Система счисления.

Цель моего исследования: Поиск математической и исторической литературы для рассмотрения всевозможных систем счисления. Задачи: 1) Изучение учебной, справочной, методической, научно-популярной и занимательной литературы. 2) Сравнение древних систем счисления. 3) Ознакомление с применением древних систем счисления в современности.

Как человек научился считать. У первобытного человека не было потребности в счёте больших количеств. Поэтому счет доходил до 2 или до 3 - всё превышающее этот рубеж, первобытному человеку представлялось как много. Числительное два имело качественное происхождение - пара рук, ног, глаз и пр. Затем процессе развития обмена - появились естественные эталоны счёта: пять,- в пальцев руки, камешки, ракушки и пр.

Как человек научился считать. Так, обозначения чисел у жителей одного из Малазийских островов выглядят следующим образом: 1 - маленький палец правой руки, 2 - безымянный палец, 3 - средний палец, 4 - указательный палец, 5 - большой палец, 6 - кисть, 7 - локоть, 8 - плечо, 9 - ухо, 10 - правый глаз, 11 - левый глаз, 12 - нос, 13 - рот, 14 - левое ухо и т. д.

Как человек научился считать. Уже при более высокой стадии развития люди при счете стали применять различные предметы. Так, одни пользовались для запоминания числа камешками, зернами, веревкой с узелками, другие палочками с зарубками (бирками), связкой прутьев, кучей раковин, камней и пр… Это были первые счетные приборы, которые, в конце концов, привели к образованию различных систем счисления и к созданию современных быстродействующих электронных счетных машин.

Двадцатеричная система древних майя. Сначала майя использовали для обозначения чисел иероглифические символы:

Двадцатеричная система древних майя. Затем они стали записывать свои цифровые знаки в виде точек и тире, причем, точка всегда означала единицы данного порядка, а тире пятерки

Древнеегипетская десятичная система. Древнеегипетская десятичная система. В древнеегипетской системе счисления, которая возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э., использовались специальные цифры для обозначения чисел. Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из них повторялась не более девяти раз. Число 345 в Египте записывали так:

Вавилонская шестидесятеричная система. Также далеко от наших дней, за две тысячи лет до н.э., в другой великой цивилизации вавилонской люди записывали цифры по-другому. Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов: прямой клин служил для обозначения единиц, а лежачий клин для обозначения десятков. Число 32, например, записывали так:. Знаки и служили цифрами в этой системе. Число 60 снова обозначалось тем же знаком, что и 1. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной.

Вавилонская шестидесятеричная система Для определения значения числа надо было изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинался с появления прямого клина после лежачего, если рассматривать число справа налево. 2-й разряд 1-й разряд

Так как система была шестидесятеричной, то число 92, например, раскладывали на и записывали так: Впоследствии вавилоняне ввели специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда, что соответствует появлению цифры 0 в записи десятичного числа. Вавилонская шестидесятеричная система

Римская система счисления. Римская система счисления. Древние римляне пользовались нумерацией, сохраняющейся до настоящего времени под именем "римской нумерации", в которой числа изображаются буквами латинского алфавита. При этом буква I всегда означает единицу, буква - V пять, X - десять, L - пятьдесят, C - сто, D - пятьсот, M - тысячу и т.д. О происхождении римских цифр достоверных сведений нет. Цифра V могла первоначально служить изображением кисти руки, а цифра Х могла составиться из двух пятерок. В римской нумерации явственно сказываются следы пятеричной системы счисления. Все целые числа (до 5000) записываются с помощью повторения вышеприведенных цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (Например, VI = 6, т.е; LX = 60, т.е), если же меньшая стоит перед бóльшей (в этом случае она не может повторяться), то меньшая вычитается из бóльшей: IV = 4, т.е. 5 1; XL = 40, т е). Подряд одна и та же цифра ставится не более трех раз: LXX = 70; LXXX = 80; число 90 записывается ХС (а не LXXXX).

Римская система счисления. Римская система счисления. 1 - I 2 - II 3 - III 4 - IV 5 - V 6 - VI 7 - VII 8 - VIII 9 - IX 10 – X 11 - XI 13 - XIII 18 - XVIII 19 - XIX 22 - XXII 34 - XXXIV 39 - XXXIX 40 - XL 60 - LX 99- XCIX CC CDXXXVIII DCXLIX CMXCIX MCCVII MMXLV MMMDLV MMMDCLXXVIII MMMCM MMMCMXCIX По причине неудобства и большой сложности в настоящее время римская система счисления встречается очень редко.

