Ранние сроки наступления событий. Графы и их использование

Определение начала течения срока имеет большое практическое значение, так как это ориентир и правильности его исчисления, и установки окончания, а значит, и тех юридических последствий, которые могут возникнуть.

Что касается правил окончания течения срока, то они различаются в зависимости от используемой единицы времени.

Согласно ст. 190 ГК РФ срок может определяться: календарной датой; истечением периода времени, исчисляемого годами, месяцами, неделями, днями или часами; указанием на событие, которое должно неизбежно наступить.

Если срок определен точной датой, например 21 сентября 2004г., или период времени обозначен такими датами, например, квартира сдается внаем на три месяца с 1 июня по 31 августа, необходимости обращаться к правилам исчисления сроков нет. Сложнее обстоит дело, когда срок определен только количеством дней, недель, месяцев или лет без указания их начального и (или) конечного моментов (дней), поскольку, как было указано выше, течение срока, исчисляемого данными периодами, начинается на следующий день после календарной даты или наступления события, которыми определено его начало.

"Отгрузка товара по договору поставки, заключенному 15 июня, должна быть произведена в течение 10 дней с момента его заключения. Это означает, что срок отгрузки начался 16 июня, а потому и последним допустимым днем отгрузки следует считать 25 июня. Следовательно, момент (день), которым определено начало срока, не засчитывается в его продолжительность. Очевидно, что данное правило введено для упрощения подсчета срока (иначе его окончанием в данном случае пришлось бы считать 24 июня)" .

Несовпадение дня фактического начала с днем его юридического начала (исчисления) несет в себе определенное противоречие и неясность и вместе с терминологической нечеткостью в законе и науке в определении (названии) этих двух дней создает дополнительные трудности. Если изменить дату заключения договора на 26 июня, то определение окончания даже 10-дневного срока будет уже не таким очевидным и упрощенным. Такое правило законодателем, по-видимому, введено для того, чтобы первый исчисляемый день срока был также полными сутками. По общему правилу и последний день срока продолжается до 24 часов.

Распространено мнение, что этот день должен соответствовать названию или числу первого дня срока, а не предыдущему дню. Так, например, недельный срок, начавшийся в среду, признается истекшим в среду следующей недели. Если решением суда об освобождении помещения, вступившим в законную силу 20 апреля, установлен месячный срок, то он истекает 21 мая, т.к. начинает течь с 21 апреля. Аналогичную позицию занимают и другие юристы.

Такое толкование окончания срока следует признать неправильным, ведущим к тому, что один и тот же день недели или число месяца будут учитываться дважды. Так, в указанных примерах неделя равна не семи, а восьми дням, а месячный срок на один полный день больше, причем без учета времени дня, определяющего начало срока, и независимо от того, полный он или нет. Общеизвестно, что календарный год длится с 1 января по 31 декабря, месяц - с 1 по 30 или 31 число, а неделя - с понедельника по воскресенье. Во всех этих периодах времени очевидна одна закономерность: последний день по своему числу месяца или названию дня недели всегда предшествует числу (названию) первого дня. Водоразделом этих периодов является полночь. Представляется, что такой же естественный календарный принцип заложен законодателем в ст. 191 ГК РФ при определении последнего дня указанных периодов, начинающихся с любого другого, не первого числа месяца или дня недели.

При таком исчислении начавшийся в среду недельный срок закончится во вторник; окончанием годичного срока, исчисляемого с 19 декабря 2003 г., будет 18 декабря 2004г., независимо от количества дней в году.

Президиум Высшего Арбитражного Суда РФ в Постановлении N 7816/95 от 5 марта 1996г. указал, что месячный срок подачи апелляционной жалобы на решение суда от 19 июля 1995г. оканчивался 19 августа 1995г.

По методике же представителей гражданского права и процесса месячный срок в этих случаях должен был бы заканчиваться 20 августа, т.к. начал исчисляться с 20 июля.

Проявляя на первый взгляд последовательность, Президиум ВАС в Постановлении N 6071/98 от 1 декабря 1998 г. определил, что при предъявлении иска в арбитражный суд 7 октября 1997 г. трехгодичный срок исковой давности начал течь с 8 октября 1994 г., а исковые требования о взыскании процентов за более ранний период расценил как заявленные с пропуском давностного срока.

