Внесение функции под знак дифференциала. Подведение числителя под знак дифференциала
Подведение числителя под знак дифференциала
Это заключительная часть урока, тем не менее, интегралы такого типа встречаются довольно часто! Если накопилась усталость, может, оно, лучше завтра почитать? ;)
Интегралы, которые мы будем рассматривать, похожи на интегралы предыдущего параграфа, они имеют вид: или 
(коэффициенты , и не равны нулю).
То есть, в числителе у нас появилась линейная функция. Как решать такие интегралы?
Пример 14
Пожалуйста, будьте внимательны, сейчас мы рассмотрим типовой алгоритм.
1) Когда дан интеграл вида или (коэффициенты , и не равны нулю), то первое, что мы делаем, это… берём черновик. Дело в том, что сейчас нам предстоит выполнить небольшой подбор.
2) Заключаем выражение, которое находится в знаменателе (неважно – под корнем или без корня) под знак дифференциала, в данном примере:
3) Раскрываем дифференциал:
Смотрим на числитель нашего интеграла:
Немного разные вещи получились…. А теперь нам нужно подобрать множитель для дифференциала , такой, чтобы при его раскрытии получилось, как минимум, . В данном случае подходящим множителем является:
4) Для самоконтроля снова раскрываем наш дифференциал:
Снова смотрим на числитель нашего интеграла: .
Уже ближе, но у нас не то слагаемое:
5) К нашему дифференциалу :
– приписываем слагаемое, которое у нас изначально было в подынтегральной функции:
– Вычитаем (в данном случае – вычитаем, иногда нужно, наоборот, прибавлять)
наше «не то» слагаемое: 
– Обе константы берем в скобки и приписываем справа значок дифференциала:
– Вычитаем (в некоторых примерах нужно сложить)
константы:
6) Выполняем проверку:
У нас получился в точности числитель подынтегральной функции, значит, подбор выполнен успешно.
Чистовое оформление решения выглядит примерно так:
(1) Выполняем на черновике подбор числителя согласно вышерассмотренному алгоритму. Обязательно выполняем проверку, правильно ли выполнен подбор. При определенном опыте решения интегралов подбор нетрудно выполнить и в уме.
(2) Почленно делим числитель на знаменатель. В практическом решении задач данный шаг можно опускать
(3) Используя свойство линейности, разделяем интегралы. Все константы целесообразно вынести за знаки интегралов.
(4) Первый интеграл фактически является табличным, используем формулу (константу припишем позже, когда возьмем второй интеграл). Во втором интеграле выделяем полный квадрат (такой тип интегралов мы рассмотрели в предыдущем параграфе).
Остальное дело техники.
И, на закуску, пара примеров для самостоятельного решения – один проще, другой сложнее.
Пример 15
Найти неопределенный интеграл:
Пример 16
Найти неопределенный интеграл:
Для решения данных примеров будет полезен частный случай интегрирования степенной функции, которого нет в моей таблице: 
Как видите, интегрирование дробей - дело кропотливое, часто приходится применять искусственные приемы и подборы. Но что делать…
Существуют и другие виды дробей, так называемые дробно-рациональные функции, они решаются методом неопределенных коэффициентов. Но это уже тема урока Интегрирование дробно рациональных функций .
Интегралы, которые мы будем рассматривать, похожи на интегралы предыдущего параграфа, они имеют вид: или 
(коэффициенты a , b и f не равны нулю).
То есть, в числителе у нас появилась линейная функция. Как решать такие интегралы?
Пример 14
Найти неопределенный интеграл
Пожалуйста, будьте внимательны, сейчас мы рассмотрим типовой алгоритм.
1) Когда дан интеграл вида
Или
(где коэффициенты a , b и f не равны нулю), то первое, что мы делаем, это… берём черновик. Дело в том, что сейчас нам предстоит выполнить небольшой подбор.
2) Сформируем числитель подынтегрального выражения тождественными преобразованиями (выразим числитель через знаменатель). Для этого пока просто заключаем выражение, которое находится в данном примере в знаменателе (неважно – под корнем или без корня), под знак дифференциала: .
3) Раскрываем дифференциал:
Смотрим на числитель нашего интеграла:
Немного разные вещи получились…. А теперь нам нужно подобрать множитель для дифференциала , такой, чтобы при его раскрытии получилось, как минимум, 3x . В данном случае с подходящим множителем получится:
4) Для самоконтроля снова раскрываем наш дифференциал:
Снова смотрим на числитель нашего интеграла:
Уже ближе, но у нас получилось не «то» слагаемое (+2), а другое: (+3/2).
5) К нашему дифференциалу
приписываем слагаемое, которое у нас изначально было в подынтегральной функции:
.
– Вычитаем (в данном случае – вычитаем, иногда нужно, наоборот, прибавлять)
наше «не то» слагаемое:
– Обе константы берем в скобки и приписываем справа значок дифференциала:
– Вычитаем (в некоторых примерах нужно сложить) константы:
.
6) Выполняем проверку:
У нас получился в точности числитель подынтегральной функции, значит, подбор выполнен успешно.
Чистовое оформление решения выглядит примерно так:
(1) Выполняем на черновике подбор числителя согласно вышерассмотренному алгоритму. Обязательно выполняем проверку, правильно ли выполнен подбор. При определенном опыте решения интегралов подбор нетрудно выполнить и в уме.
(2) Почленно делим числитель на знаменатель. В практическом решении задач данный шаг можно опускать
(3) Используя свойство линейности, разделяем интегралы. Все константы целесообразно вынести за знаки интегралов.
(4) Первый интеграл фактически является табличным, используем формулу (константу C припишем позже, когда возьмем второй интеграл). Во втором интеграле выделяем полный квадрат (такой тип интегралов мы рассмотрели в предыдущем параграфе). Остальное дело техники.
И, на закуску, пара примеров для самостоятельного решения – один проще, другой сложнее.