Алфавитные системы счисления. Алфавитные системы счисления представляют особую группу. В них для записи чисел использовался буквенный алфавит. Примером алфавитной системы счисления является славянская. У одних славянских народов числовые значения букв устанавливались в порядке следования букв славянского алфавита, у других, в частности у русских, роль цифр играли не все буквы, а только те, которые имеются в греческом алфавите. В славянской системе нумерации для записи чисел использовались все буквы алфавита, правда, с некоторым нарушением алфавитного порядка. Различные буквы означали различное количество единиц, десятков и сотен. Например, число 231 записывалось в виде ~ СЛА (C 200, Л 30, А 1). Над буквой, обозначающей цифру, ставился специальный знак -- "титло" (отсюда - число).

Десятичная система счисления. Десятичная система счисления. Самая известной и используемой в настоящее время системой счисления – является десятичная система. Изобретение десятичной системы счисления относится к главным достижениям человеческой мысли. Без нее вряд ли могла существовать, а тем более возникнуть современная техника. Причина, по которой десятичная система счисления стала общепринятой, вовсе не математическая. Люди привыкли считать в десятичной системе счисления, потому что у них по 10 пальцев на руках.

Десятичная система счисления. В древности цифры этой системы изображались с углами. Это было не случайно: каждая цифра обозначает число по количеству углов в ней. Например, 0 - углов нет, 1 - один угол, 2 - два угла и т.д. В дальнейшем написание десятичных цифр претерпело существенные изменения. Форма цифр, которой мы пользуемся сейчас, установилась только в XVI веке.

Двоичная система счисления. Двоичная система счисления. Наименьшее из чисел, которое можно взять за основание системы счисления, это число два. Соответствующая этому основанию система, называемая двоичной, одна из очень старых. Удобство этой системы в ее необычайной простоте. В двоичной системе участвуют только две цифры 0 и 1, а число 2 представляет собой уже единицу следующего разряда. 2 Весьма просто выглядят и правила действия над числами, записанными в двоичной системе. Основные правила сложения даются равенствами: 0+0=0,0+1=1,1+1=(10)2.

Древние системы счета. Система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии, и мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуты на 60 секунд, а окружность делим на 360 частей (градусов), а 1 градус на 60 минут. Существует и шестидесятилетний цикл в названиях года по календарю ариев. В целом шестидесятеричная система счисления громоздка и неудобна. Римская система счисления, также по причине неудобства и большой сложности в настоящее время используется там, где это действительно удобно: в литературе (нумерация глав), в оформлении документов (серия паспорта, ценных бумаг и др.), в декоративных целях на циферблате часов и в ряде других случаев.

Древние системы счета. Элементы двенадцатеричной системы счисления сохранились в Англии в системе мер (1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсам). Нередко и мы сталкиваемся с ней и в быту: чайные и столовые сервизы на 12 персон, комплект носовых платков 12 штук. Время считается тоже в этой системе 12 месяцев, 24 часа в сутках,12-летний цикл в названиях года по китайскому календарю. Славянская система счисления сохранилась в богослужебных книгах. Всем этим системам свойственны два Всем этим системам свойственны два недостатка, которые привели к их вытеснению недостатка, которые привели к их вытеснению другими: необходимость большого числа различных знаков, особенно для изображения больших чисел, и, что еще важнее неудобство выполнения арифметических операций. выполнения арифметических операций.

Древние системы счета. Сейчас наиболее распространена десятичная система счисления. В соответствии с этой системой ради справедливости ее следовало бы называть индийской мы расставляем цифровые знаки горизонтально-строчечным способом, применяя «позиционный принцип» одно из замечательных достижений человеческого разума. Это значит, что цифры стоят друг за другом в строгом порядке, справа налево от первой позиции или первого порядка к последующим, а именно: единицы, десятки, сотни, тысячи и т. д.

Древние системы счета. Самой старой системой счисления по праву можно считать двоичную систему счисления. Но эта система обладает рядом качеств, делающей ее очень выгодной и необходимой в использовании в телеграфах, а также в вычислительных машинах и в современных компьютерах.

История развития систем счисления.

Современный человек в повседневной жизни окружен огромным количеством самой разнообразной информации, не малая доля которой приходится на числовую информацию. Действительно, мы запоминаем номера телефонов, подсчитываем стоимость покупок, ведем счет школьным урокам и их продолжительности и т.д.. Историки доказали, что и в глубокой древности люди могли записывать числа, производили над ними различные арифметические действия, но записывались числа совершенно по другим принципам, чем мы это делаем сегодня.

