Площадь пифагора формула. Прямоугольный треугольник
Теорема Пифагора
Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. Введя обозначения
1. Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке.
Идея доказательства Евклида состоит в следующем: попробуем доказать, что половина площади квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, а тогда и площади большого и двух малых квадратов равны.
Рассмотрим чертеж слева. На нём мы построили квадраты на сторонах прямоугольного треугольника и провели из вершины прямого угла С луч s перпендикулярно гипотенузе AB, он рассекает квадрат ABIK, построенный на гипотенузе, на два прямоугольника - BHJI и HAKJ соответственно. Оказывается, что площади данных прямоугольников в точности равны площадям квадратов, построенных на соответствующих катетах.
Попытаемся доказать, что площадь квадрата DECA равна площади прямоугольника AHJK Для этого воспользуемся вспомогательным наблюдением: Площадь треугольника с той же высотой и основанием, что и данный прямоугольник, равна половине площади заданного прямоугольника. Это следствие определения площади треугольника как половины произведения основания на высоту. Из этого наблюдения вытекает, что площадь треугольника ACK равна площади треугольника AHK (не изображённого на рисунке), которая, в свою очередь, равна половине площади прямоугольника AHJK.
Докажем теперь, что площадь треугольника ACK также равна половине площади квадрата DECA. Единственное, что необходимо для этого сделать, - это доказать равенство треугольников ACK и BDA (так как площадь треугольника BDA равна половине площади квадрата по указанному выше свойству). Равенство это очевидно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Именно - AB=AK,AD=AC - равенство углов CAK и BAD легко доказать методом движения: повернём треугольник CAK на 90° против часовой стрелки, тогда очевидно, что соответствующие стороны двух рассматриваемых треугольников совпадут (ввиду того, что угол при вершине квадрата - 90°).
Рассуждение о равенстве площадей квадрата BCFG и прямоугольника BHJI совершенно аналогично.
Тем самым мы доказали, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, слагается из площадей квадратов, построенных на катетах.
Рассмотрим чертёж, как видно из симметрии, отрезок CI рассекает квадрат ABHJ на две одинаковые части (так как треугольники ABC и JHI равны по построению). Пользуясь поворотом на 90 градусов против часовой стрелки, мы усматриваем равенство заштрихованных фигур CAJI и GDAB. Теперь ясно, что площадь заштрихованной нами фигуры равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, и площади исходного треугольника. С другой стороны, она равна половине площади квадрата, построенного на гипотенузе, плюс площадь исходного треугольника. Последний шаг в доказательстве предоставляется читателю.
В одном можно быть уверенным на все сто процентов, что на вопрос, чему равен квадрат гипотенузы, любой взрослый человек смело ответит: «Сумме квадратов катетов». Эта теорема прочно засела в сознании каждого образованного человека, но достаточно лишь попросить кого-либо ее доказать, и тут могут возникнуть сложности. Поэтому давайте вспомним и рассмотрим разные способы доказательства теоремы Пифагора.
Краткий обзор биографии
Теорема Пифагора знакома практически каждому, но почему-то биография человека, который произвел ее на свет, не так популярна. Это поправимо. Поэтому прежде чем изучить разные способы доказательства теоремы Пифагора, нужно кратко познакомиться с его личностью.
Пифагор - философ, математик, мыслитель родом из Сегодня очень сложно отличить его биографию от легенд, которые сложились в память об этом великом человеке. Но как следует из трудов его последователей, Пифагор Самосский родился на острове Самос. Его отец был обычный камнерез, а вот мать происходила из знатного рода.
Судя по легенде, появление на свет Пифагора предсказала женщина по имени Пифия, в чью честь и назвали мальчика. По ее предсказанию рожденный мальчик должен был принести много пользы и добра человечеству. Что вообще-то он и сделал.
Рождение теоремы
В юности Пифагор переехал с в Египет, чтобы встретиться там с известными египетскими мудрецами. После встречи с ними он был допущен к обучению, где и познал все великие достижения египетской философии, математики и медицины.
Вероятно, именно в Египте Пифагор вдохновился величеством и красотой пирамид и создал свою великую теорию. Это может шокировать читателей, но современные историки считают, что Пифагор не доказывал свою теорию. А лишь передал свое знание последователям, которые позже и завершили все необходимые математические вычисления.
Как бы там ни было, сегодня известна не одна методика доказательства данной теоремы, а сразу несколько. Сегодня остается лишь гадать, как именно древние греки производили свои вычисления, поэтому здесь рассмотрим разные способы доказательства теоремы Пифагора.
Теорема Пифагора
Прежде чем начинать какие-либо вычисления, нужно выяснить, какую теорию предстоит доказать. Теорема Пифагора звучит так: «В треугольнике, у которого один из углов равен 90 о, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы».
Всего существует 15 разных способов доказательства теоремы Пифагора. Это достаточно большая цифра, поэтому уделим внимание самым популярным из них.
Способ первый
Сначала обозначим, что нам дано. Эти данные будут распространяться и на другие способы доказательств теоремы Пифагора, поэтому стоит сразу запомнить все имеющееся обозначения.
Допустим, дан прямоугольный треугольник, с катетами а, в и гипотенузой, равной с. Первый способ доказательства основывается на том, что из прямоугольного треугольника нужно дорисовать квадрат.