Пример 15
Найти неопределенный интеграл
Пример 16
Найти неопределенный интеграл
Для решения Примеров 15 и 16 будет полезен частный случай интегрирования степенной функции, которого нет в нашей справочной таблице:
.
Пример 15: Решение:
Пример 16: Решение:
.
Интегральное исчисление
1.1 Первообразная, неопределенный интеграл
Определение. Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на множестве X, если для всех .
Выражение F(x)+C представляет собой семейство всех первообразных функции f(x). (C=const).
Определение. Если F(x) – одна из первообразных функции f(x), то выражение F(x)+C называется неопределенным интегралом.
Обозначается 
.
Простейшие свойства.
1) 
2) 
3) 
Таблица основных интегралов
1)  .
| 10)  .
|
2)  .
| 11)  .
|
3)  .
| 12)  .
|
4)  .
| 13)  .
|
5)  .
| 14)  .
|
6)  .
| 15)  .
|
7)  .
| 16)  .
|
8)  .
| 17)  .
|
| 9) . |
В частности:
; 
; 
.
Из определения и свойств неопределенного интеграла следует, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными действиями: производная правой части в каждой формуле равна подынтегральной функции. Проверим, например, формулу 2.
Примеры:
Методы интегрирования
Метод подведения под знак дифференциала (устная замена переменной)
Если относительно данной переменной интеграл не является табличным, то в некоторых случаях его можно привести к табличному относительно новой переменной с помощью подведения под знак дифференциала нужной функции.
При этом удобно пользоваться следующими формулами, которые получаются из формул дифференцирования при прочтении их в обратном порядке:
 |  |
 |
|
 |
|
| … |  |
 , n
≠-1
|  |
 |
Примеры (см. задание 1а)
Метод письменной замены переменной (подстановки)
1. Вводим новую переменную (подстановку)
2. Дифференцируем подстановку.
3. Вводим новую переменную в подынтегральное выражение.
4. Вычисляем интеграл.
5. Возвращаемся к старой переменной.
Примеры (см. задание 1а):
Метод интегрирования по частям
Этот метод применяют для интегралов вида:
а) , , 
;
б) , 
, 
, 
, 
;
где - многочлен.
Формула интегрирования по частям имеет вид:
.
1) Для интегралов типа а) принимают U =P(x), все остальное равно dV.
2) Для интегралов типа б) принимают dV =P(x)dx .
3) для интегралов типа в) за U принимают любую функцию, метод применяют дважды.
Примеры (см. задание 1б):
.
4) можно решение записать иначе:
Получили первоначальный интеграл, обозначим его за y
Определенный интеграл
Задача о площади.
Вычислим площадь плоской фигуры, ограниченной графиком непрерывной, неотрицательной функции y=f(x) , прямыми x=a, x=b , отрезком [a ,b ]. Такая фигура называется криволинейной трапецией.
1) Разобьем отрезок [a, b
] произвольным образом на n
частей точками . Получим n
маленьких отрезков с длинами 
; .
2) Через точки деления проведем вертикальные прямые. Трапеция разобьется на n
трапеций. На каждом из элементарных отрезков выберем произвольным образом по точке 
.
Найдем значения функции в этих точках
Примем эти ординаты за высоты прямоугольников.
3) Посчитаем, что площади маленьких криволинейных трапеций приближенно равны площадям прямоугольников с основаниями и высотами . Тогда
Чем мельче отрезки деления, тем точнее это равенство. За точное значение площади трапеции примем предел, к которому стремятся площади ступенчатых фигур при неограниченном увеличении числа отрезков деления и стремлении к нулю наибольшей из длин этих отрезков.
.
Свойства определенного интеграла
1) ; 2) 
;
3) ; 4) 
;
6) Если , то ;
Если , то .
Следствие.
Если , то 
.
7) Если f(x) непрерывна на [a, b ], m, M - ее соответственно наименьшее и наибольшее значение на [a, b ], то справедлива оценка
8) (Теорема о среднем) . Если f(x) непрерывна на [a, b ], то существует хотя бы одна точка такая, что
Формула Ньютона-Лейбница
Пусть f(x) – непрерывна на [a, b ], F(x) – первообразная функции f(x) на [a,b ], тогда определенный интеграл равен приращению первообразной (т.е. неопределенного интеграла) на этом отрезке:
Примеры
Интегрирование по частям
(см. интегрирование по частям в разделе "Неопределенный интеграл")
Формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид
Пример .
Замена переменной в определенном интеграле
Теорема. Пусть f(x) непрерывна на [a, b ], введем подстановку . Если
1) непрерывны при ,
2) при изменении t
от до , функция изменяется от a
до b
, 
, то справедлива формула замены переменной:
Пример (см. задание 2):
Основные понятия
1. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производные:
2. Наивысший порядок производной искомой функции, входящей в ДУ, называется порядком ДУ .
3. Решить ДУ – это значит найти все функции, которые ему удовлетворяют, т. е. при подстановке их в уравнение, оно обращается в тождество.
4. Нахождение решений ДУ называется интегрированием ДУ , график решения ДУ называется интегральной кривой .
Однородные функции
Функция f(x,y) называется однородной k -ой степени однородности, если выполняется равенство:
В частности, если
– функция однородная нулевой степени однородности.
Примеры
1) 
.
– однородная функция второй степени однородности.
2) 
.
– однородная функция нулевой степени однородности.
Коэффициентами
Это уравнения вида
| , | (1) |
где – константы.
Общее решение такого уравнения имеет вид
где – произвольные постоянные
Общее решение однородного уравнения,
Линейно независимые частные решения уравнения (1).
Определение.
Функции и называются линейно независимыми (зависимыми) на (a, b)
, если при 
Решение уравнения (1) сводится к решению алгебраического уравнения
 ,
| (2) |
называемого характеристическим, в котором степень k равна порядку производной в уравнении (1).