Подобное исчисление срока исковой давности, регулируемое нормами материального, а не процессуального права, представляется ошибочным. Статья 200 ГК РФ прямо устанавливает течение данного срока не со следующего, а непосредственно со дня, когда лицо узнало или должно было узнать о нарушении своего права. Поскольку ст. 200 является специальной нормой, она имеет приоритет перед ст. 191 ГК РФ. В то же время в гл. 12 ГК РФ нет специальной нормы об окончании срока исковой давности. Поэтому необходимо руководствоваться ст. 192 и другими общими нормами гл. 11 ГК РФ об определении последнего дня срока. Поскольку фактически и юридически первым днем срока исковой давности является один и тот же день, то и последним днем срока может быть лишь день с тем же числом, что и первый день срока, т.к. другого числа, которому он мог бы соответствовать, нет. При таком порядке исчисления установленный законом срок давности всегда будет больше на время первого, чаще всего неполного дня. Подобное правило вполне разумно, поскольку оно упрощает и делает более удобным исчисление срока, начинающегося и заканчивающегося в одно и то же число. Оно справедливо и гуманно, поскольку всегда предоставляет лицу небольшой излишек времени ввиду того, что пропуск им данного срока может повлечь неблагоприятные последствия.

Конституцией РФ установлено более 40 различных сроков и лишь в 9 случаях конкретно указано, с какого момента или дня исчисляется определенный ею срок. Например, согласно п. 3 ст. 111 Конституции РФ Государственная Дума рассматривает представленную Президентом кандидатуру Председателя Правительства в течение недели со дня внесения предложения о кандидатуре. Шестимесячный срок принятия наследства или отказа от него установлен со дня открытия наследства, т.е. со дня смерти наследодателя. В этих, как и в других нормах закона, где сроки определены с конкретного дня, этот день должен включаться в срок ввиду ясно выраженной воли законодателя. В приведенном выше примере стороны сами установили 10-дневный срок отгрузки товаров с момента заключения договора поставки и, следовательно, сами включили этот день, 15 июня, в данный срок. Гражданский кодекс предоставляет контрагентам свободу в установлении условий договора, в том числе срока его исполнения, и не содержит запрета в определении иного начального момента течения срока, чем это установлено ст. 191 ГК РФ. Подобный запрет предусмотрен лишь в отношении сроков исковой давности (ст. 98 ГК РФ).

Срок, определенный в полмесяца, рассматривается как срок, исчисляемый днями, и считается равным 15 дням, независимо от числа дней в соответствующем месяце. В тех случаях, когда последний день срока приходится на нерабочий день, днем окончания срока считается ближайший следующий за ним рабочий день (ст. 193 ГК РФ).

При совпадении выходного и праздничного дней выходной переносится на следующий после праздничного рабочий день. Изложенные правила распространяются на выходные дни, установленные организациями, если они не совпадают с общевыходными. Если необходимые действия можно совершить только в данной организации, то окончание срока наступает на следующий за выходным рабочий день.

Порядок совершения действий в последний день срока предусмотрен ст. 194 ГК. По общему правилу необходимое юридически значимое действие может быть выполнено до 24 часов последнего дня срока. Отправление документов, пакетов и т.д. почтой или телеграфом приравнивается к своевременному исполнению, поскольку было совершено в последний день срока (о чем имеется отметка почты или телеграфа). Правило это является общим и потому распространяется не только на органы суда, прокуратуры, милиции, но и на все остальные учреждения, организации. В п. 15 Постановления Пленума Верховного Суда РФ и Пленума Высшего Арбитражного Суда РФ от 12, 15 ноября 2001 г. N 15/18 "О некоторых вопросах, связанных с применением норм Гражданского кодекса Российской Федерации об исковой давности" указывается, что письменные заявления, сданные в организации связи до 24 часов последнего дня срока считаются сделанными в срок. Поэтому днем предъявления иска следует считать дату почтового штемпеля отделения связи, через которое отправляется исковое заявление в суд.

Однако если то или иное действие должно быть совершено лично в организации или учреждении, то срок истекает в тот час, когда в ней по установленным правилам прекращаются соответствующие операции. Так, в банках счета клиентов обслуживаются с 12 до 16 часов, следовательно, срок истекает в 16 часов. Вместе с тем если клиент не был принят по вине работников, то считается, что выполнение действий не просрочено (п. 3 ст. 405 ГК), хотя они и были совершены в следующий рабочий день.

Сети или сетевые модели имеют широкое практическое применение. Из всего разнообразия методов и моделей рассмотрим здесь лишь метод критического пути (МКП). Сеть в этом случае – это графическое отображение комплекса работ. Основными элементами сети здесь являются события и работы.
Событие – это момент завершения процесса, отображающий отдельный этап выполнения проекта. Комплекс работ начинается с исходного и заканчивается завершающим событием.
Работа – это протяжённый во времени процесс, необходимый для свершения события и, как правило, требующий затрат ресурсов.
События на сетевом графике обычно изображаются кружками, а работы – дугами, соединяющими события. Событие может свершиться только тогда, когда закончатся все работы, ему предшествующие.
В сетевом графике не должно быть "тупиковых" событий, за исключением завершающего, не должно быть событий, которым не предшествует хотя бы одна работа (кроме исходного), не должно быть замкнутых контуров и петель, а также параллельных работ.
Рассмотрение основных понятий и положений МКП будем вести на основе следующего примера. Пусть задана следующая последова­тельность работ с их временными характеристиками: Построим сетевой график так, чтобы все дуги работы были
направлены слева направо (рис.2). Над дугами проставлены длительности работ.

