Ранг r матрицы. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований
А также рассмотрим важное практическое приложение темы: исследование системы линейных уравнений на совместность .
Что такое ранг матрицы?
В юмористическом эпиграфе статьи содержится большая доля истины. Само слово «ранг» у нас обычно ассоциируется с некоторой иерархией, чаще всего, со служебной лестницей. Чем больше у человека знаний, опыта, способностей, блата и т.д. – тем выше его должность и спектр возможностей. Выражаясь по молодёжному, под рангом подразумевают общую степень «крутизны».
И братья наши математические живут по тем же принципам. Выведем на прогулку несколько произвольных нулевых матриц
:
Задумаемся, если в матрице одни нули , то о каком ранге может идти речь? Всем знакомо неформальное выражение «полный ноль». В обществе матриц всё точно так же:
Ранг нулевой матрицы любых размеров равен нулю .
Примечание : нулевая матрица обозначается греческой буквой «тета»
В целях лучшего понимания ранга матрицы здесь и далее я буду привлекать на помощь материалы аналитической геометрии . Рассмотрим нулевой вектор нашего трёхмерного пространства, который не задаёт определённого направления и бесполезен для построения аффинного базиса . С алгебраической точки зрения координаты данного вектора записаны в матрицу «один на три» и логично (в указанном геометрическом смысле) считать, что ранг этой матрицы равен нулю.
Теперь рассмотрим несколько ненулевых
векторов-столбцов
и векторов-строк
:
В каждом экземпляре есть хотя бы один ненулевой элемент, и это уже кое-что!
Ранг любого ненулевого вектора-строки (вектора-столбца) равен единице
И вообще – если в матрице произвольных размеров есть хотя бы один ненулевой элемент, то её ранг не меньше единицы .
Алгебраические векторы-строки и векторы-столбцы в известной степени абстрактны, поэтому снова обратимся к геометрической ассоциации. Ненулевой вектор задаёт вполне определённое направление в пространстве и годится для построения базиса , поэтому ранг матрицы будем считать равным единице.
Теоретическая справка : в линейной алгебре вектор – это элемент векторного пространства (определяемое через 8 аксиом), который, в частности, может представлять собой упорядоченную строку (или столбец) действительных чисел с определёнными для них операциями сложения и умножения на действительное число. С более подробной информацией о векторах можно ознакомиться в статье Линейные преобразования .
линейно зависимы
(выражаются друг через друга). С геометрической точки зрения во вторую строку записаны координаты коллинеарного вектора 
, который ничуть не продвинул дело в построении трёхмерного базиса
, являясь в этом смысле лишним. Таким образом, ранг данной матрицы тоже равен единице.
Перепишем координаты векторов в столбцы (транспонируем матрицу
):
Что изменилось с точки зрения ранга? Ничего. Столбцы пропорциональны, значит, ранг равен единице. Кстати, обратите внимание, что все три строки тоже пропорциональны. Их можно отождествить с координатами трёх коллинеарных векторов плоскости, из которых только один полезен для построения «плоского» базиса. И это полностью согласуется с нашим геометрическим смыслом ранга.
Из вышеприведённого примера следует важное утверждение:
Ранг матрицы по строкам равен рангу матрицы по столбцам . Об этом я уже немного упоминал на уроке об эффективных методах вычисления определителя .
Примечание : из линейной зависимости строк следует линейная зависимость столбцов (и наоборот). Но в целях экономии времени, да и в силу привычки я почти всегда буду говорить о линейной зависимости строк.
Продолжим дрессировать нашего любимого питомца. Добавим в матрицу третьей строкой координаты ещё одного коллинеарного вектора 
:
Помог ли он нам в построении трёхмерного базиса? Конечно, нет. Все три вектора гуляют туда-сюда по одной дорожке, и ранг матрицы равен единице. Можно взять сколько угодно коллинеарных векторов, скажем, 100, уложить их координаты в матрицу «сто на три» и ранг такого небоскрёба всё равно останется единичным.
Познакомимся с матрицей , строки которой линейно независимы . Пара неколлинеарных векторов пригодна для построения трёхмерного базиса. Ранг этой матрицы равен двум.
А чему равен ранг матрицы ? Строки вроде не пропорциональны…, значит, по идее трём. Однако ранг этой матрицы тоже равен двум. Я сложил первые две строки и записал результат внизу, то есть линейно выразил третью строку через первые две. Геометрически строки матрицы соответствуют координатам трёх компланарных векторов , причём среди этой тройки существует пара неколлинеарных товарищей.