Чтобы это сделать, нужно к катету длиной а дорисовать отрезок равный катету в, и наоборот. Так должно получиться две равные стороны квадрата. Остается только нарисовать две параллельные прямые, и квадрат готов.
Внутри получившейся фигуры нужно начертить еще один квадрат со стороной равной гипотенузе исходного треугольника. Для этого от вершин ас и св нужно нарисовать два параллельных отрезка равных с. Таким образом, получиться три стороны квадрата, одна из которых и есть гипотенуза исходного прямоугольного треугольники. Остается лишь дочертить четвертый отрезок.
На основании получившегося рисунка можно сделать вывод, что площадь внешнего квадрата равна (а+в) 2 . Если заглянуть внутрь фигуры, можно увидеть, что помимо внутреннего квадрата в ней имеется четыре прямоугольных треугольника. Площадь каждого равна 0,5ав.
Поэтому площадь равна: 4*0,5ав+с 2 =2ав+с 2
Отсюда (а+в) 2 =2ав+с 2
И, следовательно, с 2 =а 2 +в 2
Теорема доказана.
Способ два: подобные треугольники
Данная формула доказательства теоремы Пифагора была выведена на основании утверждения из раздела геометрии о подобных треугольниках. Оно гласит, что катет прямоугольного треугольника - среднее пропорциональное для его гипотенузы и отрезка гипотенузы, исходящего из вершины угла 90 о.
Исходные данные остаются те же, поэтому начнем сразу с доказательства. Проведем перпендикулярный стороне АВ отрезок СД. Основываясь на вышеописанном утверждении катеты треугольников равны:
АС=√АВ*АД, СВ=√АВ*ДВ.
Чтобы ответить на вопрос, как доказать теорему Пифагора, доказательство нужно проложить возведением в квадрат обоих неравенств.
АС 2 =АВ*АД и СВ 2 =АВ*ДВ
Теперь нужно сложить получившиеся неравенства.
АС 2 + СВ 2 =АВ*(АД*ДВ), где АД+ДВ=АВ
Получается, что:
АС 2 + СВ 2 =АВ*АВ
И, следовательно:
АС 2 + СВ 2 =АВ 2
Доказательство теоремы Пифагора и различные способы ее решения нуждаются в разностороннем подходе к данной задаче. Однако этот вариант является одним из простейших.
Еще одна методика расчетов
Описание разных способов доказательства теоремы Пифагора могут ни о чем не сказать, до тех самых пор пока самостоятельно не приступишь к практике. Многие методики предусматривают не только математические расчеты, но и построение из исходного треугольника новых фигур.
В данном случае необходимо от катета ВС достроить еще один прямоугольный треугольник ВСД. Таким образом, теперь имеется два треугольника с общим катетом ВС.
Зная, что площади подобных фигур имеют соотношение как квадраты их сходных линейных размеров, то:
S авс * с 2 - S авд *в 2 =S авд *а 2 - S всд *а 2
S авс *(с 2 -в 2)=а 2 *(S авд -S всд)
с 2 -в 2 =а 2
с 2 =а 2 +в 2
Поскольку из разных способов доказательств теоремы Пифагора для 8 класса этот вариант едва ли подойдет, можно воспользоваться следующей методикой.
Самый простой способ доказать теорему Пифагора. Отзывы
Как полагают историки, этот способ был впервые использован для доказательства теоремы еще в древней Греции. Он является самым простым, так как не требует абсолютно никаких расчетов. Если правильно начертить рисунок, то доказательство утверждения, что а 2 +в 2 =с 2 , будет видно наглядно.
Условия для данного способа будет немного отличаться от предыдущего. Чтобы доказать теорему, предположим, что прямоугольный треугольник АВС - равнобедренный.
Гипотенузу АС принимаем за сторону квадрата и дочерчиваем три его стороны. Кроме этого необходимо провести две диагональные прямые в получившемся квадрате. Таким образом, чтобы внутри него получилось четыре равнобедренных треугольника.
К катетам АВ и СВ так же нужно дочертить по квадрату и провести по одной диагональной прямой в каждом из них. Первую прямую чертим из вершины А, вторую - из С.
Теперь нужно внимательно всмотреться в получившийся рисунок. Поскольку на гипотенузе АС лежит четыре треугольника, равные исходному, а на катетах по два, это говорит о правдивости данной теоремы.
Кстати, благодаря данной методике доказательства теоремы Пифагора и появилась на свет знаменитая фраза: «Пифагоровы штаны во все стороны равны».
Доказательство Дж. Гарфилда
Джеймс Гарфилд - двадцатый президент Соединенных Штатов Америки. Кроме того, что он оставил свой след в истории как правитель США, он был еще и одаренным самоучкой.
В начале своей карьеры он был обычным преподавателем в народной школе, но вскоре стал директором одного из высших учебных заведений. Стремление к саморазвитию и позволило ему предложить новую теорию доказательства теоремы Пифагора. Теорема и пример ее решения выглядит следующим образом.
Сначала нужно начертить на листе бумаги два прямоугольных треугольника таким образом, чтобы катет одного из них был продолжением второго. Вершины этих треугольников нужно соединить, чтобы в конечном итоге получилась трапеция.
Как известно, площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.
