Определение логарифмической функции. Логарифм - свойства, формулы, график

Урок алгебры в 10 классе

Тема: «Логарифмическая функция, её свойства и график»

Цели:

Образовательная : Ввести понятие логарифмической функции с применением прошлого опыта, дать определение. Изучить основные свойства логарифмической функции. Сформировать умение выполнять построение графика логарифмической функции.

Развивающая: Выработать умение выделять главное, сравнивать, обобщать. Формировать графическую культуру учащихся.

Воспитательная: Показать взаимосвязь математики с окружающей действительностью. Формировать навыки общения, диалога, умение работать в коллективе.

Тип урока: Комбинированный

Методы обучения: Частично-поисковый, диалоговый.

Ход урока .

1.Актуализация прошлого опыта:

Учащимся предлагаются устные упражнения с использованием определения логарифма, его свойств, формул перехода к новому основанию, решения простейших логарифмических и показательных уравнений, примеров на нахождение области допустимых значений под логарифмических выражений

Устные упражнения Устная работа.

1) Вычислить, пользуясь определением логарифма: log 2 8; log 4 16;.

2) Вычислить, используя основное логарифмическое тождество:

3) Решите уравнение, используя определение:

4) Выясните, при каких значениях x имеет смысл выражение:

5) Найдите значение выражения, используя свойства логарифмов:

2. Изучение темы. Учащимся предлагается решить показательные уравнения: 2 х =у; () х =у. с помощью выражения переменной х через переменную у. В результате этой работы получаются формулы, которые задают функции, незнакомые учащимся. ,.Вопрос : «Как бы вы назвали эту функции?» учащиеся говорят, что она логарифмическая, так как переменная стоит под знаком логарифма: .

Вопрос . Дайте определение функции. Определение: Функцию, заданную формулой у=log a x называют логарифмической с основанием а (а>0, а 1)

III. Исследование функции y=log a x

Совсем недавно мы ввели понятие логарифма положительного числа по положительному и отличному от 1 основанию а. Для любого положительного числа можно найти логарифм по заданному основанию. Но тогда следует подумать и о функции вида у=log a x, и о ее графике и свойствах. Функцию, заданную формулой у=log a x называют логарифмической с основанием а (а>0, а 1)

Основные свойства логарифмической функции:

1. Областью определения логарифмической функции будет являться все множество положительных действительных чисел. Для краткости его еще обозначают R+. Очевидное свойство, так как каждое положительное число имеет логарифм по основанию а. D (f )=R+

2. Областью значения логарифмической функции будет являться все множество действительных чисел. E (f )= (-∞; +∞)

3 . График логарифмической функции всегда проходит через точку (1;0).

4 . Л логарифмическая функция возраста ет при а >1, и убывает при 0<х<1.

5 . Функция не является четной или нечетной. Логарифмическая функция – функция общего вид а .

6 . Функция не имеет точек максимума и минимума , в области определения непрерывна .

На следующем рисунке представлен график убывающей логарифмической функции - (0

Если построить в одной оси координат показательную и логарифмическую функции с одинаковыми основаниями, то графики этих функций будут симметричны относительно прямой y = x. Данное утверждение показано на следующем рисунке.

Изложенное выше утверждение будет справедливо, как для возрастающих, так и для убывающих логарифмических и показательных функций.

Рассмотрим пример: найти область определения логарифмической функции f(x) = log 8 (4 - 5x).

Исходя из свойств логарифмической функции, областью определения является все множество положительных действительных чисел R+. Тогда заданная функция будет определена для таких х, при которых 4 - 5x>0. Решаем это неравенство и получаем x<0.8. Таким образом, получается, что областью определения функции f(x) = log 8 (4 - 5*x) будет являться промежуток (-∞;0.8)

Графики логарифмической функции в программе GeoGebra

Графики логарифмической функции
1) натуральный логарифм y = ln (x)
2) десятичный логарифм y = lg (x)
3) логарифм по основанию 2 y = ld (x)

V. Закрепление темы

Применяя полученные свойства логарифмической функции решим следующие задания:

1. Найти область определения функции: у=log 8 (4-5x);у= log 0,5 (2х+8);.