При этом возможны следующие случаи:
1. При 
уравнение (2) имеет действительные различные корни , тогда частные решения ДУ (1) имеют вид , (в чем можно убедится непосредственной подстановкой).
Они линейно независимы (смотри определение). Тогда общее решение (1) имеет вид:
2. При 
характеристическое уравнение (2) имеет два действительных равных корня , тогда частными решениями Д.У. (1) являются функции , общее решение (1) имеет вид
3. Если 
, то характеристическое уравнение (2) не имеет действительных корней, но имеет комплексные корни вида .
Тогда частные решения
Общее решение (1) имеет вид
Примеры (см. задание 5):
1) 
, составим характеристическое уравнение: 
; ; .
2) 
, составим характеристическое уравнение 
;
;
3) 
Ряды
Ряд, сходимость, сумма.
Пусть дана последовательность чисел 
Числовым рядом называется выражение
. (1)
Сумма первых членов называется частичной суммой .
Частичные суммы образуют в свою очередь последовательность 
, которая для одних рядов сходится, для других – расходится.
Ряд (1) называется сходящимся , если существует конечный предел последовательности частичных сумм .
S называется суммой ряда. Если этот предел не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся .
Расходящиеся ряды суммы не имеют.
Знакопеременные ряды
Признак Лейбница.
Если в знакочередующемся ряде
1) абсолютные величины членов ряда убывают 
;
то знакочередующийся ряд сходится и его сумма не превосходит модуля первого члена.
Следствие. Пусть знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница. Если сумму этого ряда заменить суммой n первых членов, то погрешность, допускаемая при этом не превосходит модуля первого отброшенного члена.
Рассмотрим знакочередующийся ряд и ряд, составленный из абсолютных его величин. Если ряд, составленный из абсолютных величин, сходится, то знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся рядом. Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин, расходится, то знакопеременный ряд называется условно сходящимся .
Пример. Исследовать на условную и абсолютную сходимость ряд.
Это знакочередующийся ряд. Применим признак Лейбница.
1) 
;
2) . => ряд сходится по признаку Лейбница.
Исследуем ряд на условную и абсолютную сходимость. Для этого рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда.
– это обобщенный гармонический ряд, он сходится, так как k =3>1, тогда знакочередующийся ряд является абсолютно сходящимся рядом.
Степенные ряды
Степенным рядом называется ряд вида:
где – постоянные величины, коэффициенты ряда, число a – центр ряда.
При a =0 имеем
| (1) |
При степенной ряд (1) принимает вид
| (2) |
Это уже числовой ряд. он может сходиться или расходиться.
Если ряд (2) сходится, то – точка сходимости степенного ряда (1). Если ряд (2) расходится, то – точка расходимости . Совокупность точек сходимости называется областью сходимости степенного ряда.
Теорема Абеля. Для любого степенного ряда (1) существует интервал , внутри которого ряд сходится абсолютно, вне его расходится, а на границах может иметь различный характер сходимости.
– радиус интервала сходимости.
– интервал сходимости.
Если R =0, то точка x =0 – единственная точка сходимости.
Если R =¥, то ряд сходится на всей числовой оси.
Пример.
1) Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала.
Тогда (-5; 5) – интервал, внутри которого ряд сходится абсолютно. Исследуем характер сходимости ряда на границах.
1) x =–5, тогда степенной ряд примет вид
Это знакочередующийся ряд. Для него применим признак Лейбница:
– не выполнено первое условие признака Лейбница, тогда ряд
расходится, точка – точка расходимости.
2) x
=5; 
– ряд расходится по следствию из необходимого признака, тогда x
=5 – точка расходимости.
(-5; 5) – область сходимости данного степенного ряда.
.
– интервал сходимости данного степенного ряда. Исследуем на границах:
1) , тогда степенной ряд примет вид:
– это знакочередующийся ряд. Проверим два условия:
1) 
;
2) 
, тогда ряд сходится по признаку Лейбница, точка – есть точка сходимости первоначального степенного ряда, она входит в область сходимости.
2) 
. Сравним этот ряд с гармоническим , который, как известно, расходится.
– конечное число, тогда по следствию из признака сравнения ряды ведут себя одинаково, т. е. оба расходятся, поэтому точка – точка расходимости начального степенного ряда.
– область сходимости степенного ряда.
Теория вероятностей
Вероятность события
Вероятностью события А называется отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу всевозможных элементарных исходов испытания, т. е. , где m – число элементарных исходов, при которых наступает событие А (благоприятствующие исходы), n – число всех возможных исходов данного испытания. Это классическое определение вероятности события.
1) Пусть U – достоверное событие, тогда любой исход испытания благоприятен наступлению U , т. е. m=n , тогда
P (U )=1.
2) V – невозможное событие, тогда ни один исход испытания не будет благоприятствующим, т. е. m= 0, тогда
P (V )=0.
3) А – случайное событие, 0<m <n , тогда , т. е.
0<P (A )<1.
Пример . Монету бросаем два раза. Определить вероятность того, что герб появится не менее одного раза.
Пусть А – событие, состоящее в появлении герба не менее одного раза. Элементарные исходы такие ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ, всего четыре исхода, из них благоприятствующих появлению события А – три, тогда .
Элементы комбинаторики
1. Пусть имеем три элемента a, b, c . Образуем из них комбинации (выборки) по два элемента: ab, ba, ac, ca, bc, cb – их шесть штук. Они отличаются друг от друга или элементами, или порядком следования элементов. Такие выборки называются размещениями , обозначаются .
2. Выборки, отличающиеся друг от друга только порядком расположения элементов, называются перестановками , обозначаются .
3. Выборки, отличающиеся одна от другой хотя бы одним элементом, называются сочетаниями , обозначаются .
,
.
Следует помнить, что .