S=а+в/2 * (а+в)
Если рассмотреть получившуюся трапецию, как фигуру, состоящую из трех треугольников, то ее площадь можно найти так:
S=ав/2 *2 + с 2 /2
Теперь необходимо уравнять два исходных выражения
2ав/2 + с/2=(а+в) 2 /2
с 2 =а 2 +в 2
О теореме Пифагора и способах ее доказательства можно написать не один том учебного пособия. Но есть ли в нем смысл, когда эти знания нельзя применить на практике?
Практическое применение теоремы Пифагора
К сожалению, в современных школьных программах предусмотрено использование данной теоремы только в геометрических задачах. Выпускники скоро покинут школьные стены, так и не узнав, а как они могут применить свои знания и умения на практике.
На самом же деле использовать теорему Пифагора в своей повседневной жизни может каждый. Причем не только в профессиональной деятельности, но и в обычных домашних делах. Рассмотрим несколько случаев, когда теорема Пифагора и способы ее доказательства могут оказаться крайне необходимыми.
Связь теоремы и астрономии
Казалось бы, как могут быть связаны звезды и треугольники на бумаге. На самом же деле астрономия - это научная сфера, в которой широко используется теорема Пифагора.
Например, рассмотрим движение светового луча в космосе. Известно, что свет движется в обе стороны с одинаковой скоростью. Траекторию АВ, которой движется луч света назовем l . А половину времени, которое необходимо свету, чтобы попасть из точки А в точку Б, назовем t . И скорость луча - c . Получается, что: c*t=l
Если посмотреть на этот самый луч из другой плоскости, например, из космического лайнера, который движется со скоростью v, то при таком наблюдении тел их скорость изменится. При этом даже неподвижные элементы станут двигаться со скоростью v в обратном направлении.
Допустим, комический лайнер плывет вправо. Тогда точки А и В, между которыми мечется луч, станут двигаться влево. Причем, когда луч движется от точки А в точку В, точка А успевает переместиться и, соответственно, свет уже прибудет в новую точку С. Чтобы найти половину расстояния, на которое сместилась точка А, нужно скорость лайнера умножить на половину времени путешествия луча (t").
А чтобы найти, какое расстояние за это время смог пройти луч света, нужно обозначить половину пути новой буковой s и получить следующее выражение:
Если представить, что точки света С и В, а также космический лайнер - это вершины равнобедренного треугольника, то отрезок от точки А до лайнера разделит его на два прямоугольных треугольника. Поэтому благодаря теореме Пифагора можно найти расстояние, которое смог пройти луч света.
Этот пример, конечно, не самый удачный, так как только единицам может посчастливиться опробовать его на практике. Поэтому рассмотрим более приземленные варианты применения этой теоремы.
Радиус передачи мобильного сигнала
Современную жизнь уже невозможно представить без существования смартфонов. Но много ли было бы от них прока, если бы они не могли соединять абонентов посредством мобильной связи?!
Качество мобильной связи напрямую зависит от того, на какой высоте находиться антенна мобильного оператора. Для того чтобы вычислить, каком расстоянии от мобильной вышки телефон может принимать сигнал, можно применить теорему Пифагора.
Допустим, нужно найти приблизительную высоту стационарной вышки, чтобы она могла распространять сигнал в радиусе 200 километров.
АВ (высота вышки) = х;
ВС (радиус передачи сигнала) = 200 км;
ОС (радиус земного шара) = 6380 км;
ОВ=ОА+АВОВ=r+х
Применив теорему Пифагора, выясним, что минимальная высота вышки должна составить 2,3 километра.
Теорема Пифагора в быту
Как ни странно, теорема Пифагора может оказаться полезной даже в бытовых делах, таких как определение высоты шкафа-купе, например. На первый взгляд, нет необходимости использовать такие сложные вычисления, ведь можно просто снять мерки с помощью рулетки. Но многие удивляются, почему в процессе сборки возникают определенные проблемы, если все мерки были сняты более чем точно.
Дело в том, что шкаф-купе собирается в горизонтальном положении и только потом поднимается и устанавливается к стене. Поэтому боковина шкафа в процессе подъема конструкции должна свободно проходить и по высоте, и по диагонали помещения.
Предположим, имеется шкаф-купе глубиной 800 мм. Расстояние от пола до потолка - 2600 мм. Опытный мебельщик скажет, что высота шкафа должна быть на 126 мм меньше, чем высота помещения. Но почему именно на 126 мм? Рассмотрим на примере.
При идеальных габаритах шкафа проверим действие теоремы Пифагора:
АС=√АВ 2 +√ВС 2
АС=√2474 2 +800 2 =2600 мм - все сходится.
Допустим, высота шкафа равна не 2474 мм, а 2505 мм. Тогда:
АС=√2505 2 +√800 2 =2629 мм.
Следовательно, этот шкаф не подойдет для установки в данном помещении. Так как при поднятии его в вертикальное положение можно нанести ущерб его корпусу.
Пожалуй, рассмотрев разные способы доказательства теоремы Пифагора разными учеными, можно сделать вывод, что она более чем правдива. Теперь можно использовать полученную информацию в своей повседневной жизни и быть полностью уверенным, что все расчеты будут не только полезны, но и верны.