Что же такое число? Первоначально понятие числа было «привязано» к предметам, которые пересчитывали. С развитием письменности появляется отвлеченное понятие натурального числа. Необходимость производить измерения, т.е. сравнение с другой величиной того же рода, выбранной в качестве эталона, привело к появлению дробных чисел. Дальнейшее развитие понятия числа было связано непосредственно с развитием математики. Сегодня число это фундаментальное понятие математики и информатики, под которым понимают его величину, а не символьную запись. Условные знаки, применяемые для обозначения чисел, называют цифрами.

Совокупность приемов наименования и записи чисел называется счислением.

Системой счисления называют способы записи чисел и правила действий над числами.

Первые упоминания о системах счисления можно отнести к 10 – 11 тысячелетию до н.э.. При раскопках культурных слоев относящихся к этому периоду, археологи обнаружили записи в виде последовательности черточек – палочек. Ученые считают, что таким образом записывались числа и количество палочек, записанных в строку, равно значению числа. Такая система счисления была названа единичной (палочной) . Дальнейшее развитие счета привело к усовершенствованию и развитию систем счисления. За свою историю человечество использовало различные системы счисления и многие свидетельства этому дошли до наших дней. Например, тот факт, что в часу 60 минут и в минуте 60 секунд свидетельствует о том, что когда-то, люди использовали шестидесятеричную систему счисления. Действительно, археологи обнаружили, при раскопках на месте древней Вавилонской цивилизации следы использования такой системы счисления. Двенадцать месяцев в году и двенадцать делений на циферблате часов, свидетельствуют о том, что вероятнее всего, когда-то использовалась и двенадцатеричная система счисления.

В древней Руси была принята так называемая алфавитная система счисления, в которой цифры обозначались буквами кириллицы со специальным знаком, который назывался титло и служил для того, чтобы цифры отличать от букв.

Современная десятичная система счисления возникла в Индии приблизительно в V в. н.э., возникновение этой системы стало возможным после того, как для обозначения отсутствующей величины стали использовать цифру «0».

Позиционные и непозиционные системы счисления.

Системы счисления, в которых числа записывают как последовательность цифр, можно разбить на два класса: позиционные и непозиционные. В непозиционных системах значения цифр не изменяются при изменении их положения в последовательности. В качестве примера непозиционной системы приведем известную всем римскую систему счисления. В римской системе счисления символ Х на любом месте равен 10, но в записи слева от старшего (например, ХС) символ х равен –10, а в сочетании перед младшим (например, XV ) равен +10. В непозиционных системах счисления действия над числами связаны с большими трудностями и не имеют правил. В этих системах нельзя выразить отрицательные и дробные числа, поэтому непозиционные системы имеют ограниченное применение. В основном их используют для наименования дат, томов, глав и т.д.

Напротив, в позиционных системах счисления количественное значение цифры в числе зависит от ее позиции.

Дадим определения основным, наиболее важным, понятиям позиционных систем счисления, к которым относятся основание, алфавит и базис систем счисления

Основание системы счисления показывает, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении на соседнюю позицию, и какое число различных знаков (цифр) входит в так называемый алфавит системы счисления.

Алфавитом системы счисления называется набор символов (цифр), используемых в позиционной системе счисления для записи чисел. Так алфавиты рассматриваемых в дальнейшем систем счисления следующие:

Двоичная: 0,1.

Восьмеричная: 0,1,2,3,4,5,6,7.

Десятичная: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Шестнадцатеричная: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,В,С,D ,E ,F .

Базисом позиционной системы счисления называется последовательность чисел, каждое из которых задает значение цифры по позиции. Другими словами можно сказать, что базис системы счисления составляют числа, являющиеся последовательными степенями основания системы счисления.

Основанием системы счисления может быть любое натуральное число ≥ 2. Одним из примеров позиционной системы счисления является десятичная система, широко используемая в жизни. В качестве десятичных цифр применяются арабские цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 – являющиеся алфавитом десятичной системы счисления. Основание системы счисления равно 10, это говорит о том, что значения цифр стоящих в соседних позициях отличаются в десять раз, а также то, что в алфавите 10 знаков цифр. Базис десятичной системы счисления составляют числа: 1, 10, 100, 1000, 10000 … 10 n , это означает, что цифра стоящая в нулевой позиции несет вклад – единицы, цифра стоящая в первой позиции несет вклад – десятки, цифра стоящая во второй позиции несет вклад – сотни и т.д..

В качестве примера рассмотрим число 5555, записанное в привычной для Вас, системе счисления с основанием равным 10.