Рис. 2. Сетевой график примера

Критический путь представляет собой путь от начальной до конечной работы, имеющий наибольшую длительность. Любое замедление в выполнении работ критического пути неизбежно приведёт к срыву выполнения всего комплекса работ, поэтому критическому пути и уделяется столько внимания.
Рассмотрим основные понятия, связанные с критическим путём .
Ранний срок наступления события (ЕТ). Он определяется для каждого события при движении по сети слева направо от начального к конечному событию. Для начального события ЕТ = 0. Для других определяется по формуле, где ЕТ 1 – ранний срок наступления события i, предшествующего событию j; t ij – продолжительность работы (ij).

Поздний срок наступления события (LТ) – это наиболее позд­ний срок, в который может наступить событие без задержки выполнения всего комплекса работ. Определяется он при движении по сети справа нале­во от конечного события к начальному по формуле:

Для критического пути ранние и поздние сроки наступления событий совпадают. Для конечного события эта величина равна длине критического пути. Расчёт показателей сетевого графика можно производить непосредственно по вышеприведённым формулам. Сначала надо найти ранние сроки наступления событий (при движении по сети слева направо, от начала к концу), (остальное выполнить самостоятельно).

Затем расчёты выполнить в обратном направлении и найти поздние сроки наступления событий.
Положить ЕТ 10 = LT 10 . LT 9 = LT 10 – t 9,10 = 51 –11 = 40.
LT 8 = LT 10 – t 89 = 51 – 9 = 42, и т.д.
Возможен и другой способ вычисления показателей – табличный.
События отмечаются в квадратах "главной" диагонали. Работы отмечаются дважды в верхних и нижних "побочных" квадратах отно­сительно главной диагонали таблицы. В верхних "побочных" квад­ратах таблицы номер строки соответствует предыдущему событию, номер столбца – последующему. В нижних "побочных" квадратах на­оборот.
Порядок заполнения таблицы

1. Сначала заполняются числители верхних и нижних побочных квадратов. В них записываются продолжительности соответствующих работ.
2. Заполняются знаменатели верхних "побочных" квадратов как суммы числителя главного квадрата и числителя верхнего "по­бочного" в той же строке.
3. Числитель первого главного квадрата принимается равным нулю, числители остальных главных квадратов равны максимуму знаменателей верхних "побочных" квадратов в том же столбце.
4. Знаменатель последнего главного квадрата принимается равным числителю этого квадрата. Знаменатели нижних "побочных" квадратов равны разности знаменателя главного и числителя "ниж­него" побочного в той же строке.
5. Знаменатели главных квадратов равны минимуму знаменате­лей "нижних" побочных в том же столбце.
Расчёт показателей сетевого графика


Из таблицы находятся показатели графика:
1. Ранние сроки наступления событий (числители главных квадратов).
2. Поздние сроки наступления событий (знаменатели главных квадратов).
3. Резервы времени событий (разность между знаменателем и числителем главного квадрата). В нашем случае критическими событиями (не имеющими резер­вов) являются 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10. Они составляют критический путь. Продолжительность критического пути равна 51 (числитель или знаменатель последнего главного квадрата).
4. Ранний срок окончания работ (знаменатели верхних "по­бочных" квадратов).
5. Поздний срок наступления работ (знаменатели соответс­твующих нижних "побочных" квадратов).

6. Общие резервы времени работ (разность между знаменателем главного квадрата и знаменателем верхнего "побочного" в том же столбце).
7. Свободные резервы времени работ (разность между числите­лем главного квадрата и знаменателем верхнего "побочного" квадра­та в том же столбце).

Воспроизведём график сети, проставив над каждым событием слева – ранний, а справа – поздний сроки наступления события (рис.3).


Рис. 3. Сетевой график с временными характеристиками


Итак, критический путь проходит вдоль работ 1–3–4–6–7–8–10, и его длительность равна 51.
Резерв времени события определяется как разность между их LT и ET. Ясно, что резервы времени событий вдоль критического пути равны нулю. Для нашего примера резерв времени, например, события 2 равен 28–10 = 18, а события 9 равен 40–36 = 4. На эти промежутки времени может быть задержано выполнение соответствующих работ без риска задержать проект в целом.
Это были временные характеристики событий. Рассмотрим вре­менные характеристики работ. К ним относятся свободный и общий (полный) резервы времени работ.
Общий резерв времени работы (ТS) определяется из соотноше­ния