1Шаповалова Л.А. (ст. Егорлыкская, МБОУ ЕСОШ № 11)
1. Глейзер Г.И. История математики в школе VII – VIII классы, пособие для учителей, – М: Просвещение, 1982.
2. Демпан И.Я., Виленкин Н.Я. «За страницами учебника математики» Пособие для учащихся 5-6 классов. – М.: Просвещение, 1989.
3. Зенкевич И.Г. «Эстетика урока математики». – М.: Просвещение, 1981.
4. Литцман В. Теорема Пифагора. – М., 1960.
5. Волошинов А.В. «Пифагор». – М., 1993.
6. Пичурин Л.Ф. «За страницами учебника алгебры». – М., 1990.
7. Земляков А.Н. «Геометрия в 10 классе». – М., 1986.
8. Газета «Математика» 17/1996.
9. Газета «Математика» 3/1997.
10. Антонов Н.П., Выгодский М.Я., Никитин В.В., Санкин А.И. «Сборник задач по элементарной математики». – М., 1963.
11. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. «Пособие по математике». – М., 1973.
12. Щетников А.И. «Пифагорейское учение о числе и величине». – Новосибирск, 1997.
13. «Действительные числа. Иррациональные выражения» 8 класс. Издательство Томского университета. – Томск, 1997.
14. Атанасян М.С. «Геометрия» 7-9 класс. – М.: Просвещение, 1991.
15. URL: www.moypifagor.narod.ru/
16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.
В этом учебном году я познакомились с интересной теоремой, известной, как оказалось с древнейших времён:
«Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника равновелик сумме квадратов построенных на катетах».
Обычно открытие этого утверждения приписывают древнегреческому философу и математику Пифагору (VI век до н.э). Но изучение древних рукописей показало, что это утверждение было известно задолго до рождения Пифагора.
Я заинтересовались, почему в таком случае её связывают с именем Пифагора.
Актуальность темы: Теорема Пифагора имеет огромное значение: применяется в геометрии буквально на каждом шагу. Я считаю, что труды Пифагора до сих пор актуальны, ведь куда бы мы ни посмотрели, везде можно увидеть плоды его великих идей, воплощенные в различные отрасли современной жизни.
Целью моего исследования было: узнать, кто такой был Пифагор, и какое отношение он имеет к этой теореме.
Изучая историю теоремы, я решила выяснить:
Существуют ли другие доказательства этой теоремы?
Каково значение этой теоремы в жизни людей?
Какую роль сыграл Пифагор в развитии математики?
Из биографии Пифагора
Пифагор Самосский - великий греческий учёный. Его известность связана с названием теоремы Пифагора. Хотя сейчас уже мы знаем, что эта теорема была известна в древнем Вавилоне за 1200 лет до Пифагора, а в Египте за 2000 лет до него был известен прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5, мы по-прежнему называем её по имени этого древнего учёного.
Про жизнь Пифагора достоверно почти ничего неизвестно, но с его именем связано большое количество легенд.
Пифагор родился в 570 году до н.э на острове Самос.
Пифагор имел красивую внешность, носил длинную бороду, а на голове золотую диадему. Пифагор - это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор - «убеждающий речью»).
В 550 году до н.э Пифагор принимает решение и отправляется в Египет. Итак, перед Пифагором открывается неизвестная страна и неведомая культура. Многое поражало и удивляло Пифагора в этой стране, и после некоторых наблюдений за жизнью египтян Пифагор понял, что путь к знаниям, охраняемым кастой жрецов, лежит через религию.
После одиннадцати лет обучения в Египте Пифагор отправляется на родину, где по пути попадает в Вавилонский плен. Там он знакомится с вавилонской наукой, которая была более развита, чем египетская. Вавилоняне умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений. Сбежав из плена, он не смог долго оставаться на родине из-за царившей там атмосферы насилия и тирании. Он решил переселиться в Кротон (греческая колония на севере Италии).
Именно в Кротоне начинается самый славный период в жизни Пифагора. Там он учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена, члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни.
Пифагор и пифагорейцы
Пифагор организовал в греческой колонии на юге Апенинского полуострова религиозно-этическое братство, типа монашеского ордена, который впоследствии назовут пифагорейским союзом. Члены союза должны были придерживаться определённых принципов: во-первых, стремиться к прекрасному и славному, во-вторых, быть полезными, в-третьих, стремиться к высокому наслаждению.
Система морально-этических правил, завещанная Пифагором своим ученикам, была собрана в своеобразный моральный кодекс пифагорейцев «Золотые стихи», которые пользовались большой популярностью в эпоху Античности, эпоху Средневековья и эпоху Возрождения.
Пифагорейская система занятий состояла из трёх разделов:
Учения о числах - арифметике,
Учения о фигурах - геометрии,
Учения о строении Вселенной - астрономии.
Система образования, заложенная Пифагором, просуществовала много веков.
Школа Пифагора много сделала, чтобы придать геометрии характер науки. Основной особенностью метода Пифагора было объединение геометрии с арифметикой.
Пифагор много занимался пропорциями и прогрессиями и, вероятно, подобием фигур, так как ему приписывают решение задачи: «По данным двум фигурам построить третью, равновеликую одной из данных и подобную второй».
Пифагор и его ученики ввели понятие о многоугольных, дружественных, совершенных числах и изучали их свойства. Арифметика как практика вычислений не интересовала Пифагора, и он с гордостью заявил, что «поставил арифметику выше интересов торговца».