5 3 5 2 5 1 5 0 = 5000+500+50+5

Как видно из примера 5 стоящая в 0-й позиции несет вклад равный 5 единицам, 5 стоящая на 1-й позиции несет вклад равный 5 десяткам, 5 стоящая на 2-й позиции несет вклад равный 5 сотням, 5 стоящая на 3-й позиции несет вклад равный 5 тысячам.

В любой позиционной системе счисления с основанием больше 1 число записывается в виде последовательностей цифр, разделенных запятой на две последовательности

Позиции , расположенные левее запятой пронумерованы справа налево числами 0, 1, 2, …, а справа от запятой пронумерованы подряд слева направо -1, -2, -3 и т. д. Пронумерованные позиции называются разрядами .

Последовательность цифр расположенных слева от запятой называется целой частью числа, а справа от запятой называется дробной частью.

В современных ЭВМ в настоящее время в основном используется позиционные системы счисления с основаниями 2, 8, 16 и 10, хотя были попытки, правда не совсем успешные, использования и других систем счисления (например, троичной).

Следует отметить важную особенность основания системы счисления – в любой позиционной системе счисления основание записывается как 10, но оно имеет различное количественное значение. Например, в двоичной системе счисления 10 это два, в троичной 10 это три, а в десятичной 10 это десять.

История чисел и система счисления тесно взаимосвязаны, потому что система счисления и представляет собой способ записи такого абстрактного понятия, как число. Данная тема не относится сугубо к области математики, ведь всё это является важной частью культуры народа в целом. Потому, когда разбирается история чисел и систем счисления, кратко затрагиваются и многие другие аспекты истории создавших их цивилизаций. Системы в целом делятся на позиционные, непозиционные и смешанные. Из их чередования состоят вся история чисел и систем счисления. Позиционные системы - это такие, в которых величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. В непозиционных системах, соответственно, такой зависимости нет. Человечеством созданы и смешанные системы.

Изучение систем счисления в школе

Сегодня урок «История чисел и систем счисления» проводится в 9 классе в рамках курса по информатике. Главное практическое его значение - научить переводить числа из одной системы счисления в другую (прежде всего из десятиричной в двоичную). Однако история чисел и систем счисления является органической частью истории в целом и вполне могла бы дополнить также и этот предмет школьной программы. Также это могло бы улучшить пропагандируемый сегодня междисциплинарный подход. В рамках общего курса истории в принципе могла бы изучаться не только история экономического развития, социально-политических движений, правлений и войн, но и в небольшой степени история чисел и систем счисления. 9 класс в курсе информатики в таком случае можно было бы в части перевода чисел из одной системы в другую снабдить значительно большим число примеров из ранее пройденного материала. А примеры эти не лишены увлекательности, что и будет показано ниже.

Возникновение систем счисления

Сложно сказать, когда, а главное, как человек научился считать (так же, как невозможно доподлинно выяснить, когда, а главное, как возник язык). Известно только, что все древние цивилизации уже имели свои системы счёта, значит, история чисел и система счисления зародились в доцивилизационное время. Камни и кости не способны рассказать нам, что происходило в человеческом сознании, а письменных источников тогда ещё не создавали. Возможно, счёт понадобился человеку при разделе добычи или много позже, уже в ходе неолитической революции, то есть при переходе к земледелию, для раздела участков поля. Любые теории на этот счёт будут в равной степени беспочвенными. Но некоторые предположения всё же можно сделать, изучая историю различных языков.

Следы древнейшей системы счисления

Самая логичная начальная система счёта - противопоставление понятий «один» - «много». Логична она для нас потому, что в современном русском языке существует только единственное и множественное число. Но во многих было также и для обозначения двух предметов. Существовало оно и в первых индоевропейских языках, включая древнерусский. Таким образом, история чисел и система счисления начались с разделения понятий «один», «два», «много». Однако уже в самых древних известных нам цивилизациях были разработаны более детальные системы счисления.

Месопотамская запись чисел

Мы привыкли, что система счисления десятирична. Это и понятно: на руках 10 пальцев. Но тем не менее история возникновения чисел и систем счисления прошла через более сложные фазы. Месопотамская система счисления - шестидесятиричная. Потому до сих пор в часе 60 минут, а в минуте - 60 секунд. Потому год делится на число месяцев, кратное 60, а день делится на такое же число часов. Изначально это были солнечные часы, то есть каждый из них составлял 1/12 светового дня (на территории современного Ирака его длительность не сильно варьировалась). Только много позже длительность часа стали определять не по солнцу и добавили также 12 ночных часов.

Интересно то, что записывались знаки этой шестидесятиричной системы, будто она десятиричная - существовало только два знака (для обозначения единицы и десятка, не шести и не шестидесяти, а именно десятка), цифры получали, комбинируя эти знаки. Страшно себе даже вообразить, как сложно было записать сколько-нибудь большое число таким способом.

