Может ли экспонента равняться нулю. Что такое экспонента или как заставить чай остывать не так быстро

Описывать е как «константу, приблизительно равную 2,71828…» - это все равно, что называть число пи «иррациональным числом, приблизительно равным 3,1415…». Несомненно, так и есть, но суть по-прежнему ускользает от нас.

Число пи - это соотношение длины окружности к диаметру, одинаковое для всех окружностей . Это фундаментальная пропорция, свойственная всем окружностям, а следовательно, она участвует в вычислении длины окружности, площади, объема и площади поверхности для кругов, сфер, цилиндров и т.д. Пи показывает, что все окружности связаны, не говоря уже о тригонометрических функциях, выводимых из окружностей (синус, косинус, тангенс).

Число е является базовым соотношением роста для всех непрерывно растущих процессов. Число е позволяет взять простой темп прироста (где разница видна только в конце года) и вычислить составляющие этого показателя, нормальный рост, при котором с каждой наносекундой (или даже быстрее) всё вырастает еще на немного.

Число е участвует как в системах с экспоненциальным, так и постоянным ростом: население, радиоактивный распад, подсчет процентов, и много-много других. Даже ступенчатые системы, которые не растут равномерно, можно аппроксимировать с помощью числа е.

Также, как любое число можно рассматривать в виде «масштабированной» версии 1 (базовой единицы), любую окружность можно рассматривать в виде «масштабированной» версии единичной окружности (с радиусом 1). И любой коэффициент роста может быть рассмотрен в виде «масштабированной» версии е («единичного» коэффициента роста).

Так что число е – это не случайное, взятое наугад число. Число е воплощает в себе идею, что все непрерывно растущие системы являются масштабированными версиями одного и того же показателя.

Понятие экспоненциального роста

Давайте начнем с рассмотрения базовой системы, которая удваивается за определенный период времени. Например:

• Бактерии делятся и «удваиваются» в количестве каждые 24 часа
• Мы получаем вдвое больше лапшинок, если разламываем их пополам
• Ваши деньги каждый год увеличиваются вдвое, если вы получаете 100% прибыли (везунчик!)

И выглядит это примерно так:

Деление на два или удваивание – это очень простая прогрессия. Конечно, мы можем утроить или учетверить, но удваивание более удобно для пояснения.

Математически, если у нас есть х разделений, мы получаем в 2^x раз больше добра, чем было вначале. Если сделано только 1 разбиение, получаем в 2^1 раза больше. Если разбиений 4, у нас получится 2^4=16 частей. Общая формула выглядит так:

рост = 2 x

Другими словами, удвоение – это 100% рост. Мы можем переписать эту формулу так:

рост = (1+100%) x

Это то же равенство, мы только разделили «2» на составные части, которыми в сущности и является это число: начальное значение (1) плюс 100%. Умно, да?

Конечно, мы можем подставить и любое другое число (50%, 25%, 200%) вместо 100% и получить формулу роста для этого нового коэффициента. Общая формула для х периодов временного ряда будет иметь вид:

рост = (1+прирост ) x

Это просто означает, что мы используем норму возврата, (1 + прирост), «х» раз подряд.

Приглядимся поближе

Наша формула предполагает, что прирост происходит дискретными шагами. Наши бактерии ждут, ждут, а потом бац!, и в последнюю минуту они удваиваются в количестве. Наша прибыль по процентам от депозита магическим образом появляется ровно через 1 год. На основе формулы, написанной выше, прибыль растет ступенчато. Зеленые точки появляются внезапно.

Но мир не всегда таков. Если мы увеличим картинку, мы увидим, что наши друзья-бактерии делятся постоянно:

Зеленый малый не возникает из ничего: он медленно вырастает из синего родителя. После 1 периода времени (24 часа в нашем случае), зеленый друг уже полностью созрел. Повзрослев, он стает полноценным синим членом стада и может создавать новые зеленые клеточки сам.

Эта информация как-то изменит наше уравнение?

Не-а. В случае с бактериями, полусформированные зеленые клетки все же не могут ничего делать, пока не вырастут и совсем не отделятся от своих синих родителей. Так что уравнение справедливо.

Это число интересно тем, что повсеместно присутствует во многих разделах математики. Встретить его можно в тех областях, где математика «обслуживает» сложные физические процессы — например, затухающие колебания, ядерные реакции, радиоактивный распад и другое.

Затухающее гармоническое движение

Другой пример. Представь себе, что ты биолог и у тебя в специальном стеклянном блюдце (оно называется чашка Петри) с питательным раствором размножаются бактерии. При этом известно, что каждую минуту количество бактерий увеличивается вдвое.

Допустим, деление началось всего с одной бактерии. Через минуту бактерий будет 2, ещё через минуту 4, потом 8 и так далее. Чтобы посчитать, сколько в чашке бактерий на любой заданный момент времени, нужно применить (в качестве расчётной формулы) так называемую показательную функцию , то есть 2x (два в степени x; 2 — потому что бактерии удваиваются), где x — это заданное время в минутах от начала процесса. В математике самая «знаменитая» показательная функция — e в степени x. У неё даже есть специальное название — экспонента .

Есть ещё в высшей математике понятие производная от функции. Наглядно — это скорость роста (или убывания) графика функции в каждой точке её графика. Так вот, экспонента замечательна тем, что производная от неё равна самой функции, то есть скорость роста графика экспоненты — это тоже экспонента. И это единственная функция, которая обладает таким свойством.

В этой же статье мы обсудим, что же такое экспонента в Excel и, самое главное, для чего она может пригодиться в обычной жизни или в бизнесе.

В студенческие годы часто приходилось слышать, фразы типа: «Зачем мы вообще учим ‘это’, в жизни нам ‘это’ никогда не пригодиться». Одним из таких ‘это’ часто была экспонента или, например, . У меня была слабая высшая математика при первом образовании, о чем я жалею. И вот сейчас приходиться догонять, темы что упустил раньше. Делюсь пересказом своих знаний.

Мы знаем, что наш мир описан точными науками — т.е. набором правил и законов более-менее точно описывающих происходящее. Для этого в большинстве случаев помогают функции/формулы. В природе довольно часто встречаются экспоненциальные явления (описываем экспонентой) формулой с числом e, а у = e в степени x уже будет экспоненциальной функцией:

Число e — это т.н. число Эйлера, приблизительно равное 2,72. Примечательно оно тем, что производная от этой функции равна самой функции exp(x)` = exp(x).

Что это вообще такое, и что для нас означает?

Лучше всего, действие экспоненты показывают графики ниже:

Две функции: y = 2 в x и y = e в степени x , где x = время, к примеру. Мы видим, что скорость роста экспоненциального графика увеличивается быстрее. А все почему? Потому, что производная (скорость роста или уменьшения) функции равна самой функции, т.е. скорость увеличения функции равна значению функции.

Если грубо, то в природе, это действительно встречается часто — чем больше клеток делятся, тем быстрее их становиться больше. Чем больше у вас денег в банке, тем большую прибыль они приносят. Например:

Вы вложили 1 000 руб. в банк, через год они принесли свои 100 руб. процентами, еще через год на вас работают уже 2 работника 1 000 руб. и 100 руб. и так далее пока вы не заберете деньги или не случится банковский кризис.

Кстати население на планете Земля тоже растет по экспоненте;)

Принцип Парето и экспонента

Слышали о таком принципе? Думаю да. «20% усилий приносят 80% результата». Это он. Лучшее определение для запоминания, мне кажется:

20% любителей пива употребляют 80% всего пива

На принципе Парето построен и ABC анализ запасов, например.

Этот принцип Парето — еще один пример экспоненты.

Кстати очень справедливый закон в реальной жизни, подтверждаю своим опытом.Когда-то на первом своем проекте я заметил, что примерно за 20% времени ты создаешь 80% продукта (в количественном эквиваленте), далее работаешь на качество. Т.е. еще 80% времени допиливаешь, ищешь ошибки, настраиваешь. Я даже слышал, что говорят «разработка в стадии экспоненты» — т.е. в стадии приближения к идеалу.

При таком «допиливании» проекта важно вовремя остановиться, ведь продукт никогда не будет идеальным. Поэтому заранее определитесь какое качество вы хотели бы получить в конце. Если делаете не себе, обязательно соберите требования с заказчика. Принцип выглядит примерно так:

Вычислять значения математических функций. Ведите , экспоненту которого необходимо посчитать. Затем просто нажмите на кнопку экспоненты. На большинстве калькуляторов она выглядит как «ехр» или «е» с маленьким «иксом», расположенным немного выше и правее «е». На индикаторе калькулятора сразу же появится результат (нажимать на кнопку «=» не нужно).

Для подсчета экспоненты на компьютере воспользуйтесь стандартным калькулятором ОС Windows. Для этого запустите программу «калькулятор» (нажмите кнопку «Пуск», затем «Выполнить», наберите в появившемся окошке «calc» и нажмите «Ок»). Если на клавиатуре виртуального калькулятора нет клавиш для вычисления математических функций, то переключите в инженерный режим (выберите пункт меню «Вид», а затем укажите на «Инженерный»).

Теперь наберите число, экспоненту которого нужно посчитать. Затем поставьте «галку» в окошке «Inv» и нажмите на кнопку вычисления «ln». Обратите внимание, что после вычисления в окошке «Inv» автоматически сбрасывается и ее необходимо выставлять снова. Не пользуйтесь для вычисления экспоненты кнопкой с надписью «ехр»! В калькуляторе Windows эта кнопка используется совершенно для других целей.

Существует три вида инженерных ов: с обратной польской, арифметической и формульной записью. Бывают и такие калькуляторы, которые поддерживают переключения методов ввода выражений. Использование каждого из них имеет свои особенности.

Инструкция

Определите, какой метод ввода поддерживает ваш . Если на нем отсутствует клавиша со знаком равенства, но есть клавиша со стрелкой, направленной вверх, перед вами - машинка с обратной польской записью. Наличие клавиши со знаком равенства говорит о том, что в приборе используется метод ввода. Наконец, если индикатор калькулятора, помимо сегментных знакомест, имеет еще и матричные, то аппарат рассчитан на формульную запись. В последнем случае, вместо знака равенства на соответствующей клавише может быть нанесено "EXE" или "Enter".

Чтобы произвести расчет на калькуляторе с обратной польской записью, необходимо вначале определить очередность выполнения действий. Делается это по общепринятым математическим правилам.Действия с двумя операндами выполняйте следующим образом. Введите первый операнд. Нажмите кнопку со стрелкой вверх, чтобы его на один регистр стека вверх. Введите второй операнд, и лишь после этого нажмите на клавишу математического действия. На индикаторе отобразится результат вычисления.Для выполнения действия с одним операндом просто введите его, а затем нажмите на соответствующую этому кнопку.

На калькуляторе с арифметической записью действия с двумя операндами выполняйте так же, как на обычном калькуляторе. Действия же с одним операндом выполняйте так же, как на машинке с обратной польской записью.Если на клавиатуре присутствуют клавиши со скобками, необходимость в определении очередности вычислений отсутствует. Следует, однако, не допускать превышения уровня вложенности скобок, указанного в инструкции. При отсутствии инструкции определить этот можно опытным путем, нажав клавишу с открывающей скобкой несколько раз и отметив, после которого по счету нажатия возникло об ошибке.

В калькулятор с формульной записью выражение вводят так же, как оно записывается на бумаге. Если поле ввода однострочное, формулы, содержащие дроби, преобразовывают в «одноэтажные» с помощью скобок и знака деления. При необходимости, введенное выражение можно откорректировать, пользуясь клавишами с горизонтальными стрелками, а также кнопками "Insert", "Backspace" и "Delete" (на разных калькуляторах их могут различаться). Затем нажимают клавишу "EXE" или "Enter" и результат. Если этот результат требуется поместить в следующую формулу, пользуются клавишей "ANS".

Во многих калькуляторах некоторые из клавиш способны выполнять более одной функции. Простое нажатие клавиши соответствует выполнению той операции, которой указано прямо на ней. Другие операции обозначены рядом с кнопкой тем или иным цветом. Чтобы заставить калькулятор выполнить такую функцию, следует сначала нажать регистровую клавишу, имеющую тот же цвет (она может называться "F", "2ndF", "S"), а затем - кнопку, рядом с которой указана нужная вам операция.

Видео по теме

Из общего ряда логарифмов два выделены особо - это логарифм по основанию 10 (десятичный) и по основанию, равному числу "e" - константе, которую называют «числом Эйлера». Эта константа является числом иррациональным, то есть не имеет точного значения, а представляет собой бесконечную дробь. Логарифм с таким основанием называется натуральным и имеет намного большее применение в интегральном и дифференциальном исчислении, чем десятичный логарифм.

Инструкция

Используйте -калькуляторы как наиболее быстрый способ вычисления натуральных

Экспоненту обозначают так , или .

Число e

Основанием степени экспоненты является число e . Это иррациональное число. Оно примерно равно
е ≈ 2,718281828459045...

Число e определяется через предел последовательности. Это, так называемый, второй замечательный предел :
.

Также число e можно представить в виде ряда:
.

График экспоненты

График экспоненты, y = e x .

На графике представлена экспонента, е в степени х .
y(x) = е х
На графике видно, что экспонента монотонно возрастает.

Формулы

Основные формулы такие же, как и для показательной функции с основанием степени е .

;
;
;

Выражение показательной функции с произвольным основанием степени a через экспоненту:
.

Частные значения

Пусть y(x) = e x . Тогда
.

Свойства экспоненты

Экспонента обладает свойствами показательной функции с основанием степени е > 1 .

Область определения, множество значений

Экспонента y(x) = e x определена для всех x .
Ее область определения:
- ∞ < x + ∞ .
Ее множество значений:
0 < y < + ∞ .

Экстремумы, возрастание, убывание

Экспонента является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.

Обратная функция

Обратной для экспоненты является натуральный логарифм .
;
.

Производная экспоненты

Производная е в степени х равна е в степени х :
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Интеграл

Комплексные числа

Действия с комплексными числами осуществляются при помощи формулы Эйлера :
,
где есть мнимая единица:
.

Выражения через гиперболические функции

; ;
.

Выражения через тригонометрические функции

; ;
;
.

Разложение в степенной ряд

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.