Членами пифагорейского союза были жители многих городов Греции.
В своё общество пифагорейцы принимали и женщин. Союз процветал более двадцати лет, а потом начались гонения на его членов, многие из учеников были убиты.
О смерти самого Пифагора ходило много самых разных легенд. Но учение Пифагора и его учеников продолжало жить.
Из истории создания теоремы Пифагора
В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что именно Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих «Начал». С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в «Началах» принадлежит самому Евклиду. Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных конкретных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности.
Исторический обзор теоремы Пифагора начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:
«Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4».
Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра.
Геометрия у индусов была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 8 века до нашей эры. Наряду с чисто ритуальными предписаниями, существуют и сочинения геометрически теологического характера. В этих сочинениях, относящихся к 4 или 5 веку до нашей эры, мы встречаемся с построением прямого угла при помощи треугольника со сторонами 15, 36, 39.
В средние века теорема Пифагора определяла границу, если не наибольших возможных, то, по крайней мере, хороших математических знаний. Характерный чертеж теоремы Пифагора, который ныне иногда превращается школьниками, например, в облаченного в мантию профессора или человека цилиндре, в те времена нередко употреблялся как символ математики.
В заключение приведем различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков.
Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):
«В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол».
Как видим, в разных странах и разных языках существуют различные варианты формулировки знакомой нам теоремы. Созданные в разное время и в разных языках, они отражают суть одной математической закономерности, доказательство которой также имеет несколько вариантов.
Пять способов доказательства теоремы Пифагора
Древнекитайское доказательство
На древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной a + b, а внутренний - квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе
a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab
Доказательство Дж. Гардфилда (1882 г.)
Расположим два равных прямоугольных треугольника так, чтобы катет одного из них был продолжением другого.
Площадь рассматриваемой трапеции находится как произведение полусуммы оснований на высоту
C другой стороны, площадь трапеции равна сумме площадей полученных треугольников:
Приравнивая данные выражения, получаем:
Доказательство простейшее
Это доказательство получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника.
Вероятно, с него и начиналась теорема.
В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы.
Например, для треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по два. Теорема доказана.
Доказательство древних индусов
Квадрат со стороной (a + b), можно разбить на части либо как на рис. 12. а, либо как на рис. 12, б. Ясно, что части 1, 2, 3, 4 на обоих рисунках одинаковы. А если от равных (площадей) отнять равные, то и останутся равные, т.е. с2 = а2 + b2.
Доказательство Евклида
В течение двух тысячелетий наиболее распространенным было доказательство теоремы Пифагора, придуманное Евклидом. Оно помещено в его знаменитой книге «Начала».
Евклид опускал высоту BН из вершины прямого угла на гипотенузу и доказывал, что её продолжение делит достроенный на гипотенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах.
Чертёж, применяемый при доказательстве этой теоремы, в шутку называют «пифагоровы штаны». В течение долгого времени он считался одним из символов математической науки.
Применение теоремы Пифагора
Значение теоремы Пифагора состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач. Кроме этого, практическое значение теоремы Пифагора и обратной ему теоремы заключается в том, что с их помощью можно найти длины отрезков, не измеряя самих отрезков. Это как бы открывает путь от прямой к плоскости, от плоскости к объемному пространству и дальше. Именно по этой причине теорема Пифагора так важна для человечества, которое стремится открывать все больше измерений и создавать технологии в этих измерениях.
Заключение
Теорема Пифагора настолько известна, что трудно представить себе человека, не слышавшего о ней. Я узнала, что существует несколько способов доказательства теоремы Пифагора. Я изучила ряд исторических и математических источников, в том числе информацию в Интернете, и поняла, что теорема Пифагора интересна не только своей историей, но и тем, что она занимает важное место в жизни и науке. Об этом свидетельствуют приведённые мной в данной работе различные трактовки текста этой теоремы и пути её доказательств.
Итак, теорема Пифагора - одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение: c2 = a2 + b2. Поэтому для её доказательства часто используют наглядность. Заслуга же Пифагора состояла в том, что он дал полноценное научное доказательство этой теоремы. Интересна личность самого учёного, память о котором неслучайно сохранила эта теорема. Пифагор - замечательный оратор, учитель и воспитатель, организатор своей школы, ориентированной на гармонию музыки и чисел, добра и справедливости, на знания и здоровый образ жизни. Он вполне может служить примером для нас, далёких потомков.
Библиографическая ссылка
Туманова С.В. НЕСКОЛЬКО СПОСОБОВ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА // Старт в науке. – 2016. – № 2. – С. 91-95;URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (дата обращения: 21.02.2019).
Главная
Способы доказательства теоремы Пифагора.
Г. Глейзер,
академик РАО, Москва
О теореме Пифагора и способах ее доказательства
Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах...
Это одна из самых известных геометрических теорем древности, называемая теоремой Пифагора. Ее и сейчас знают практически все, кто когда-либо изучал планиметрию. Мне кажется, что если мы хотим дать знать внеземным цивилизациям о существовании разумной жизни на Земле, то следует посылать в космос изображение Пифагоровой фигуры. Думаю, что если эту информацию смогут принять мыслящие существа, то они без сложной дешифровки сигнала поймут, что на Земле существует достаточно развитая цивилизация.