Древнеегипетская система счисления

И история чисел в десятиричной системе счисления, и использование многочисленных значков для обозначения чисел началось с древних египтян. Они комбинировали иероглифы, которые обозначали один, сто, тысячу, десять тысяч, сто тысяч, миллион и десять миллионов, обозначая таким образом нужное число. Такая система была гораздо удобнее, чем месопотамская, использовавшая только два знака. Но при этом она имела явное ограничение: сложно было записать число, значительно большее, чем десять миллионов. Правда, древнеегипетская цивилизация, как и большинство цивилизаций Древнего мира, с такими числами не сталкивалась.

Эллинские буквы в математических записях

История европейской философии, науки, политической мысли и многого другого во многом начинается в Древней Элладе («Эллада» - это самоназвание, оно предпочтительнее, чем придуманное римлянами «Греция»). Развиты в этой цивилизации были и математические знания. Числа эллины записывали буквами. Отдельные буквы обозначали каждое число от 1 до 9, каждый десяток от 10 до 90 и каждую сотню от 100 до 900. Только тысячу обозначали той же буквой, что и единицу, но с другим знаком рядом с буквой. Система позволяла даже большие цифры обозначать относительно короткими надписями.

Славянская система счисления как наследница эллинской

История чисел и систем счисления была бы не полной без нескольких слов о наших предках. Кириллица, как известно, основана на эллинском алфавите, потому и славянская система записи цифр также была основана на эллинской. Здесь тоже отдельными буквами обозначалось каждое число от 1 до 9, каждый десяток от 10 до 90 и каждая сотня от 100 до 900. Только использовались не эллинские буквы, а кириллица, или глаголица. Существовала также и интересная особенность: несмотря на то что и эллинские тексты в то время, и славянские с самого начала их истории записывались слева направо, славянские цифры писались как бы справа налево, то есть буквы, обозначавшие десятки ставили правее букв, обозначавших единицы, буквы, обозначавшие сотни правее букв, обозначавших десятки и т. д.

Аттическое упрощение

Эллинские учёные достигли огромных высот. Римское завоевание не прервало их изысканий. Например, судя по косвенным свидетельствам, за 18 веков до Коперника разработал Гелиоцентрическую Во всех этих сложных расчётах эллинским учёным помогала их система записи чисел.

Но для простых людей, например, торговцев, система зачастую оказывалась слишком сложной: чтобы её использовать, требовалось запомнить числовые значения 27 букв (вместо числовых значений 10 символов, которые учат современные школьники). Потому появилась упрощённая система, получившая название аттической (Аттика - область Эллады, одно время лидировавшая в регионе в целом и особенно в морской торговле региона, так как столицей Аттики были знаменитые Афины). В этой системе отдельными буквами стали обозначаться только числа один, пять, десять, сто, тысяча и десять тысяч. Получается всего шесть знаков - их гораздо легче запоминать, а слишком сложных вычислений торговцы всё равно не производили.

Римские цифры

И система счисления, и история чисел древних римлян, и в принципе история их науки является продолжением эллинской истории. За основу была взята аттическая система, просто эллинские буквы заменили латинскими и добавили отдельное обозначение пятидесяти и пятисот. При этом сложные расчёты в своих трактатах учёные продолжали производить эллинской системой записи в 27 букв (да и сами трактаты они обычно писали по-эллински).

Римскую систему записи чисел нельзя назвать особо совершенной. В частности, она гораздо более примитивна, чем древнерусская. Но исторически сложилось так, что она до сих пор сохраняется наравне с арабскими (так называемыми) цифрами. И забывать эту альтернативную систему, переставать её использовать не стоит. В частности, сегодня часто арабскими цифрами обозначаются а римскими - порядковые.

Великое древнеиндийское изобретение

Цифры, которые сегодня используем мы, появились изначально в Индии. Точно не известно, когда история чисел и система счисления сделали этот знаменательный поворот, но, скорее всего, не позднее V века от Рождества Христова. Часто подчёркивается, что именно индийцы разработали понятие нуля. Такое понятие было известно математикам и других цивилизаций, но действительно лишь система индийцев позволила полноценно включить его в математические записи, а значит, и в вычисления.