Как видите, линейная зависимость в рассмотренной матрице не очевидна, и сегодня мы как раз научимся выводить её «на чистую воду».
Думаю, многие догадываются, что такое ранг матрицы!
Рассмотрим матрицу , строки которой линейно независимы . Векторы образуют аффинный базис , и ранг данной матрицы равняется трём.
Как вы знаете, любой четвёртый, пятый, десятый вектор трёхмерного пространства будет линейно выражаться через базисные векторы. Поэтому, если в матрицу добавить любое количество строк, то её ранг всё равно будет равен трём .
Аналогичные рассуждения можно провести для матриц бОльших размеров (понятно, уже без геометрического смысла).
Определение : ранг матрицы – это максимальное количество линейно независимых строк . Или: ранг матрицы – это максимальное количество линейно независимых столбцов . Да, их количество всегда совпадает.
Из вышесказанного также следует важный практический ориентир: ранг матрицы не превосходит её минимальной размерности
. Например, в матрице 
четыре строки и пять столбцов. Минимальная размерность – четыре, следовательно, ранг данной матрицы заведомо не превзойдёт 4.
Обозначения : в мировой теории и практике не существует общепринятого стандарта для обозначения ранга матрицы, наиболее часто можно встретить: – как говорится, англичанин пишет одно, немец другое. Поэтому давайте по мотивам известного анекдота про американский и русский ад обозначать ранг матрицы родным словом. Например: . А если матрица «безымянная», коих встречается очень много, то можно просто записать .
Как найти ранг матрицы с помощью миноров?
Если бы у бабушки нас в матрице был пятый столбец, то следовало бы вычислить ещё один минор 4-го порядка («синие», «малиновый» + 5-й столбец).
Вывод : максимальный порядок ненулевого минора равен трём, значит, .
Возможно, не все до конца осмыслили данную фразу: минор 4-го порядка равен нулю, но среди миноров 3-го порядка нашёлся ненулевой – поэтому максимальный порядок ненулевого минора и равен трём.
Возникает вопрос, а почему бы сразу не вычислить определитель? Ну, во-первых, в большинстве заданий матрица не квадратная, а во-вторых, даже если у вас и получится ненулевое значение, то задание с высокой вероятностью забракуют, так как оно обычно подразумевает стандартное решение «снизу вверх». А в рассмотренном примере нулевой определитель 4-го порядка и вовсе позволяет утверждать, что ранг матрицы лишь меньше четырёх.
Должен признаться, разобранную задачу я придумал сам, чтобы качественнее объяснить метод окаймляющих миноров. В реальной практике всё проще:
Пример 2
Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров
Решение и ответ в конце урока.
Когда алгоритм работает быстрее всего? Вернёмся к той же матрице «четыре на четыре» 
. Очевидно, решение будет самым коротким в случае «хороших» угловых миноров
:
И, если , то , в противном случае – .
Размышление совсем не гипотетично – существует немало примеров, где всё дело и ограничивается только угловыми минорами.
Однако в ряде случаев более эффективен и предпочтителен другой способ:
Как найти ранг матрицы с помощью метода Гаусса?
Параграф рассчитан на читателей, которые уже знакомы с методом Гаусса и мало-мальски набили на нём руку.
С технической точки зрения метод не отличается новизной:
1) с помощью элементарных преобразований приводим матрицу к ступенчатому виду;
2) ранг матрицы равен количеству строк.
Совершенно понятно, что использование метода Гаусса не меняет ранга матрицы , и суть здесь предельно проста: согласно алгоритму, в ходе элементарных преобразований выявляются и удаляются все лишние пропорциональные (линейно зависимые) строки, в результате чего остаётся «сухой остаток» – максимальное количество линейно независимых строк.
Преобразуем старую знакомую матрицу с координатами трёх коллинеарных векторов:
(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку.
(2) Нулевые строки удаляем.
Таким образом, осталась одна строка, следовательно, . Что и говорить, это гораздо быстрее, чем рассчитать девять нулевых миноров 2-го порядка и только потом сделать вывод.