Пример. Среди 20 студентов группы, в которой 6 девушек, разыгрываются пять билетов. Определить вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся две девушки.
5 билетов среди 20 человек можно распределить способами. 3 билета среди 14 юношей можно распределить способами, 2 билета среди 6 девушек можно распределить способами. Каждая пара девушек может сочетаться с любой тройкой юношей, т. е. число благоприятных исходов , а число всех возможных исходов . Тогда
.
Основные теоремы.
Теоремы сложения
1. Вероятность наступления хотя бы одного из несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
P (A+B )=P (A )+P (B ).
2. Вероятность наступления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:
P (A+B )=P (A )+P (B )–P (AB ).
Теоремы умножения
Определения.
1) События называются независимыми , если вероятность наступления одного события не зависит от того, произошло другое событие или не произошло.
2) События называются зависимыми , если вероятность наступления одного из них зависит от того, произошло другое или нет.
3) Вероятность события А , вычисленная при условии, что событие В уже произошло, называется условной вероятностью , обозначается (читается: «Р от А при условии, что В произошло»).
Теорема 1. Вероятность совместного наступления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие уже произошло.
.
Теорема 2. Вероятность совместного наступления независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Задача . Из колоды в 36 карт наудачу одну за другой вынимают две карты. найти вероятность того, что будут вынуты два валета.
Пусть А – событие, состоящее в том, что первая карта – валет;
В – событие, состоящее в том, что вторая карта – валет;
С – событие, состоящее в том, что вынуты два валета.
Тогда . События А и В – зависимые, тогда .
Полная группа событий
Если сумма событий есть достоверное событие (т. е., в результате испытания хотя бы одно из них непременно произойдет), то события образуют полную группу событий. Если эти события попарно несовместны, то образуют полную группу попарно несовместных событий.
Теорема. Если образуют полную группу попарно несовместных событий, то сумма вероятностей этих событий равна 1. .
Определение. Два единственно возможных события, образующих полную группу, называются противоположными .
Или: противоположным событию А называется событие , состоящее в ненаступлении А (читается «не А »).
Теорема. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна 1: 
.
Если 
, то p+q=
1 .
Вероятность наступления хотя бы одного события
Теорема. Пусть А – событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий . – независимые в совокупности события. Тогда .
Задача. Три станка работают независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок в течение часа выйдет из строя, равна 0,015, для второго и третьего станков эти вероятности равны 0,02 и 0,025. Найти вероятность того, что в течение часа хотя бы один станок выйдет из строя.
А Пусть выполнены все условия предыдущей теоремы. Но пусть уже известно, что событие А – произошло. Тогда вероятность гипотезы после опыта определяется по формуле:
.
P (A ) находим по формуле полной вероятности.
Задача. Два автомата производят одинаковые детали, которые собираются на общий конвейер. Производительность первого автомата в два раза больше второго. Первый производит в среднем 60% деталей отличного качества, второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что она изготовлена вторым автоматом.
– событие, состоящее в том, что наудачу взятая деталь изготовлена первым автоматом, – вторым. А – событие, состоящее в том, что наудачу взятая деталь отличного качества.
Формула Бернулли
Пусть произведено n
независимых испытаний, в каждом из которых событие А
может появиться с вероятностью P
(A
)=p
, причем 
. Последовательность появления события А
не имеет значения. Тогда вероятность того, что в n
независимых испытаниях событие А
наступает ровно m
раз вычисляется по формуле:
,
где – число сочетаний из n элементов по m (см. выше).
Задача. Орудие стреляет по цели пять раз. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, что орудие попадает два раза.
Случайные величины
Случайной величиной называют такую величину, которая в результате испытания принимает одно и только одно из возможных своих значений, заранее неизвестное и зависящее от случайных обстоятельств, которые не всегда можно учесть. Обозначается X, Y, Z,
Тогда закон распределения этой случайной величины принимает вид:
| X | ||||
| P | 0,512 | 0,384 | 0,096 | 0,008 |
Контроль:
Числовые характеристики
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений возможных значений случайной величины на вероятности этих возможных значений. Обозначается:
Математическое ожидание – это число, центр распределения случайной величины, – ее возможные значения расположены на оси левее и правее математического ожидания.
Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения этой случайной величины от своего математического ожидания.
Можно доказать, что
Этой формулой удобно пользоваться в расчетах. Дисперсия характеризует меру рассеяния возможных значений случайной величины относительно ее математического ожидания.
Средним квадратическим отклонением
называется 
.
Пример
. (см. задание 8). Дан ряд распределения случайной величины. Найти 
.
Сначала немного поговорим о постановке задачи в общем виде, а затем перейдём к примерам интегрирования подстановкой. Допустим, в нас есть некий интеграл $\int g(x) \; dx$. Однако в таблице интегралов нужной формулы нет, да и разбить заданный интеграл на несколько табличных не удаётся (т.е. непосредственное интегрирование отпадает). Однако задача будет решена, если нам удастся найти некую подстановку $u=\varphi(x)$, которая сведёт наш интеграл $\int g(x) \; dx$ к какому-либо табличному интегралу $\int f(u) \; du=F(u)+C$. После применения формулы $\int f(u) \; du=F(u)+C$ нам останется только вернуть обратно переменную $x$. Формально это можно записать так:
$$\int g(x) \; dx=|u=\varphi(x)|=\int f(u) \; du=F(u)+C=F(\varphi(x))+C.$$
Проблема в том, как выбрать такую подстановку $u$. Для этого понадобится знание, во-первых, таблицы производных и умение её применять для дифференцирования сложных функций , а во-вторых, таблицы неопределенных интегралов . Кроме того, нам будет крайне необходима формула, которую я запишу ниже. Если $y=f(x)$, то:
\begin{equation}dy=y"dx\end{equation}
Т.е. дифференциал некоторой функции равен производной этой функции, умноженной на дифференциал независимой переменной. Это правило очень важно, и именно оно позволит применять метод подстановки. Здесь же укажем пару частных случаев, которые получаются из формулы (1). Пусть $y=x+C$, где $C$ - некая константа (число, попросту говоря). Тогда, подставляя в формулу (1) вместо $y$ выражение $x+C$, получим следующее:
$$ d(x+C)=(x+C)" dx $$
Так как $(x+C)"=x"+C"=1+0=1$, то указанная выше формула станет такой:
$$ d(x+C)=(x+C)" dx=1\cdot dx=dx.$$
Запишем полученный результат отдельно, т.е.
\begin{equation}dx=d(x+C)\end{equation}
Полученная формула означает, что прибавление константы под дифференциалом не изменяет оный дифференциал, т.е. $dx=d(x+10)$, $dx=d(x-587)$ и так далее.