TS ij = LT j – ET i – t ij


и показывает, на сколько можно увеличить продолжительность ра­боты при условии, что срок выполнения всего комплекса работ не изменится.
Свободный резерв времени работы (FS) определяется из соотношения

FS ij = ET j – ET i – t ij


и показывает часть полного резерва времени, на которое можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом раннего срока её конечного события.
Если свободный резерв времени работ может быть использован по всем работам сети одновременно (тогда все работы становят­ся критическими), то для полных резервов этого сказать нельзя; его можно использовать или для одной работы пути полностью, или для разных работ частями.
Для критических работ ТS и FS равны нулю. ТS и FS могут быть использованы при выборе календарных сроков выполнения нек­ритических работ и для частичной оптимизации сетевых графиков.
Окончательно имеем: Временные характеристики работ
Некритические работы
Продолжительность 		Общий Свободный резерв FS
1-2 10 18 0
1-4 6 5 5
2-5 9 18 0
4-5 3 23 5
3-6 8 9 9
4-7 4 15 15
5-8 5 18 18
6-9 7 12 8
7-9 6 4 0
7-10 8 13 13
9-10 11 4 4

Задачи для контрольных заданий №4

По следующим данным построить сеть, аналогичную рассмотренной в примере, определить временные характеристики ее работ и событий, критический путь и его длину. При выполнении данной задачи подставьте вместо n номер своего варианта и полученное число округлить до целого.
Работа (1,2) (1,3) (1,4) (2,5) (2,4) (3,4) (3,6) (4,5) (4,6)
Продолжительность 5+n/3 6+n/3 7+ n/3 4+n 8+ n/3 3+n 4+n/2 10+ n/3 2+n
(4,7) (5,7) (5,8) (6,7) (6,9) (7,8) (7,9) (7,10)
(8,10) 		(9,10)
8+ n/3 9+n/2 10+ n/3 12+n/2 9+n 7+ n/3 5+n 9+n
11+n/2 		8+ n/3

Под самым поздним сроком наступления (свершения) события следует понимать такой срок, при котором общий планируемый (директивный) срок окончания всего комплекса работ не меняется (не срывается).

Для определения поздних сроков наступления событий () используется следующая формула:

где t кр – длина (продолжительность) критического пути; t р.обр. – ранний срок наступления i-того события при обратном счете.

Иначе, поздний срок наступления i-того события () равен разности между критическом путем (t кр) и наибольшей из продолжительностей путей (L i), следующих за i-тым событием:

(24)

Расчет резервов в сетевом графике

Разность позднего и раннего сроков наступления i-того события характеризует резерв времени данного события. Для критических событий (лежащих на критическом пути) резерв времени равен нулю.

Для расчета резервов времени по работам необходимо определить сроки начала и окончания работ по следующим формулам:

(27)

Соотношение ранних и поздних сроков начала и окончания работ показывает, есть ли возможность изменения этих сроков без срыва директивного срока окончания всего комплекса работ, т.е. показывает есть ли резервы времени по этим работам.

Именно наличие резервов времени по работам определяет динамичность сетевых графиков.

По соотношению ситуаций, складывающихся в реальных производственных условиях, резервы подразделяют на полный (R i - j) по работе (i–j), свободный (частный) резерв времени (), независимый () и поздний ().

Полный резерв времени R i - j по (i–j) работе определяется разностью между поздним сроком окончания () этой работы и ранним окончанием (i–j) – той работы ((13) и (12)):

(28)

Полный резерв времени R i - j по (i–j) работе характеризует возможный резерв времени по (i–j) работе, который обеспечивает маневренность в его пределах при выполнении работы. Он позволяет осуществить перемещение данной работы во времени, “растягивать” ее выполнение и при этом не сорвать срок окончания всего комплекса работ.

Свободный (частный) резерв времени по (i–j) работе можно рассчитать по формуле:

(29)

Свободный резерв времени показывает, насколько может быть перемещен срок выполнения (i–j) работы или может быть растянуто ее выполнение во времени без срыва начала следующей за ней работы по самым ранним достижимым срокам.

Для предотвращения влияния случайностей на возможности выполнения в директивный срок всего комплекса работ наиболее рационально строить процесс выполнения работ по ранним достижимым срокам их начала и окончания. При ориентировке на ранние сроки начала и окончания работ и возникает вопрос о том, имеется ли при этом резерв () по (i–j) работе.



Но в реальных производственных условиях зачастую возникает ситуация, когда окончание предыдущей работы, ранее планировавшееся по ранним срока, произошло по поздним срокам. Стремление выполнить все последующие работы по ранним срокам выдвигает вопрос о наличии такой возможности. Если при таких условиях существует резерв времени или он равен нулю – такая возможность есть.