Распространение индийской системы счисления по Земле

Предположительно в IX веке индийские цифры заимствовали арабы. В то время как европейцы пренебрежительно относились к античному наследию, а в некоторые регионах одно время даже намеренно уничтожали его как языческое, арабы бережно хранили достижения древних греков и римлян. С самого начала их завоеваний ходовым товаром стали переводы античных авторов на арабский. В основном через трактаты арабских учёных средневековые европейцы снова обрели наследие древних мыслителей. Вместе с этими трактатами пришли и индийские цифры, которые в Европе стали называть арабскими. Они не сразу были приняты, потому что для большинства людей оказались менее понятными, чем римские. Но постепенно удобство математических расчётов с помощью этих знаков победило невежественность. Лидерство европейских промышленно развитых стран привело к тому, что так называемые арабские цифры распространились по всему миру и сегодня применяются практически повсеместно.

Двоичная система счисления современных компьютеров

С появлением компьютеров постепенно совершили значительный поворот многие области знаний. Не стала исключением история чисел и систем счисления. Фото первого компьютера мало напоминает современное устройство, на мониторе которого вы читаете эту статью, но работа их обоих основана на счисления, коде, состоящем, только из нулей и единиц. Для обыденного сознания всё же остаётся удивительным, что с помощью комбинации из всего двух символов (фактически сигнала или его отсутствия) можно производить самые сложные вычисления и автоматически (при наличии соответствующей программы) переводить числа в десятиричной системе исчисления в числа в двоичной, шестнадцатиричной, шестидесятишестиричной и любой другой системе. И с помощью такого двоичного кода на мониторе изображается данная статья, где отражена история чисел и система счисления у разных цивилизаций в истории.

Древние системы счисления отличаются большим разнообразием, поскольку привычный нам способ записи чисел с помощью десяти знаков появился далеко не сразу.
Прежде всего надо отметить, что существовали две основные системы счисления - пятеричная и привычная нам десятеричная. Кроме них, существовала так же 12-ричная, которая в Англии вплоть до 19 века вообще главенствовала. Из Древнего Вавилона пришла к нам и 60-ричная система счисления, которая применяется до сих пор при измерении угловых величин - круг, состоящий из 360 градусов делится без остатка на многие удобные цифры. Стоит отметить, что в древние системы счисления ряда народов прослеживаются остатки более древней пятеричной системы - у древних римлян и майя например.

Разнообразие в на самом деле небольшое - в основном десятичная или пятерично-десятичная. Но, вот когда дело доходило до записи на бумаге или камне, то тут, как говорится, каждый был сам себе голова. Академий наук тогда не было, министерств тоже, о стандартах школьного образования тем более никто не слыхивал, китайцы знали о достижениях греков мягко говоря маловато, и наоборот. Поэтому, каждый изобретал свой способ записи.

Пожалуй самым древним обозначением числа можно считать вертикальную палочку. Почти у всех древних народов она естественным образом изображала единицу. Дальше шли соответственно две, три, реже четыре палочки. Дальше в основном вводили новые знаки по достижении какого-то числа, при котором записывать большое числа палочек было просто неудобно.

Инки в Южной Америке придумали вообще уникальную сисему счисления - типу - числа обозначались узелками на шнурках! Различалась форма узелков, цвет шнурков, их расположение на шнурке. Система была довольно сложной, требовала специального обучения, но она вполне удовлетворяла инков, позволяя вести даже двойной счёт в бухгалтерии!

В Древнем Египте бытовала десятичная система счисления и существовало несколько систем обозначения чисел. Иероглифическая форма записи, когда для всех степеней десяти, включая единицу, был свой знак. Подобно другим системама счисления, любое число можно было обозначить сложением числовых значений этих знаков. Это "парадная", довольно громоздкая форма записи, поэтому существовала жреческая (иератическая) система счисления, в которой для единиц, десятков и т.д. были отдельные знаки. Складывать в такой записи тоже приходилось, но надпись была заметно короче. Позднее возникло ещё более простое демотическое письмо. Пока египетские системы счисления в моём не сделаны, по причине затруднений с кодировками и шрифтами для древнеегипетских надписей.

Настоящей переворотом стало открытие полноценного понятия нуля индийскими математиками. Благодаря этому появилась привычная нам десятичная ПОЗИЦИОННАЯ система счисления, рассказывать о которой нет особого смысла. Во многих странах существуют свои обозначения для чисел, но на поверку - все они отличаются друг от друга только внешним видом знаков(цифр) и не более того.

Я постарался не только собрать все эти системы счисления Древнего Мира и разных народов воедино, но и сделать удобным для использования. В итоге получилась программа "Титло" - переводчик чисел .

Ещё по этой теме:

Изучение древних систем счисления и решение задачи с их применением.