Рассмотрим еще один частный случай для формулы (1). Пусть $y=Cx$, где $C$, опять-таки, является некоторой константой. Найдем дифференциал этой функции, подставляя в формулу (1) выражение $Cx$ вместо $y$:
$$ d(Cx)=(Cx)"dx $$
Так как $(Cx)"=C\cdot (x)"=C\cdot 1=C$, то записанная выше формула $d(Cx)=(Cx)"dx$ станет такой: $d(Cx)=Cdx$. Если разделить обе части этой формулы на $C$ (при условии $C\neq 0$), то получим $\frac{d(Cx)}{C}=dx$. Этот результат можно переписать в несколько иной форме:
\begin{equation}dx=\frac{1}{C}\cdot d(Cx)\;\;\;(C\neq 0)\end{equation}
Полученная формула говорит о том, что умножение выражения под дифференциалом на некую ненулевую константу требует введения соответствующего множителя, компенсирующего такое домножение. Например, $dx=\frac{1}{5} d(5x)$, $dx=-\frac{1}{19} d(-19x)$.
В примерах №1 и №2 формулы (2) и (3) будут рассмотрены подробно.
Замечание относительно формул
В данной теме будут использоваться как формулы 1-3, так и формулы из таблицы неопределённых интегралов , которые тоже имеют свои номера. Чтобы не было путаницы, условимся о следующем: если в теме встречается текст "используем формулу №1", то означает он буквально следующее "используем формулу №1, расположенную на этой странице ". Если нам понадобится формула из таблицы интегралов, то это будем оговаривать каждый раз отдельно. Например, так: "используем формулу №1 из таблицы интегралов".
И ещё одно небольшое примечание
Перед началом работы с примерами рекомендуется ознакомиться с материалом, изложенным в предыдущих темах, посвящённых понятию неопределённого интеграла и . Изложение материала в этой теме опирается на сведения, указанные в упомянутых темах.
Пример №1
Найти $\int \frac{dx}{x+4}$.
Если мы обратимся к , то не сможем найти формулу, которая точно соответствует интегралу $\int \frac{dx}{x+4}$. Наиболее близка к этому интегралу формула №2 таблицы интегралов, т.е. $\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C$. Проблема в следующем: формула $\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C$ предполагает, что в интеграле $\int \frac{du}{u}$ выражения в знаменателе и под дифференциалом должны быть одинаковы (и там и там расположена одна буква $u$). В нашем случае в $\int \frac{dx}{x+4}$ под дифференциалом находится буква $x$, а в знаменателе - выражение $x+4$, т.е. налицо явное несоответствие табличной формуле. Попробуем "подогнать" наш интеграл под табличный. Что произойдёт, если под дифференциал вместо $x$ подставить $x+4$? Для ответа на этот вопрос применим , подставив в неё выражение $x+4$ вместо $y$:
$$ d(x+4)=(x+4)"dx $$
Так как $(x+4)"=x"+(4)"=1+0=1$, то равенство $ d(x+4)=(x+4)"dx $ станет таким:
$$ d(x+4)=1\cdot dx=dx $$
Итак, $dx=d(x+4)$. Честно говоря, этот же результат можно было получить, просто подставив в вместо константы $C$ число $4$. В дальнейшем мы так и будем делать, а на первый раз разобрали процедуру получения равенства $dx=d(x+4)$ подробно. Но что даёт нам равенство $dx=d(x+4)$?
А даёт оно нам следующий вывод: если $dx=d(x+4)$, то в интеграл $\int \frac{dx}{x+4}$ вместо $dx$ можно подставить $d(x+4)$, причём интеграл от этого не изменится:
$$ \int \frac{dx}{x+4}=\int \frac{d(x+4)}{x+4}$$
Сделали мы это преобразование лишь для того, чтобы полученный интеграл стал полностью соответствовать табличной формуле $\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C$. Чтобы такое соответствие стало совсем явным, заменим выражение $x+4$ буквой $u$ (т.е. сделаем подстановку $u=x+4$):
$$ \int \frac{dx}{x+4}=\int \frac{d(x+4)}{x+4}=|u=x+4|=\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C.$$
По сути, задача уже решена. Осталось лишь вернуть переменную $x$. Вспоминая, что $u=x+4$, получим: $\ln|u|+C=\ln|x+4|+C$. Полное решение без пояснений выглядит так:
$$ \int \frac{dx}{x+4}=\int \frac{d(x+4)}{x+4}=|u=x+4|=\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C=\ln|x+4|+C.$$
Ответ : $\int \frac{dx}{x+4}=\ln|x+4|+C$.
Пример №2
Найти $\int e^{3x} dx$.