Независимый резерв времени () по (i–j) работе рассчитывается по формуле:

(30)

и указывает на наличие на возможности планировать последующие работы по ранним срокам независимо от того, что предыдущие работы выполнены в поздние сроки.

Поздний резерв () времени по (i–j) работе – это резерв времени между самым поздним сроком начала последующей работы и поздним допустимым сроком окончания предыдущей. Рассчитывается он по формуле:

(31)

Для каждого события, включенного в сетевой график, рассчитываются следующие показатели:

Ранний срок наступления события, характеризующий наиболее ранний из возможных сроков совершения того или иного события;

Поздний срок наступления событий, характеризующий наиболее поздний из допустимых сроков того или иного события. Если установлен срок наступления завершающего события, являющегося результатом всего комплекса проводимых работ, то каждое промежуточное событие должно наступить не позже определенного срока. Этот срок и является предельно допускаемым сроком наступления события;

Резерв времени наступления событий, который определяется как разность между поздним и ранним сроками наступления события.

Зная указанные показатели для событий, для каждой из работ составленного графика можно определить следующие параметры: ранний срок начала работы, который определяется моментом наступления начального ной работы события в его ранний срок; поздний срок начала работы, определяемый моментом наступления конечного для данной работы события в его поздний срок за вычетом продолжительности работы (временной оценки); ранний срок окончания работы и, наконец, поздний срок окончания работы, т. е. предельно допускаемый срок окончания.

Расчет основных временных параметров производится по соответствующим формулам.

Ранний срок наступления любого последующего события (j-го) определяется величиной пути максимальной продолжительности, ведущего к нему от исходного события. Выбор этой продолжительности может быть осу­ществлен по следующей формуле:

Производя расчеты, удобно принимать, что ранний срок наступления исходного (1-го) события равен нулю, т.е. .Тогда .

Поскольку к событию 2 идет только один путь от события 1, то выбирать максимальные продолжительности путей не приходится: . Сказанное только что относится и к данному расчету. Поиному обстоит дело, когда мы подошли к событию 4. К нему ведут два пути: прямой от события 1 и опосредствованный событием 2. Здесь надо использовать во всей полноте нижеприведенную формулу:

Значит, 4-е событие сможет наступить на 14-й день от общего начала работ (но не через 7 дней, как это может показаться вначале).

Продолжаем расчеты. Очередным является событие 5. К нему ведут два пути: от события 4 и от события 3. Применяем формулу

Аналогично поступаем и с расчетами ранних сроков наступления событий 6 и 7:

Затем рассчитываем . К событию 8 ведут четыре пути, поэтому придется иметь дело с выбором макси­мальной величины из четырех слагаемых.

Следовательно, завершающее (8-е) событие может наступить лишь на 36-й день от начала выполнения всего комплекса работ.

Поздний срок наступления любого предыдущего (i-го) события определяется величиной пути минимальной продолжительности, ведущего к нему от завершающего события. Выбор этой продолжительности может быть осуществлен по формуле

Примем самый поздний срок наступления (8-го) события, равный 36 единицам времени, поскольку ранний срок (по предыдущим расчетам) был равен этому числу.

Определим этот показатель для последующих событий:

При расчетах последующих событий 5,4 и т. д., к которым идут несколько путей, необходимо в полной степени использовать вышеприведенную формулу

В конце рассчитываем , к которому ведут три пути, и, как в предыдущих расчетах, выбираем мини­мальный путь

Полученный результат говорит о том, что расчеты произведены правильно.

На основе этих расчетов определяются резервы времени для событий как разность между самым поздним и самым ранним сроками их наступления. Резервы времени для событий показывают, на какой предельно допустимый период времени может задержаться наступление того или иного события, не вызывая при этом опасности срыва наступления завершающего события. Разумеется, события, находящиеся на критическом пути, не имеют резервов времени. Имеем:

Следовательно, критический путь проходит от 1-го до 8-го события через 2-, 4- и 6-е события, у которых резервы времени равны нулю.

Обратим внимание на тот факт, что если два события, начальное и конечное, для данной работы критические, то это еще не означает, что связывающая их работа находится на критическом пути. На рассматриваемом графике 2-е и 6-е события - критические, а работа (2,6) не лежит на критическом пути. Это обусловлено тем, что указанные события связаны между собой еще одним путем большей продолжительности, в нашем примере работами (2,4) и (4,6). Следует также сказать и о работе (4,8), связывающей два критических события - 4-е и 8-е.

Работы также могут располагать резервами времени для их выполнения. При этом различают следующие разновидности резервов времени.

Полный резерв времени - это максимально возможный запас времени для выполнения данной работы сверх продолжительности самой работы при условии, что в результате такой задержки конечное для данной работы событие наступит не позднее чем в свой поздний срок. Другими словами, это разница между поздним сроком совершения конечного события и суммой раннего срока наступления начального события и продолжительности работы. Следовательно, полные резервы времени для работ можно вычислить по формуле

где - полный резерв времени для (i, j)-й работы.