Знаменитый греческий философ и математик Пифагор Самосский, именем которого названа теорема, жил около 2,5 тысяч лет тому назад. Дошедшие до нас биографические сведения о Пифагоре отрывочны и далеко не достоверны. С его именем связано много легенд. Достоверно известно, что Пифагор много путешествовал по странам Востока, посещал Египет и Вавилон. В одной из греческих колоний Южной Италии им была основана знаменитая «Пифагорова школа», сыгравшая важную роль в научной и политической жизни древней Греции. Именно Пифагору приписывают доказательство известной геометрической теоремы. На основе преданий, распространенных известными математиками (Прокл, Плутарх и др.), длительное время считали, что до Пифагора эта теорема не была известна, отсюда и название – теорема Пифагора.
Не подлежит, однако, сомнению, что эту теорему знали за много лет до Пифагора. Так, за 1500 лет до Пифагора древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным, и пользовались этим свойством (т. е. теоремой, обратной теореме Пифагора) для построения прямых углов при планировке земельных участков и сооружений зданий. Да и поныне сельские строители и плотники, закладывая фундамент избы, изготовляя ее детали, вычерчивают этот треугольник, чтобы получить прямой угол. Это же самое проделывалось тысячи лет назад при строительстве великолепных храмов в Египте, Вавилоне, Китае, вероятно, и в Мексике. В самом древнем дошедшем до нас китайском математико-астрономическом сочинении «Чжоу-би», написанном примерно за 600 лет до Пифагора, среди других предложений, относящихся к прямоугольному треугольнику, содержится и теорема Пифагора. Еще раньше эта теорема была известна индусам. Таким образом, Пифагор не открыл это свойство прямоугольного треугольника, он, вероятно, первым сумел его обобщить и доказать, перевести тем самым из области практики в область науки. Мы не знаем, как он это сделал. Некоторыми историками математики предполагается, что все же доказательство Пифагора было не принципиальным, а лишь подтверждением, проверкой этого свойства на ряде частных видов треугольников, начиная с равнобедренного прямоугольного треугольника, для которого оно очевидно следует из рис. 1.
С
глубокой древности математики находят все новые и новые доказательства теоремы Пифагора, все новые и новые замыслы ее доказательств. Таких доказательств – более или менее строгих, более или менее наглядных – известно более полутора сотен, но стремление к преумножению их числа сохранилось. Думаю, что самостоятельное «открытие» доказательств теоремы Пифагора будет полезно и современным школьникам.
Рассмотрим некоторые примеры доказательств, которые могут подсказать направления таких поисков.
Доказательство Пифагора
"Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах. " Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямо-угольного треугольника. Вероятно, с него и на-чиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для DАВС: квадрат, построенный на гипо-тенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катететах по два. Теорема доказана.
Доказательства, основанные на использовании понятия равновеликости фигур.
При этом можно рассмотреть доказательства, в которых квадрат, построенный на гипотенузе данного прямоугольного треугольника «складывается» из таких же фигур, что и квадраты, построенные на катетах. Можно рассматривать и такие доказательства, в которых применяется перестановка слагаемых фигур и учитывается ряд новых идей.
На рис. 2 изображено два равных квадрата. Длина сторон каждого квадрата равна a + b. Каждый из квадратов разбит на части, состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников. Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь прямоугольного треугольника с катетами a, b, то останутся равные площади, т. е. c 2 = a 2 + b 2 . Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали чертеж лишь одним словом: «смотри!» Вполне возможно, что такое же доказательство предложил и Пифагор.
Аддитивные доказательства.
Эти доказательства основаны на разложении квадратов, построенных на катетах, на фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе.
Здесь: ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C; CMN; CKMN; PO||MN; EF||MN.
Самостоятельно докажите попарное равенство треугольников, полученных при разбиении квадратов, построенных на катетах и гипотенузе.
Докажите теорему с помощью этого разбиения.
На основе доказательства ан-Найризия выполнено и другое разложение квадратов на попарно равные фигуры (рис. 5, здесь ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C).
Еще одно доказательство методом разложения квадратов на равные части, называемое «колесом с лопастями», приведено на рис. 6. Здесь: ABC– прямоугольный треугольник с прямым углом C; O – центр квадрата, построенного на большом катете; пунктирные прямые, проходящие через точку O, перпендикулярны или параллельны гипотенузе.
Это разложение квадратов интересно тем, что его попарно равные четырехугольники могут быть отображены друг на друга параллельным переносом. Может быть предложено много и других доказательств теоремы Пифагора с помощью разложения квадратов на фигуры.
Доказательства методом достроения.
Сущность этого метода состоит в том, что к квадратам, построенным на катетах, и к квадрату, построенному на гипотенузе, присоединяют равные фигуры таким образом, чтобы получились равновеликие фигуры.
Справедливость теоремы Пифагора вытекает из равновеликости шестиугольников AEDFPB и ACBNMQ. Здесь CEP, прямая EP делит шестиугольник AEDFPB на два равновеликих четырехугольника, прямая CM делит шестиугольник ACBNMQ на два равновеликих четырехугольника; поворот плоскости на 90° вокруг центра A отображает четырехугольник AEPB на четырехугольник ACMQ.