Если мы обратимся к таблице неопределённых интегралов , то не сможем найти формулу, которая точно соответствует интегралу $\int e^{3x} dx$. Наиболее близка к этому интегралу формула №4 из таблицы интегралов, т.е. $\int e^u du=e^u+C$. Проблема в следующем: формула $\int e^u du=e^u+C$ предполагает, что в интеграле $\int e^u du$ выражения в степени числа $e$ и под дифференциалом должны быть одинаковы (и там и там расположена одна буква $u$). В нашем случае в $\int e^{3x} dx$ под дифференциалом находится буква $x$, а в степени числа $e$ - выражение $3x$, т.е. налицо явное несоответствие табличной формуле. Попробуем "подогнать" наш интеграл под табличный. Что произойдёт, если под дифференциал вместо $x$ подставить $3x$? Для ответа на этот вопрос применим , подставив в неё выражение $3x$ вместо $y$:
$$ d(3x)=(3x)"dx $$
Так как $(3x)"=3\cdot (x)"=3\cdot 1=3$, то равенство $d(3x)=(3x)"dx$ станет таким:
$$ d(3x)=3dx $$
Разделив обе части полученного равенства на $3$, будем иметь: $\frac{d(3x)}{3}=dx$, т.е. $dx=\frac{1}{3}\cdot d(3x)$. Вообще-то, равенство $dx=\frac{1}{3}\cdot d(3x)$ можно было получить, просто подставив в вместо константы $C$ число $3$. В дальнейшем мы так и будем делать, а на первый раз разобрали процедуру получения равенства $dx=\frac{1}{3}\cdot d(3x)$ подробно.
Что нам дало полученное равенство $dx=\frac{1}{3}\cdot d(3x)$? Оно означает, что в интеграл $\int e^{3x} dx$ вместо $dx$ можно подставить $\frac{1}{3}\cdot d(3x)$, причём интеграл от этого не изменится:
$$ \int e^{3x} dx= \int e^{3x} \cdot\frac{1}{3} d(3x) $$
Вынесем константу $\frac{1}{3}$ за знак интеграла и заменим выражение $3x$ буквой $u$ (т.е. сделаем подстановку $u=3x$), после чего применим табличную формулу $\int e^u du=e^u+C$:
$$ \int e^{3x} dx= \int e^{3x} \cdot\frac{1}{3} d(3x)=\frac{1}{3}\cdot \int e^{3x} d(3x)=|u=3x|=\frac{1}{3}\cdot\int e^u du=\frac{1}{3}\cdot e^u+C.$$
Как и в предыдущем примере, нужно вернуть обратно исходную переменную $x$. Так как $u=3x$, то $\frac{1}{3}\cdot e^u+C=\frac{1}{3}\cdot e^{3x}+C$. Полное решение без комментариев выглядит так:
$$ \int e^{3x} dx= \int e^{3x} \cdot\frac{1}{3} d(3x)=\frac{1}{3}\cdot \int e^{3x} d(3x)=|u=3x|=\frac{1}{3}\cdot\int e^u du=\frac{1}{3}\cdot e^u+C=\frac{1}{3}\cdot e^{3x}+C.$$
Ответ : $ \int e^{3x} dx= \frac{1}{3}\cdot e^{3x}+C$.
Пример №3
Найти $\int (3x+2)^2 dx$.
Для нахождения данного интеграла применим два способа. Первый способ состоит в раскрытии скобок и непосредственном интегрировании . Второй способ заключается в применении метода подстановки.
Первый способ
Так как $(3x+2)^2=9x^2+12x+4$, то $\int (3x+2)^2 dx=\int (9x^2+12x+4)dx$. Представляя интеграл $\int (9x^2+12x+4)dx$ в виде суммы трёх интегралов и вынося константы за знаки соответствующих интегралов, получим:
$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\cdot \int 1 dx $$
Чтобы найти $\int x^2 dx$ подставим $u=x$ и $\alpha=2$ в формулу №1 таблицы интегралов: $\int x^2 dx=\frac{x^{2+1}}{2+1}+C=\frac{x^3}{3}+C$. Аналогично, подставляя $u=x$ и $\alpha=1$ в ту же формулу из таблицы, будем иметь: $\int x^1 dx=\frac{x^{1+1}}{1+1}+C=\frac{x^2}{2}+C$. Так как $\int 1 dx=x+C$, то:
$$ 9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\cdot \int 1 dx=9\cdot\frac{x^3}{3}+12\cdot \frac{x^2}{2}+4\cdot x+C=3x^3+6x^2+4x+C. $$
$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\cdot \int 1 dx=\\ =9\cdot\frac{x^3}{3}+12\cdot \frac{x^2}{2}+4\cdot x+C=3x^3+6x^2+4x+C. $$
Второй способ
Скобки раскрывать не будем. Попробуем сделать так, чтобы под дифференциалом вместо $x$ появилось выражение $3x+2$. Это позволит ввести новую переменную и применить табличную формулу. Нам нужно, чтобы под дифференциалом возник множитель $3$, посему подставляя в значение $C=3$, получим $d(x)=\frac{1}{3}d(3x)$. Кроме того, под дифференциалом не хватает слагаемого $2$. Согласно прибавление константы под знаком дифференциала не меняет оный дифференциал, т.е. $\frac{1}{3}d(3x)=\frac{1}{3}d(3x+2)$. Из условий $d(x)=\frac{1}{3}d(3x)$ и $\frac{1}{3}d(3x)=\frac{1}{3}d(3x+2)$ имеем: $dx=\frac{1}{3}d(3x+2)$.