Например, полный резерв времени для работы (3,5) составит

Значит, работа (3,5) может быть выполнена не за семь дней, а за 27 дней (20 + 7) без задержки выполнения всего комплекса работ, предусмотренных сетевым графиком. Конечно, это предельный максимальный срок, ибо задержка в выполнении работы хотя бы на один день грозит срывом срока наступления завершающего (8-го в нашем примере) события.

Свободный резерв времени - это запас времени, которым можно располагать при выполнении данной работы в предположении, что предшествующее и последующее события этой работы наступают в свои самые ранние сроки. Другими словами, это разница между ранними сроками наступления конечного для работы события и суммой раннего срока наступления начального события и продолжительности работы. Формула для расчета свободного резерва времени имеет вид

где - свободный резерв времени для (i, j)-й работы.

Свободный резерв времени для той или иной работы показывает, насколько можно увеличить продолжитель­ность работы без всякой опасности срыва своевременного выполнения всего комплекса работ, поскольку свободный резерв работы не влияет на резервы времени других работ.

Например, свободный резерв времени для работы (3,5) равен

Значит, работу (3,5) можно без всякого риска выполнить за 15 дней (8 + 7) или начать на восемь дней позже, если ее выполнение осуществится за семь дней.

Частный резерв времени первого вида - это запас времени, которым можно располагать в предположении, что начальное и конечное события работы совершаются в свои поздние сроки.

Этот резерв времени равен разности между самым поздним допустимым сроком наступления конечного для работы события и суммой позднего срока наступления начального события и продолжительности работы. Для расчета частного резерва времени второго вида предлагается следующая формула:

где - частный резерв времени первого вида. Например, для работы (3,5) этот резерв составит

а для работы (5,8) будет

Частный резерв времени второго вида - это запас времени, которым можно располагать при выполнении данной работы, имея в виду, что его использование не повлияет на ранний срок наступления конечного события, а также на величину резервов времени всех остальных работ графика. Этот резерв определяется как разность между самым ранним сроком наступления конечного для данной работы события и суммой самого позднего срока наступления начального для работы события и продолжительности данной работы.

Не для каждой работы существует частный резерв второго вида. Чаще всего бывает, что разность между самым ранним сроком наступления конечного события и самым поздним сроком наступления непосредственно предшествующего события не превышает продолжительности работы или оказывается даже меньше ее. В этом случае резерв для работы принимается равным нулю.

Формула для расчета частного резерва времени второго вида имеет вид

где - частный резерв второго вида для (i,j)-й работы.

Например, для работы (3,5) частный резерв второго вида равен

Полученный результат означает следующее: не может случиться так, чтобы 5-е событие наступило в ранний срок, в то время как 3-е событие наступит в поздний срок. Включение в фигурные скобки нуля с указанием перед ним знака дает возможность считать, что указанного вида резерва не существует (ведь отрицательным резерв быть не может).

А вот для работы (5,8) частный резерв первого вида существует:

Расчет основных показателей сетевого графика по формулам, приведенным выше, весьма трудоемкий и проводится, как правило, на электронных вычислительных машинах. Если сетевой график небольшой (около 100 событий), то расчеты можно проводить вручную.

При этом удобно пользоваться табличным способом расчета основных показателей сетевого графика.

Для этого составляется квадратная (шахматная) таблица, количество строк и столбцов которой соответствует количеству событий. Приведем эти расчеты на примере сетевого графика, который нами использован выше. Это одновременно позволит нам проверить правильность получаемых результатов по основным показателям сетевого графика.

Составим табл. 1 из 8 строк и 8 столбцов (по количеству событий в сети). Выделим в ней жирным контуром квадраты по главной диагонали, т.е. квадраты, имеющие одинаковые номера строк и столбцов, в которых они находятся. Эти квадраты будем называть «главными», а остальные квадраты - «побочными». Отметим «побочные» квадраты, находящиеся на пересечении строк и столбцов с номерами непосредственно связанных друг с другом событий. Для квадратов, находящихся выше главной диагонали, номер строки будет соответствовать номеру начального события, а номер столбца - номеру конечного для данной работы события. Наоборот, для квадратов, находящихся ниже главной диагонали, начальному событию будет соответствовать номер столбца, а конечному - номер строки.

В числители отмеченных квадратов запишем продолжительности соответствующих работ. Например, в числитель квадрата, находящегося на пересечении 2-й строки и 6-го столбца (т.е. выше главной диагонали), запишем число 8 (продолжительность работы между 2-м и 6-м событиями); в числитель квадрата, находящегося на пересечении 5-й строки и 3-го столбца (т.е. ниже главной диагонали), записываем число 7 (продолжительность работы между 3-м и 5-м событиями).