3. Схематично построить графики функций:у=log 2 (х+2) -3 у= log 2 (х) +2

Приведены основные свойства логарифма, график логарифма, область определения, множество значений, основные формулы, возрастание и убывание. Рассмотрено нахождение производной логарифма. А также интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел.

Определение логарифма

Логарифм с основанием a - это функция y(x) = log a x , обратная к показательной функции с основанием a: x(y) = a y .

Десятичный логарифм - это логарифм по основанию числа 10 : lg x ≡ log 10 x .

Натуральный логарифм - это логарифм по основанию числа e : ln x ≡ log e x .

2,718281828459045... ;
.

График логарифма получается из графика показательной функции зеркальным отражением относительно прямой y = x . Слева изображены графики функции y(x) = log a x для четырех значений основания логарифма : a = 2 , a = 8 , a = 1/2 и a = 1/8 . На графике видно, что при a > 1 логарифм монотонно возрастает. С увеличением x рост существенно замедляется. При 0 < a < 1 логарифм монотонно убывает.

Свойства логарифма

Область определения, множество значений, возрастание, убывание

Логарифм является монотонной функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства логарифма представлены в таблице.

Область определения	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Область значений	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Монотонность	монотонно возрастает	монотонно убывает
Нули, y = 0	x = 1	x = 1
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	нет	нет
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Частные значения

Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается так:

Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом :

Основные формулы логарифмов

Свойства логарифма, вытекающие из определения обратной функции:

Основное свойство логарифмов и его следствия

Формула замены основания

Логарифмирование - это математическая операция взятия логарифма. При логарифмировании, произведения сомножителей преобразуются в суммы членов.

Потенцирование - это математическая операция обратная логарифмированию. При потенцировании заданное основание возводится в степень выражения, над которым выполняется потенцирование. При этом суммы членов преобразуются в произведения сомножителей.

Доказательство основных формул логарифмов

Формулы, связанные с логарифмами вытекают из формул для показательных функций и из определения обратной функции.

Рассмотрим свойство показательной функции
.
Тогда
.
Применим свойство показательной функции
:
.

Докажем формулу замены основания.
;
.
Полагая c = b , имеем:

Обратная функция

Обратной для логарифма по основанию a является показательная функция с показателем степени a .

Если , то

Если , то

Производная логарифма

Производная логарифма от модуля x :
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Для нахождения производной логарифма, его нужно привести к основанию e .
;
.

Интеграл

Интеграл от логарифма вычисляется интегрированием по частям : .
Итак,

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного числа z :
.
Выразим комплексное число z через модуль r и аргумент φ :
.
Тогда, используя свойства логарифма, имеем:
.
Или

Однако, аргумент φ определен не однозначно. Если положить
, где n - целое,
то будет одним и тем же числом при различных n .

Поэтому логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.

Разложение в степенной ряд

При имеет место разложение:

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Понятие логарифмической функции

Для начала вспомним, что же вообще такое логарифм.

Определение 1

Логарифмом числа $b\in R$ по основанию $a$ ($a>0,\ a\ne 1$) называется число $c$, в которое нужно возвести число $a$, чтобы получить число $b$.

Рассмотрим показательную функцию $f\left(x\right)=a^x$, где $a >1$. Эта функция возрастает, непрерывна и отображает действительную ось на интервал $(0,+\infty)$. Тогда, по теореме о существовании обратной непрерывной функции, у нее в множестве $Y=(0,+\infty)$ существует обратная функция $x=f^{-1}(y)$, которая также непрерывна и возрастает в $Y$ и отображает интервал $(0,+\infty)$ на всю действительную ось. Эту обратную функцию называют логарифмической функцией по основанию $a\ (a >1)$ и обозначается $y={{log}_a x\ }$.

Теперь рассмотрим показательную функцию $f\left(x\right)=a^x$, где $0

Таким образом, мы определили логарифмическую функцию при всех возможных значениях основания $a$. Рассмотрим далее два этих случая отдельно.

1%24"> Функция $y={{log}_a x\ },\ a >1$

Рассмотрим свойства данной функции.

С осью $Oy$ пересечений нет.