Напоминаю, что в самой по себе алгебраической матрице
ничего менять нельзя, и преобразования выполняются только с целью выяснения ранга! Кстати, остановимся ещё раз на вопросе, почему нельзя? Исходная матрица 
несёт информацию, которая принципиально отлична от информации матрицы и строки . В некоторых математических моделях (без преувеличения) разница в одном числе может быть вопросом жизни и смерти. …Вспомнились школьные учителя математики начальных и средних классов, которые безжалостно срезали оценку на 1-2 балла за малейшую неточность или отклонение от алгоритма. И было жутко обидно, когда вместо, казалось бы, гарантированной «пятёрки» получалось «хорошо» или того хуже. Понимание пришло намного позже – а как иначе доверить человеку спутники, ядерные боеголовки и электростанции? Но вы не беспокойтесь, я не работаю в этих сферах =)
Перейдём к более содержательным заданиям, где помимо прочего познакомимся с важными вычислительными приёмами метода Гаусса :
Пример 3
Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований
Решение : дана матрица «четыре на пять», значит, её ранг заведомо не больше, чем 4.
В первом столбце, отсутствует 1 или –1, следовательно, необходимы дополнительные действия, направленные на получение хотя бы одной единицы. За всё время существования сайта мне неоднократно задавали вопрос: «Можно ли в ходе элементарных преобразований переставлять столбцы?». Вот здесь – переставили первый-второй столбец, и всё отлично! В большинстве задач, где используется метод Гаусса , столбцы действительно переставлять можно. НО НЕ НУЖНО. И дело даже не в возможной путанице с переменными, дело в том, что в классическом курсе обучения высшей математике данное действие традиционно не рассматривается, поэтому на такой реверанс посмотрят ОЧЕНЬ криво (а то и заставят всё переделывать).
Второй момент касается чисел. В ходе решения полезно руководствоваться следующим эмпирическим правилом: элементарные преобразования по возможности должны уменьшать числа матрицы . Ведь с единицей-двойкой-тройкой работать значительно легче, чем, например, с 23, 45 и 97. И первое действие направлено не только на получение единицы в первом столбце, но и на ликвидацию чисел 7 и 11.
Сначала полное решение, потом комментарии:
(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –3. И до кучи: к 4-й строке прибавили 1-ю строку, умноженную на –1.
(2) Последние три строки пропорциональны. Удалили 3-ю и 4-ю строки, вторую строку переместили на первое место.
(3) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –3.
В приведённой к ступенчатому виду матрице две строки.
Ответ :
Теперь ваша очередь мучить матрицу «четыре на четыре»:
Пример 4
Найти ранг матрицы методом Гаусса
Напоминаю, что метод Гаусса не предполагает однозначной жёсткости, и ваше решение, скорее всего, будет отличаться от моего решения. Краткий образец оформления задачи в конце урока.
Какой метод использовать для нахождения ранга матрицы?
На практике зачастую вообще не сказано, какой метод необходимо использовать для нахождения ранга. В такой ситуации следует анализировать условие – для одних матриц рациональнее провести решение через миноры, а для других значительно выгоднее применить элементарные преобразования:
Пример 5
Найти ранг матрицы 
Решение : первый способ как-то сразу отпадает =)
Чуть выше я советовал не трогать столбцы матрицы, но когда есть нулевой столбец, либо пропорциональные/совпадающие столбцы, то всё же стОит провести ампутацию:
(1) Пятый столбец нулевой, удалим его из матрицы. Таким образом, ранг матрицы не больше четырёх. Первую строку умножили на –1. Это ещё одна фирменная фишка метода Гаусса, превращающая следующее действие в приятную прогулку:
(2) Ко всем строкам, начиная со второй, прибавили первую строку.
(3) Первую строку умножили на –1, третью строку разделили на 2, четвёртую строку разделили на 3. К пятой строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.
(4) К пятой строке прибавили третью строку, умноженную на –2.
(5) Последние две строки пропорциональны, пятую удаляем.
В результате получено 4 строки.
Ответ :
Стандартная пятиэтажка для самостоятельного исследования:
Пример 6
Найти ранг матрицы
Краткое решение и ответ в конце урока.
Следует отметить, что словосочетание «ранг матрицы» не так часто встретишь на практике, и в большинстве задач можно вообще обойтись без него. Но существует одно задание, где рассматриваемое понятие является главным действующим лицом, и в заключение статьи мы рассмотрим это практическое приложение:
Как исследовать систему линейных уравнений на совместность?