Вначале проводятся вычисления знаменателей для отмеченных «побочных» квадратов, находящихся выше главной диагонали.

Вычисления выполняются в следующем порядке. В первый «главный» квадрат (т.е. квадрат, относящийся к первому событию) записываем нуль, а в знаменатели квадратов первой строки, где проставлены числители, записываем сумму 0+t(i,j). В нашем примере 0+t(1,2)=0+4=4; 0+t(1,3)=0+2=2; 0+t(1,4)=0+7=7.

Переносим знаменатель квадрата (1,2), равный в нашем примере 4, в числитель «главного» квадрата 2-го столбца, а в знаменателе отмеченного квадрата 2-й строки, где проставлены числители, записываем сумму 4 + / (2, у); в нашем примере 4+t(2,4)=4+10=14; 4+t(2,6)=4+8=2.

Далее переносим знаменатель квадрата (1,3), равный в нашем примере 2, в числитель «главного» квадрата 3-го столбца, а в знаменатели квадратов 3-й строки записываем сумму 2+t(3,5)=2+7=9; 2+t(3,7)=2+6=8. Затем переносим максимальный из знаменателей квадратов 4-го столбца (выше главной диагонали) в числитель «главного» квадрата этого столбца (в нашем примере max {12; 14}), а в знаменатели «побочных» квадратов 4-й строки записываем сумму 14+t(4,5)=14+3=17; 14+t(4,6)=14+12=26; 14+t(4,8)=14+6=20. Поступая аналогично, определяем знаменатели для всех «побочных» квадратов выше главной диагонали (во всех случаях в числитель «главных» квадратов записываем наибольший из знаменателей «побочных» квадратов, находящихся в данном столбце выше главной диагонали).

Проведя все эти расчеты, получим определенное число для последнего «главного» квадрата (в нашем примере 36 - наибольший из знаменателей последнего столбца).

Теперь проведем вычисления знаменателей для «побочных» квадратов, находящихся ниже главной диагонали. Расчеты проводим в обратном порядке, начиная с последнего «главного» квадрата. Из числа, записанного в этом квадрате, вычитаем числители в «побочных» квадратах нижней строки и результат записываем в знаменатели. Минимальный из знаменателей данного столбца переносим в «главный» квадрат (знаменатель). Из него опять вычитаем числители в «побочных» квадратах соответствующей строки и получаем знаменатели, наименьший из которых переносим в «главный» квадрат.

Для событий, лежащих на критическом пути, числители и знаменатели «главных» квадратов совпадают, и для первого «главного» квадрата должен получиться нуль. На этом вычисления заканчиваются.

Из табл. 1 получаем показатели сетевого графика:

· продолжительность критического пути (число в последнем «главном» квадрате);

· ранние сроки наступления событий (величины числителей в «главных» квадратах);

· самые поздние сроки наступления событий (величины знаменателей в «главных» квадратах);

· резервы времени для событий (разность между знаменателем и числителем в каждом «главном» квадрате). Для событий, находящихся на критическом пути, как известно, резервы времени равны нулю. Это значит, что в квадратах, соответствующих критическим событиям, числители и знаменатели должны быть равны;

· самые ранние сроки окончания работ (величины знаменателей в «побочных» квадратах выше главной диагонали); самые поздние сроки начала работ (величины знаменателей в «побочных» квадратах ниже главной диагонали);

· полные резервы времени для работ (разность между знаменателем «главного» квадрата и знаменателем «побочного» квадрата для данной работы выше главной диагонали, но в том же столбце); свободные резервы времени для работ (разность между числителем «главного» квадрата и знаменателем «побочного» квадрата для данной работы выше главной диагонали).

Путем простейших арифметических действий можно определить и все остальные показатели сетевого графика. Так, частный резерв времени первого вида для работы (i,j) определяется путем вычитания из знаменателя «главного» квадрата j-го события знаменателя «главного» квадрата i-го события и числителя «побочного» квадрата выше главной диагонали, содержащего продолжительность (i,j)-й работы. Частный резерв второго вида для работы (i,j) определяется путем вычитания из числителя «главного» квадрата j-го события знаменателя квадрата i-го события и числителя «побочного» квадрата, соответствующего (i,j)-й работе и находящегося выше главной диагонали.

Проект строительства дома
№ Операция Время (дни) Предшествующие операции Дуга графа
1. Расчистка участка 1 нет 1-2
2. Закладка фундамента 4 Расчистка участка (1) 2-3
3. Возведение стен 4 Закладка фундамента (2) 3-4
4. Монтаж электропроводки 3 Возведение стен (3) 4-5
5. Штукатурные работы 4 Монтаж электропроводки (4) 3-6
6. Благоустройство территории 6 Возведение стен (3) 5-7
7. Отделка 4 Штукатурные работы (5)
8. Настил крыши 5 Возведение стен (3) 3-8


Рис. 5.5.