Отмечу, что равенство $dx=\frac{1}{3}d(3x+2)$ можно получить и иным способом:
$$ d(3x+2)=(3x+2)"dx=((3x)"+(2)")dx=(3\cdot x"+0)dx=3\cdot 1 dx=3dx;\\ dx=\frac{1}{3}d(3x+2). $$
Используем полученное равенство $dx=\frac{1}{3}d(3x+2)$, подставив в интеграл $\int (3x+2)^2 dx$ выражение $\frac{1}{3}d(3x+2)$ вместо $dx$. Константу $\frac{1}{3}$ вынесем за знак получившегося интеграла:
$$ \int (3x+2)^2 dx=\int (3x+2)^2 \cdot \frac{1}{3}d(3x+2)=\frac{1}{3}\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2). $$
Дальнейшее решение состоит в осуществлении подстановки $u=3x+2$ и применении формулы №1 из таблицы интегралов:
$$ \frac{1}{3}\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\frac{1}{3}\cdot \int u^2 du=\frac{1}{3}\cdot \frac{u^{2+1}}{2+1}+C=\frac{u^3}{9}+C. $$
Возвращая вместо $u$ выражение $3x+2$, получим:
$$ \frac{u^3}{9}+C=\frac{(3x+2)^3}{9}+C. $$
Полное решение без пояснений таково:
$$ \int (3x+2)^2 dx=\frac{1}{3}\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\\ =\frac{1}{3}\cdot \int u^2 du=\frac{u^3}{9}+C=\frac{(3x+2)^3}{9}+C. $$
Предвижу пару вопросов, поэтому попробую сформулировать их дать ответы.
Вопрос №1
Что-то тут не сходится. Когда мы решали первым способом, что получили, что $\int (9x^2+12x+4)dx=3x^3+6x^2+4x+C$. При решении вторым путём, ответ стал таким: $\int (3x+2)^2 dx=\frac{(3x+2)^3}{9}+C$. Однако перейти от второго ответа к первому не получается! Если раскрыть скобки, то получаем следующее:
$$ \frac{(3x+2)^3}{9}+C=\frac{27x^3+54x^2+36x+8}{9}+C=\frac{27x^3}{9}+\frac{54x^2}{9}+\frac{36x}{9}+\frac{8}{9}+C=3x^3+6x^2+4x+\frac{8}{9}+C. $$
Ответы не совпадают! Откуда взялась лишняя дробь $\frac{8}{9}$?
Этот вопрос говорит о том, что Вам стоит обратиться к предыдущим темам. Почитать тему про понятие неопределённого интеграла (уделив особое внимание вопросу №2 в конце страницы) и непосредственному интегрированию (стоит обратить внимание на вопрос №4). В указанных темах этот вопрос освещается подробно. Если уж совсем коротко, то интегральная константа $C$ может быть представлена в разных формах. Например, в нашем случае переобозначив $C_1=C+\frac{8}{9}$, получим:
$$ 3x^3+6x^2+4x+\frac{8}{9}+C=3x^3+6x^2+4x+C_1. $$
Посему никакого противоречия нет, ответ может быть записан как в форме $3x^3+6x^2+4x+C$, так и в виде $\frac{(3x+2)^3}{9}+C$.
Вопрос №2
Зачем было решать вторым способом? Это же лишнее усложнение! Зачем применять кучу лишних формул, чтобы найти ответ, который первым способом получается в пару действий? Всего-то и нужно было, что скобки раскрыть, применив школьную формулу.
Ну, во-первых, не такое уж это и усложнение. Когда вы разберётесь в методе подстановки, то решения подобных примеров станете делать в одну строчку: $\int (3x+2)^2 dx=\frac{1}{3}\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=\frac{(3x+2)^3}{9}+C$. Однако давайте взглянем на этот пример по-иному. Представьте, что нужно вычислить не $\int (3x+2)^2 dx$, а $\int (3x+2)^{200} dx$. При решении вторым способом придётся лишь чуток подправить степени и ответ будет готов:
$$ \int (3x+2)^{200} dx=\frac{1}{3}\cdot \int (3x+2)^{200} d(3x+2)=|u=3x+2|=\\ =\frac{1}{3}\cdot \int u^{200} du=\frac{u^{201}}{603}+C=\frac{(3x+2)^{201}}{603}+C. $$
А теперь представьте, что этот же интеграл $\int (3x+2)^{200} dx$ требуется взять первым способом. Для начала нужно будет раскрыть скобку $(3x+2)^{200}$, получив при этом сумму в двести одно слагаемое! А потом каждое слагаемое ещё и проинтегрировать придётся. Поэтому вывод тут такой: для больших степеней метод непосредственного интегрирования не годится. Второй способ, несмотря на кажущуюся сложность, более практичен.
Пример №4
Найти $\int \sin2x dx$.
Решение этого примера проведём тремя различными способами.
Первый способ
Заглянем в таблицу интегралов . Ниболее близка к нашему примеру формула №5 из этой таблицы, т.е. $\int \sin u du=-\cos u+C$. Чтобы подогнать интеграл $\int \sin2x dx$ под вид $\int \sin u du$, воспользуемся , внеся множитель $2$ под знак дифференциала. Собственно, мы это делали уже в примере №2, так что обойдёмся без подробных комментариев:
$$ \int \sin 2x dx=\left|dx=\frac{1}{2}\cdot d(2x) \right|=\int \sin 2x \cdot\frac{1}{2}d(2x)=\\ =\frac{1}{2} \int \sin 2x d(2x)=|u=2x|=\frac{1}{2} \int \sin u du=-\frac{1}{2}\cos u+C=-\frac{1}{2}\cos 2x+C. $$
Ответ : $\int \sin2x dx=-\frac{1}{2}\cos 2x+C$.