Нередко помимо решения системы линейных уравнений по условию предварительно требуется исследовать её на совместность, то есть доказать, что какое-либо решение вообще существует. Ключевую роль в такой проверке играет теорема Кронекера-Капелли , которую я сформулирую в необходимом виде:
Если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы , то система совместна, причём, если данное число совпадает с количеством неизвестных, то решение единственно.
Таким образом, для исследования системы на совместность нужно проверить равенство 
, где – матрица системы
(вспоминаем терминологию из урока Метод Гаусса
), а – расширенная матрица системы
(т.е. матрица с коэффициентами при переменных + столбец свободных членов).
Ранг матрицы представляет собой важную числовую характеристику. Наиболее характерной задачей, требующей нахождения ранга матрицы, является проверка совместности системы линейных алгебраических уравнений. В этой статье мы дадим понятие ранга матрицы и рассмотрим методы его нахождения. Для лучшего усвоения материала подробно разберем решения нескольких примеров.
Навигация по странице.
Определение ранга матрицы и необходимые дополнительные понятия.
Прежде чем озвучить определение ранга матрицы, следует хорошо разобраться с понятием минора, а нахождение миноров матрицы подразумевает умение вычисления определителя. Так что рекомендуем при необходимости вспомнить теорию статьи методы нахождения определителя матрицы, свойства определителя.
Возьмем матрицу А
порядка . Пусть k
– некоторое натуральное число, не превосходящее наименьшего из чисел m
и n
, то есть, 
.
Определение.
Минором k-ого порядка матрицы А называется определитель квадратной матрицы порядка , составленной из элементов матрицы А , которые находятся в заранее выбранных k строках и k столбцах, причем расположение элементов матрицы А сохраняется.
Другими словами, если в матрице А вычеркнуть (p–k) строк и (n–k) столбцов, а из оставшихся элементов составить матрицу, сохраняя расположение элементов матрицы А , то определитель полученной матрицы есть минор порядка k матрицы А .
Разберемся с определением минора матрицы на примере.
Рассмотрим матрицу 
.
Запишем несколько миноров первого порядка этой матрицы. К примеру, если мы выберем третью строку и второй столбец матрицы А
, то нашему выбору соответствует минор первого порядка 
. Иными словами, для получения этого минора мы вычеркнули первую и вторую строки, а также первый, третий и четвертый столбцы из матрицы А
, а из оставшегося элемента составили определитель. Если же выбрать первую строку и третий столбец матрицы А
, то мы получим минор 
.
Проиллюстрируем процедуру получения рассмотренных миноров первого порядка
и 
.
Таким образом, минорами первого порядка матрицы являются сами элементы матрицы.
Покажем несколько миноров второго порядка. Выбираем две строки и два столбца. К примеру, возьмем первую и вторую строки и третий и четвертый столбец. При таком выборе имеем минор второго порядка 
. Этот минор также можно было составить вычеркиванием из матрицы А
третьей строки, первого и второго столбцов.
Другим минором второго порядка матрицы А является .
Проиллюстрируем построение этих миноров второго порядка
и 
.
Аналогично могут быть найдены миноры третьего порядка матрицы А
. Так как в матрице А
всего три строки, то выбираем их все. Если к этим строкам выбрать три первых столбца, то получим минор третьего порядка
Он также может быть построен вычеркиванием последнего столбца матрицы А .
Другим минором третьего порядка является
получающийся вычеркиванием третьего столбца матрицы А
.
Вот рисунок, показывающий построение этих миноров третьего порядка
и 
.
Для данной матрицы А миноров порядка выше третьего не существует, так как .
Сколько же существует миноров k-ого порядка матрицы А порядка ?
Число миноров порядка k
может быть вычислено как , где 
и 
- число сочетаний из p
по k
и из n
по k
соответственно.
Как же построить все миноры порядка k матрицы А порядка p на n ?
Нам потребуется множество номеров строк матрицы и множество номеров столбцов . Записываем все сочетания из p элементов по k (они будут соответствовать выбираемым строкам матрицы А при построении минора порядка k ). К каждому сочетанию номеров строк последовательно добавляем все сочетания из n элементов по k номеров столбцов. Эти наборы сочетаний номеров строк и номеров столбцов матрицы А помогут составить все миноры порядка k .
Разберем на примере.
Пример.
Найдите все миноры второго порядка матрицы .
Решение.
Так как порядок исходной матрицы равен 3
на 3, то всего миноров второго порядка будет 
.
Запишем все сочетания из 3 по 2 номеров строк матрицы А : 1, 2 ; 1, 3 и 2, 3 . Все сочетания из 3 по 2 номеров столбцов есть 1, 2 ; 1, 3 и 2, 3 .
Возьмем первую и вторую строки матрицы А
. Выбрав к этим строкам первый и второй столбцы, первый и третий столбцы, второй и третий столбцы, получим соответственно миноры
Для первой и третьей строк при аналогичном выборе столбцов имеем
Осталось ко второй и третьей строкам добавить первый и второй, первый и третий, второй и третий столбцы:
Итак, все девять миноров второго порядка матрицы А найдены.
Сейчас можно переходить к определению ранга матрицы.
Определение.
Ранг матрицы – это наивысший порядок минора матрицы, отличного от нуля.
Ранг матрицы А обозначают как Rank(A) . Можно также встретить обозначения Rg(A) или Rang(A) .
Из определений ранга матрицы и минора матрицы можно заключить, что ранг нулевой матрицы равен нулю, а ранг ненулевой матрицы не меньше единицы.
Нахождение ранга матрицы по определению.
Итак, первым методом нахождения ранга матрицы является метод перебора миноров . Этот способ основан на определении ранга матрицы.
Пусть нам требуется найти ранг матрицы А порядка .
Вкратце опишем алгоритм решения этой задачи способом перебора миноров.
Если есть хотя бы один элемент матрицы, отличный от нуля, то ранг матрицы как минимум равен единице (так как есть минор первого порядка, не равный нулю).
Далее перебираем миноры второго порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг матрицы равен единице. Если существует хотя бы один ненулевой минор второго порядка, то переходим к перебору миноров третьего порядка, а ранг матрицы как минимум равен двум.
Аналогично, если все миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы равен двум. Если существует хотя бы один минор третьего порядка, отличный от нуля, то ранг матрицы как минимум равен трем, а мы преступаем к перебору миноров четвертого порядка.
Отметим, что ранг матрицы не может превышать наименьшего из чисел p и n .
Пример.
Найдите ранг матрицы 
.
Решение.
Так как матрица ненулевая, то ее ранг не меньше единицы.
Минор второго порядка 
отличен от нуля, следовательно, ранг матрицы А
не меньше двух. Переходим к перебору миноров третьего порядка. Всего их 
штук.
Все миноры третьего порядка равны нулю. Поэтому, ранг матрицы равен двум.
Ответ:
Rank(A) = 2 .
Нахождение ранга матрицы методом окаймляющих миноров.
Существуют другие методы нахождения ранга матрицы, которые позволяют получить результат при меньшей вычислительной работе.
Одним из таких методов является метод окаймляющих миноров .
Разберемся с понятием окаймляющего минора .
Говорят, что минор М ок (k+1)-ого порядка матрицы А окаймляет минор M порядка k матрицы А , если матрица, соответствующая минору М ок , «содержит» матрицу, соответствующую минору M .
Другими словами, матрица, соответствующая окаймляемому минору М , получается из матрицы, соответствующей окаймляющему минору M ок , вычеркиванием элементов одной строки и одного столбца.
Для примера рассмотрим матрицу 
и возьмем минор второго порядка . Запишем все окаймляющие миноры:
Метод окаймляющих миноров обосновывается следующей теоремой (приведем ее формулировку без доказательства).
Теорема.
Если все миноры, окаймляющие минор k-ого порядка матрицы А порядка p на n , равны нулю, то все миноры порядка (k+1) матрицы А равны нулю.
Таким образом, для нахождения ранга матрицы не обязательно перебирать все миноры, достаточно окаймляющих. Количество миноров, окаймляющих минор k -ого
порядка матрицы А
порядка , находится по формуле 
. Отметим, что миноров, окаймляющих минор k-ого
порядка матрицы А
, не больше, чем миноров (k + 1)-ого
порядка матрицы А
. Поэтому, в большинстве случаев использование метода окаймляющих миноров выгоднее простого перебора всех миноров.
Перейдем к нахождению ранга матрицы методом окаймляющих миноров. Кратко опишем алгоритм этого метода.
Если матрица А ненулевая, то в качестве минора первого порядка берем любой элемент матрицы А , отличный от нуля. Рассматриваем его окаймляющие миноры. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен единице. Если же есть хотя бы один ненулевой окаймляющий минор (его порядок равен двум), то переходим к рассмотрению его окаймляющих миноров. Если все они равны нулю, то Rank(A) = 2 . Если хотя бы один окаймляющий минор отличен от нуля (его порядок равен трем), то рассматриваем его окаймляющие миноры. И так далее. В итоге Rank(A) = k , если все окаймляющие миноры (k + 1)-ого порядка матрицы А равны нулю, либо Rank(A) = min(p, n) , если существует ненулевой минор, окаймляющий минор порядка (min(p, n) – 1) .
Разберем метод окаймляющих миноров для нахождения ранга матрицы на примере.
Пример.
Найдите ранг матрицы 
методом окаймляющих миноров.
Решение.
Так как элемент a 1 1
матрицы А
отличен от нуля, то возьмем его в качестве минора первого порядка. Начнем поиск окаймляющего минора, отличного от нуля:
Найден окаймляющий минор второго порядка, отличный от нуля . Переберем его окаймляющие миноры (их 
штук):
Все миноры, окаймляющие минор второго порядка , равны нулю, следовательно, ранг матрицы А равен двум.
Ответ:
Rank(A) = 2 .
Пример.
Найдите ранг матрицы 
с помощью окаймляющих миноров.
Решение.
В качестве отличного от нуля минора первого порядка возьмем элемент a 1 1 = 1
матрицы А
. Окаймляющий его минор второго порядка 
не равен нулю. Этот минор окаймляется минором третьего порядка 
. Так как он не равен нулю и для него не существует ни одного окаймляющего минора, то ранг матрицы А
равен трем.
Ответ:
Rank(A) = 3 .
Нахождение ранга с помощью элементарных преобразований матрицы (методом Гаусса).
Рассмотрим еще один способ нахождения ранга матрицы.
Следующие преобразования матрицы называют элементарными:
- перестановка местами строк (или столбцов) матрицы;
- умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на произвольное число k , отличное от нуля;
- прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца) матрицы, умноженных на произвольное число k .
Матрица В называется эквивалентной матрице А , если В получена из А с помощью конечного числа элементарных преобразований. Эквивалентность матриц обозначается символом « ~ » , то есть, записывается A ~ B .
Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований матрицы основано на утверждении: если матрица В получена из матрицы А с помощью конечного числа элементарных преобразований, то Rank(A) = Rank(B) .
Справедливость этого утверждения следует из свойств определителя матрицы:
- При перестановке строк (или столбцов) матрицы ее определитель меняет знак. Если он равен нулю, то при перестановке строк (столбцов) он остается равным нулю.
- При умножении всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на произвольное число k отличное от нуля, определитель полученной матрицы равен определителю исходной матрицы, умноженному на k . Если определитель исходной матрицы равен нулю, то после умножения всех элементов какой-либо строки или столбца на число k определитель полученной матрицы также будет равен нулю.
- Прибавление к элементам некоторой строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца) матрицы, умноженных на некоторое число k , не изменяет ее определителя.
Суть метода элементарных преобразований заключается в приведении матрицы, ранг которой нам требуется найти, к трапециевидной (в частном случае к верхней треугольной) с помощью элементарных преобразований.
Для чего это делается? Ранг матриц такого вида очень легко найти. Он равен количеству строк, содержащих хотя бы один ненулевой элемент. А так как ранг матрицы при проведении элементарных преобразований не изменяется, то полученное значение будет рангом исходной матрицы.
Приведем иллюстрации матриц, одна из которых должна получиться после преобразований. Их вид зависит от порядка матрицы.
Эти иллюстрации являются шаблонами, к которым будем преобразовывать матрицу А .
Опишем алгоритм метода .
Пусть нам требуется найти ранг ненулевой матрицы А порядка (p может быть равно n ).
Итак, . Умножим все элементы первой строки матрицы А
на . При этом получим эквивалентную матрицу, обозначим ее А (1)
:
К элементам второй строки полученной матрицы А (1)
прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на . К элементам третьей строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на . И так далее до p-ой
строки. Получим эквивалентную матрицу, обозначим ее А (2)
:
Если все элементы полученной матрицы, находящиеся в строках со второй по p-ую , равны нулю, то ранг этой матрицы равен единице, а, следовательно, и ранг исходной матрицы равен единице.
Если же в строках со второй по p-ую
есть хотя бы один ненулевой элемент, то продолжаем проводить преобразования. Причем действуем абсолютно аналогично, но лишь с отмеченной на рисунке частью матрицы А (2)
Если , то переставляем строки и (или) столбцы матрицы А (2) так, чтобы «новый» элемент стал ненулевым.
Элементарными называются следующие преобразования матрицы:
1) перестановка двух любых строк (или столбцов),
2) умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,
3) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число.
Две матрицы называются эквивалентными , если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований.
Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны. Если матрицы А и В эквивалентны, то это записывается так: A ~ B.
Канонической матрицей называется матрица, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц (число которых может равняться нулю), а все остальные элементы равны нулю, например,
При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.
Пример 2 Найти ранг матрицы
А= 
и привести ее к каноническому виду.
Решение. Из второй строки вычтем первую и переставим эти строки:
.
Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5:
;
из третьей строки вычтем первую; получим матрицу
В = 
,
которая эквивалентна матрице А, так как получена из нее с помощью конечного множества элементарных преобразований. Очевидно, что ранг матрицы В равен 2, а следовательно, и r(A)=2. Матрицу В легко привести к канонической. Вычитая первый столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы первой строки, кроме первого, причем элементы остальных строк не изменяются. Затем, вычитая второй столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы второй строки, кроме второго, и получим каноническую матрицу:
.
Теоре́ма Кро́некера - Капе́лли - критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:
Для того чтобы линейная система являлась совместной, необходимо и достаточно, что бы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы.
Доказательство (условия совместности системы)
Необходимость
Пусть система совместна. Тогда существуют числа такие, что . Следовательно, столбец является линейной комбинацией столбцов матрицы . Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что .
Достаточность
Пусть . Возьмем в матрице какой-нибудь базисный минор. Так как , то он же и будет базисным минором и матрицы . Тогда, согласно теореме о базисном миноре , последний столбец матрицы будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы . Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы .
Следствия
Количество главных переменных системы равно рангу системы.
Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.
Однородная система уравнений
Предложение 15 . 2 Однородная система уравнений
|
|
всегда является совместной.
Доказательство . Для этой системы набор чисел , , , является решением.
В этом разделе мы будем использовать матричную запись системы: .
Предложение 15 . 3 Сумма решений однородной системы линейных уравнений является решением этой системы. Решение, умноженное на число, тоже является решением.
Доказательство . Пусть и служат решениями системы . Тогда и . Пусть . Тогда
Так как , то -- решение.
Пусть -- произвольное число, . Тогда
Так как , то -- решение.
Следствие 15 . 1 Если однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много различных решений.
Действительно, умножая ненулевое решение на различные числа, будем получать различные решения.
Определение
15
.
5
Будем говорить, что
решения 
системы образуют фундаментальную
систему решений
,
если столбцы 
образуют
линейно независимую систему и любое
решение системы является линейной
комбинацией этих столбцов.
Теорема (о корректности определения рангов). Пусть все миноры матрицы A m × n {\displaystyle A_{m\times n}} порядка k {\displaystyle k} равны нулю ( M k = 0 {\displaystyle M_{k}=0} ). Тогда ∀ M k + 1 = 0 {\displaystyle \forall M_{k+1}=0} , если они существуют. Шаблон:/рамка
Связанные определения
Свойства
- Теорема (о базисном миноре): Пусть r = rang A , M r {\displaystyle r=\operatorname {rang} A,M_{r}} - базисный минор матрицы A {\displaystyle A} , тогда:
- Следствия:
- Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях): Введём обозначение для матриц, полученных друг из друга элементарными преобразованиями . Тогда справедливо утверждение: Если A ∼ B {\displaystyle A\sim B} , то их ранги равны.
- Теорема Кронекера - Капелли :
Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. В частности:
- Количество главных переменных системы равно рангу системы.
- Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.
- Неравенство Сильвестра : Если A и B матрицы размеров m x n и n x k , то
Это частный случай следующего неравенства.
- Неравенство Фробениуса : Если AB, BC, ABC корректно определены, то
Линейное преобразование и ранг матрицы
Пусть A {\displaystyle A} - матрица размера m × n {\displaystyle m\times n} над полем C {\displaystyle C} (или R {\displaystyle R} ). Пусть T {\displaystyle T} - линейное преобразование, соответствующее A {\displaystyle A} в стандартном базисе; это значит, что T (x) = A x {\displaystyle T(x)=Ax} . Ранг матрицы A {\displaystyle A} - это размерность области значений преобразования T {\displaystyle T} .
Методы
Существует несколько методов нахождения ранга матрицы:
- Метод элементарных преобразований
- Метод окаймляющих миноров