Две работы, соответствующие дуге 4-5, - параллельные, их можно либо заменить одной, представляющей совместную операцию (монтаж электропроводки и настил крыши), с новой длительностью 3+5=8 , либо ввести на одной дуге фиктивное событие, например, событие ; тогда дуга 4-5 примет вид


Часто при изображении сетевого графика дуги снабжают весами (длительностями, ресурсами и т.п.) работ . В соответствии с этим принципом, предыдущий сетевой график будет иметь вид, изображенный на рис. 5.6.


Рис. 5.6.

Здесь введены два события: 0 - начало строительства дома, 9 - завершение (сдача) дома. Длительности a, b, c работ 7-9, 6-9, 8-9 должны быть определены.

Критическим путем сетевого графика называется любой путь (то есть последовательность взаимосвязанных событий), ведущий из начального события в конечное событие и целиком состоящий из работ, задержка которых на время вызовет задержку окончания всего проекта на времени. Таким образом, для своевременного окончания проекта все события на критическом пути должны быть выполнены без задержек. Критический путь может быть определен как путь из начального в конечное событие, имеющий нулевой резерв времени (нет резерва времени).

Для нахождения критического пути на сетевом графике необходимо оценить резервы времени (ресурсов) для событий ( работ ) графика : определить для каждого события наиболее ранний и наиболее поздний сроки его наступления (из всех возможных, допускающих окончание всего проекта в срок).

Наиболее ранний срок наступления события j определяется как продолжительность самого длинного пути от начального события к конечному. Пусть t ij - время, необходимое для выполнения работы (i,j) , то есть работы по переходу от события i к событию j . Пусть от начального события (i=1) к j -му событию ведут k путей, которые мы обозначим через . Продолжительность всех работ на пути состоит из суммы продолжительностей, составляющих этот путь работ :

s= 1,2,..., k, m=1, 2,...,n .

Пусть - наиболее ранний срок наступления события j , . Он определяется как самый длинный путь от первого узла (i=1) до j -го узла:

j=1,2,...,n . Максимум берется по всем путям , соединяющим узлы 1 и j . Следовательно,

Максимум берется по всем работам, завершающимся в j -ом узле и выходящим из любого предшествующего i -го узла.

Пример . Рассмотрим сетевой график , изображенный на рис. 5.7.


Рис. 5.7.

Для этого сетевого графика получаем:

Определим теперь понятие наиболее позднего срока наступления события . Пусть - наиболее поздний срок наступления i -го события, не отодвигающий время завершения всего проекта, то есть наиболее поздний срок завершения всех работ , ведущих к i -му узлу. Тогда ясно, что наиболее поздний срок наступления последнего события n (завершения проекта) необходимо положить равным наиболее раннему сроку завершения проекта. Это нужно для того, чтобы гарантировать, что самый длинный путь (критический) не будет требовать времени больше заданного времени завершения проекта. Следовательно, . Чтобы определить наиболее поздний срок наступления любого события i (i

Минимум берется по всем событиям, соединенным с i -ым событием.

Пример . Для сетевого графика 5.7 имеем:
Таким образом, чтобы закончить этот проект в момент времени t=16 , необходимо его начать в момент времени t=0 .

Итак, - длина пути наибольшей длительности от события 1 к событию i , а - длина пути наибольшей длительности от события i к событию n . Эти длины определяются взятием максимума (минимума).

Пусть теперь - наиболее ранний возможный срок начала работы (i,j) (далее мы будем обозначать просто ij ). Так как работа не может начинаться раньше наступления предшествующего i , то имеем: . Поэтому наиболее ранний возможный срок окончания работы ij будет равен: .

Наиболее поздний допустимый срок окончания работы - самое позднее время завершения работы, гарантирующее завершение всего проекта без задержки. Так как работу ij можно закончить не позже наиболее позднего допустимого срока наступления последнего события j , то полагаем: .

Наиболее поздний срок начала работы ij : .

Определим теперь резервы времени. Пусть R i - резерв времени для выполнения i -го события. Тогда . Если , то задержка события i не допускается. События с нулевым резервом времени (R_i=0) называются критическими событиями . Эти события находятся на критическом пути ; все события критического пути имеют нулевой резерв времени . Работы, не находящиеся на критическом пути , также могут иметь нулевой резерв. На пути, не являющемся критическим, можно осуществить задержку некоторых работ (с ) без ущерба времени окончания всего проекта. Сократить срок завершения всего проекта можно только сокращением сроков выполнения работ , находящихся на критическом пути .

Полный (суммарный) резерв времени работы ij , которая не вызовет задержки окончания всего проекта:

Работа ij с R ij =0 находится на

Поделиться: