакоопределенность квадратичной формы несколько сложнее, поэтому для этого используют одну из следующих теорем (сформулируем их без доказательств).

Теорема . Квадратичная форма является положительно (отрицательно) определенной тогда и только тогда, когда все собственные значения ее матрицы положительны (отрицательны).

Теорема (критерий Сильвестра) . Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы этой формы положительны.

Главным (угловым) минором k-го порядка матрицы Аn-го порядка называют определитель матрицы, составленный из первыхkстрок и столбцов матрицы А ().

Отметим, что для отрицательно определенных квадратичных форм знаки главных миноров чередуются, причем минор первого порядка должен быть отрицательным.

Например, исследуем на знакоопределенность квадратичную форму f(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 + 3х 2 2 .

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . Следовательно, квадратичная форма – положительно определенная.

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А  1 =a 11 = 2 > 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма – положительно определенная.

Исследуем на знакоопределенность другую квадратичную форму, f(х 1 , х 2) = -2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 .

Способ 1. Построим матрицу квадратичной формы А = . Характеристическое уравнение будет иметь вид = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . Следовательно, квадратичная форма – отрицательно определенная.

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А  1 =a 11 = = -2 < 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма – отрицательно определенная (знаки главных миноров чередуются, начиная с минуса).

И в качестве еще одного примера исследуем на знакоопределенность квадратичную форму f(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 .

Способ 1. Построим матрицу квадратичной формы А = . Характеристическое уравнение будет иметь вид = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; . Одно из этих чисел отрицательно, а другое – положительно. Знаки собственных значений разные. Следовательно, квадратичная форма не может быть ни отрицательно, ни положительно определенной, т.е. эта квадратичная форма не является знакоопределенной (может принимать значения любого знака).

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А  1 =a 11 = 2 > 0. Главный минор второго порядка 2 = = -6 – 4 = -10 < 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1Рассмотренный способ приведения квадратичной формы к каноническому виду удобно использовать, когда при квадратах переменных встречаются ненулевые коэффициенты. Если их нет, осуществить преобразование все равно возможно, но приходится использовать некоторые другие приемы. Например, пустьf(х 1 , х 2) = 2x 1 х 2 = x 1 2 + 2x 1 х 2 + х 2 2 - x 1 2 - х 2 2 =

= (x 1 + х 2) 2 - x 1 2 - х 2 2 = (x 1 + х 2) 2 – (x 1 2 - 2x 1 х 2 + х 2 2) - 2x 1 х 2 = (x 1 + х 2) 2 – - (x 1 - х 2) 2 - 2x 1 х 2 ; 4x 1 х 2 = (x 1 + х 2) 2 – (x 1 - х 2) 2 ;f(х 1 , х 2) = 2x 1 х 2 = (1/2)* *(x 1 + х 2) 2 – (1/2)*(x 1 - х 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2 , гдеy 1 = х 1 + х 2 , аy 2 = х 1 – х 2 .

Определение. Квадратичная форма называется положительно определенной, если все ее значения при вещественных значениях переменных, не равных одновременно нулю, положительны. Очевидно, что квадратичная форма положительно определена.

Определение. Квадратичная форма называется отрицательно определенной, если все ее значения отрицательны, за исключением ненулевого значения при ненулевых значениях переменных.

Определение . Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если она не принимает отрицательных (положительных) значений.

Квадратичные формы, принимающие как положительные, так и отрицательные значения, называются неопределенными.

При n =1 квадратичная форма либо положительно определена (при ), либо отрицательно определена (при ). Неопределенные формы появляются при .

Теорема (критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы). Для того, чтобы квадратичная форма

была положительно определена, необходимо и достаточно выполнение условий:

.

Доказательство. Используем индукцию по числу переменных, входящих в . Для квадратичной формы, зависящей от одной переменной , и утверждение теоремы очевидно. Положим, что утверждение теоремы справедливо для квадратичной формы , зависящей от n -1 переменных .

1. Доказательство необходимости. Пусть

положительно определена. Тогда квадратичная форма

будет положительно определенной, так как если , то при .

По предположению индукции все главные миноры формы положительны, т.е.

.

Остается доказать, что .

Положительно определенная квадратичная форма невырожденным линейным преобразованием Х=ВY приводится к каноническому виду

Квадратичной форме соответствует диагональная матрица

с определителем .

Линейное преобразование, заданное невырожденной матрицей В , преобразует матрицу С квадратичной формы в матрицу . Но так как то .

2. Доказательство достаточности. Предположим, что все главные миноры квадратичной формы положительны: .

Докажем, что квадратичная форма положительно определена. Из предположения индукции вытекает положительная определенность квадратичной формы . Поэтому невырожденным линейным преобразованием приводится к нормальному виду . Сделав соответствующую замену переменных и положив , получим

где - какие-то новые коэффициенты.

Осуществляя замену переменных , получим

.

Определитель матрицы этой квадратичной формы равен , а так как знак его совпадает со знаком , то , и, значит, квадратичная форма - положительно определена. Теорема доказана.

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы

была положительно определенной, а значит, чтобы все главные миноры матрицы

были положительны. Но это означает, что

т.е. что знаки главных миноров матрицы C чередуются, начиная со знака минус.

Пример. Вычислить, является ли квадратичная форма положительно (отрицательно) определенной или неопределенной.

Решение. Матрица квадратичной формы имеет вид:

.

Вычислим главные миноры матрицы С :

Квадратичная форма положительно определена.

Решение. Вычислим главные миноры матрицы

Квадратичная форма является неопределенной.

В заключение сформулируем следующую теорему.

Теорема (закон инерции квадратичных форм). Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится квадратичная форма невырожденными линейными преобразованиями, не зависит от выбора этих преобразований.

7.5. Задания для самостоятельной работы по главе 7

7.1. Доказать, что если квадратичная форма с матрицей А положительно определена, то и квадратичная форма с обратной матрицей положительно определена.

7.2. Найти нормальный вид в области вещественных чисел

7.3. Найти нормальный вид в области вещественных чисел