Функция положительна, при $x\in (1,+\infty)$ и отрицательна, при $x\in (0,1)$

$y"=\frac{1}{xlna}$;

Точки минимума и максимума:

Функция возрастает на всей области определения;

$y^{""}=-\frac{1}{x^2lna}$;

\[-\frac{1}{x^2lna}Функция выпукла на всей области определения;

${\mathop{lim}_{x\to 0} y\ }=-\infty ,\ {\mathop{lim}_{x\to +\infty } y\ }=+\infty ,\ $;

График функции (Рис. 1).

Рисунок 1. График функции $y={{log}_a x\ },\ a >1$

Функция $y={{log}_a x\ }, \ 0

Рассмотрим свойства данной функции.

Область определения -- интервал $(0,+\infty)$;

Область значения -- все действительные числа;

Функция не является ни четной, ни нечетной.

Точки пересечения с осями координат:

С осью $Oy$ пересечений нет.

При $y=0$, ${{log}_a x\ }=0,\ x=1.$ Пересечение с осью $Ox$: (1,0).

Функция положительна, при $x\in (0,1)$ и отрицательна, при $x\in (1,+\infty)$

$y"=\frac{1}{xlna}$;

Точки минимума и максимума:

\[\frac{1}{xlna}=0-корней\ нет\]

Точек максимума и минимума нет.

$y^{""}=-\frac{1}{x^2lna}$;

Промежутки выпуклости и вогнутости:

\[-\frac{1}{x^2lna}>0\]

График функции (Рис. 2).

Примеры исследования и построения логарифмических функций

Пример 1

Исследовать и построить график функции $y=2-{{log}_2 x\ }$

Область определения -- интервал $(0,+\infty)$;

Область значения -- все действительные числа;

Функция не является ни четной, ни нечетной.

Точки пересечения с осями координат:

С осью $Oy$ пересечений нет.

При $y=0$, $2-{{log}_2 x\ }=0,\ x=4.$ Пересечение с осью $Ox$: (4,0).

Функция положительна, при $x\in (0,4)$ и отрицательна, при $x\in (4,+\infty)$

$y"=-\frac{1}{xln2}$;

Точки минимума и максимума:

\[-\frac{1}{xln2}=0-корней\ нет\]

Точек максимума и минимума нет.

Функция убывает на всей области определения;

$y^{""}=\frac{1}{x^2ln2}$;

Промежутки выпуклости и вогнутости:

\[\frac{1}{x^2ln2} >0\]

Функция вогнута на всей области определения;

${\mathop{lim}_{x\to 0} y\ }=+\infty ,\ {\mathop{lim}_{x\to +\infty } y\ }=-\infty ,\ $;

Рисунок 3.

Тип урока: изучение нового материала.

Цели урока:

• сформировать представление ологарифмической функции, ее основных свойствах;
• сформировать умение выполнять построение графика логарифмической функции;
• содействовать развитию умений выявлять свойства логарифмической функции по графику;
• развитие навыков работы с текстом, умения анализировать информацию, способность ее систематизировать, оценивать, использовать;
• развитие умений работать в парах, микрогруппах (навыки общения, диалога, принятие совместного решения)

Используемая технология: технология развития критического мышления, технология работы в сотрудничестве

Используемые приемы: верные, неверные утверждения, ИНСЕРТ, кластер, синквейн

На уроке применяются элементы технологии развития критического мышления для развития способности выявлять пробелы в своих знаниях и умениях при решении новой задачи, оценивать необходимость той или иной информации для своей деятельности, осуществлять информационный поиск, самостоятельно осваивать знания, необходимые для решения познавательных и коммуникативных задач. Этот тип мышления помогает критически относиться к любым утверждениям, ничего не принимать на веру без доказательств, быть открытым новым знаниям, идеям, способам.

Восприятие информации происходит в три этапа, что соответствует таким стадиям урока:

• подготовительный – стадия вызова;
• восприятие нового – смысловая стадия (или стадия реализации смысла);
• присвоение информации – стадия рефлексии.