Исследовательская работа:

«Системы счисления древнего мира»

«Математика – царица наук» - гласит известная поговорка. Главной её частью естественно являются цифры. Сейчас в мире используется более или менее общая, хорошо сформированная система. Но что было 3, 4, 5 тыс. лет назад?

И поэтому нашей главной целью является дать ответы на следующие вопросы:

• Какие государства имели более развитые системы счисления?
• Какие системы они использовали?
• Как развивались системы счисления?

Задачи: изучение материалов про системы счисления древности, решение современной задачи с использованием всех исследуемых систем.

Предмет исследования системы счисления древности.

Перед началом поиска информации мы определили следующие государства для изучения:

ØДревний Египет

ØВавилон

ØДревняя Греция

1.Древний Египет

Расшифровка системы счисления, созданной в Египте во времена первой династии (ок. 2850 до н.э.), была существенно облегчена тем, что иероглифические надписи древних египтян были аккуратно вырезаны на каменных монументах. Из этих надписей нам известно, что древние египтяне использовали только десятичную систему счисления. Единицу обозначали одной вертикальной чертой, а для обозначения чисел, меньших 10, нужно было поставить соответствующее число вертикальных штрихов. Для обозначения числа 10, основания системы, египтяне вместо десяти вертикальных черт ввели новый коллективный символ, напоминающий по своим очертаниям подкову или крокетную дужку. Множество из десяти подковообразных символов, т.е. Число 100, они заменили другим новым символом, напоминающим силки; десять силков, т.е. Число 1000, египтяне обозначили стилизованным изображением лотоса. Продолжая в том же духе, египтяне обозначили десять лотосов согнутым пальцем, десять согнутых пальцев – волнистой линией и десять волнистых линий – фигуркой удивленного человека. В итоге древние египтяне могли представлять числа до миллиона. Самые древние из дошедших до нас математических записей высечены на камне, но наиболее важные свидетельства древнеегипетской математической деятельности запечатлены на гораздо более хрупком и недолговечном материале – папирусе. Два таких документа – папирус Ринда, или египетского писца Ахмеса (ок. 1650 до н.э.) И московский папирус, или папирус Голенищева (ок. 1850 до н.э.) – служат для нас основными источниками сведений о древнеегипетских арифметике и геометрии. В этих папирусах более древнее иероглифическое письмо уступило место скорописному иератическому письму, и это изменение сопровождалось использованием нового принципа обозначения чисел. Иероглифическая запись чисел использовалась преимущественно в официальных документах и текстах. Еще позднее иератическая система обозначения чисел уступила место демотическим системам записи. Введение египтянами цифровых обозначений ознаменовало один из важных этапов в развитии систем счисления, так как дало возможность существенно сократить записи. Однако их операции с дробями продолжали оставаться на примитивном уровне, так как они знали лишь аликвотные дроби (т.е. Дроби с числителем 1) и каждую дробь записывали в виде суммы аликвотных дробей, например, дробь 2/43 они записали бы так: 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301. В этих системах счисления над символом, обозначающим знаменатель, ставился специальный знак. В искусстве оперирования дробями египтяне значительно уступали жителям Месопотамии

2.Вавилон

Письменность шумеров является, по-видимому, столь же древней, как и письменность египтян. Развитие способов представления чисел в Месопотамской долине вначале шло так же, как и в долине Нила, но затем жители Междуречья ввели совершенно новый принцип. Вавилоняне делали записи острой палочкой на мягких глиняных табличках, которые затем обжигались на солнце или в печи. Эти записи оказались исключительно долговечными, а потому, в отличие от египетских папирусов, дошедших до нас в весьма малом числе экземпляров, в музеях мира хранятся десятки тысяч клинописных табличек. Однако жесткость материала, на котором жители Месопотамии делали записи, оказала глубокое влияние на развитие числовых обозначений. Через некоторое время после того, как Аккад завоевал шумеров, система счисления в Месопотамии стала шестидесятеричной, хотя сохранилось также и основание 10. Казавшееся правдоподобным предположение относительно того, почему выбор пал на число 60 как на основу вавилонской системы счисления, и утверждавшие, будто это связано с тем, что продолжительность земного года считалась равной 360 дням, не получило подтверждения. Ныне принято считать, что шестидесятеричная система была выбрана из метрологических соображений: число 60 имеет много делителей.

3.Древняя Греция

В Древней Греции имели хождение две основных системы счисления – аттическая (или геродианова) и ионическая (она же александрийская или алфавитная). Аттическая система счисления использовалась греками, по-видимому, уже к 5 в. до н.э. По существу это была десятичная система (хотя в ней также было выделено и число пять), а аттические обозначения чисел использовали повторы коллективных символов. Черта, обозначавшая единицу, повторенная нужное число раз, означала числа до четырех. После четырех черт греки вместо пяти черт ввели новый символГ , первую букву слова «пента» (пять) (буква Г употреблялась для обозначения звука «п», а не «г»). Дойдя до десяти, они ввели еще один новый символD , первую букву слова «дека» (десять). Так как система была десятичной, грекам потребовались новые символы для каждой новой степени числа 10: символH означал 100 (гекатон),X – 1000 (хилиои), символM – 10000 (мириои или мириада).

Ионическая система первоначально не сильно потеснила уже установившуюся аттическую или акрофоническую (по начальным буквам слов, означавших числительные) системы исчисления. По-видимому, официально она была принята в Александрии во времена правления Птолемея Филадельфийского и в последующие годы распространилась оттуда по всему греческому миру, включая Аттику. Переход к ионической системе счисления произошел в золотой век древнегреческой математики и, в частности, при жизни двух величайших математиков античности. Есть нечто большее, чем просто совпадение, в том, что именно тогда Архимед и Аполлоний работали над усовершенствованием системы обозначения больших чисел. Архимед, придумавший схему октад (эквивалентную современному использованию показателей степени числа 10) гордо заявлял в своем сочинении «Псаммит» («Исчисление песчинок»), что может численно выразить количество песчинок, необходимых для того, чтобы заполнить всю известную тогда Вселенную. Изобретенная им система обозначения чисел включала число, которое ныне можно было бы записать в виде единицы, за которой следовало бы восемьдесят тысяч миллионов цифр.

Римские обозначения чисел известны ныне лучше, чем любая другая древняя система счисления. Объясняется это не столько какими-то особыми достоинствами римской системы, сколько тем огромным влиянием, которым пользовалась римская империя в сравнительно недавнем прошлом. Этруски, завоевавшие Римскую империю в 7 в. до н.э., испытали на себе влияние восточно-средиземноморских культур. Этим отчасти объясняется сходство основных принципов Римской и аттической систем счисления. Обе системы были десятичными, хотя в обеих системах счисления особую роль играло число пять. Обе системы использовали при записи чисел повторяющиеся символы. Старыми римскими символами для обозначения чисел 1, 5, 10, 100 и 1000 были, соответственно, символыI ,V ,X ,Q (илиЕ , илиД ) иf . Хотя о первоначальном значении этих символов было написано много, их удовлетворительного объяснения у нас нет до сих пор. Дробей римляне избегали так же упорно, как и больших чисел.

Одна из древнейших систем счисления была создана в Китае, а также в Японии. Эта система возникла как результат оперирования с палочками, выкладываемыми для счета на стол или доску. Числа от единицы до пяти обозначались, соответственно, одной, двумя и т.д. палочками, выкладываемыми вертикально, а одна, две, три или четыре вертикальные палочки, над которыми помещалась одна поперечная палочка, означали числа шесть, семь, восемь и девять. Первые пять кратных числа 10 обозначались одной, двумя, пятью горизонтальными палочками, а одна, две, три и четыре горизонтальные палочки, к которым сверху приставлялась вертикальная палочка, означали числа 60, 70, 80 и 90.

Во второй китайской системе счисления для обозначения первых девяти целых чисел или символов используют девять различных знаков и одиннадцать дополнительных символов для обозначения первых одиннадцати степеней числа 10. В сочетании с умножением и вычитанием это позволяло записывать любое число меньше триллиона. Если один из символов, обозначающих первые девять целых чисел, стоит перед (при чтении слева направо) символом, означающим степень числа 10, то первое нужно умножить на второе, если же символ одного из девяти первых целых чисел стоит на последнем месте, то это число надлежит прибавить к обозначенному предыдущими символами.

Письменных памятников древнеиндийской цивилизации сохранилось очень немного, но, судя по всему, индийские системы счисления проходили в своем развитии те же этапы, что и во всех прочих цивилизациях. На древних надписях из Мохенджо-Даро вертикальная черточка в записи чисел повторяется до тринадцати раз, а группировка символов напоминает ту, которая знакома нам по египетским иероглифическим надписям. В течение некоторого времени имела хождение система счисления, очень напоминающая аттическую, в которой для обозначения чисел 4, 10, 20 и 100 использовались повторения коллективных символов. Эта система, которая называется кхарошти, постепенно уступила место другой, известной под названием брахми, где буквами алфавита обозначались единицы (начиная с четырех), десятки, сотни и тысячи. Переход от кхарошти к брахми происходил в те годы, когда в Греции, вскоре после вторжения в Индию Александра Македонского, ионическая система счислениявытесни