На рис. 8 Пифагорова фигура достроена до прямоугольника, стороны которого параллельны соответствующим сторонам квадратов, построенных на катетах. Разобьем этот прямоугольник на треугольники и прямоугольники. Из полученного прямоугольника вначале отнимем все многоугольники 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, остался квадрат, построенный на гипотенузе. Затем из того же прямоугольника отнимем прямоугольники 5, 6, 7 и заштрихованные прямоугольники, получим квадраты, построенные на катетах. |
|
|
Теперь докажем, что фигуры, вычитаемые в первом случае, равновелики фигурам, вычитаемым во втором случае.
KLOA = ACPF = ACED = a 2 ;
LGBO = CBMP = CBNQ = b 2 ;
AKGB = AKLO + LGBO = c 2 ;
отсюда c 2 = a 2 + b 2 .
OCLP = ACLF = ACED = b 2 ;
CBML = CBNQ = a 2 ;
OBMP = ABMF = c 2 ;
OBMP = OCLP + CBML;
c 2 = a 2 + b 2 .
Алгебраический метод доказательства.
Рис. 12 иллюстрирует доказательство великого индийского математика Бхаскари (знаменитого автора Лилавати, X |
|
Приведем в современном изложении одно из таких доказательств, принадлежащих Пифагору. |
II в.). Рисунок сопровождало лишь одно слово: СМОТРИ! Среди доказательств теоремы Пифагора алгебраическим методом первое место (возможно, самое древнее) занимает доказательство, использующее подобие.Н
а рис. 13 ABC – прямоугольный, C – прямой угол, CMAB, b 1 – проекция катета b на гипотенузу, a 1 – проекция катета a на гипотенузу, h – высота треугольника, проведенная к гипотенузе.
Из того, что ABC подобен ACM следует
b 2 = cb 1 ; (1)
из того, что ABC подобен BCM следует
a 2 = ca 1 . (2)
Складывая почленно равенства (1) и (2), получим a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 .
Если Пифагор действительно предложил такое доказательство, то он был знаком и с целым рядом важных геометрических теорем, которые современные историки математики обычно приписывают Евклиду.
Доказательство Мёльманна (рис. 14). |
Площадь данного прямоугольного треугольника, с одной стороны, равна с другой, где p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной в него окружности 
Имеем:откуда следует, что c 2 =a 2 +b 2 .
во втором 
Приравнивая эти выражения, получаем теорему Пифагора.
Комбинированный метод
Равенство треугольников
c 2 = a 2 + b 2 . (3)
Сравнивая соотношения (3) и (4), получаем, что
c 1 2 = c 2 , или c 1 = c.
Таким образом, треугольники – данный и построенный – равны, так как имеют по три соответственно равные стороны. Угол C 1 прямой, поэтому и угол C данного треугольника тоже прямой.
Древнеиндийское доказательство.
Матема-тики Древней Индии заметили, что для доказа-тельства теоремы Пифагора достаточно исполь-зовать внутреннюю часть древнекитайского чер-тежа. В написанном на пальмовых листьях трак-тате «Сиддханта широмани» («Венец знания») крупнейшего индийского математика ХП в. Бха-скары поме-щен чертеж (рис. 4)
характерным для индийских доказательств l словом «смотри!». Как видим, прямоугольнь-ные треугольники уложены здесь гипотенузой наружу и квадрат с 2 перекладывается в «крес-ло невесты» с 2 -Ь 2 . Заметим, что частные слу-чаи теоремы Пифагора (например, построение квадрата, площадь которого вдвое больше рис.4 площади данного квадрата) встречаются в древнеиндийском трактате "Сульва"
Решили прямоугольный треугольник и квадраты, построенные на его катетах, или, иначе, фигуры, составленные из 16 одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольников и потому укладывающиеся в квадрат. Такова лили. малая толика богатств, скрытых в жемчужине античной математики - теореме Пифагора.
Древнекитайское доказательство.
Математические трактаты Древнего Китая дошли до нас в редакции П в. до н.э. Дело в том, что в 213 г. до н.э. китайский император Ши Хуан-ди, стремясь ликвидировать прежние традиции, приказал сжечь все древние книги. Во П в. до н.э. в Китае была изобретена бумага и одно-временно начинается воссоздание древних книг.Главное из сохранивших-ся астрономических сочинений - в книге «Математика» помещен чертеж (рис. 2, а), доказы-вающий теорему Пифагора. Ключ к этому доказательству подобрать нетрудно. В самом деле, на древне-китайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с кате-тами a, b и гипотенузой с уложены г) так, что их внешний контур образует Рис- 2 квадрат со стороной а+Ь, а внутрен-ний - квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе (рис. 2, б). Если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся 4 затушеванных треугольника уложить в два прямоугольника (рис. 2, в), то ясно, что образовавшаяся пустота, с одной стороны, равна С 2 , а с другой - с 2 +Ь 2 , т.е. c 2= 2 +b 2 . Теорема доказана. Заметим, что при таком доказательстве построения внутри квадрата на гипотенузе, которые мы ви-дим на древнекитайском чертеже (рис. 2, а), не используются. По-видимому, древ-некитайские математики имели другое доказательство. Именно если в квадрате со стороной с два заштрихованных треугольника (рис. 2, б) отрезать и приложить гипотенузами к двум другим гипотенузам (рис. 2, г), то легко обнаружить, что
Полученная фигура, которую иногда называют «креслом невесты», состоит из двух квадратов со сторонами а и Ь, т.е. c 2 == a 2 +Ь 2 .
Н
а рисунке 3 воспроизведен чертеж из трактата «Чжоу-би...». Здесь теорема Пифагора рассмотрена для египетского треугольника с катетами 3, 4 и гипотену-зой 5 единиц измерения. Квадрат на гипотенузе содержит 25 клеток, а вписанный в него квадрат на большем катете-16. Ясно, что оставшаяся часть содержит 9 клеток. Это и будет квадрат на меньшем катете.
ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР.
§ 58. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА 1 .
__________
1 Пифагор - греческий учёный, живший около 2500 лет назад (564-473 гг. до нашей эры).
_________
Пусть дан прямоугольный треугольник, стороны которого а , b и с (черт. 267).
Построим на его сторонах квадраты. Площади этих квадратов соответственно равны а 2 , b 2 и с 2 . Докажем, что с 2 = а 2 + b 2 .
Построим два квадрата МКОР и М"К"О"Р" (черт. 268, 269), приняв за сторону каждого из них отрезок, равный сумме катетов прямоугольного треугольника АBС.
Выполнив в этих квадратах построения, показанные на чертежах 268 и 269, мы увидим, что квадрат МКОР разбился на два квадрата с площадями а 2 и b 2 и четыре равных прямоугольных треугольника, каждый из которых равен прямоугольному треугольнику АВС. Квадрат М"К"О"Р" разбился на четырёхугольник (он на чертеже 269 заштрихован) и четыре прямоугольных треугольника, каждый из которых также равен треугольнику АBС. Заштрихованный четырёхугольник - квадрат, так как стороны его равны (каждая равна гипотенузе треугольника АBС, т. е. с ), а углы - прямые / 1 + / 2 = 90°, откуда / 3 = 90°).
Таким образом, сумма площадей квадратов, построенных на катетах (на чертеже 268 эти квадраты заштрихованы), равна площади квадрата МКОР без суммы площадей четырёх равных треугольников, а площадь квадрата, построенного на гипотенузе (на чертеже 269 этот квадрат тоже заштрихован), равна площади квадрата М"К"О"Р", равного квадрату МКОР, без суммы площадей четырёх таких же треугольников. Следовательно, площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
Получаем формулу с 2 = а 2 + b 2 , где с - гипотенуза, а и b - катеты прямоугольного треугольника.
Теорему Пифагора кратко принято формулировать так:
Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.
Из формулы с 2 = а 2 + b 2 можно получить такие формулы:
а
2 = с
2 - b
2 ;
b
2 = с
2 - а
2 .
Этими формулами можно пользоваться для нахождения неизвестной стороны прямоугольного треугольника по двум данным его сторонам.
Например:
а) если даны катеты а
= 4 см, b
=3 см, то можно найти гипотенузу (с
):
с
2 = а
2 + b
2 , т. е. с
2
= 4 2 + 3 2 ; с 2 = 25, откуда с
= √25
=5 (см);
б) если даны гипотенуза с = 17 см и катет а = 8 см, то можно найти другой катет (b ):
b 2 = с 2 - а 2 , т. е. b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, откуда b = √225 = 15 (см).
Следствие:
Если в двух прямоугольных треугольниках АВС и А 1 В 1 С 1 гипотенузы с
и с
1 равны, а катет b
треугольника АBС больше катета b
1 треугольника А 1 В 1 C 1 ,
то катет а
треугольника АВС меньше катета а
1 треугольника А 1 В 1 C 1 . (Сделать чертёж, иллюстрирующий это следствие.)
В самом деле, на основании теоремы Пифагора получим:
а
2 = с
2 - b
2 ,
а
1 2 = с
1 2 - b
1 2
В записанных формулах уменьшаемые равны, а вычитаемое в первой формуле больше вычитаемого во второй формуле, следовательно, первая разность меньше второй,
т. е. а
2 < а
1 2 . Откуда а
< а
1 .
Упражнения.
1. Пользуясь чертежом 270, доказать теорему Пифагора для равнобедренного прямоугольного треугольника.
2. Один катет прямоугольного треугольника равен 12 см, другой - 5 см. Вычислить длину гипотенузы этого треугольника.
3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, один из катетов равен 8 см. Вычислить длину другого катета этого треугольника.
4. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 37 см, один из его катетов равен 35 см. Вычислить длину другого катета этого треугольника.
5. Построить квадрат, по площади вдвое больший данного.
6. Построить квадрат, по площади вдвое меньший данного. Указание. Провести в данном квадрате диагонали. Квадраты, построенные на половинах этих диагоналей, будут искомыми.
7. Катеты прямоугольного треугольника соответственно равны 12 см и 15 см. Вычислить длину гипотенузы этого треугольника с точностью до 0,1 см.
8. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см, один из его катетов равен 15 см. Вычислить длину другого катета с точностью до 0,1 см.
9. Какой длины должна быть лестница, чтобы её можно было приставить к окну, находящемуся на высоте 6 м, если нижний конец лестницы должен отстоять от здания на 2,5 м? (Черт. 271.)