Учащиеся работают в группах, сопоставляют свои предположения с информацией, полученной в ходе работы с учебником, построения графиков функций и описаний их свойств, вносят в предложенную таблицу «Верите ли вы, что…» изменения, делятся мыслями с классом, обсуждают ответы на каждый вопрос. На стадии вызова выясняют в каких случаях, при выполнении каких заданий можно применить свойства логарифмической функции. На стадии осмысления содержания идет работа на распознавание графиков логарифмических функций, нахождение области определения, определение монотонности функций.

Чтобы расширить знания по изучаемому вопросу, обучающимся предлагается текст «Применение логарифмической функции в природе и технике». Используем для сохранения интереса к теме. Ученики работают в группах, составляя кластеры «Применение логарифмической функции». Затем происходит защита кластеров, обсуждение их.

В качестве творческой формы рефлексии используется синквейн, развивающий способность резюмировать информацию, излагать сложные идеи, чувства и представления в нескольких словах.

Оборудование: презентация PowerPoint, интерактивная доска, раздаточный материал (карточки, текстовый материал, таблицы), листы бумаги в клетку.

Ход урока

Стадия вызова:

Вступление учителя . Мы работаем над освоением темы «Логарифмы». Что на данный момент мы знаем и умеем?

Ответы учащихся.

Знаем : определение, свойства логарифма, основное логарифмическое тождество, формулы перехода к новому основанию, области применения логарифмов.

Умеем : вычислять логарифмы, решать простейшие логарифмические уравнения, производить преобразования логарифмов.

С каким понятием тесно связано понятие логарифма? (с понятием степени, т.к. логарифм – показатель степени)

Задание учащимся . Используя понятие логарифма, заполните две любые таблицы при а > 1 и при 0 < a < 1 (Приложение №1)

Проверка работы групп.

Что представляют собой представленные выражения? (показательные уравнения, показательные функции)

Задание учащимся . Решите показательные уравнения с помощью выражения переменной х через переменную у .

В результате этой работы получаются формулы:

В полученных выражениях поменяем местами х и у . Что получилось у нас?

Как бы вы назвали эти функции? (логарифмические, так как переменная стоит под знаком логарифма). Как записать эту функцию в общем виде?

Тема нашего урока «Логарифмическая функция, её свойства и график».

Логарифмическая функция – это функция вида , где а – заданное число, а>0 , а≠1 .

Наша задача – научиться строить и исследовать графики логарифмических функций, применять их свойства.

На столах у вас лежат карточки с вопросами. Все они начинаются со слов «Верите ли вы, что…»

Ответ на вопрос может быть только «да» или «нет». Если «да», то справа от вопроса в первом столбце поставьте знак «+», если «нет», то знак «-». Если сомневаетесь - поставьте знак «?».

Работайте в парах. Время работы 3 минуты. (Приложение №2)

Заслушав ответы учащихся, заполняется первый столбец сводной таблицы на доске.

Стадия осмысления содержания (10 мин).

Подводя итоги работы с вопросами таблицы, учитель готовит учеников к мысли, что, отвечая на вопросы, мы пока не знаем, правы мы или нет.

Задание группам . Ответы на вопросы можно найти, изучив текст §4 стр.240-242. Но предлагаю не просто читать текст, а выбрать одну из четырёх ранее полученных функций: построить её график и выявить по графику свойства логарифмической функции. Каждый член группы это делает в тетради. А затем на большом листе в клетку строят график функции. После завершения работы представитель каждой из групп выступает с защитой своей работы.

Задание группам. Обобщите свойства функции для а > 1 и 0 < a < 1 (Приложение №3)

Ось Оу является вертикальной асимптотой графика логарифмической функции и в случае, когда a>1 , и в случае, когда 0.

График функции проходит через точку с координатами (1;0)

Задание группам. Докажите, что показательная и логарифмическая функции взаимно обратны.

Ученики в одной системе координат изображают график логарифмической и показательной функции

Рассмотрим одновременно две функции: показательную у = а х и логарифмическую у = log a х .

На рис.2 схематически изображены графики функций у = а х и у = log a х в случае, когда a>1 .

На рис.3 схематически изображены графики функций у = а х и у = log a х в случае, когда 0 < a < 1.

Справедливы следующие утверждения.