Второй способ
Для решения вторым способом применим простую тригонометрическую формулу: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Подставим вместо $\sin 2x$ выражение $2 \sin x \cos x$, при этом константу $2$ вынесем за знак интеграла:
Какова цель такого преобразования? В таблице интеграла $\int \sin x\cos x dx$ нет, но мы можем немного препобразовать $\int \sin x\cos x dx$, чтобы он стал больше походить на табличный. Для этого найдем $d(\cos x)$, используя . Подставим в упомянутую формулу $\cos x$ вместо $y$:
$$ d(\cos x)=(\cos x)"dx=-\sin x dx. $$
Так как $d(\cos x)=-\sin x dx$, то $\sin x dx=-d(\cos x)$. Так как $\sin x dx=-d(\cos x)$, то мы можем в $\int \sin x\cos x dx$ вместо $\sin x dx$ подставить $-d(\cos x)$. Значение интеграла при этом не изменится:
$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \cos x \cdot (-d(\cos x))=-2\int\cos x d(\cos x) $$
Говоря иными словами, мы внесли под дифференциал $\cos x$. Теперь, сделав подстановку $u=\cos x$, мы сможем применить формулу №1 из таблицы интегралов:
$$ -2\int\cos x d(\cos x)=|u=\cos x|=-2\int u du=-2\cdot \frac{u^2}{2}+C=-u^2+C=-\cos^2x+C. $$
Ответ получен. Вообще, можно не вводить букву $u$. Когда вы приобретёте достаточный навык в решении подобного рода интегралов, то необходимость в дополнительных обозначениях отпадёт. Полное решение без пояснений таково:
$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\sin x dx=-d(\cos x)|=-2\int\cos x d(\cos x)=|u=\cos x|=\\ =-2\int u du=-2\cdot \frac{u^2}{2}+C=-u^2+C=-\cos^2x+C. $$
Ответ : $\int \sin2x dx=-\cos^2x+C$.
Третий способ
Для решения третьим способом применим ту же тригонометрическую формулу: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Подставим вместо $\sin 2x$ выражение $2 \sin x \cos x$, при этом константу $2$ вынесем за знак интеграла:
$$ \int \sin 2x dx=\int 2 \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx $$
Найдем $d(\sin x)$, используя . Подставим в упомянутую формулу $\sin x$ вместо $y$:
$$ d(\sin x)=(\sin x)"dx=\cos x dx. $$
Итак, $d(\sin x)=\cos x dx$. Из полученного равенства следует, что мы можем в $\int \sin x\cos x dx$ вместо $\cos x dx$ подставить $d(\sin x)$. Значение интеграла при этом не изменится:
$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin x) $$
Говоря иными словами, мы внесли под дифференциал $\sin x$. Теперь, сделав подстановку $u=\sin x$, мы сможем применить формулу №1 из таблицы интегралов:
$$ 2\int\sin x d(\sin x)=|u=\sin x|=2\int u du=2\cdot \frac{u^2}{2}+C=u^2+C=\sin^2x+C. $$
Ответ получен. Полное решение без пояснений имеет вид:
$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\cos x dx=d(\sin x)|=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin x)=|u=\sin x|=\\ =2\int u du=2\cdot \frac{u^2}{2}+C=u^2+C=\sin^2x+C. $$
Ответ : $\int \sin2x dx=\sin^2x+C$.
Возможно, что после прочтения этого примера, особенно трёх различных (на первый взгляд) ответов, возникнет вопрос. Рассмотрим его.
Вопрос №3
Погодите. Ответы должны совпадать, но они отличаются! В примере №3 различие было всего-то в константе $\frac{8}{9}$, но здесь даже внешне ответы не похожи: $-\frac{1}{2}\cos 2x+C$, $-\cos^2x+C$, $\sin^2x+C$. Неужели всё дело опять в интегральной константе $C$?
Да, дело именно в этой константе. Давайте сведём все ответы к одной форме, после чего это различие в константах станет совсем явным. Начнём с $-\frac{1}{2}\cos 2x+C$. Используем простое тригонометрическое равенство: $\cos 2x=1-2\sin^2 x$. Тогда выражение $-\frac{1}{2}\cos 2x+C$ станет таким:
$$ -\frac{1}{2}\cos 2x+C=-\frac{1}{2}\cdot(1-2\sin^2 x)+C=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot 2\sin^2x+C=\sin^2 x+C-\frac{1}{2}. $$
Теперь поработаем со вторым ответом, т.е. $-\cos^2x+C$. Так как $\cos^2 x=1-\sin^2x$, то:
$$ -\cos^2x+C=-(1-\sin^2x)+C=-1+\sin^2x+C=\sin^2x+C-1 $$
Три ответа, которые мы получили в примере №4, стали такими: $\sin^2 x+C-\frac{1}{2}$, $\sin^2x+C-1$, $\sin^2x+C$. Полагаю, теперь видно, что отличаются они друг от друга лишь некоторым числом. Т.е. дело опять оказалось в интегральной константе. Как видите, небольшое различие в интегральной константе способно, в принципе, сильно изменить внешний вид ответа, - но от этого ответ не перестанет быть правильным. К чему я веду: если в сборнике задач вы увидите ответ, не совпадающий с вашим, то это вовсе не означает, что ваш ответ неверен. Возможно, что вы просто пришли к ответу иным способом, чем предполагал автор задачи. А убедиться в правильности ответа поможет проверка, основанная на определении неопределённого интеграла . Например, если интеграл $\int \sin2x dx=-\frac{1}{2}\cos 2x+C$ найден верно, то должно выполняться равенство $\left(-\frac{1}{2}\cos 2x+C\right)"=\sin 2x$. Вот и проверим, правда ли, что производная от $\left(-\frac{1}{2}\cos 2x+C\right)$ равна подынтегральной функции $\sin 2x$:
$$ \left(-\frac{1}{2}\cos 2x+C\right)"=\left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right)"+C"=-\frac{1}{2}\cdot(\cos 2x)"+0=\\ =-\frac{1}{2}\cdot (-\sin 2x)\cdot (2x)"=-\frac{1}{2}\cdot (-\sin 2x)\cdot 2=\sin 2x. $$
Проверка пройдена успешно. Равенство $\left(-\frac{1}{2}\cos 2x+C\right)"=\sin 2x$ выполнено, поэтому формула $\int \sin2x dx=-\frac{1}{2}\cos 2x+C$ верна. В примере №5 также осуществим проверку результата, дабы убедиться в его правильности. Наличие проверки не является обязательным, хотя в некоторых типовых расчётах и контрольных работах требование проверять результат присутствует.