• График функции у = log a х симметричен графику функции у = аx относительно прямой у = х .
• Множеством значения функции у = а х является множество у>0 , а областью определения функции у = log a х является множество х>0.
• Ось Ох является горизонтальной асимптотой графика функции у = а х , а ось Оу является вертикальной асимптотой графика функции у = log a х.
• Функция у = а х возрастает при а>1 и функция у = log a х также возрастает при а>1. Функция у = а х убывает при 0<а<1 и функция у = log a х также убывает при 0<а<1

Поэтому показательная у = а х и логарифмическая у = log a х функции взаимно обратны.

График функции у = log a х называют логарифмической кривой, хотя на самом деле нового названия можно было не придумывать. Ведь это та же экспонента, что служит графиком показательной функции, только по-другому расположенная на координатной плоскости.

Стадия рефлексии . Предварительное подведение итогов.

Вернемся к вопросам, рассмотренным в начале урока, и обсудим полученные результаты . Посмотрим, может быть, наше мнение после работы изменилось.

Учащиеся в группах сопоставляют свои предположения с информацией, полученной в ходе работы с учебником, построения графиков функций и описаний их свойств, вносят в таблицу изменения, делятся мыслями с классом, обсуждают ответы на каждый вопрос.

Стадия вызова.

Как вы думаете, в каких случаях, при выполнении каких заданий можно применить свойства логарифмической функции?

Предполагаемые ответы учащихся: решения логарифмических уравнений, неравенств, сравнения числовых выражений, содержащих логарифмы, построения, преобразования и исследования более сложных логарифмических функций.

Стадия осмысления содержания .

Работа на распознавание графиков логарифмических функций, нахождение области определения, определение монотонности функций. (Приложение №4)

Ответы .

1	2	3	4	5	6	7
1)а, 2)б, 3)в	1)а, 2)в, 3)а	а, в	в	В, С	а)< б) >	а)<0 б) <0

Чтобы расширить знания по изучаемому вопросу, обучающимся предлагается текст «Применение логарифмической функции в природе и технике». (Приложение №5) Используем технологический прием «Кластер» для сохранения интереса к теме.

«Находит ли эта функция применение в окружающем нас мире?», ответим на этот вопрос после работы над текстом о логарифмической спирали.

Составление кластера «Применение логарифмической функции». Ученики работают в группах, составляя кластеры. Затем происходит защита кластеров, обсуждение их.

Пример кластера.

Рефлексия

• О чем вы не имели представления до сегодняшнего урока, и что теперь вам стало ясно?
• Что нового вы узнали о логарифмической функции и ее приложениях?
• С какими трудностями вы столкнулись при выполнении заданий?
• Выделите тот вопрос, который для вас оказался менее понятным.
• Какая информация вас заинтересовала?
• Составьте синквейн «логарифмическая функция»
• Оцените работу своей группы (Приложение №6 «Лист оценки работы группы»)

Синквейн.

1. Логарифмическая функция
2. Неограниченная, монотонная
3. Исследовать, сравнивать, решать неравенства
4. Свойства зависят от величины основания логарифмической функции
5. Экспонента

Домашнее задание: § 4 стр.240-243, № 69-75 (четные)

Литература:

1. Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии: Гуманитарно-математический курс. - М. : Школа-Пресс,1998.-160 с.: ил. (Библиотека журнала «Математика в школе». Вып. 7.)
2. Заир-Бек С.И. Развитие критического мышления на уроке: пособие для учителей общеобразоват. учреждений. – М. Просвещение, 2011. – 223 с.
3. Колягин Ю.М. Алгебра и начала анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни. – М.: Просвещение, 2010.
4. Корчагин В.В. ЕГЭ-2009. Математика. Тематические тренировочные задания. – М.: Эксмо, 2009.
5. ЕГЭ-2008. Математика. Тематические тренировочные задания/ Корешкова Т.А. и др.. – М.: Эксмо, 2008.

Раздел логарифмов занимает огромное значение в школьном курсе «Математического анализа». Задания для логарифмических функций построены на иных принципах, нежели задачи для неравенств и уравнений. Знание определений и основных свойств понятий логарифм и логарифмическая функция, обеспечат успешное решение типовых задач ЕГЭ.

Прежде чем приступить к объяснению, что представляет собой логарифмическая функция, стоит обратиться к определению логарифма.

Разберем конкретный пример: а log a x = x, где a › 0, a ≠ 1.

Основные свойства логарифмов можно перечислить несколькими пунктами:

Логарифмирование

Логарифмированием называют математическую операцию, которая позволяет с помощью свойств понятия найти логарифм числа или выражения.

Примеры:

Функция логарифма и ее свойства

Логарифмическая функция имеет вид

Сразу отметим, что график функции может быть возрастающим при a › 1 и убывающим при 0 ‹ a ‹ 1. В зависимости от этого кривая функции будет иметь тот или иной вид.

Приведем свойства и способ построения графиков логарифмов:

• область определения f(x) – множество всех положительных чисел, т.е. x может принимать любое значение из интервала (0; + ∞);
• ОДЗ функции – множество всех действительных чисел, т.е. y может быть равен любому числу из промежутка (— ∞; +∞);
• если основание логарифма а › 1, то f(x) возрастает на всей области определения;
• если основание логарифма 0 ‹ a ‹ 1, то F – убывающая;
• логарифмическая функция не является ни четной, ни нечетной;
• кривая графика всегда проходит через точку с координатами (1;0).

Построить обе разновидности графиков очень просто, рассмотрим процесс на примере

Для начала необходимо вспомнить свойства простого логарифма и ее функции. С их помощью нужно построить таблицу для конкретных значений x и y. Затем на координатной оси следует отметить полученные точки и соединить их плавной линией. Эта кривая и будет являться требуемым графиком.

Логарифмическая функция является обратной для показательной функции, заданной формулой y= а x . Чтобы убедиться в этом, достаточно нарисовать обе кривые на одной координатной оси.

Очевидно, что обе линии являются зеркальным отражением друг друга. Построив прямую y = x, можно увидеть ось симметрии.

Для того, чтобы быстро найти ответ задачи нужно рассчитать значения точек для y = log 2⁡ x, а затем просто перенести начала точки координат на три деления вниз по оси OY и на 2 деления влево по оси OX.

В качестве доказательства построим расчетную таблицу для точек графика y = log 2 ⁡(x+2)-3 и сравним полученные значения с рисунком.

Как видно, координаты из таблицы и точек на графике совпадают, следовательно, перенос по осям был осуществлен правильно.

Примеры решения типовых задач ЕГЭ

Большую часть тестовых задач можно разделить на две части: поиск области определения, указания вида функции по рисунку графика, определение является ли функция возрастающей/убывающей.

Для быстрого ответа на задания необходимо четко уяснить, что f(x) возрастает, если показатель логарифма а › 1, а убывает – при 0 ‹ а ‹ 1. Однако, не только основание, но и аргумент может сильно повлиять на вид кривой функции.

F(x), отмеченные галочкой, являются правильными ответами. Сомнения в данном случае вызывают пример 2 и 3. Знак «-» перед log меняет возрастающую на убывающую и наоборот.

Поэтому график y=-log 3⁡ x убывает на всей области определения, а y= -log (1/3) ⁡x – возрастает, при том, что основание 0 ‹ a ‹ 1.

Ответ : 3,4,5.

Ответ : 4.

Данные типы заданий считаются легкими и оцениваются в 1- 2 балла.

Задание 3.

Определить убывающая или возрастающая ли функция и указать область ее определения.

Y = log 0.7 ⁡(0,1x-5)

Так как основание логарифма меньше единицы, но больше нуля – функция от x является убывающей. Согласно свойствам логарифма аргумент также должен быть больше нуля. Решим неравенство:

Ответ : область определения D(x) – интервал (50; + ∞).

Ответ : 3, 1, оси OX, направо.

Подобные задания классифицируются как средние и оцениваются в 3 — 4 балла.

Задание 5 . Найти область значений для функции:

Из свойств логарифма известно, что аргумент может быть только положительным. Поэтому рассчитаем область допустимых значений функции. Для этого нужно будет решить систему из двух неравенств.